沪科版九年级数学上册第23章 解直角三角形 教学课件

沪科版九年级数学上册第23章 解直角三角形 教学课件

23.1 锐角的三角函数 第 23 章 解直角三角形 1. 锐角的三角函数 第 1 课时 正切 1. 理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点） 2. 能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算； ( 重点 ) 3. 了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题 . （难点） 学习目标 智者乐水，仁者乐山 图片欣赏 导入新课 思考： 衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？ 陡 陡意味着倾斜程度大！ 想一想 : 你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 铅直高度 水平宽度 梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为 倾斜角 从梯子的顶端 A 到墙角 C 的距离，称为梯子的 铅直高度 从梯子的底端 B 到墙角 C 的距离，称为梯子的 水平宽度 A C B 讲授新课 正切的定义 一 相关概念 问题 1: 你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 合作探究 1 A B C D E F 倾斜角越大 —— 梯子越陡 问题 2: 如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度 越小 ，梯子 越陡 当水平宽度一样，铅直高度 越大 ，梯子 越陡 甲 乙 问题 3: 如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的 比相等 时， 梯子 一样陡 3m 6m D E F C 2m B 4m A 问题 4: 如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的 比 越大 ，梯子 越陡 . 3m 2m 6m 5m A B C D E F 倾斜角 越大 ，梯子 越陡 . 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离 B 1 C 1 , 进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？ A C 1 C 2 B 2 B 1 合作探究 2 两个直角三角形相似 (1)Rt△ AB 1 C 1 和 Rt△ AB 2 C 2 有什么关系 ? (3) 如果改变 B 2 在梯子上的位置 ( 如 B 3 C 3 ) 呢 ? 思考： 由此你得出什么结论 ? A B 1 C 2 C 1 B 2 C 3 B 3 想一想 相等 相似 三角形的对应边相等 在 Rt△ABC 中 , 如果锐角 A 确定，那么∠ A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠ A 的 正切 , 记作 tanA, 即 A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 ┌ tanA= 归纳总结 结论： tanA 的值越大，梯子越陡 . 定义中的几点说明： 1. 初中阶段， 正切 是在 直角三角形 中定义的， ∠ A 是一个 锐角 . 2. tanA 是一个完整的符号，它表示∠A的正切 . 但∠BAC的正切表示为: t an∠BAC . ∠1的正切表示为: tan∠1 . 3. tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比 （ 注意顺序： ） . 4. tanA 不表示 “ tan” 乘以 “ A ” . 5. tanA 的大小只与 ∠ A 的大小有关，而与 直角三角形的边长 无关. A B C ┌ 锐角 A 的正切值可以等于 1 吗？为什么？可以大于 1 吗？ 对于锐角 A 的每一个确定的值， tan A 都有唯一的确定的值与它对应 . 解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大. 议一议 例 1 ： 下图表示两个自动扶梯 , 哪一个自动扶梯比较陡 ? 解 : 甲梯中 , β 6m ┐ 乙 8m α 5m ┌ 甲 13m 乙梯中 , ∵tanβ ＞ tanα,∴ 乙梯更陡 . 提示 : 在生活中 , 常用一个锐角的 正切 表示梯子的 倾斜程度 . 典例精析 1. 在 Rt△ABC 中， ∠ C= 90 ° ， AC=7 ， BC=5 ，则 tan A=______ ， tan B =______ ． 练一练 互余两锐角的正切值互为倒数 . 2. 下图中∠ ACB =90° ， CD ⊥ AB , 垂足为 D .指出∠ A 和∠ B 的对边、邻边. A B C D (1) tanA = = AC ( ) CD ( ) (2) tanB= = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC 4. 如图 , 在 Rt△ ABC 中 , 锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍 ,tan A 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 A B C ┌ C 3. 已知∠ A ,∠ B 为锐角， (1) 若∠ A =∠ B , 则 tan A tan B ; (2) 若 tan A =tan B , 则∠ A ∠ B . = = 正切通常也用来描述山坡的坡度 . 坡度、坡角 二 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡 . 例如， 有一山坡在水平方向上每前进 100m 就升高 60m, 那么山坡的 坡度 i ( 即 tanα) 就是 : 坡角 ：坡面与水平面的夹角 α 称为 坡角 ； 坡度（坡比） ：坡面 的 铅直高度与水平宽度的比称 为 坡度 i ( 或坡比 ), 即 坡度等于坡角的正切 . 100m 60m ┌ α i 概念学习 例 2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　) 解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3， B 【方法总结】 理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键． ∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)． 例 2 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C =90 °， AC =4 ， BC =3 ，求 tan A 和 tan B . B C A 解 B C A (1) 在 Rt△ABC 中∠ C=90° ， BC=5, AC=12,tanA=( ). (2) 在 Rt△ABC 中∠ C=90° ， BC=5, AB=13,tanA=( ),tanB=( ). (3) 在 Rt△ABC 中∠ C=90° ， BC=5,tanA= , AC=( ). 1. 完成下列填空： 当堂练习 2. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， △ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanA= （ ） A. B. C. D. D 这个图呢？ C A B C A B 3. 如图 ,P 是 的边 OA 上一点，点 P 的坐标为 ，则 =__________. M 记得构造直角三角形哦！ O P (12,5) A x y 4. 如图 , 某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B . 已知山顶 B 到山脚下的垂直距离是 55m, 求山坡的坡度 ( 结果精确到 0.001m). A B C ┌ 解： 5. 在等腰△ ABC 中 , AB = AC =13, BC =10, 求 tan B . 提示 : 过点 A 作 AD 垂直于 BC 于点 D . 求锐角三角函数时 , 勾股定理的运用是很重要的 . A C B ┌ D 解：如图，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D ， ∴在 Rt△ ABD 中， 易知 BD =5 ， AD =12. 6. 在 Rt△ ABC 中 ,∠ C =90°, AB =15,tan A = , 求 AC 和 BC . 4 k ┌ A C B 15 3 k 7. 如图 , 正方形 ABCD 的边长为 4, 点 M 在 BC 上 ,M 、 N 两点关于对角线 AC 对称 , 若 DM=1 ，求 tan∠ADN 的值 . A D B N M C 解：由正方形的性质可知， ∠ ADN= ∠ DNC ， BC= DC= 4 ， ∵ M 、 N 两点关于对角线 AC 对称 , ∴ DM =1 BN = DM =1. 如图，在平面直角坐标系中， P(x,y) 是第一象限内直线 y=-x+6 上的点 , 点 A(5,0) ， O 是坐标原点，△ PAO 的面积为 S. （ 1 ）求 S 与 x 的函数关系式； （ 2 ）当 S=10 时 , 求 tan∠PAO 的值 . M 能力提升 解： (1) 过点 P 作 PM ⊥ OA 于点 M ， （ 2 ）当 S=10 时 , 求 tan∠ PAO 的值 . M 解： 又 ∵ 点 P 在直线 y=-x+6 上， ∴x=2. ∴AM=OA-OM=5-2=3. 课堂小结 正切 定义 坡度 ∠ A 越大， tanA 越大 , 梯子越陡 与梯子倾斜程度的关系 23.1 锐角的三角函数 1. 锐角的三角函数 第 2 课时 正弦和余弦 1. 理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计 算；（重点、难点） 2. 在直角三角形中求正弦值、余弦值 . ( 重点 ) 学习目标 导入新课 回顾与思考 1. 分别求出图中∠ A ，∠ B 的正切值 . 2. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，当锐角 A 确定时，∠ A 的对边与邻边的比就随之确定 . 想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ A B C 邻边 b 对边 a 斜边 c 任意画 Rt△ ABC 和 Rt△ A'B'C' ， 使得∠ C ＝∠ C ' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A ' ＝ α ，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ A B C A' B' C' 讲授新课 正弦的定义 一 合作探究 在图中，由于∠ C ＝∠ C ' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A ' ＝ α ，所以 Rt△ ABC ∽Rt△ A ' B ' C ' 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠ A 的 对边 与 斜边 的比也是一个 固定值 ． A B C A' B' C' ∠ A 的对边与斜边的比叫做 ∠ A 的正弦 （ sine ），记作 sin A ， 即 A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠ A 的对边记作 a ∠ B 的对边记作 b ∠ C 的对边记作 c 概念学习 典例精析 例 1 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ B =90 °， AC =200 ， sin A= 0.6 ，求 BC 的长 . 