数学文卷·2017届河南省百校联盟高三12月教学质量监测（2016

数学文卷·2017届河南省百校联盟高三12月教学质量监测（2016

2016-2017 学年普通高中高三教学质量监测 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合    2| 2 3 0 , | 2 1RA x x x C B x x x       或 ，则集合 A B  （ ） A． 1,3 B． 1,1 C．  1,1 D． 1,3 2. 若   20171 3z i i  ，则复数 z 的共轭复数为（ ） A．3 10 10 i B． 3 10 10 i  C．3 10 10 i D． 3 10 10 i  3. 由表数据求得 ,x y 之间的线性回归方程为  155y bx  . x 196 197 200 203 204 y 1 3 6 7 8 则下列说法正确的是（ ） A．x 每增加一个单位， y 约增加 0.8个单位 B．x 每增加一个单位， y 约减少 0.8 个单位 C． x 每增加一个单位， y 约增加155个单位 D． x 每增加一个单 位， y 约减少155个单位 4. 已知实数 ,x y 满足 2 6 0 1 32 4 12 x y y x x y          ，则 3 2 yz x   的取值范围为（ ） A． 1, 2      B． 1, 3      C. 1 1,2 3      D． 1 ,3     5. 朱载堉(1536—1611) ，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作 《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八 度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的頻率之比完全相等，亦你“十二等程律”， 即一个八度13个音，相邻两个音之间的頻率之比相等，且最后一个音是最初那个音频率的 2 倍，设第三个音的频率为 1f ，第七个音的频率为 2f ，则 2 1 f f  （ ） A． 3 2 B． 11 2 C. 12 2 D． 6 2 6. 已知函数      2 42 , 2,0 2,41 xf x xx      ，则函数  f x 的最大值与最小值之和 为（ ） A．8 B． 4 C. 2 D． 0 7. 运行如图所示的程序框图，若输出的 S 值为127 ，则判断框中可以填 （ ） A． 10k  ？ B． 12k  ？ C. 14k  ？ D． 16k  ？ 8. 已知函数   sin 2f x x ，将函数  f x 的图象向右平移 6  个单位，再向上平移 3 2 个单 位移，得到 函数  g x 的图象，则当 0, 2x      时，函数  g x 的值域为 （ ） A． 3 3,2 2      B． 3 ,12      C. 30,1 2      D． 0, 3   9. 已知某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为 （ ） A． 80 3 B． 40 3 C. 160 3 D． 40 10. 已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的右支上存在一点 M ，使得 PQ MQ ，其 中    ,0 , ,0P b Q b ，若 tan 2 2MQP   ，则双曲线C 的渐近线方程为 （ ） A． 21 5y x  B． 41 5y x  C. 61 5y x  D． 9 5y x  11. 若对于任意的正实数 ,x y 都有 2 lny y xx e x me      成立，则实数 m 的取值范围为 （ ） A． 1 ,1e      B． 2 10, e      C. 0,1 D． 10, e      12. 已知数列 na 的通项公式为 2na n ，记数列 na 中不超过 m 的项的个数构成数列  nb ，则数列  nb 的前 m 项和 mS  （ ） A． 2 1,(2 3 2,( m m mS m m      为奇数) 为偶数) B． 2 1,(4 3 2,( m m mS m m      为奇数) 为偶数) C. 2 2 1,(2 ,(4 m m m S m m       为奇数) 为偶数) D． 2 2 1,(4 ,(4 m m m S m m       为奇数) 为偶数) 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知函数   2 12lnf x x x x    ，则曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程为 __________. 14. 已 知 椭 圆   2 2 1 2 2: 1 0x yC a ba b     与 椭 圆   2 2 2 2 2: 1 0y xC a ba b     相 交 于 , , ,A B C D 四点，若椭圆 1C 的一个焦点为  2,0F  ，且四边形 ABCD 的面积为16 3 ，则 椭圆 1C 的离心率 e 为 __________. 15. 已知正三棱锥 A BCD 内接于球O ，且球O 的体积为36 ，过三棱锥一侧棱以及球心 O 作截面得到的图形如图所示，则侧面三角形 ABC 的面积为_________. 16. 如图所示，已知直角梯形 ABCO 中， 90 , 1, 3, 2ABC BCO AB BC OC       ，设 ,OM mOA ON nOC     （其中 0 , 1m n  ）， 1 ,4mn G 为线段 MN 的中点，则 OG  的最小值为 _________. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）如图，在 ABC 中， 15sin 4C  ，且 , 82 C AB    ，若 12sin sinBAC AB B   . （1）求 ABC 的面积； （2）已知 D 在线段 BC 上，且 BAD CAD   ，求sin CAD 的值以及 AD 的值. 18.（本小题满分 12 分）已知函数    2 2 1 4 mf x x m x    ，现有一组数据（该组数 据量庞大），从中随机10个，绘制所得的茎叶图如图所示，且茎叶图中平的数据的平均数为 2 . （1）现从茎叶图的数据中任抽取任取 4 个数据分别替换 m 的值，求至少有 2 个数据,使得 函数  f x 没有零点的概率； （2）以频率估计概率，若从该组数据中随机抽取 4 个数据分别替换 m 的值，记使得函数  f x 没有零点的个数为 ，求 的分布列及数学期望、方差. 19.