高考理科数学专题复习练习4.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

高考理科数学专题复习练习4.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第四章三角函数、解三角形 ‎4.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 专题1‎ 三角函数的图象与变换 ‎■(2015河北石家庄二中一模,三角函数的图象与变换,选择题,理4)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π‎8‎个单位,所得到的函数图象关于y轴对称,则φ的一个可能取值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎3π‎4‎ B.π‎4‎ C.0 D.-‎π‎4‎ 解析:函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π‎8‎个单位得g(x)=sin‎2x+‎π‎8‎+φ=sin‎2x+π‎4‎+φ的图象.又函数g(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)为偶函数,所以π‎4‎+φ=kπ+π‎2‎(k∈Z),即φ=kπ+π‎4‎(k∈Z),当k=0时,φ=π‎4‎,故选B.‎ 答案:B ‎■(2015河北石家庄高三质检一,三角函数的图象与变换,选择题,理8)为了得到函数y=3cos 2x的图象,只需把函数y=3sin‎2x+‎π‎6‎的图象上所有的点(　　)‎ A.向右平行移动π‎3‎个单位长度 B.向右平行移动π‎6‎个单位长度 C.向左平行移动π‎3‎个单位长度 D.向左平行移动π‎6‎个单位长度 解析:函数y=3sin‎2x+‎π‎6‎的图象向左平行移动π‎6‎个单位长度得到y=3sin‎2x+‎π‎6‎+‎π‎6‎=3sin‎2x+‎π‎2‎=3cos2x的图象,故选D.‎ 答案:D 专题2‎ 函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用 ‎■(2015河北衡水中学二模,函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题,理10)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ∈(0,2π),若f(x)≤fπ‎6‎对x∈R恒成立,且fπ‎2‎0.②‎ 因为φ∈(0,2π),由①②可得φ=π‎6‎,‎ 所以f(x)=sin‎2x+‎π‎6‎,由2kπ-π‎2‎≤2x+π‎6‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),kπ-π‎3‎≤x≤kπ+π‎6‎(k∈Z),故选B.‎ 答案:B ‎■(2015江西南昌二模,函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题,理4)将函数y=sin‎2x-‎π‎3‎的图象向左平移π‎3‎个单位,得到函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)的一个单调递增区间是(　　)‎ A.‎-π‎4‎,‎π‎4‎ B.‎‎-π‎2‎,0‎ C.‎-‎5π‎12‎,‎π‎12‎ D.‎π‎12‎‎,‎‎7π‎12‎ 解析:y=sin‎2x-‎π‎3‎向左平移π‎3‎个单位得y=sin‎2x+‎π‎3‎,当x∈‎-‎5π‎12‎,‎π‎12‎时,2x+π‎3‎‎∈‎-‎π‎2‎,‎π‎2‎,y=f(x)为增函数,故选C.‎ 答案:C ‎■(2015江西南昌二模,函数y=Asin(ωx+φ)图象及性质的应用,解答题,理17)已知△ABC是圆O(O为坐标原点)的内接三角形,其中A(1,0),B‎-‎1‎‎2‎,-‎‎3‎‎2‎,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.‎ ‎(1)若点C的坐标是‎-‎2‎‎2‎,‎‎2‎‎2‎,求cos∠COB;‎ ‎(2)若点C在优弧AB上运动,求a+b的最大值.‎ 解:(1)由点C,B的坐标可以得到∠AOC=‎3π‎4‎,∠AOB=‎2π‎3‎,‎ 所以cos∠COB=cos(∠AOC+∠AOB)=-‎2‎‎2‎‎×‎-‎‎1‎‎2‎-‎2‎‎2‎×‎‎3‎‎2‎=-‎6‎‎-‎‎2‎‎4‎.‎ ‎(2)因为c=‎3‎,∠AOB=‎2π‎3‎,所以C=π‎3‎,‎ 所以asinA‎=bsinB=‎‎3‎‎3‎‎2‎=2,‎ 所以a+b=2sinA+2sin‎2π‎3‎‎-A=2‎3‎sinA+‎π‎6‎‎00,‎ 则sin(π+α)=-sinα=-‎1-cos‎2‎α=-‎1-‎k‎2‎,故选A.‎ 答案:A ‎■(2015河北唐山一模,三角函数式的化简、求值,选择题,理7)已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=(　　)‎ A.-‎4‎‎3‎ B.‎4‎‎3‎ C.-‎4‎‎3‎或0 D.‎4‎‎3‎或0‎ 解析:因为2sin2α=1+cos2α,所以2sin2α=2cos2α,‎ 所以2cosα(2sinα-cosα)=0,解得cosα=0或tanα=‎1‎‎2‎.‎ 若cosα=0,则α=kπ+π‎2‎,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,‎ 所以tan2α=0;若tanα=‎1‎‎2‎,‎ 则tan2α=‎2tanα‎1-tan‎2‎α‎=‎‎4‎‎3‎.