解： 在 Rt △ ABC 中， 即 ∴ BC =200×0.6=120. A B C 变式： 在 Rt△ABC 中 ,∠C=90 ° ,BC=20, 求 :△ABC 的周长和面积 . 解 : 在 Rt△ABC 中 , 20 ┐ A B C 余弦的定义 二 合作探究 任意画 Rt△ ABC 和 Rt△ A'B'C' ， 使得∠ C ＝∠ C ' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A' ＝ α ，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ A B C A' B ' C ' A B C A' B ' C ' 在图中，由于∠ C ＝∠ C ' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A' ＝ α ，所以 Rt△ ABC ∽Rt△ A ' B ' C ' 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的 度数一定 时，不管三角形的大小如何，∠ A 的 邻边与斜边的比 也是一个 固定值 ． ∠ A 的邻边与斜边的比叫做 ∠ A 的余弦（ cosine ） ，记作 cos A ，即 A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠ A 的对边记作 a ∠ B 的对边记作 b ∠ C 的对边记作 c 概念学习 例 2 ： 如图 : 在等腰△ ABC 中 ,AB=AC=5,BC=6. 求 : sinB,cosB,tanB. 老师提示 : 过点 A 作 AD⊥BC 于 D. 5 5 6 A B C ┌ D 如图，梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关系吗？ A sinA 的值越大 , 梯子越 ____ ; cosA 的值越 ____ , 梯子越陡 . 陡 小 8 10 6 8 10 6 A 议一议 例 3 ： sin70° ， cos70° ， tan70° 的大小关系是 ( 　 ) A ． tan70° ＜ cos70° ＜ sin70° B ． cos70° ＜ tan70° ＜ sin70° C ． sin70° ＜ cos70° ＜ tan70° D ． cos70° ＜ sin70° ＜ tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70° ＜ 1 ， cos70° ＜ 1 ， tan70° ＞ 1. 又 cos70° ＝ sin20° ，锐角的正弦值随着角的增大而增大， ∴sin70° ＞ sin20° ＝ cos70°. 故选 D. 【方法总结】 当角度在 0°<∠ A <90° 间变化时， 0cos A >0. 当角度在 45° ＜ ∠ A ＜ 90° 间变化时， tan A ＞ 1. D 如图：在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， 正弦 余弦 归纳总结 定义中应该注意的几个问题 : 1.sinA,cosA,tanA 是在 直角三角形中定义 的 , ∠A 是锐角 ( 注意数形结合 , 构造直角三角形 ). 2.sinA,cosA,tanA 是一个 完整的符号 , 分别表示∠ A 的正弦 , 余弦 , 正切 ( 习惯省去“∠”号 ). 3.sinA,cosA,tanA 是 一个比值 . 注意比的顺序 . 且 sinA,cosA,tanA 均﹥ 0, 无单位 . 4.sinA,cosA,tanA 的大小 只与∠ A 的大小有关 , 而与直角三角形的边长无关 . 5. 角相等 , 则其 三角函数值相等 ； 两锐角的三角函数值相等 , 则这两个 锐角相等 . 例 4 ： 在 Rt△ ABC 中 , ∠ C =90 °, 如图 , 已知 AC =12, BC =5, 求 ∠ A 的各个三角函数 . ┌ A C B 12 5 求 :AB,sinB. 10 ┐ A B C 变式： 如图 : 在 Rt△ABC 中 ,∠C=90 0 ,AC=10, 思考 : 我们发现 sinA=cosB, 其中的内在联系你可否掌握 ? 例 5 ： 如图，在平面直角坐标系内有一点 P （ 3 ， 4 ），连接 OP , 求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的各个三角函数 . x y o Q (3,4) P α 解 过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q . 在 Rt △ PQO 中， OQ =3 ， QP =4 ，得 如图：在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， 归纳总结 sin A =cos B 1. 如图 , 在 Rt△ABC 中 , 锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍 ,sinA 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 2. 已知∠ A,∠B 为锐角 (1) 若∠ A=∠B, 则 sinA sinB; (2) 若 sinA=sinB, 则∠ A ∠B. A B C ┌ C = = 当堂练习 3. 如图 , ∠C=90°CD⊥AB. 4. 在上图中 , 若 BD=6,CD=12. 则 cosA=______. ┍ ┌ A C B D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CDBC ACAB ADAC 6. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， AB =10 ， BC ＝ 6 ，求 sin A 、 cos A 、 tan A 的值． 解：∵ 又∵ A B C 6 10 变式 1 ： 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， cos A ＝ ，求 sin A 、 tan A 的值． 解：∵ A B C 设 AC =15 k ，则 AB =17 k 所以 ∴ 变式 2 ： 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， AC ＝ 8 ， tan A ＝ ，求 sin A 、 cos B 的值． A B C 8 解：∵ 7 ．如图，在正方形 ABCD 中， M 是 AD 的中点， BE =3 AE ，求 sin∠ ECM . 解：设正方形 ABCD 的边长为 4 x ， ∵ M 是 AD 的中点， BE =3 AE ， ∴ AM ＝ DM ＝ 2 x,AE ＝ x,BE ＝ 3 x ． 由勾股定理可知， A M E D B C 7 ．如图，在正方形 ABCD 中， M 是 AD 的中点， BE =3 AE ，求 sin∠ ECM . A M E D B C 由勾股定理逆定理可知， △ EMC 为直角三角形 . 8 ．如图，在平面直角坐标系内， O 为原点，点 A 的坐标为 (10 ， 0) ，点 B 在第一象限内， BO =5 ， sin∠ BOA ＝ (1) 求点 B 的坐标； (2) 求 cos∠ BAO 的值． A B H 解： (1) 如图所示，作 BH ⊥ OA ， 垂足为 H ．在 Rt△ OHB 中， ∵ BO ＝ 5 ， sin∠ BOA ＝ , ∴ BH =3 ， OH ＝ 4 ， ∴ 点 B 的坐标为 (4 ， 3) ． 8 ．如图，在平面直角坐标系内， O 为原点，点 A 的坐标为 (10 ， 0) ，点 B 在第一象限内， BO =5 ， sin∠ BOA ＝ (2) 求 cos∠ BAO 的值． A B H (2)∵ OA ＝ 10 ， OH ＝ 4 ， ∴ AH ＝ 6 ． ∵ 在 Rt△ AHB 中， BH =3 ， 在 Rt△ ABC 中 = a b tan A = 课堂小结 23.1 锐角的三角函数 2.30° , 45° , 60° 角的三角函数值 第 1 课时 30° , 45° , 60° 角的三角函数值 1. 运用三角函数的概念，自主探索，求出 30° 、 45° 、 60° 角的三角函数值；（重点） 2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加 以运用 .( 难点 ) 学习目标 猜谜语 一对双胞胎，一个高，一个胖，   3 个头 , 尖尖角 , 我们学习少不了 思考： 你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？ 导入新课 情境引入 45° 45° 90 ° 60 ° 30 ° 90 ° 思考： 你能用所写的知识，算出图中表示角度的三角函数值吗？ 讲授新课 30 °、 45 °、 60 °角的三角函数值 一 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 30° 60° 45° 45° 合作探究 设 30° 所对的直角边长为 a ，那么斜边长为 2 a ， 另一条直角边长 = ∴ 30° 60° ∴ 30° 60° 设两条直角边长为 a ，则斜边长 = ∴ 45° 45° 30° 、 45° 、 60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 a 三角 函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 归纳： 1 例 1 求下列各式的值： 提示： cos 2 60 °表示 (cos 60 ° ) 2 ，即 (cos60 ° ) × (cos60 ° ). 解： cos 2 60 ° +sin 2 60 ° 典例精析 ( 1 ) cos 2 60 ° +sin 2 60 °； ( 2 ) 解： ( 3 ) 解：原式 ( 4 ) 解：原式 练一练 计算： ( 1 ) sin30 ° + cos45 °； 解：原式 = ( 2 ) sin 2 30 ° + cos 2 30 °－ tan45 ° . 解：原式 = 1. 通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系 . （ 互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系 ） 2. 观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在 0° ～ 90° 之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 . 增大（或减小） 减小（或增大） 两点反思 小试牛刀 : 1.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα= ____. 2.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A, 则tanA= ____. 3.若tanA=1，则锐角∠A= _____. 