2017-2018学年福建省宁德市高二上学期期末数学理试题（解析版）

2017-2018学年福建省宁德市高二上学期期末数学理试题（解析版）

宁德市2017-2018学年度第一学期期末高二质量检测 数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知命题，那么命题为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为命题 的否定为 ，所以为，选A.‎ ‎2. 已知中，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ,选C.‎ ‎3. 已知，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时；当时；当时；只有D成立，所以选D.‎ ‎4. 若实数满足，则的最大值是（ ）‎ A. -9 B. 3 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】作可行域如图，则直线过点A时取最大值5，选C.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎5. 空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，选B.‎ ‎6. 命题为假命题，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】因为命题为假命题，所以 ，选C.‎ ‎7. 中，已知，则为（ ）‎ A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 有一个内角为30°的直角三角形 D. 有一个内角为30°的等腰三角形 ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以 ,即为等腰直角三角形，选B.‎ ‎8. 以椭圆的焦点为顶点，同时以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎9. 如图，正方体中，下面结论错误的是（ ）‎ A. 平面 B. 异面直线与所成的角为45°‎ C. 平面 D. 与平面所成的角为30°‎ ‎【答案】D ‎【解析】//,所以//平面；因为//,所以异面直线与所成的角为 45°;因为，所以平面;与平面所成的角为30°,选D.‎ ‎10. 在等差数列中，，，的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. 3 D. -3‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ ‎ ，选B.‎ ‎11. 已知的三个内角的对边分别为，角的大小依次成等差数列，且，若函数的值域是，则（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为角的大小依次成等差数列，所以 ‎ ‎ ‎ 因为函数的值域是，所以 ‎ ‎ 选A.‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎12. 过双曲线的右焦点作平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点，若点在圆心为，半径为的圆内，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】不妨设过平行于一条渐近线的直线为 ，与 联立解得 ‎ 因为点在圆心为，半径为的圆内，所以 ，选A.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知椭圆，分别为椭圆的两焦点，点椭圆在椭圆上，且，则的面积为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎14. 若数列的通项公式为，则其前项和__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为 ，所以 ‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎15. 若，，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎16. 将大于1的正整数拆分成两个正整数的和（如），求出这两个正整数的乘积，再将拆分出来的大于1的正整数拆分成两个正整数的和，求出这两个正整数的乘积，如此下去，直到不能再拆分为止，则所有这些乘积的和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】记满足条件所有这些乘积的和为y，当n=2时，2=1+1，则y=1，当n=3时，3=2+1，2=1+1，则y=3，当n=4时，4=3+1，3=2+1，2=1+1，则y=6当n=5时，5=4+1，4=3+1，3=2+1，2=1+1，则y=10，…故y=1+2+3+…+（n-1）=.‎ 故答案为 点睛：本题根据题意进行合情推理，抓住规律，此问题转化为数列求和即可得解.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 已知等比数列的各项均为正数，，；‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据等比数列通项公式列关于关于首项与公比的方程组，解得首项与公比，最后代入通项公式（2）先化简，再根据错位相减法求和，求和时注意项的符号，项的个数.‎ 试题解析：（1）设数列的公比，‎ 由，‎ 得，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 相减得 ‎∴‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎18. 设命题：实数满足，命题：实数满足；‎ ‎（1）当，为真命题时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若的必要不充分条件是，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 或 (2) 或 ‎【解析】试题分析：（1）先解指数不等式得命题为真时的取值范围，解一元二次不等式得命题为真时的取值范围，最后求并集得结果（2）根据条件得p时q真子集，根据二次函数图像可得实数满足的条件，解不等式可得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）命题：实数满足，得实数满足 当时，命题：实数满足，‎ ‎∴或，‎ 由于为真命题，∴或 ‎（2）因为的必要不充分条件是，‎ ‎∴且 又∵∴‎ 当时，命题：实数满足或 ‎∴或∴‎ 当时，命题：实数满足或 ‎∴或∴‎ 综上所述：或 ‎19. 在平面直角坐标系中，动点（其中）到定点的距离比到轴的距离大1.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，点在直线上，垂直于轴，证明直线过坐标原点.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】试题分析：（1）将条件用坐标表示，化简可得动点的轨迹的方程（2）先设点坐标，利用斜率公式可得斜率与的斜率，将结论转化为证明坐标关系，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可证结果 试题解析：（1）动点（其中）到轴的距离为，到轴的距离为 ‎∴，‎ 又，∴‎ 得轨迹的方程：‎ ‎（2）设，，由得 ‎∴，，①‎ 点在直线上，轴，∴‎ 又在抛物线上，∴‎ ‎∴斜率，的斜率，‎ 由①，∴直线过原点.‎ ‎20. 已知直角梯形，如图（1）所示，，，，，连接，将沿折起，使得平面平面，得到几何体，如图（2）所示.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的大小.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 45°‎ 试题解析：（1）证明：如图（1），过作交于，得正方形，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 如图（2），∵平面平面，且两面交线为，平面 ‎∴平面 ‎（2）解：取中点，连接，则平面 ‎∵分别为中点 ‎∴‎ ‎∴‎ 以为原点，所在的直线为轴、轴、轴，建立如图坐标系，‎ ‎，，，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 设为平面的一个法向量，则 取，则 ‎∴‎ 又为平面的一个法向量 ‎∴‎ ‎∵二面角为锐角 ‎∴二面角为45°.‎ ‎21. 已知分别是海岸线上的三个集镇，位于的正南方向处，位于的北偏东60°方向处；‎ ‎（1）为了缓解集镇的交通压力，拟在海岸线上分别修建码头，开辟水上直达航线，使，.勘测时发现以为圆心，为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行，问此航线是否影响船只航行？‎ ‎（2）为了发展经济需要，政府计划填海造陆，建造一个商业区（如图四边形所示），其中，，，求该商业区的面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 此航线会影响船只航线(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）即判断O到直线MN距离与圆半径大小，而距离可转化为三角形底边上的高，因此先根据余弦定理求MN，再根据三角形面积公式求高，最后根据大小关系作判断（2）根据三角形面积公式求两三角形面积，其和为商业区的面积，化简后根据正切函数单调性求值域 试题解析：（1）由已知，得，，‎ 由余弦定理，得 ‎∴‎ 设的边上的高为，则 ‎∴‎ ‎∴此航线会影响船只航线.‎ ‎（2）由已知，得 在中，∵，‎ 即 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵在单调递增，且 ‎，‎ ‎∴‎ ‎22. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上离心率，且经过点；‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过椭圆的焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于和，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）将点坐标代入椭圆方程，并根据离心率化简可得，‎ ‎（2）先设直线点斜式方程，与椭圆方程联立方程组，根据韦达定理以及弦长公式可得，，根据解析式可得等量关系，再根据基本不等式求最小值 试题解析：（1）依题意，设椭圆方程为，则 由，得，‎ 将点代入得，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）得椭圆的上焦点，‎ 当弦垂直或平行轴时，‎ 当弦不垂直或平行轴时，‎ 设方程，则方程，‎ 设，，由得 ‎∴，，①‎ 同理，‎ 得 ‎∴‎ ‎∴，‎ 当且仅当时取等号，∴最小值.‎ 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.‎