（本小题满分 12 分）已知正方形 1 1BCC B ，如图（1）所示， E 是线段 1CC 的中点，现 以 1CC 为轴，将正方形 1 1BCC B 旋转到 1 1ACC A 使得 2AB AC ，得到的图形如图（2） 所示，连接 1 1 1 1 1 1, , , , , ,AB A B AE B E AB B C BC . （1）证明: 1BC  平面 1AB C ； （2）求二面角 1E AB C  的大小. （1） （2） 20.（本小题满分 12 分）已知抛物线  2: 2 0C y px p  的焦点 F 与椭圆 2 2 ': 16 5 x yC   的一个焦点重合，点  0 ,2A x 在抛物线上，过焦点 F 的直线l 交抛物线于 ,M N 两点. （1）求抛物线C 的方程以及 AF 的值； （2）记抛物线C 的准线与 x 轴交于点 B ，若 2 2, 40MF FN BM BN    ，求实数  的 值. 21.（本小题满分 12 分）已知函数    2 2ln xe af x a x a Rx x     . （1）当 a e  时，讨论函数  f x 的单调性； （2）若  f x 存在三个不同的极值点，分别为 1 2, ,2x x ，且 1 20 2x x   ，求实数 a 的取 值范围, 并证明: 1 2 1x x  . 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 1 cos (sin x y       为参数），曲线 2C 的普通 方程为 2 2 116 4 x y  ,以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 1C 的普通方程和 2C 的极坐标方程； （2）若 ,A B 是曲线 2C 上的两点，且 OA OB ，求 2 2 1 1 OA OB  的值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数   4 1f x x x    ，若不等式   3f x  的解集为 P . （1）求 P ； （2）若 ,a b P ，且 1a b  ，证明:   2 1 1 91a b a b    . 山西省孝义市九校 2017 届高三上学期教学质量监测（三模） 数学（文）试题参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1-5. CDABA 6-10. ABCBB 11-12. DD 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 1 0x y   14. 2 2 15. 9 15 4 16. 3 2 三、解答题 17.解：（1）记 15, , sin 4AC b BC a C   ，且 2 C   ，故 2 1cos 1 sin ; 12sin sin4C C BAC AB B        ，且 8AB  ，故 12sin 8sinBAC B  ，即3 2a b ，在 ABC 中， 2 2 2 2 2 29 2 12 cos 2 64 44 2 4 a ac a b ab C a a a          ，解得 4a  ，又3 2a b ， 故 6b  ；故 ABC 的面积 1 1 15sin 4 6 3 152 2 4S ab C      . （2）依题意， 2 2 2 27cos ,cos 1 2sin2 8 b c aBAC BAC DACbc         ，即 1sin 4CAD  ，故   1 1 15 15 7sin sin 4 4 4 4 8ADC DAC C              ，故 对于函数    2 2 1 , 04 mf x x m x      ，解得 1 22 m  ；则茎叶图中，有 4 个数 据满足 1 22 m  ，故所求概率 4 3 1 6 6 4 4 4 10 10 1 8 231 1 14 21 42 C C CP C C        . （2）由（1）可知任取1个数据，能够使得函数  f x 没有零点的概率 2 5P  ；故 的可能 取值为 0,1,2,3,4 ；则     4 3 1 4 3 81 2 3 2160 , 15 625 5 5 625P P C                   ,       2 2 3 4 1 3 4 4 2 3 216 2 3 96 2 162 , 3 , 4 ,5 5 625 5 5 625 5 625P C P C P                                      故所求分布列为:  0 1 2 3 4 P 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 因为 24, 5B      ，故    2 8 2 3 244 , 45 5 5 5 25E D        . 19.解：（1）因为 2 2AC BC AB  ,故 2 2 2AC BC AB  ，故 AC BC ,；因为棱柱 1 1 1ABC A B C 为直棱柱，故 1CC  平面 ,ABC AC  平面 ABC ,故 1 1,AC CC BC CC C   ，故 AC  平面 1 1 1,BCC B BC  平面 1 1BCC B ，故 1AC BC ；又因为 1BC CC ，故 1 1 1;B C BC AC B C C   ，故 1BC  平面 1AB C . (2）以C 为坐标原点，CA 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为 y 轴， 1CC 所在直线为 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz ，不妨设 2AC  ，则            1 10,0,0 , 2,0,0 , 0,2,2 , 0,0,2 , 0,2,0 , 0,0,1C A B C B E ,则      1 12,0,1 , 2,2,2 , 0, 2,2AE AB BC        ，易知， 1BC  平面  1 1, 0, 2,2AB C BC   ，则平面 1AB C 的一个法向量  0, 1,1m   ，设  , ,1n x y 是平面 1AB E 的一个法向量，则 1 0 2 1 0, 2 2 2 00 n AE x x yn AB                  ，得 1 1, ,12 2n       ，所以 2 2 1 1 32cos 21 12 12 2 m n m n m n                        ,因为二面角 1E AB C  为锐角，故 二面角 1E AB C  的大小为30 . 20.