4. 在 Rt△ABC 中， sinB= , 则∠ B=_____. 5. sin α ﹤ cos α ，则锐角 α 取值范围（ ） A 30 °﹤ α ﹤ 45 ° B 0 °﹤ α ﹤ 45 ° C 45 °﹤ α ﹤ 60 ° D 0 °﹤ α ﹤ 90 ° B 由特殊三角函数值确定锐角度数 二 填一填 ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= 逆向思维 例 2 ： 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， ，求∠ A 的度数． 解： 在图中， A B C 典例精析 解： 在图中， A B O ∴ α = 60 ° . ∵ tan α = ， 如图， AO 是 圆锥的高， OB 是底面半径， AO = OB ，求 α 的度数 . 练一练 特殊三角函数值的运用 三 例 3 一个小孩荡秋千 , 秋千链子的长度为 2.5m, 当秋千向两边摆动时 , 摆角恰好为 60 ° , 且两边摆动的角度相同 , 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差 ( 结果精确到 0.01m). ∴ 最高位置与最低位置的高度差约为 0.34m. ∠ AOD OD =2.5m, A C O B D 解 : 如图 , 根据题意可知 , ∴ AC =2.5-2.165≈0.34(m). 例 4 已知α为锐角，且tanα是方程 x 2 +2 x -3=0的一个根，求2sin 2 α+cos 2 α - tan（α+15°）的值． 解：解方程 x 2 +2 x -3=0，得 x 1 =1， x 2 = - 3， ∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45° . ∴2sin 2 α+cos 2 α - 3 tan（α+15°） =2sin 2 45°+cos 2 45° - 3 tan60° 例 5 已知 △ ABC 中的 ∠ A 与 ∠ B 满足 (1 － tan A ) 2 ＋ |sin B － | ＝ 0 ，试判断 △ ABC 的形状． 解： ∵ (1 － tan A ) 2 ＋ | sin B － | ＝ 0 ， ∴ tan A ＝ 1 ， sin B ＝ ∴ ∠ A ＝ 45° ， ∠ B ＝ 60° ， ∠ C ＝ 180° － 45° － 60° ＝ 75° ， ∴ △ ABC 是锐角三角形． 练一练 已知： | tan B － | ＋ (2 sin A － ) 2 ＝ 0 ， 求 ∠ A ， ∠ B 的度数 . 解： ∵ | tan B － | ＋ (2 sin A － ) 2 ＝ 0 ， ∴ tan B ＝ ， sin A ＝ ∴ ∠ B ＝ 60 ° ， ∠ A ＝ 60°. 2. 在△ABC中，若 ，则∠C=（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 1. tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° D D 当堂练习 3. 已知 cos α ﹤ ，锐角 a 取值范围（ ） A 60 °﹤ α ﹤ 90 ° B 0 °﹤ α ﹤ 60 ° C 30 °﹤ α ﹤ 90 ° D 0 °﹤ α ﹤ 30 ° A 4 .求下列各式的值： （ 1 ） 1 － 2 sin30°cos30° （ 2 ） 3tan30° － tan45°+2sin60° （ 3 ） 解： （ 1 ） 1 － 2 sin30°cos30° （ 2 ） 3tan30° － tan45°+2sin60° 5 .如图，在△ ABC 中，∠ A =30° ， 求 AB . A B C D 解：过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ， ∠ A =30° ， 6 . 在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， 求∠ A 、∠ B 的度数． B A C 解： 由勾股定理 ∴ ∠ A =30° ∠ B = 90° － ∠ A = 90 °－ 30°= 60° D A B E 1.6m 20m 45° C 7. 升国旗时，小明站在操场上离国旗 20m 处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为 45° （如图所示），若小明双眼离地面 1.60m ，你能帮助小明求出旗杆 AB 的高度吗？ =20+1.6=21.6 （ m ） 30° 、 45° 、 60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 a 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 对于 sin α 与 tan α ，角度越大，函数值也越大； 对于 cos α ，角度越大，函数值越小. 课堂小结 23.1 锐角的三角函数 2.30° ， 45° ， 60° 角的三角函数值 第 2 课时 互余两角的三角函数 1. 理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；（重点） 2. 会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计算 .( 难点 ) 学习目标 30° 、 45° 、 60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 a 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 导入新课 回顾与思考 30° 、 45° 、 60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 a 三角 函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 1 回顾与思考 从上面的练习中我们不难发现： 你还能从中发现什么规律呢？ sin30°=cos60° sin60°=cos30° sin45°=cos45° 规律： 这些角的 正（余）弦的值 ，分别等于 它们余角的余（正）弦值 . 问题 这个规律是否适合任意一个锐角呢？你能够用所学的知识证明你的结论吗？ 提示： 使用三角函数的定义证明 . A C B c a b 讲授新课 互余两角的正弦、余弦值的关系 一 问题引导 在直角三角形中 , 若一个锐角确定 , 那么这个角的对边 , 邻边和斜边之间的比值也随之确定 . b A B C a ┌ c ∴ sin A = cos B , cos A = sin B . b A B C a ┌ c ∴ sin A = cos B ,cos A = sin B . ∵∠ A +∠ B =90° ， ∴∠ B =90° －∠ A ， 即 sin A = cos B = cos （ 90° －∠ A ）， cos A = sin B = sin （ 90° －∠ A ） . 试一试： 你能用文字叙述你发现的结论吗？ 任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值 . 归纳总结 几何语言： ∵∠ A +∠ B =90° ， ∴ sin A = cos B ， cos A = sin B . 例 1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sin A ＝ ，求cos B 的值 解析： 利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立． 典例精析 解 ∵∠ A +∠ B =90 °， ∴ cos B = cos (90 ° -∠ A ) = sin A = 例 2 已知cosα＝ ，α＋β＝90°，则cosβ＝(　　) C 解析： ∵cosα＝ ，α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα＝ .设β是一个直角三角形中的锐角，且sinβ＝ ， 设 b ＝3 k ， c ＝5 k ，则另一直角边的长度为 a ＝4 k ，∴cosβ = 利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系．将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边． 方法总结 下列式子中，不成立的是（ ） A．sin35°=cos55° B．sin30°+ sin45°= sin75° C． cos30° = sin60° D．sin 2 60°+cos 2 60°=1 B 练一练 互余两个锐角的正切值的关系 二 b A B C a ┌ c 在直角三角形中 , 若一个锐角确定 , 那么这个角 的对边和 邻边 之 间的比值也随之确定 . 结论： 互余两个锐角的正切值互为倒数 . 例 3 在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tanA，tanB是方程3 x 2 － tx ＋3＝0的两个根，则∠C＝________． 解析：∵tanA，tanB为方程3 x 2 － tx ＋3＝0的两根， ∠A，∠B是锐角． ∴tanA·tanB＝ 1. ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°. 90° 【方法总结】 利用tanA·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A与∠B之间的关系，从而求出∠C的大小． 解：∵在△ ABC 中，∠ C =90° ， tan A = ， ∴ tan B = . 又∵ sin A = ， ∴ cos B = sin A = . 1. 在△ ABC 中，∠ C =90° ， tan A = ， sin A = , 求 tan B ， cos B . 当堂练习 2. 计算： tan33°·tan34°·tan35° · tan55° · tan56° · tan57° 解 ：原式 = ( tan33°· tan57°)( tan34°· tan56° ) ( tan35°· tan55° ) =1 × 1 × 1 =1 互余两角的 三角函数 任意一个锐角的正（余）弦值，等于 它的余角的余（正）弦值 . 课堂小结 互余两个锐角的正切值互为倒数 . 23.1 锐角的三角函数 第 23 章 解直角三角形 3. 一般锐角的三角函数值 1. 复习并巩固锐角三角函数的相关知识 . 2. 学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算 . ( 重点 ) 3. 学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算 . （难点） 学习目标 导入新课 回顾与思考 30° 、 45° 、 60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 α 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α D A B E 1.6m 20m 42° C 问题 : 升国旗时，小明站在操场上离国旗 20m 处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为 42° （如图所示），若小明双眼离地面 1.60m ，你能帮助小明求出旗杆 AB 的高度吗？ 这里的 tan42° 是多少呢？ 讲授新课 用计算器求三角函数值 一 1.