甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高二4月线上测试数学（文）试题

甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高二4月线上测试数学（文）试题

高二数学（文科）‎ 单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知是虚数单位，复数，则的虚部为（ ）‎ A. 1 B. C. D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法运算以及复数的概念即可求解.‎ ‎【详解】，‎ 所以的虚部为1.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算以及复数的概念，属于基础题.‎ ‎2.不等式的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由得，即不等式的等价条件是，‎ 则不等式的一个充分不必要条件一个是的一个真子集，‎ 则满足条件是，‎ 故选A.‎ ‎3.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论．‎ ‎【详解】在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，‎ 四个选项中，即等高的条形图中x1，x2所占比例相差越大，则分类变量x，y关系越强，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验内容，使用频率等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，是基础题 ‎4.等差数列的首项为1，公差不为，若，，成等比数列，则数列的前项的和为（ ）‎ A. B. C. 3 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列通项公式与等比中项性质建立方程，求得公差，再由等差数列求和公式求得答案 ‎【详解】设等差数列的公差为d，，，且，，成等比数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，‎ 前6项的和为 ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查求等差数列前n项和，属于基础题.‎ ‎5.的内角的对边分别是，已知，，，则等于( )‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理列方程求出a的值．‎ 详解】由余弦定理得，即，所以，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，属于基础题．‎ ‎6.下列判断正确的个数是（ ）‎ ‎①“若，则”的逆否命题为“若，则”；‎ ‎②“，”的否定是“，”；‎ ‎③函数的最小值为2；‎ ‎④三内角成等差数列的充要条件是.‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题定义即可判断①；由全称命题的否定变换原则可判断②；根据基本不等式适用条件可判断③；由充要条件的定义可判断④；‎ ‎【详解】对于①，“若，则”的逆否命题为：‎ ‎“若，则”，故①正确；‎ 对于②，“，”否定是“，”，故②正确；‎ 对于③，当时，即，函数的最小值为2不正确，‎ 故③错误；‎ 对于④，三内角成等差数列，三个内角都可能为，即不一定成立，故④错误；‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了四种命题、全称命题的否定、基本不等式适用的条件以及等差数列、充要条件的定义，属于基础知识的考查.‎ ‎7.曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得到，故，计算切线得到答案.‎ ‎【详解】，，，‎ 所以切线方程为，即.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎8.已知数列的前n项和，而，通过计算，，，猜想等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算出、、，归纳推理出即可得解.‎ ‎【详解】由题意，当时，即，解得；‎ 当时，即，解得；‎ 当时，即，解得；‎ 可得出猜想，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了归纳推理的应用和数列与的关系，属于基础题.‎ ‎9.函数的图象大致是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的导数，可判断出函数的单调性和最大值，再分析四个答案中的图像，即得.‎ ‎【详解】由题得，，当时，，函数增函数，当时，，函数为减函数，则当时，取最大值，，则选项正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数图像，涉及函数的单调性和极值.‎ ‎10.如图所示的程序框图中循环体执行的次数是(　　)‎ A. 50 B. 49‎ C. 100 D. 99‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 第1次中：i＝2＋2＝4，‎ 第2次中：i＝4＋2＝6，…‎ 第49次中：i＝2×49＋2＝100.‎ 共49次．‎ ‎11.如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点A、B、C、D，则的值是（ ）‎ A. 8 B. ‎4 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过抛物线的焦点F的直线方程为，与抛物线的方程联立，即可求解的值，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，可得抛物线的焦点坐标为，‎ 设直线的方程为，联立，得，‎ 因为，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，其中解答中设出直线的方程，与抛物线的方程联立，合理应用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12.已知函数满足，且的导数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据题意可得函数在上单调递增，再将转化为，根据单调性即可求出的范围.‎ ‎【详解】设，则，‎ ‎∵，∴，‎ 即函数在R上单调递增．‎ 可转化为，即，‎ 而函数在R上单调递增，，∴，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用单调性解不等式，导数的运算和构造函数法的应用，考查学生的分析转化和计算能力，属于中档题.‎ 填空题 ‎13.命题“，”的否定是__________．‎ ‎【答案】，．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 全称改存在，再否定结论即可 ‎【详解】命题“，”的否定是“，”‎ 故答案为：，‎ ‎【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题 ‎14.甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了.”丁说：“我没抓到.”已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以判断值班的人是________.‎ ‎【答案】甲 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，对各种情况分类讨论一一判断可得；‎ ‎【详解】解：假如甲说的是真话，则乙、丙、丁都说假话，既然丁说假话，则丁抓到了，那么丙说的是真话，与假设矛盾；‎ 假如乙说的是真话，则甲、丙、丁都说假话，即丙抓到了，则甲、丁没有抓到，甲与丁也说的是真话，与假设矛盾；‎ 假如丙说的是真话，则甲、丙、丁都说假话，即丁抓到了，则甲没有抓到，甲也说的是真话，与假设矛盾；‎ 假如丁说的是真话，则甲、丙、丁都说假话，则甲抓到了，则丙、丁都没有抓到，符合题意；‎ 故答案为：甲 ‎【点睛】本题考查简单的合情推理，属于基础题.