解：（1）依题意，椭圆 2 2 ': 16 5 x yC   中， 2 26, 5a b  ，故 2 2 2 1c a b   ，故  1,0F ， 故 12 p  ， 则 2 4p  ，故抛物线 C 的方程为 2 4y x ，将  0 ,2A x 代人 2 4y x ，解得 0 1x  ，故 1 22 pAF    . （2）依题意，  1,0F ,设 : 1l x my  ，设    1 1 2 2, , ,M x y N x y ，联立方程 2 4 1 y x x my      ， 消去 x ，得 2 4 4 0y my   . 1 2 1 2 4 4 y y m y y     ,① 且 1 1 2 2 1 1 x my x my      ，又 MF FN  ，则    1 1 2 21 , 1,x y x y    ，即 1 2y y  ，代人 ①得   2 2 2 1 4 4 y m y       ，消去 2y 得 2 14 2m     ，易得  1,0B  ，则    1 1 2 21, , 1,BM x y BN x y     ，则      2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2BM BN BM BN x y x y x x x x y y                      2 2 2 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2 2my my my my y y              2 2 2 1 2 1 21 4 8m y y m y y        2 2 4 21 16 8 4 4 8 16 40 16m m m m m m        .由 4 216 40 16 40m m   ，解得 2 1 2m  ， 故 2 3   . 21.解：（1）        3 2 3 22 2' xx x e axx e a af x x x x x      . ①当 0a  时， 30, 0xe ax x   ，所以 当 0 2x  时，    ' 0,f x f x 单调递减，当 2x  时，    ' 0,f x f x 单调递增.② 当 0e a   时，令   xh x e ax  ，则  ' xh x e a  ，令  ' 0h x  ，得  lnx a  ，故  h x 在   0,ln a 上单调递减，在   ln ,a  上单调递增，     ln ln ln , 0, 0 1a ah a a a a a e ae e              ，即   ln 0h a  ，所 以当 0e a   时， 0xe ax  恒成立，故  f x 在  0,2 上单调递减，在 2, 上单调 递增，综上，当 a e  时，  f x 在  0,2 上单调递减，在 2, 上单调递增. （2）由（1）知  h x 在   0,ln a 上单调递减，在   ln ,a  上单调递增，若要   0h x  的两个不同根为 1 2,x x 且 1 20 2x x   ，则必有          0 0 2 0 ln 0 0 ln 2 h h h a a           ，解得 2 ,2 e a e    由     1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 x x x x h x e ax e ax h x e ax e ax                   ，两边取对数得     1 1 2 2 ln ln ln ln x a x x a x       ，两式 相加得  1 2 1 22ln lnx x a x x    ，故要证 1 2 1x x  ，只需证明  1 2 2lnx x a   即可.易 知  1 2lnx a x   ，设       2lng x h x h a x    ，其中     2 0 ln , ' 2 2 2 0x x ax a g x e a a ae          ，故  g x 在   0,ln a x  上单调 递增，故     ln 0g x g a   ，故        2ln 0 lnh x h a x x a      ，令 1x x 得         1 1 1 22ln , 0h x h a x h x h x     ，故     2 12lnh x h a x   .又因为     2 1,2ln ln ,x a x a     ，且  h x 在   ln ,a  上单调递增，因此有  2 12lnx a x   ，即  1 2 2lnx x a   成立，原命题得证. 22.解：（1）依题意， 曲线 1C 的普通方程为 2 21 1x y   ，即 2 22 0x x y   ，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 2 2cos 4 sin 16     （只要写出 ,  的关系式均给分）. （2）曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 2 2cos sin 116 4      ，设  1 2, , , 2A B        ，代 人得 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2cos sin sin cos1, 116 4 16 4            ，故 2 2 2 2 2 2 1 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 1 cos sin sin cos 5 1 1 5,16 4 16 4 16 16OA OB                      . 23.解：（1）   5, 4 2 3, 4 1 5, 1 x f x x x x           ，则当 4x   时， 5 3  不成立，当 4 1x   时， 2 3 3x   ，解得 0 1x  ；当 1x  时， 5 3 成立，故  | 0P x x  . （2）     2 2 0, , 2 4 a b a ba b a a b a             ，当且仅当 2b a 时取等号，故      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 11 1 4 1 4 11 5 91 1 1 1 b bb ba b a b b b b b b b                     ，当且仅当  2 2 2 2 2 4 1 1 b a b b b b      ，即 6 6,6 3a b  时取等号.