求 sin18° ． 第一步：按计算器 键， sin 第二步：输入角度值 18 ， 屏幕显示结果 sin18°=0.309 016 994 （也有的计算器是先输入角度再按函数名称键） . 第一步：按计算器 键， tan 2.求 tan30°36' . 第二步：输入角度值 30 ，分值 36 ( 可以使用 键 ) ， ° ＇ ″ 屏幕显示答案： 0.591 398 351 ； 第一种方法： 第二种方法： 第一步：按计算器 键， tan 第二步：输入角度值 30.6 （因为 30°36' ＝ 30.6° ） 屏幕显示答案： 0.591 398 351 . 第一种方法： 第二种方法： 例 1 ： 用计算器求下列各式的值 ( 精确到 0.0001) ： (1)cos34°35′ ；　　　 (2)tan66°15′17'' ； (3)sin47° ；　　 (4)sin18° ＋ cos55° － tan59°. 解：根据题意用计算器求出： (1) cos34°35′≈0.8233 ； (2)tan 66°15′17''≈2.2732 ； (3)sin47°≈0.7314 ； (4)sin18° ＋ cos55° － tan59°≈ － 0.7817. 典例精析 利用计算器求锐角的度数 二 如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角． 已知 sin A =0.5086 ，用计算器求锐角 A 可以按照下面方法操作： 还以以利用 键，进一步得到 ∠ A ＝ 30°34'14 ". 第一步：按计算器 键， 2nd F sin 第二步：然后输入函数值 0. 5086 屏幕显示答案： 30.57062136° ° ＇ ″ 2nd F 操作演示 例 2 ： 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 ∠ A ， ∠ B 的度数 ( 结果精确到 0.1°) ： (1)sin A ＝ 0.7 ， sin B ＝ 0.01 ； (2)cos A ＝ 0.15 ， cos B ＝ 0.8 ； (3)tan A ＝ 2.4 ， tan B ＝ 0.5. 解： (1) 由 sin A ＝ 0.7 ，得 ∠ A ≈44.4° ；由 sin B ＝ 0.01 ，得 ∠ B ≈0.6° ； (2) 由 cos A ＝ 0.15 ，得 ∠ A ≈81.4° ；由 cos B ＝ 0.8 ，得 ∠ B ≈36.9° ； (3) 由 tan A ＝ 2.4 ，得 ∠ A ≈67.4° ；由 tan B ＝ 0.5 ，得 ∠ B ≈26.6°. cos55°= cos70°= cos74°28 '= tan3°8 ' = tan80°25'43″= sin20°= sin35°= sin15°32 ' = 0.3420 0.3420 0.5735 0.5735 0.2678 0.2678 5.930 0.0547 角度增大 正弦值增大 余弦值减小 正切值增大 拓广探索 比一比，你能得出什么结论？ 正弦值随着角度的 增大 （或减小）而 增大 （或减小） 余弦值随着角度的 增大 （或减小）而 减小 （或增大） 正切值随着角度的 增大 （或减小）而 增大 （或减小） 归纳总结 例 3 ： 如图，从 A 地到 B 地的公路需经过 C 地，图中 AC ＝ 10 千米， ∠ CAB ＝ 25° ， ∠ CBA ＝ 45°. 因城市规划的需要，将在 A 、 B 两地之间修建一条笔直的公路． (1) 求改直后的公路 AB 的长； (2) 问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米 ( 精确到 0.1)? 利用三角函数解决实际问题 二 (1) 求改直后的公路 AB 的长； 解： (1) 过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ， ∵ AC ＝ 10 千米， ∠ CAB ＝ 25° ， ∴ CD ＝ sin∠ CAB · AC ＝ sin25°×10≈0.42×10 ＝ 4.2( 千米 ) ， AD ＝ cos∠ CAB · AC ＝ cos25°×10≈0.91×10 ＝ 9.1( 千米 ) ． ∵∠ CBA ＝ 45° ， ∴ BD ＝ CD ＝ 4.2( 千米 ) ， ∴ AB ＝ AD ＋ BD ＝ 9.1 ＋ 4.2 ＝ 13.3( 千米 ) ． 所以，改直后的公路 AB 的长约为 13.3 千米； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)? (2)∵ AC ＝ 10 千米， BC ＝ 5.9 千米， ∴ AC ＋ BC － AB ＝ 10 ＋ 5.9 － 13.3 ＝ 2.6( 千米 ) ． 所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约 2.6 千米． 【方法总结】 解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长． 例 4 ： 如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度 DE ， DE 所在直线与水平线 AN 垂直．他们在 A 处测得塔尖 D 的仰角为 45° ，再沿着射线 AN 方向前进 50 米到达 B 处，此时测得塔尖 D 的仰角 ∠ DBN ＝ 61.4° ，小山坡坡顶 E 的仰角 ∠ EBN ＝ 25.6°. 现在请你帮助课外活动小组算一算塔高 DE 大约是多少米 ( 结果精确到个位 ) ． 解：延长 DE 交 AB 延长线于点 F ，则 ∠ DFA ＝ 90°. ∵∠ A ＝ 45° ， ∴ AF ＝ DF . 设 EF ＝ x ， ∵tan25.6° ＝ ≈0.5 ， ∴ BF ＝ 2 x ，则 DF ＝ AF ＝ 50 ＋ 2 x ， 故 tan61.4° ＝ ＝ 1.8 ， 解得 x ≈31. 故 DE ＝ DF － EF ＝ 50 ＋ 31×2 － 31 ＝ 81( 米 ) ． 所以，塔高 DE 大约是 81 米． 解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 方法总结 当堂练习 1 . 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角： （ 1 ） sin A =0.627 5 ， sin B ＝ 0.054 7 ； （ 2 ） cos A ＝ 0.625 2 ， cos B ＝ 0.165 9 ； （ 3 ） tan A ＝ 4.842 5 ， tan B ＝ 0.881 6. ∠ B =38 ° 8″ ∠A =38 ° 51′57″ ∠ A =51 ° 18′11″ ∠ B =80 ° 27′2″ ∠ A =78 ° 19′58″ ∠ B =41 ° 23′58″ 2. 在Rt△ ABC 中，∠ C =90°，则下列式子定成立的是（　　） A．sin A =sin B B．cos A =cos B C．tan A =tan B D．sin A =cos B D 3. 已知：sin 2 32°+cos 2 α=1，则锐角α等于（　　） A．32° B．58° C．68° D．以上结论都不对 B A 4 .下列各式中一定成立的是（ ） A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15° C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48° < sin15° 课堂小结 三角函数的计算 用计算器求锐角的三角函数值或角的度数 不同的计算器操作步骤可能有所不同 利用计算器探索锐三角函数的新知 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） . 23.2 解直角三角形及其应用 第 1 课时 解直角三角形 1. 掌握解直角三角形的概念；（重点） 2. 掌握解直角三角形的依据并能熟练解题 . ( 重点、难点 ) 学习目标 A C B c b a (1) 三边之间的关系 : a 2 + b 2 =_____ ； (2) 锐角之间的关系：∠ A +∠ B =_____ ； (3) 边角之间的关系： sin A =_____ ， cos A =_____ ， tan A =_____ . 在 Rt△ ABC 中，共有六个元素（ 三条边，三个角 ），其中∠ C =90° ，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ c 2 90° 导入新课 复习引入 例1 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， , 求这个直角三角形的其他元素. 解：在 Rt △ ABC 中， a 2 + b 2 = c 2 , A B C 讲授新课 已知两边解直角三角形 一 典例精析 在 Rt △ ABC 中， 在如图的 Rt△ ABC 中 ，根 据 AC ＝ 2.4 ，斜边 AB ＝ 6 ，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 练一练 已知一边及一锐角解直角三角形 二 例2 如图， 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， ∠ B ＝ 42 ° 6' ， c =287.4, 解这个直角三角形 ( 精确到 0.1). 解： 在图中的 Rt△ ABC 中 ，根 据∠ A ＝ 75° ，斜边 AB ＝ 6 ，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 75° ） 练一练 事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有 一个是边 ），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素． A B a b c C 直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做 解直角三角形 ． 归纳总结 已知：如图 Rt△ABC 中，∠ C=90° ，∠ A=45° ， a =1 ，解这个直角三角形 . ∟ A B C b c a 练一练 已知：如图 Rt△ABC 中，∠ C=90° ， a =1 ， b = 1 ，解这个直角三角形 ∟ A B C b c a 变式 1 ： 已知：如图 Rt△ABC 中，∠ C=90° ， a =1 ， c = ，解这个直角三角形 ∟ A B C b c a 变式 2 ： 构造直角三角形解决问题 三 例3 如图，在△ ABC 中， ∠ B =30° ，∠ C =45° ， AC = 2 ， 求 BC . D A B C 解 ：过点 A 作 AD ⊥ BC 于 D . 在△ AC D 中，∠ C =45° ， AC = 2 ， ∴ CD = AD = sin C · AC =2sin45°= . 在△ A BD 中，∠ B =30° ， ∴ BD = ∴ BC = CD + BD = + 图① 解： ∵ cos∠ B = ， ∴ ∠ B =45°， 当△ ABC 为钝角三角形时，如图 ① ， ∵ AC =13，∴由勾股定理得 CD =5 ∴ BC = BD - CD =12 - 5=7； 当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论 . 例 4 在△ ABC 中， AB = ， AC =13，cos∠ B = ，求 BC 的长 . 图② 当△ ABC 为锐角三角形时，如图 ② ， BC = BD + CD =12+5=17 . ∴ BC 的长为 7 或 17. 