2019届二轮复习计数原理、概率、随机变量及其分布第8节课件（46张）

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第 8 节　 条件概率与事件的独立性 正态分布 最新考纲　 1. 了解条件概率和两个事件相互独立的概念； 2. 理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布 . 能解决一些简单的实际问题； 3. 了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义 ， 并进行简单应用 . 知 识 梳 理 1 ．条件概率及其性质 条件概率的定义 条件概率公式 对于任何两个事件 A 和 B ，在 已知 ____________ 的 条件下 ， ___________ 的 概率叫做条件概率，用符号 “ _______ ” 表示 P ( B | A ) ＝ ___________ ，其中 ______ > 0 ， _____ 称为 事件 A 与 B 的交 ( 或积 ). 事件 A 发生 事件 B 发生 P ( B | A ) P ( A ) A ∩ B 2. 事件的独立性 (1) 相互独立的定义：事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率 __________ ，即 _____________ ．这时，称两个事件 A ， B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件． (2) 概率公式 没有影响 P ( B | A ) ＝ P ( B ) 条件 公式 A ， B 相互独立 P ( A ∩ B ) ＝ ____________ A 1 ， A 2 ， … ， A n 相互独立 P ( A 1 ∩ A 2 ∩…∩ A n ) ＝ _______________________ P ( A ) × P ( B ) P ( A 1 ) × P ( A 2 ) ×…× P ( A n ) 3. 独立重复试验与二项分布 (1) 独立重复试验 ① 定义：在 _______ 条件下， _______ 做 n 次试验，各次试验的结果 __________ ，那么一般就称它们为 n 次独立重复试验． ② 概率公式：在一次试验中事件 A 发生的概率为 p ，则 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P n ( k ) ＝ ____________ ( k ＝ 0 ， 1 ， 2 ， … ， n ) ． 相同的 重复地 相互独立 (2) 二项分布：在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数设为 X ，事件 A 不发生的概率为 q ＝ 1 － p ，则 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P ( X ＝ k ) ＝ ___________ ，其中 k ＝ 0 ， 1 ， 2 ， … ， n . 于是 X 的分布列： X 0 1 … k … n P ______________ ______________ … … ______ 此时称离散型随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布，记 作 ___________ ． X ～ B ( n ， p ) 上方 x ＝ μ ④ 当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定， σ _______ ， 曲线越 “ 瘦高 ” ，表示总体的分布越集中； σ_______ ， 曲线越 “ 矮胖 ” ，表示总体的分布越分散 . (3) 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ① P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ＝ _________ ； ② P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ＝ _________ ； ③ P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) ＝ _________ . x ＝ μ 越小 越大 0.682 6 0.954 4 0.997 4 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 运用公式 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) 时一定要注意公式成立的条件，只有当事件 A ， B 相互独立时，公式才成立 . 2. 注意二项分布与超几何分布的联系与区别 . 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理 . 诊 断 自 测 解析　 对于 (1) ， 相互独立事件的发生互不影响 ， 而互斥事件是不能同时发生 ， 故 (1) 错；对于 (2) ， 只有当 A ， B 为相互独立事件时 ， 公式 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) 才成立；对于 (4) ， 取到红球的个数 X 服从二项分布 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) × 答案　 B 3. (2018· 烟台调研 ) 设袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球，若从中有放回地依次取出一个球，则 6 次取球中取出 2 个红球的概率为 ________. 5. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (0 ， 8 2 ) ，若 P ( X >2) ＝ 0.023 ，则 P ( － 2 ≤ X ≤ 2) ＝ ________. 