高中数学选修2-2课件1_1_1&1_1_2

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第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 问题 引航 1. 平均变化率的定义是什么？怎么求平均变化率？ 2. 瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？ 3. 如何用定义求函数在某一点处的导数？ 1. 函数 y=f(x) 从 x 1 到 x 2 的平均变化率 (1) 定义式： =____________. (2) 实质： _______ 的改变量与 _______ 的改变量之比 . (3) 意义：刻画函数值在区间［ x 1 ， x 2 ］上变化的 _____. 函数值 自变量 快慢 2. 函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的瞬时变化率 定义式 _______________ 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时， ___________ 趋近的值 作用 刻画函数在 _______ 处变化的快慢 平均变化率 某一点 3. 导数的概念 定义式 _______________ 记法 _______ 或 实质 函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的导数就是 y=f(x) 在 x=x 0 处的 ___________ f′(x 0 ) 瞬时变化率 1 ．判一判 ( 正确的打“√”，错误的打“ ×”) (1) 函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的导数值与 Δx 值的正、负无关 .( ) (2) 瞬时变化率是刻画某函数值在区间［ x 1 ， x 2 ］上变化快慢的物理量 .( ) (3) 在导数的定义中， Δx ， Δy 都不可能为零 .( ) 【 解析 】 (1) 正确 . 函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的导数值是一个固定值，与 Δx 值的正、负无关， Δx 值可正，可负 . (2) 错误 . 刻画某函数值在区间［ x 1 ， x 2 ］上变化快慢的是平均变化率 . (3) 错误 .Δx 不能为零， Δy 可能为零 . 答案： (1)√ (2)× (3)× 2 ．做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) 自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)=2x+1 的函数值的增量与相应自变量的增量之比是 _______. (2) 函数 f(x)=x 2 在 x=1 处的瞬时变化率是 ________. (3) 函数 y=f(x)= 在 x=-1 处的导数可表示为 ________. 【 解析 】 (1) 自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)=2x+1 的函数值的增量为 Δy=5-3=2 ，故增量之比是 2. 答案： 2 (2) 函数 f(x)=x 2 在 x=1 处的瞬时变化率是 答案： 2 (3) 函数 y=f(x)= 在 x=-1 处的导数可表示为 f′(-1) 或 y′| x=-1 . 答案： f ′ (-1) 或 y ′| x=-1 . 【 要点探究 】 知识点 1 函数 y=f(x) 从 x 1 到 x 2 的平均变化率 1. 对平均变化率的四点说明 (1) 函数 f(x) 在 x 1 处有定义 . (2)Δx 是变量 x 2 在 x 1 处的改变量，且 x 2 是 x 1 附近的任意一点，即 Δx=x 2 -x 1 ≠0 ，但 Δx 可以为正，也可以为负 . (3) 注意自变量与函数值的对应关系，公式中若 Δx=x 2 -x 1 ，则 Δy=f(x 2 )-f(x 1 ) ；若 Δx=x 1 -x 2 ，则 Δy=f(x 1 )-f(x 2 ). (4) 在公式 中，当 x 1 取定 值， Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值， x 1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的 . 特别地，当函数 f(x) 为常数函数时， Δy=0 ，则 =0. 2. 对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x) 在区间［ x 1 ， x 2 ］上的平均变化率是曲线 y=f(x) 在 区间［ x 1 ， x 2 ］上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2) 平均变化率的几何意义就是函数 y=f(x) 图象上两点 P 1 (x 1 ， f(x 1 )) ， P 2 (x 2 ， f(x 2 )) 所在直线的斜率 . (3) 平均变化率的物理意义是把位移 s 看成时间 t 的函数 s=s(t), 在时间段［ t 1 ， t 2 ］上的平均速度，即 【 知识拓展 】 认识两个增量 正确理解平均变化率的概念，首先要把握好两个增量 . 