解 如图作 AB 边上的高 CD. 在 Rt △ AC D 中， 当∠ A = 55 ° b = 20cm ， c = 30cm 时， 例 4 在△ ABC 中， ∠ A = 55 ° b = 20cm ， c = 30cm ，求三角形的面积 S △ A BC . A B C D 练一练 1. 在Rt△ ABC 中，∠ C =90°，sin A = ，BC=6，则 AB=（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 D 2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4， sinB＝ ，则菱形的周长是（　　） A．10 B．20 C．40 D．28 C 2. 如图，已知Rt△ ABC 中，斜边 BC 上的高 AD =3，cos B = ，则 AC 的长为（　　） A．3 B．3. 7 5 C．4.8 D．5 B 1. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C =90°，∠ B =30°， AB =8，则 BC 的长是（　　） D 当堂练习 3. 在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，根据下列条件解直角三角形； （ 1 ） a = 30 , b = 20 ; 解：根据勾股定 理得 A B C b= 20 a= 30 c (2) ∠ B ＝ 72° ， c = 14. A B C b a c= 14 解： 4. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC =6， ∠ BAC 的平分线 ，解这个直角三角形. D A B C 6 解： ∵ AD 平分 ∠ BAC ， 5. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C =90° ， cos A = ， BC = 5 ， 试求 AB 的长 . 解： A C B 设 ∴ AB 的长为 6. 如图，某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60° ，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米 ? 解：如图所示，依题意可知，当 ∠ B =60 0 时， 答：梯子的长至少 4.62 米 . C A B 解直角三角形 依据 解法 : 只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课堂小结 （ 2 ）两锐角之间的关系 ∠ A ＋∠ B ＝ 90° （ 3 ）边角之间的关系 （ 1 ）三边之间的关系 （勾股定理） A B a b c C 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 23.2 解直角三角形及其应用 第 2 课时 仰角与俯角问题 学习目标 1. 巩固解直角三角形有关知识 . ( 重点 ) 2. 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实 际问题，在解题过程中进一步 体会数形结合、转化、 方程的数学思想， 并从这些问题中归纳出常见的基 本模型及解题思路 . ( 重点、 难点 ) 导入新课 某探险者某天到达如 图所示的点 A 处时，他准 备估算出离他的目的地， 海拔为 3 500 m 的山峰顶点 B 处的水平距离 . 他能想出 一个可行的办法吗？ 通过这节课的学习，相信你也行 . ． A B ． ． 问题引入 讲授新课 解与仰俯角有关的问题 一 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做 仰角 ；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做 俯角 . 例 1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30° ，看这栋高楼底部的俯 角为 60° ，热气球与高楼的水平距离为 120m ，这栋高楼有多高（结果精确到 0.1m ）. A B C D α β 仰角 水平线 俯角 分析： 我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中， a =30° ， β =60 ° . 典例精析 Rt△ ABD 中， a =30° ， AD ＝ 120 ，所以利用解直角三角形的知识求出 BD 的长度 ；类似地可以求出 CD 的长度 ，进而求出 BC 的长度，即求出这栋楼的高度 . 解：如图， a = 30°, β = 60 ° ， AD ＝ 120 ． 答：这栋楼高约为 277.1m. A B C D α β 建筑物 BC 上有一旗杆 AB ，由距 BC 40m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54° ，观察底部 B 的仰角为 45° ，求旗杆的高度（精确到 0.1m ） . A B C D 40m 54° 45° A B C D 40m 54° 45° 解：在等腰 Rt △ BCD 中，∠ ACD =90° ， BC = DC =40m. 在 Rt△ ACD 中 ， ∴ AB = AC － BC =55.2 － 40=15.2 (m). 练一练 例 3 一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树 8 m 的E处 , 测得树顶的仰角∠ ACD = 52 °，已知测角器的架高 CE = 1.6m . 问树高 AB 为多少米？（精确到 0.1 m ） 解：在 Rt △ ACD 中，∠ ACD = 52 °， CD = EB = 8 m.由 tan ∠ ACD = ，得 AD = CD · tan ∠ ACD = 8 × tan52 ° = 8 × 1.2799 ≈ 10.2 （ m ）. 由 DB = CE = 1.6 m ，得 AB = AD+DB = 10.2+1.6=11.8 （ m ）. 答：树高 AB 为 11.8 m . 例 4 解决本章引言所提问题.如图，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度 AB ，因为不能直接到达塔底 B 处，他们采用在发射台院外与电视塔底 B 成一直线 的C,D 两处地面上，用测角器测得电视塔顶部 A 的仰角分别为45°和30°，同时量得 CD 为50 m.已知测角器高为1 m,问电视塔的高度为多少米？（精确到1 m） D 1 A B 1 B D C 1 C 30 ° 45 ° D 1 A B 1 B D C 1 C 30 ° 45 ° 解 设 AB 1 =xm. 在 Rt △ AC 1 B 1 中，由 ∠ AC 1 B 1 =45 °，得 C 1 B 1 =AB 1 . 在 Rt △ AC 1 B 1 中，由 ∠ AD 1 B 1 =30 °，得 ∴ AB = AB 1 + B 1 B ≈68+1=69(m) 答：电视塔的高度为 69m 如图，直升飞机在长 400 米的跨江大桥 AB 的上方 P 点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为 37° 和 45 ° ，求飞机的高度 . （结果取整数 . 参考数据：sin37°≈0.8， cos37 °≈0.6，tan 37°≈0.75） A B 37° 45° 400 米 P 练一练 A B O 37° 45° 400 米 P 设 PO = x 米， 在Rt△ POB 中，∠ PBO =45°， 在Rt△ POA 中，∠ PAB =37°， OB = PO = x 米 . 解得 x =1200 . 解：作 PO ⊥ AB 交 AB 的延长线于 O . 即 故飞机的高度为 1200 米 . 当堂练习 1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶 A 处，观测海平 面上一艘小船 B ，并测得它的俯角为45°，则船与观 测者之间的水平距离 BC =_________米. 2. 如图②，两建筑物 AB 和 CD 的水平距离为30米，从 A 点 测得 D 点的俯角为30°，测得 C 点的俯角为60°，则 建筑物 CD 的高为_____米. 100 图① B C A 图② B C A D 30 ° 60 ° 3. 为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树 15 米的 E 处，测得仰角∠ ACD =52° ，已知人的高度是 1.72 米， 则树高 ( 精确到 0.1 米） . A D B E C 20.9 米 4 . 如图，在电线杆上离地面高度5m的 C 点处引两根拉 线固定电线杆，一根拉线 AC 和地面成60°角，另一 根拉线 BC 和地面成45°角．则两根拉线的总长度为 m( 结果用带根号的数的形式表示) . 5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45° ，在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为 39° ．（ tan39 ° ≈0.81 ） (1) 求大楼与电视塔之间的距离 AC ； 解：由题意， AC ＝ AB ＝ 610 （米） . A E B C D 39° 45° A E B C D 39° 45° (2) 求大楼的高度 CD （精确到 1 米） . 故 BE ＝ DE tan39° ． ∵ CD ＝ AE ， ∴ CD ＝ AB － DE ·tan39° ＝ 610 － 610×tan39°≈116 （米） . 解： DE ＝ AC ＝ 610 （米）， 在 Rt△ BDE 中， tan∠ BDE ＝ . 45° 30° O B A 200 米 6. 如图，直升飞机在高为 200 米的大楼 AB 上方 P 点处， 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30° 和 45° ， 求飞机的高度 PO . U D P 答案：飞机的高度为 米. 课堂小结 利用仰俯角解直角三角形 仰角、俯角的概念 运用解直角三角形解决仰角、俯角问题 模型一 模型二 模型三 模型四 仰角、俯角问题的常见基本模型： A D B E C 23.2 解直角三角形及其应用 第 3 课时 方向角问题 1. 正确理解方向角的概念；（重点） 2. 能运用解直角三角形知识解决方向角的问题 . ( 难点 ) 学习目标 如图，一艘轮船从A点出发，航行路线为AC、CB，你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？ 导入新课 观察与思考 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90 °的角 , 叫做 方位角 . 如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 北偏东 30 ° 南偏西 45 ° 引例 如图，一船以 20 n mile/h 的中速度向东航行，在 A 处测得灯塔 C 在 北偏东 60° 方向上，继续航行 1 h 到达 B 处，再 测得灯塔 C 在北偏东 30° 方向上 . 已知 灯塔 C 四 周 10 n mile 内有暗礁，问这船继续向东航行，是否安全？ A C B 60° 与方向角有关的实际问题 讲授新课 D 【分析】 这船继续向东航行是否安全，取决于 灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 10 n mile . 