‎ ‎15.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 ‎ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎16.已知函数的图象为曲线，若曲线不存在与直线平行的切线，则实数的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，因为曲线不存在与直线平行的切线，所以方程无解，即无解，设，则，所以单调递增，所以，所以实数的取值范围为.‎ 考点：导数的几何意义. ‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，转化的数学思想，属于中档题.本题解答的关键是根据导数的几何意义把条件“曲线不存在与直线平行的切线”转化为导函数的方程无解，从而通过分类参数，构造新函数，通过研究新函数的单调性和值域得到参数的范围.‎ 解答题（总分70分）‎ ‎17.等差数列中，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列公差为，由，求出公差，即可求出通项；‎ ‎（2）根据通项公式，用裂项相消法，可求的前项和.‎ ‎【详解】（1）设等差数列公差为，‎ 由，‎ ‎；‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项的基本量的运算、裂项相消法求和，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎18.在中，角所对的边分别为且满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据余弦定理即可得到，即可求出，‎ ‎（2）根据正弦定理可得，解得，再根据三角形的面积公式计算即可 ‎【详解】（1）因为，即，‎ 由余弦定理得，，‎ 所以，即，‎ 又因为，所以．‎ ‎（2）因为，由正弦定理得，‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 又因为，所以．‎ 由正弦定理可得，解得，‎ 所以．‎ ‎【点睛】此题考查正余弦弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正余弦定理是解本题的关键．‎ ‎19.詹姆斯·哈登（James Harden）是美国NBA当红球星，自2012年10月加盟休斯顿火箭队以来，逐渐成长为球队的领袖．2017-18赛季哈登当选常规赛MVP(最有价值球员)．‎ 年份 ‎2012-13‎ ‎2013-14‎ ‎2014-15‎ ‎2015-16‎ ‎2016-17‎ ‎2017-18‎ 年份代码t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 常规赛场均得分y ‎25.9‎ ‎25.4‎ ‎27.4‎ ‎29.0‎ ‎29.1‎ ‎30.4‎ ‎（Ⅰ）根据表中数据，求y关于t的线性回归方程（，*）；‎ ‎（Ⅱ）根据线性回归方程预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分．‎ ‎【附】对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， ‎ ‎(参考数据，计算结果保留小数点后一位）‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（，） （Ⅱ）32.4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求得样本中心点，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：将代入线性回归方程，即可预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分．‎ ‎【详解】（1）由题意可知：，， ‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴y关于t的线性回归方程为.（，）‎ ‎（2）由（1)可得，年份代码， ‎ 此时，所以，可预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分为32.4.‎ ‎【点睛】本题考查利用最小二乘法求线性回归方程及线性回归方程的应用，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎20.己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，当的面积为时，求实数的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）：y2＝1；（Ⅱ）m ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据顶点坐标、离心率和的关系可求得，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，根据有两个交点可得，求得范围；联立后写出韦达定理的形式，代入弦长公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离，从而利用构造方程解得，验证符合的即为结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意知：，，则 ‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（Ⅱ）设， ‎ 联立得：‎ ‎，解得：‎ ‎，‎ 又点到直线的距离为：‎ ‎，解得：‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的应用，需要注意的是联立后要利用判别式大于零确定参数的取值范围.‎ ‎21.已知函数，．‎ Ⅰ讨论函数的单调区间；‎ Ⅱ若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：（1）求导，解不等式，得到增区间，解不等式，得到减区间；‎ ‎（2）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2⇔1+﹣≥b，构造函数g（x）=1+﹣，g（x）min即为所求的b的值 详解：‎ ‎（1）在区间上， ，‎ 当时， 恒成立， 在区间上单调递减；‎ 当时，令得，‎ 在区间上，，函数单调递减，‎ 在区间上，，函数单调递增.‎ 综上所述：当时， 的单调递减区间是，无单调递增区间；‎ 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是 ‎（2）因为函数在处取得极值，‎ 所以，解得，经检验可知满足题意 由已知，即，‎ 即对恒成立，‎ 令，‎ 则，‎ 易得在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，即.‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;‎ ‎（3）若恒成立，可转化为 ‎22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线（为参数）与曲线C相交于点M，N两点．‎ ‎（1）求曲线C的平面直角坐标系方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为；直线l的普通方程为；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，将极坐标方程转化为直角坐标方程，通过消参，将参数方程化为普通方程即可；‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，即可求得 的值.‎ ‎【详解】（1）由，得，∴．‎ 即曲线C的直角坐标方程为．‎ 消去参数t，得直线l普通方程．‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得，‎ 由韦达定理，得，，所以，同为正数，‎ 则.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的转化、参数方程和普通方程的转化以及参数方程的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.‎