一是自变量的增量 . 习惯上用 Δx 表示 x 2 -x 1 ，即 Δx=x 2 -x 1 .Δx 看作自变量相对于 x 1 的一个增量 . 二是函数值的增量 Δy=f(x 2 )-f(x 1 ). 如上所说，令 Δx=x 2 -x 1 ，则 Δy 又可写为： f(x 1 +Δx)-f(x 1 ) ，此即函数值在 x 1 处的增量 . 【 微思考 】 (1) 函数 f(x) 在区间［ x 1 ， x 2 ］上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x) 在区间［ x 1 ， x 2 ］上的“陡峭”程度有什么关系 ? 提示： 平均变化率的绝对值越大，曲线 y=f(x) 在区间［ x 1 ， x 2 ］上越 “ 陡峭 ” ，反之亦然 . (2) 平均变化率可以是零吗 ? 举例说明 . 提示： 可以是零，如函数 f(x)=a(a 为常数 ). 【 即时练 】 1. 自变量 x 从 x 0 变到 x 1 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A. 在区间［ x 0 ， x 1 ］上的平均变化率 B. 在 x 0 处的变化率 C. 在 x 1 处的变化量 D. 在区间［ x 0 ， x 1 ］上的导数 2. 函数 y=x 2 -2x+3 在 x=2 附近的平均变化率是 ________. 【 解析 】 1. 选 A. 当自变量由 x 0 变化到 x 1 时，自变量的 “ 增量 ” 为 x 1 -x 0 ，对应的函数值的 “ 增量 ” 为 f(x 1 )-f(x 0 ) ，比值 为函数在区间［ x 0 ， x 1 ］上的平均变化率．故选 A. 2. 因为 Δy=(2+Δx) 2 -2(2+Δx)+3-(2 2 -2×2+3)=(Δx) 2 +2Δx ， 所以 答案： Δx+2 知识点 2 函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的瞬时变化率及导数 1. 对瞬时速度的两点说明 (1) 瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率 . (2) 当 Δt 在变化中趋近于 0 时，比值 趋近于一个确定的常数，这时此常数称为 t 0 时刻的瞬时速度 . 2. 对瞬时变化率的两点说明 (1) 平均变化率与瞬时变化率的关系： ①区别：平均变化率刻画函数值在区间 [x 1 ， x 2 ] 上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x 0 点处变化的快慢； ②联系：当 Δx 趋于 0 时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x 0 处的瞬时变化率，它是一个固定值 . (2) “ Δx 无限趋近于 0 ” 的含义： Δx 趋于 0 的距离要多近有多近，即 |Δx-0| 可以小于给定的任意小的正数，且始终 Δx≠0. 3. 对导数概念的两点说明 (1) 当 Δx≠0 时，比值 的极限存在，则 f(x) 在点 x 0 处可导；若 的极限不存在，则 f(x) 在点 x 0 处不可导或无导数 . (2) 在点 x=x 0 处的导数的定义可变形为 f′(x 0 )= 或 f′(x 0 )= 4. 导数的物理意义 不同的物理量有着不同的物理意义 . 例如，变速直线运动路程 s=s(t) 的导数，就是速度，即 s′(t 0 )=v(t 0 ). 我们也常说路程函数 s(t) 对时间的导数就是速度 . 【 微思考 】 (1) 匀速直线运动的瞬时速度和平均速度相等吗 ? 提示： 因为匀速直线运动速度的瞬时变化率为零，所以瞬时速度和平均速度相等 . (2) 物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗 ? 提示： 不一定，物体的瞬时速度是指某一时刻的速度，而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度，当物体在某一时间段做匀速直线运动时，可以反映 . 【 即时练 】 1. 已知 f′(x 0 )=a ，则 的值为 ( ) A ． -2a B ． 2a C ． a D ． -a 2. 物体沿直线运动过程中，位移 s 与时间 t 的关系式是 s(t)= 3t 2 +t ．我们计算在 t 时刻的附近区间［ t ， t+Δt ］内的平均速 度 =________ ，当 Δt 趋近于 0 时，平均速度 趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到 t 时刻的瞬时速度 为 _________ ． 【 解析 】 1. 选 B. 若 f′(x 0 )=a ， 则 所以 2. 