北 东 解：由点 C 作 CD ⊥ A B , 设 CD = x , 则在 Rt△ ACD 中， 在 Rt△ BCD 中， 解得 所以，这船继续向东航行是安全的. A C B D 30° 60° 北 东 由 AB=AD - CD, 得 典例精析 例 1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile ）？ 65° 34° P B C A 解：如图 ，在 Rt△ APC 中， PC = PA ·cos （ 90° － 65° ） = 80×cos25° ≈80×0.91 =72.505. 在 Rt△ BPC 中，∠ B =34° ， 因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向 时，它距离灯塔 P 大约 130n mile ． 65° 34° P B C A 如图所示， A 、 B 两城市相距 200 km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 ( 即线段 AB ) ，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30 ° 和 B 城市的北偏西 45 ° 的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心， 100km 为半径的圆形区 域内，请问：计划修 筑的这条高速公路会 不会穿越保护区 ( 参考 数据： ≈1.732 ， ≈1.414 ) ． 练一练 200km 200km 解：过点 P 作 PC ⊥ AB ， C 是垂足． 则∠ APC ＝30°，∠ BPC ＝45°， AC ＝ PC ·tan30°， BC ＝ PC ·tan45°. ∵ AC ＋ BC ＝ AB ， ∴ PC · tan30°＋ PC · tan45°＝200， 即 PC ＋ PC ＝200， 解得 PC ≈126.8km＞100km. 答：计划修筑的这条高速公 路不会穿越保护区． C 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （ 1 ）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （ 2 ）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形； （ 3 ）得到数学问题的答案； （ 4 ）得到实际问题的答案． 方法归纳 例 2 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B，C间的距离是60km，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离(结果保留根号)． 分析： 此题针对点P的位置分两种情况讨论，即点P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上． 解：分两种情况： (1)如图①，在Rt△BDC中，CD＝30km，BC＝60km， ∴∠B＝30°. ∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°. ∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60° . 在 Rt△ ADC 中， ∵∠ A ＝ 45° ， ∴ AD ＝ DC ＝ 30km. (2)如图②，同理可求得 km， AD＝30km. 求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 方法总结 例 3 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？ 解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵ AD ＋ BD ＝ AB ， ∴在Rt△BCD中， ∴ AC ＋ BC ＝ 在Rt△ A CD中， 747 － 600 ＝ 147(km) ． 答：飞机的飞行路程比原来的路程 600km 远了 147km. 求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 方法总结 1 . 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方 向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方 向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M 在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯 塔距离最近的位置所需的时间是 ( ) A. 10 分钟 B. 15 分钟 C. 20 分钟 D. 25 分钟 B 当堂练习 2. 如图， C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向， C 岛在 B 岛的 北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A ， B 两岛的视角 ∠ ACB 等于 ． 90° 3 . 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方 向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北 方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南 偏东 43 °方向，则A、B两岛之间的距离为 ． ( 结果精确到0.1海里， 参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，tan43°=0.93 ) 33.5海里 4 . 如图有一个古镇建筑A，它周围800米内有古建筑， 乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北 偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时 测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变 修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？ D B A E 答案：AE= 米 . ＞ 800 ， 所以古建筑会遭到破坏 . 5. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线 l ( 如图 ) ．救生员甲在 A 处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B 处有人发出求救信号．他立即沿 AB 方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从 C 处入海，径直向 B 处游去．甲在乙入海 10 秒后赶到海岸线上的 D 处，再向 B 处游去． 若 CD ＝ 40 米， B 在 C 的北偏东 35° 方向，甲、乙的游泳速度都是 2 米 / 秒，则谁先到达 B 处？请说明理由 . 分析： 在 Rt△ CDB 中，利用三角函数即可求得 BC ， BD 的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可． ( 参考数据： sin55°≈0.82 ， cos55°≈0.57 ， tan55°≈1.43). 课堂小结 方向角： 指北方向或指南方向与目标方向线所成的小于 90° 的水平角，叫方向角 . 解 直角三角形的关键是 找到与已知和未知相关联的直角三角形 ，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系 . 23.2 解直角三角形及其应用 第 4 课时 坡度问题及一次函数 k 的几何意义 1. 理解并掌握坡度、坡比的定义； ( 重点 ) 2. 学会用坡度、坡比解决实际问题 .( 难点 ) 学习目标 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC ，问哪条路比较陡 ？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢 ？ A B C 观察与思考 导入新课 α l h i = h : l 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做 坡角 ，记作 α . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1∶ m 的形式，如 i =1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平长度 ( l ) 的比叫做坡面的 坡度 ( 或坡比 ) ， 记作 i ， 即 i = h : l . 坡面 水平面 讲授新课 与坡度、坡角有关的实际问题 知识回顾 3. 坡度与坡角的关系 即 坡度等于坡角的正切值 . α l h i = h : l 坡面 水平面 1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 α =___ 度 . 2. 斜坡的坡角是 45 ° ，则坡比是 _____. 3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是 _______. α l h 30 1 : 1 练一练 例 1 如图，一山坡的坡度为 i =1:2. 小刚从山脚 A 出发， 沿山坡向上走了 240m 到达点 C . 这座山坡的坡角是多 少度 ？ 小刚上升了多少米（角度精确到 0.01° ，长 度精确到 0.1m ） ？ i =1:2 典例精析 在 Rt △ ABC 中，∠ B =90 ° ，∠ A =26.57 ° ， AC =240m ， 解： 用 α 表示坡角的大小，由题意可得 因此 α ≈ 26.57°. 答：这座山坡的坡角约为 26.57° ，小刚上 升了约 107.3 m ． 从而 BC =240×sin26.57°≈107.3 （ m ）． 因此 例 2 铁路路基的横断面是四边形 ABCD ， AD ∥ BC ，路基宽 BC = 9.8m ，高 BE = 5.8m ，斜坡 AB 的坡度 i =1∶1.6 ，斜坡 CD 的坡度 i =1∶2.5 ，求：底宽 AB 和 斜坡的坡角 α 和 β ( 精确到 1°) ； A D B C i=1:2.5 5.8 9.8 α i=1:1.6 解： 过 C 作 CF ⊥ AD 于点 F ，得 CF = BE , EF = BC ,∠ A = α, ∠ B= β. β F ∴ AE =1.6 × 5.8=9.28(m), DF =2.5 × 5.8=14.5(m). ∴ AD = AE + EF + DF =9.28+9.8+14.5≈33.6(m). 答：铁路路基下底宽为 33.6m ，斜坡的坡角分别为 32 °和 21 ° E F A D B C i=1:2.5 5.8 9.8 α i=1:1.6 β 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 　　米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是3 0 °．