‎ 综上所述,故选D.‎ 答案:D ‎■(2015河北唐山一模,三角函数式的化简、求值,选择题,理9)函数f(x)=|sin x|+2|cos x|的值域为(　　)‎ A.[1,‎5‎] B.[1,2]‎ C.[2,‎5‎] D.[‎5‎,3]‎ 解析:对任意x∈R,存在k∈Z和t∈‎0,‎π‎2‎,使x=kπ+t或x=kπ-t,则f(x)=|sinx|+2|cosx|=|sint|+2|cost|=sint+2cost,t∈‎0,‎π‎2‎,即f(x)的值域可以转化为当x∈‎0,‎π‎2‎时的值域.‎ 因为f(t)=‎5‎sin(t+φ),其中tanφ=2,则φ∈π‎3‎‎,‎π‎2‎,t+φ∈φ,π‎2‎+φ,当t+φ=π‎2‎时,f(t)有最大值‎5‎,当t+φ=π‎2‎+φ时,即t=π‎2‎时,f(t)有最小值1,故f(x)的值域为[1,‎5‎],故选A.‎ 答案:A ‎■(2015河北唐山一模,三角函数式的化简、求值,填空题,理16)已知x,y∈R,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为　　　　　. ‎ 解析:x2+2xy+4y2=6等价于x+y‎6‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1,根据式子的特点可以联想同角三角函数的基本关系中的平方关系进行三角代换,再求z=x2+4y2的取值范围.因为x2+2xy+4y2=6,所以x+y‎6‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1,令x+y=‎6‎sinθ,‎y=‎2‎cosθ得x=‎6‎sinθ-‎2‎cosθ,‎y=‎2‎cosθ,‎则z=x2+4y2=(‎6‎sinθ-‎2‎cosθ)2+4(‎2‎cosθ)2=8+2cos2θ-2‎3‎sin2θ=8+4cos‎2θ+‎π‎3‎,‎ 因为cos‎2θ+‎π‎3‎∈[-1,1],‎ 所以z=x2+4y2∈[4,12].‎ 答案:[4,12]‎ ‎4.6解三角形 专题1‎ 利用正弦定理、余弦定理解三角形 ‎■(2015河北保定一模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理17)已知函数f(x)=sin xcosx-‎π‎6‎‎+‎‎1‎‎2‎cos 2x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值;‎ ‎(2)已知△ABC的面积为‎3‎,且角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=‎1‎‎2‎,b+c=5,求a的值.‎ 解:(1)f(x)=sinx‎3‎‎2‎cosx+‎1‎‎2‎sinx+cos2x-‎‎1‎‎2‎ ‎=‎3‎‎2‎sinxcosx+‎1‎‎2‎cos2x ‎=‎‎1‎‎2‎‎3‎‎2‎sin2x+‎1‎‎2‎cos2x‎+‎‎1‎‎4‎ ‎=‎1‎‎2‎sin‎2x+‎π‎6‎‎+‎‎1‎‎4‎,‎ ‎∴函数f(x)的最大值为‎3‎‎4‎.‎ ‎(2)由题意f(A)=‎1‎‎2‎sin‎2A+‎π‎6‎‎+‎1‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎,‎ 化简得sin‎2A+‎π‎6‎‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎∵A∈(0,π),∴2A+π‎6‎‎∈‎π‎6‎‎,‎‎13π‎6‎,‎ ‎∴2A+π‎6‎‎=‎‎5π‎6‎,∴A=π‎3‎.‎ 由‎1‎‎2‎bcsinA=‎3‎得bc=4,又b+c=5,‎ ‎∴b=1,c=4或b=4,c=1.‎ 在△ABC中,根据余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=13.∴a=‎13‎.‎ ‎■(2015河北石家庄二中一模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理17)如图,在△ABC中,已知B=π‎3‎,AC=4‎3‎,D为BC边上一点.‎ ‎(1)若AD=2,S△DAC=2‎3‎,求DC的长;‎ ‎(2)若AB=AD,试求△ADC的周长的最大值.‎ 解:(1)∵S△DAC=2‎3‎,∴‎1‎‎2‎AD·AC·sin∠DAC=2‎3‎,‎ ‎∴sin∠DAC=‎1‎‎2‎.‎ ‎∵∠DAC<∠BAC<π-π‎3‎‎=‎‎2π‎3‎,∴∠DAC=π‎6‎.‎ 在△ADC中,由余弦定理得DC2=AD2+AC2-2AD·ACcosπ‎6‎,‎ ‎∴DC2=4+48-2×2×4‎3‎‎×‎‎3‎‎2‎=28,∴DC=2‎7‎.‎ ‎(2)∵AB=AD,B=π‎3‎,∴△ABD为正三角形.‎ 在△ADC中,由正弦定理得ADsinC‎=‎4‎‎3‎sin‎2π‎3‎=‎DCsinπ‎3‎‎-C,‎ ‎∴AD=8sinC,DC=8sinπ‎3‎‎-C,‎ ‎∴△ADC的周长为AD+DC+AC=8sinC+8sinπ‎3‎‎-C+4‎3‎=8sinC+‎3‎‎2‎cosC-‎1‎‎2‎sinC+4‎3‎=8‎1‎‎2‎sinC+‎3‎‎2‎cosC+4‎3‎=8sinC+‎π‎3‎+4‎3‎.‎ ‎∵∠ADC=‎2π‎3‎,∴0

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