因为物体沿直线运动过程中，位移 s 与时间 t 的关系式是 s(t)=3t 2 +t ，所以在 t 时刻的附近区间［ t ， t+Δt ］内的平均速度 所以 s′(t)=6t+1. 答案： 6t+1+3Δt 6t+1 【 题型示范 】 类型一 求函数的平均变化率 【 典例 1】 (1)(2014 · 衡水高二检测 ) 函数 y=x 2 +1 在 [1 ， 1+Δx] 上的平均变化率是 ( 　　 ) A.2 　　　 B.2x 　　　 C.2+Δx 　　　 D.2+(Δx) 2 (2) 求 y=2x 2 +1 在 x 0 到 x 0 +Δx 之间的平均变化率，并求 x 0 =1 ， Δx= 时函数的平均变化率的值 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中函数 y=f(x) 在 [1 ， 1+Δx] 上自变量与函数值的改变量各是什么 ? 2. 题 (2) 中， Δy 的表达式是什么 ? 【 探究提示 】 1. 自变量的改变量 Δx=(1+Δx)-1 ，函数值的改变量 Δy=f(1+Δx)-f(1). 2.Δy 的表达式为 Δy=f(x 0 +Δx)-f(x 0 ). 【 自主解答 】 (1) 选 C. (2) 当自变量从 x 0 变到 x 0 +Δx 时，函数的平均变化率为 当 x 0 =1 ， Δx= 时，函数的平均变化率的值为 4×1+2× =5. 【 方法技巧 】 1. 求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量 Δx=x 2 -x 1 . 第二步，求函数值的增量 Δy=f(x 2 )-f(x 1 ). 第三步，求平均变化率 2. 求平均变化率的一个关注点 求点 x 0 附近的平均变化率，可用 的形式 . 【 变式训练 】 设函数 f(x)=x 2 -1 ，求： (1) 当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，自变量的增量 Δx. (2) 当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的增量 Δy. (3) 当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率 . 【 解析 】 (1)Δx=1.1-1=0.1. (2)Δy=(1.1 2 -1)-(1 2 -1)=0.21. (3) 【 补偿训练 】 已知自由落体运动的位移 s(m) 与时间 t(s) 的关系为 s=f(t)= gt 2 ，计算 t 从 3 秒到 3.1 秒、 3.001 秒、 3.0001 秒 … 各段时间内的平均速度 (g=9.8m/s 2 ). 【 解题指南 】 先求出 Δs ，再求出 即为各段时间内的平均速度 . 【 解析 】 设 Δt=(t+d)-t 指时间改变量， Δs=f(t+d)-f(t) 指位移改变量． 则 Δs=f(t+d)-f(t)= g(t+d) 2 - gt 2 =gtd+ gd 2 ， 所以 t 从 3 秒到 3.1 秒的平均速度 =29.89(m/s) ； t 从 3 秒到 3.001 秒的平均速度 =29.404 9(m/s) ； t 从 3 秒到 3.000 1 秒的平均速度 =29.400 49(m/s). 类型二 求瞬时速度 【 典例 2】 (1) 以初速度 v 0 (v 0 >0) 垂直上抛的物体， t 秒时的高度为 s(t)=v 0 t- gt 2 ，则物体在 t 0 时刻的瞬时速度为 ________. (2) 某物体的运动方程为 s=2t 3 ，则物体在第 t=1 时的瞬时速度是 ________. 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中运动物体的瞬时速度与平均速度有什么关系 ? 2. 题 (2) 中 Δs 如何计算 ? 【 探究提示 】 1. 运动物体在某一时刻的瞬时速度是这一时刻平均速度的极限 . 2.Δs=2(t+Δt) 3 -2t 3 . 【 自主解答 】 (1) 因为 Δs=v 0 (t 0 +Δt)- g(t 0 +Δt) 2 -(v 0 t 0 - gt 0 2 )=(v 0 -gt 0 )Δt- g(Δt) 2 ， 所以 =v 0 -gt 0 - gΔt ， 所以当 Δt 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 v 0 -gt 0 ， 故物体在时刻 t 0 的瞬时速度为 v 0 -gt 0 . 答案： v 0 -gt 0 (2)t=1 时， Δs=2(1+Δt) 3 -2×1 3 =2[1+(Δt) 3 +3Δt+3(Δt) 2 ]-2 =2+2(Δt) 3 +6Δt+6(Δt) 2 -2 =2(Δt) 3 +6(Δt) 2 +6Δt 所以物体在第 t=1 时的瞬时速度是 6. 答案： 6 【 延伸探究 】 若把题 (1) 中的“ v 0 ” 改为“ v 0 =20” ，求物体在 t=3 时刻的瞬时速度 . 