请求出点B和点C的水平距离． 练一练 A C B D 30 ° 答案： 点B和点C的水平距离为 米. 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？ h h α α l l 探究归纳 我们设法 “化曲为直，以直代曲” ． 我们可以把山坡 “化整为零” 地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长 l 1 ，测出相应的仰角 α 1 ，这样就可以算出这段山坡的高度 h 1 = l 1 sin α 1 . h 1 α 1 l 1 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度 h 1 , h 2 ,…, h n , 然后我们再“积零为整”，把 h 1 , h 2 ,…, h n 相加，于是得到山高 h . 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容． 方法归纳 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度 h 时，只要测出仰角 a 和大坝的坡面长度 l ，就能算出 h = l sin a ，但是，当我们要测量如图所示的山高 h 时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角 a 和山坡长度 l . 化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略 x y o Q 1 Q 2 R P 1 ( x 1 ,y 1 ) α α P 2 ( x 2 ,y 2 ) 例 3: 已知：在直线 y = kx + b 上有任意两点 P 1 ( x 1 ,y 1 ), P 2 ( x 2 ,y 2 ) ， 这条直线向上方向与 x 轴正方向所夹的锐角为 α . 求证： 证明：由 α 是锐角，可知 直线 y = kx + b 是上升的，即函数 y = kx + b 的值随 x 值的增大而增大 . 如图， x 1 ＜ x 2 , 则 y 1 ＜ y 2 . 过点 P 1 , P 2 作 x 轴的垂线，垂足分别为 Q 1 , Q 2 , 再过 点 P 1 作 x 轴的平行线 P 1 R 交 P 2 Q 2 于点 R ，得 ∠ P 2 P 1 R=α . 在 Rt △ P 2 P 1 R 中， ∵ P 1 , P 2 都在直线 y = kx + b 上， 当堂练习 1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，坝高 BC=3m，则坡面AB的长度是 ( ) A. 9m B. 6m C. m D. m A C B B 2. 如图，某拦河坝截面的原设计方案为： AH ∥ BC ，坡角∠ ABC ＝ 74° ，坝顶到坝脚的距离 AB ＝ 6 m ．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为 55° ，由此，点 A 需向右平移至点 D ，请你计算 AD 的长 ( 精确到 0.1 m) ． 解：作 DE ⊥ AB ， CF ⊥ AB ， 垂足分别为 E 、 F ． 由题意可知 　 DE ＝ CF ＝ 4 ( 米 ) ， CD ＝ EF ＝ 12 ( 米 ) ． 4. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和 30° ， 求路基下底的宽 ( 精确到 0.1 米， ， ).   45° 30° 4 米 12 米 A B C D 在 Rt△ ADE 中， E F 在 Rt△ BCF 中，同理可得 因此 AB ＝ AE ＋ EF ＋ BF ≈4 ＋ 12 ＋ 6.93≈22.93 ( 米 ) ． 答： 路基下底的宽约为 22.93 米． ( 米 ). ( 米 ). 45° 30° 4 米 12 米 A B C D E F 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （ 1 ）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （ 2 ）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （ 3 ）得到数学问题的答案； （ 4 ）得到实际问题的答案． 课堂小结 小结与复习 第 23 章 解直角三角形 (2)∠ A 的余弦： cos A ＝ 　　　　　　 ＝ 　　　 ； (3)∠ A 的正切： tan A ＝ 　　　　　　 ＝ 　　　 . 要点梳理 1. 锐角三角函数 如图所示，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， a ， b ， c 分别是∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边． (1) ∠ A 的正弦： ∠A 的对边 斜边 sin A = ∠A 的邻边 斜边 ∠ A 的邻边 ∠A 的对边 sin30° ＝ 　　 ， sin45° ＝ 　　 ， sin60° ＝ 　　 ； cos30° ＝ 　　 ， cos45° ＝ 　　 ， cos60° ＝ 　　 ； tan30° ＝ 　　 ， tan45° ＝ 　　 ， tan60° ＝ 　　 . 2. 特殊角的三角函数 1 合作探究 (1) 在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， a ， b ， c 分别是∠ A ， ∠ B ， ∠ C 的对边． 三边关系： 　 　 ； 三角关系： __________________ ； 边角关系： sin A ＝ cos B ＝ _______ ， cos A ＝ sin B ＝ ____ ， tan A ＝ ____________ ， tan B ＝ ___________ . a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ∠ A ＝ 90° －∠ B 　 3. 解直角三角形 (2) 直角三角形可解的条件和解法 ◑条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素 ( 至少 有一个是边 ) ，就可以求出其余的 3 个未知元素． ◑解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出 另一锐角；知斜边，再用正弦 ( 或余弦 ) 求另两边； 知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股 定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边， 再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添 加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． (3) 互余两角的三角函数间的关系 sin α = ， cos α = _____________ ， sin 2 α + cos 2 α = . tan α · tan(90 °－ α ) = ___ . cos(90 °－ α ) sin(90 °－ α ) 1 1 对于 sin α 与 tan α ，角度越大，函数值越 ； 对于 cos α ，角度越大，函数值越 ____ . 大 小 (4) 锐角 三角函数的增减性 (1) 利用计算器求三角函数值 第二步：输入角度值， 屏幕显示结果 . ( 也有的计算器是先输入角度再按函数名称键 ) 第一步：按计算器 键， sin tan cos 4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角 (2) 利用计算器求锐角的度数 还可以利用 键，进一步得到角的度数 . 第二步：输入函数值 屏幕显示答案 ( 按实际需要进行精确 ) 方法①： ° ＇ ″ 2nd F 第一步：按计算器 键， 2nd F sin cos tan 方法②： 第二步：输入 锐角函数值 屏幕显示答案 ( 按实际需要选取精确值 ) . 第一步：按计算器 键， ° ＇ ″ 2nd F (1) 仰角 和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做 仰角 ；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 俯角 . 5. 三角函数的应用 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90 0 的角，叫做方位角 . 如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 (2) 方位角 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 坡面与水平面的夹角叫做 坡角 ，记作 α ，有 i = tan α . 坡度通常写成 1∶ m 的形式，如 i =1∶6 . 显然，坡度越 大 ，坡角 α 就越 大 ， 坡面就越 陡 . 如图：坡面的铅垂高度 （ h ） 和水平长度 （ l ） 的比叫做坡面 坡度 . 记作 i ，即 i = . (3) 坡度， 坡角 (4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是： ① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题）； ② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； ③ 得到数学问题的答案； ④ 得到实际问题的答案． A C M N ①在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角 ∠ MCE = α ； E ②量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l ； ③量出测倾器的高度 AC = a ，可求出 MN = ME + EN = l · tan α + a . α (1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤： 6. 利用三角函数测高 (2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ ①在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角 ∠ MCE = α ； A C B D M N E α ②在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角 ∠ MDE = β ； β ③量出测倾器的高度 AC = BD = a ，以及测点 A ， B 之间的距离 AB = b . 根据测量数据，可求出物体 MN 的高度 . 考点一 求三角函数的值 考点讲练 例 1 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanB的值为 ( ) A.　　 B.　 　 C.　 　D. 解析：根据sinA＝ ，可设三角形的两边长分别为4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝ B 方法总结： 求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值． 1. 在 △ ABC 中， ∠ A 、 ∠ B 都是锐角，且 sin A = cos B ， 那么 △ ABC 一定是 ______ 三角形． 直角 2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 A ， B ， C 都在格点上，则∠ ABC 的正切值是 ____. 针对训练 例 2 矩形 ABCD 中 AB =10， BC =8， E 为 AD 边上一点，沿 CE 将△ CDE 对折，使点 D 正好落在 AB 边上，求tan∠ AFE ． 分析： 根据题意，结合折叠的性质，易得∠ AFE =∠ BCF ，进而在Rt△ BFC 中，有 BC =8， CF =10，由勾股定理易得 BF 的长，根据三角函数的定义，易得 tan∠ BCF 的值，借助∠ AFE =∠ BCF ，可得tan∠ AFE 的值． 10 8 解：由折叠的性质可得， CF = CD ， ∠ EFC =∠ EDC =90° . ∵ ∠ AFE +∠ EFC +∠ BFC =180°， ∴ ∠ AFE +∠ BFC =90° . ∵ ∠ BCF +∠ BFC =90°， ∴ ∠ AFE =∠ BCF . 在Rt△ BFC 中， BC =8， CF = CD =10， 由勾股定理易得 BF =6 . ∴ tan∠ BCF = . ∴ tan∠ AFE =tan∠ BCF = . 10 8 针对训练 解： ∵ 在直角 △ ABD 中， tan∠ BAD = ∴ BD = AD ·tan∠ BAD = 12× = 9 ， ∴ CD = BC － BD = 14 － 9 = 5 ， ∴ ∴sin C = 3. 如图， △ ABC 中， AD ⊥ BC ，垂足是 D ，若 BC ＝ 14 ， AD ＝ 12 ， tan∠ BAD ＝ ，求 sin C 的值． 考点二 特殊角的三角函数值 例 3 计算： 解：原式＝ (1) tan30° ＋ cos45° ＋ tan60° ； (2) tan30° · tan60° ＋ cos 2 30°. 4. 计算： 解：原式 解：原式 针对训练 考点三 解直角三角形 例 4 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，点 D 在 BC 上， BD ＝ 4 ， AD ＝ BC ， cos∠ ADC = ，求： (1) DC 的长； 分析： 题中给出了两个直角三角形， DC 和 sin B 可分别在 Rt△ ACD 和 Rt△ ABC 中求得，由 AD ＝ BC ，图中 CD ＝ BC － BD ，由此可列方程求出 CD ． A B C D 又 BC － CD ＝ BD ， 解得 x =6 ， ∴ CD =6. A B C D 解：设 CD ＝ x ，在 Rt△ ACD 中， cos∠ ADC = ， (2) sin B 的值． A B C D 解： BC = BD + CD =4+6=10= AD ， 在 Rt△ ACD 中， 在 Rt△ ABC 中， 方法总结： 本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角 . 解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解 . 5 . 如图所示，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝3. 点 D 为 BC 边上一点，且 BD ＝2 AD ，∠ ADC ＝60°. 求△ ABC 的周长 (结果保留根号). 针对训练 解：在Rt△ ADC 中， ∴ BD ＝2 AD ＝4. ∴ BC ＝ BD ＋ DC ＝5. 在Rt△ ABC 中， ∴ △ ABC 的周长为 AB ＋ BC ＋ AC 解：连接 OC . ∵ BC 是⊙ O 的切线， ∴∠ OCB ＝90°， ∴∠ OCA ＋∠ BCA ＝90°. ∵ OA ＝ OC ，∴∠ OCA ＝∠ OAC ， ∴∠ OAC ＋∠ BCA ＝90°， ∵∠ BOA ＝90°，∴∠ OAC ＋∠ APO ＝90°， ∵∠ APO ＝∠ BPC ，∴∠ BPC ＝∠ BCA ，∴ BC ＝ BP . 例 5 已知：如图， Rt△ AOB 中， ∠ O ＝ 90 ° ，以 OA 为半径作 ⊙ O ， BC 切 ⊙ O 于点 C ，连接 AC 交 OB 于点 P . (1) 求证： BP ＝ BC ； 解：延长 AO 交⊙ O 于点 E ，连接 CE ，在Rt△ AOP 中， ∵sin∠ PAO ＝ ，设 OP ＝ x ， AP ＝3 x ， ∴ AO ＝ x . ∵ AO ＝ OE ，∴ OE ＝ x ， ∴ AE ＝ x . ∵sin∠ PAO ＝ ， ∴在Rt△ ACE 中 ，∴ ，解得 x ＝3， ∴ AO ＝ x ＝ ，即⊙ O 的半径为 . (2) 若sin∠ PAO ＝ ，且 PC ＝7，求⊙ O 的半径． E 6. 如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点 B 的切线与AD的延长线交于点F．若cos∠C = ，DF=3， 求⊙O的半径． 针对训练 解：连接BD． 在⊙O中，∠C=∠A， ∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°． 设AB=4 x ，则AF=5 x ， 由勾股定理得，BF=3 x ． ∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD， ∴cosA=cosC= ∴△ABF∽△BDF， ∴ ⊙O的半径为 考点四 三角函数的应用 例 6 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥ BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE． ( 结果保留根号 ) 解：过点 A 作 AF ⊥ BC 于点 F ， 在Rt△ ABF 中， ∠ ABF =∠ α =60°， 则 AF = AB ·sin60°= (m)， 在Rt△ AEF 中，∠ E =∠ β =45°， 则 (m). 故改造后的坡长 AE 为 m. F 7. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 ( 横断 面为梯形 ABCD ) 急需加固，背水坡的坡角为45°， 高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加 固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底 加宽2米，加固后背水坡 EF 的坡比 i =1: 　 ．求加固 后坝底增加的宽度 AF . ( 结果保留根号 ) 针对训练 A B C D E F 45° i =1: A B C D E F 45° i =1: G H 解：作 DG ⊥ AB 于 G ， EH ⊥ AB 于 G ， 则 GH = DE =2 米， EH = DG =10 米 . ( 米 ) ， ( 米 ). 又 ∵ AG = DG =10 米， ∴ ( 米 ). 故 加固后坝底增加的宽度 AF 为 米 . 例 7 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11， ≈1.73） 解：如图，过点 D 作 DG ⊥ BC 于 G ， DH ⊥ CE 于 H ， 则四边形 DHCG 为矩形． 故 DG = CH ， CG = DH ， DG ∥ HC ， ∴∠ DAH =∠ FAE =30°， 在直角三角形 AHD 中， ∵∠ DAH =30°， AD =6， ∴ DH =3， AH = ， ∴ CG =3， 设 BC 为 x ， 在直角三角形 ABC 中， G H 在 Rt △ BDG 中，∵ BG = DG · tan30°， 解得： x ≈13， ∴大树的高度为：13米 . ∴ ∴ G H 针对训练 8. 如图，为了测出某塔 CD 的高度，在塔前的平地上选 择一点 A ，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在 A 、 C 之间选择一点B（ A 、 B 、 C 三点在同一直线 上）．用测角仪测得塔顶 D 的仰角为75°，且 AB 间 的距离为40m． (1) 求点 B 到 AD 的距离； 答案：点 B 到 AD 的距离为20m. C ( 2 ) 求塔高 CD （结果用根号表示）． C 解：在Rt△ ABE 中， ∵∠ A =30°，∴∠ ABE =60°， ∵∠ DBC =75°，∴∠ EBD =180°－60°－75°=45°， ∴ DE = EB =20m， 则 AD = AE + EB = ( m ) ， 在Rt△ ADC 中，∠ A =30°， 答：塔高 CD 为 m . ∴ (m). 例8 如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向 A 处，轮船乙位于码头 O 的正北方向 C 处，测得∠ CAO =45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至 B 处，轮船乙行驶至 D 处，测得∠ DBO =58°，此时B处距离码头 O 多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 解：设 B 处距离码头 O x km， 在Rt△ CAO 中，∠ CAO =45°， ∵tan∠ CAO = CO / AO ， ∴ CO = AO · tan∠ CAO =（45×0.1+ x ） · tan45°=4.5+ x ， 在Rt△ DBO 中，∠ DBO =58°， ∵tan∠ DBO = DO / BO ， ∴ DO = BO · tan∠ DBO = x · tan58°， ∵ DC = DO － CO ， ∴36×0.1= x · tan58°－（4.5+ x ）， 因此， B 处距离码头 O 大约13.5km . ∴ 9. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线 l ( 如图 ) ．救 生员甲在 A 处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B 处有人发出求救信号．他立即沿 AB 方向径直前往救援，同 时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从 C 处入海， 径直向 B 处游去．甲在乙入海 10 秒后赶 到海岸线上的 D 处，再向 B 处游去．若 CD ＝ 40 米， B 在 C 的北偏东 35° 方向， 甲、乙的游泳速度都是 2 米 / 秒，则谁先 到达 B 处？请说明理由 ( 参考数据： sin55°≈0.82 ， cos55°≈0.57 ， tan55°≈1.43). 针对训练 分析： 在 Rt△ CDB 中，利用三角函数即可求得 BC ， BD 的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可． 解：由题意得∠ BCD ＝55°，∠ BDC ＝90°. ∴ BD ＝ CD · tan∠ BCD ＝40×tan55°≈57.2(米)． BC ＝ CD · cos∠ BCD ＝40×cos55°≈70.2(米)． ∴t 甲 ≈57.22÷ 2 ＋10＝38.6(秒)， t 乙 ≈70.22÷ 2 ＝35.1(秒)． ∴t 甲 >t 乙 ． 答：乙先到达B处． 锐角三角函数 特殊角的三角函数 解直角三角形 简单实际问题 课堂小结 正弦 锐 角 三 角 函 数 余弦 正切 三边关系 三角关系 边角关系 仰俯角问题 方位角问题 坡度问题