【 解析 】 因为 Δs=20(3+Δt)- g(3+Δt) 2 -(20×3- ×3 2 g) =(20-3g)Δt- g(Δt) 2 ， 所以 所以当 Δt 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 20-3g ， 故物体在 t=3 时刻的瞬时速度为 20-3g. 【 方法技巧 】 1. 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1) 求时间改变量 Δt 和位移改变量 Δs=s(t 0 +Δt)-s(t 0 ). (2) 求平均速度 (3) 求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时， 无限趋近于常数 v ，即为瞬时速度 . 2. 求 ( 当 Δx 无限趋近于 0 时 ) 的极限的方法 (1) 在极限表达式中，可把 Δx 作为一个数来参与运算 . (2) 求出 的表达式后， Δx 无限趋近于 0 就是令 Δx=0 ，求出结果即可 . 【 变式训练 】 一个小球自由下落，它在下落 3 秒时的速度是多少？ 并说明它的意义 ( 重力加速度为 9.8 m/s 2 ). 【 解题指南 】 先求 Δs ，再求 ，然后求速度 . 【 解析 】 自由落体的运动公式是 s= gt 2 ( 其中 g 是重力加速度 ) ， Δs=s(3+Δt)-s(3)=4.9(3+Δt) 2 -4.9×3 2 =29.4Δt+4.9(Δt) 2 ， =29.4+4.9Δt. 所以 说明在第 3 秒附近小球以 29.4 m/s 的速率下降 . 【补偿训练】 (2014 · 潍坊高二检测 ) 有一个光滑斜面与水平桌面成 α 角，设有一质点在 t=0 时，从斜面的顶点 A 处开始由静止状态自由释放，如图所示 . 如果忽略摩擦力，斜面的长度 s=300cm ， α=65°. 求 T=0.1 ， 0.2 ， 0.3 ， … ， 1.0s 时质点的速度 . 【 解析 】 由于斜面的长度 s=300 cm ， α=65° ，则质点在斜面上运动时，它的加速度 a=gsin 65° ，又由位移公式 s= at 2 = gsin αt 2 ，取 s=300 ，得： 所以在 1 秒时质点仍在斜面上运动，所以 T=0.1 ， 0.2 ， 0.3 ， … ， 1.0 s 时质点的速度分别为： 0.1gsin 65° ， 0.2gsin 65° ， … ， gsin 65°. 类型三 求函数在某点处的导数 【 典例 3】 (1) 函数 y= 在 x=1 处的导数为 ______. (2)(2014· 邢台高二检测 ) 如果一个质点由定点 A 开始运动，在时间 t 的位移函数为 y=f(t)=t 3 +3 ， ①当 t 1 =4 ， Δt=0.01 时，求 Δy 和比值 ②求 t 1 =4 时的导数 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中，当 x=1 时， Δy 等于什么 ? 2. 题 (2) 中① Δy 如何计算？②计算 的值能不能将 Δt=0 直接代入 的化简式子中？ 【 探究提示 】 1. 当 x=1 时， 2.①Δy=f(t 1 +Δt)-f(t 1 ) ；②可以将 Δt=0 直接代入 的化简式子中进行计算 . 【 自主解答 】 (1)Δy= 所以 y′| x=1 = 答案： (2)①Δy=f(t 1 +Δt)-f(t 1 )=3t 1 2 · Δt+3t 1 · (Δt) 2 +(Δt) 3 ，故当 t 1 =4 ， Δt=0.01 时， Δy=0.481 201 ， =48.120 1. ② ［ 3t 1 2 +3t 1 · Δt+(Δt) 2 ］ = 3t 1 2 =48 ， 故函数 y=t 3 +3 在 t 1 =4 处的导数是 48 ，即 【 方法技巧 】 1. 求函数 y=f(x) 在点 x 0 处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限 . 2. 瞬时变化率的变形形式 =f′(x 0 ). 【 变式训练 】 若 则 f′(x 0 ) 等于 ____. 【 解析 】 =1 ， 所以 f′(x 0 )= 答案： 【 补偿训练 】 求函数 y=x- 在 x=1 处的导数． 【 解题指南 】 求 的极限时，要对 进行化简，确保 Δx 趋于 0 时 有意义 . 【 解析 】 因为 Δy=(1+Δx)- -(1- ) = 所以 当 Δx →0 时， → 2 ， 所以函数 y=x- 在 x=1 处的导数为 2. 【 易错误区 】 对导数的概念理解不清致误 【 典例 】 若函数 f(x) 在 x=a 的导数为 m ，那么 的值为 ________. 【 解析 】 = 2m+2m =4m. 答案： 4m 【 常见误区 】 错解 错因剖析 2m 阴影处不能正确地把已知条件转化为平均变化率的极限，误认为 导致错误 【 防范措施 】 弄清导数的含义 函数在某一点的导数，是该点函数平均变化率的极限，函数在某一点自变量的增量，既可以是正数，也可以是负数，导数是函数值的改变量与 “ 相应 ” 自变量改变量比值的极限，如本例中 与 均为函数 f(x) 在 x=a 处的导数的表达式 . 【 类题试解 】 若 f′(x 0 )=m ，则 =( ) 【 解析 】 选 B. 因为 = 所以选 B.