解析 　 因为 μ ＝ 0 ， 所以 P ( X >2) ＝ P ( X < － 2) ＝ 0.023 ， 所以 P ( － 2 ≤ X ≤ 2) ＝ 1 － 2 × 0.023 ＝ 0.954. 答案 　 0.954 答案 　 (1)B 　 (2)C 答案　 B 规律方法 　 (1) 求解该类问题在于正确分析所求事件的构成 ， 将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积 ， 然后利用相关公式进行计算 . (2) 求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ① 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 . ② 正面计算较繁 ( 如求用 “ 至少 ” 表述的事件的概率 ) 或难以入手时 ， 可从其对立事件入手计算 . 【训练 2 】 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮 . 假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8 ，且每个问题的回答结果相互独立 . 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 ________. 解析　 记 “ 该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮 ” 为事件 A ， 由题意 ， 若该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮 ， 必有第二个问题回答错误 ， 第三、四个回答正确 ， 第一个问题可对可错 ， 故 P ( A ) ＝ 1 × 0.2 × 0.8 × 0.8 ＝ 0.128. 答案　 0.128 考点三　独立重复试验与二项分布 ( 易错警示 ) 【例 3 】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的质量 ( 单位：克 ) ，质量的分组区间为 (490 ， 495] ， (495 ， 500] ， … ， (510 ， 515]. 由此得到样本的频率分布直方图 ( 如下图 ). (1) 根据频率分布直方图，求质量超过 505 克的产品数量； (2) 在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 X 为质量超过 505 克的产品数量，求 X 的分布列； (3) 从该流水线上任取 2 件产品，设 Y 为质量超过 505 克的产品数量，求 Y 的分布列 . ∴ X 的分布列为 ∴ Y 的分布列为 规律方法 　利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程 ， 但需要注意检查该概率模型是否满足公式 P ( X ＝ k ) ＝ C p k (1 － p ) n － k 的三个条件： (1) 在一次试验中某事件 A 发生的概率是一个常数 p ； (2) n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验 ， 而且各次试验的结果是相互独立的； (3) 该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率 . 易错警示 　 1. 对于 ① ， 超几何分布对应的抽取问题是不放回抽取 ， 各次抽取不独立 ， 而二项分布对应的抽取问题是有放回抽取 ， 各次抽取是独立的 ， 故 ① 处不要误作二项分布来处理；对于 ② ， 当超几何分布所对应的总体数量很大时 ， 可近似为二项分布来处理 ， 这一点不易想到 . 2 . 这两个分布列的期望是相等的 ， 请思考这是否是巧合呢？ 【训练 3 】 (2018· 河北 “ 五个一 ” 名校联盟二模 ) 空气 质量指数 (AirQuality Index ，简称 AQI) 是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级： 0 ～ 50 为优； 51 ～ 100 为良； 101 ～ 150 为轻度污染； 151 ～ 200 为中度污染； 201 ～ 300 为重度污染； 300 以上为严重污染 . 一环保人士记录去年某地六月 10 天的 AQI 的茎叶图如图 . (1) 利用该样本估计该地六月空气质量为优良 (AQI ≤ 100) 的天数； (2) 将频率视为概率，从六月中随机抽取 3 天，记三天中空气质量为优良的天数为 ξ ，求 ξ 的分布列 . 考点四　正态分布 【例 4 】 (1) (2018· 郑州模拟 ) 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (2 ， σ 2 ) ，且 P ( ξ <4) ＝ 0.8 ，则 P (0< ξ <4) ＝ ( 　　 ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 (2 ) 在 如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点，则落入阴影部分 ( 曲线 C 为正态分布 N ( － 1 ， 1) 的密度曲线 ) 的点的个数的估计值为 ( 　　 ) 附：若 X ～ N ( μ ， σ 2 ) ，则 P ( μ － σ < X < μ ＋ σ ) ＝ 0.682 6 ， P ( μ － 2 σ < X < μ ＋ 2 σ ) ＝ 0.954 4. A.1 193 B.1 359 C.2 718 D.3 413 解析　 (1) 因为随机变量 ξ 服从正态分布 N (2 ， σ 2 ) ， μ ＝ 2 ， 得对称轴为 x ＝ 2 ， P ( ξ <4) ＝ 0.8 ， ∴ P ( ξ ≥ 4) ＝ P ( ξ ≤ 0) ＝ 0.2 ， ∴ P (0< ξ <4) ＝ 0.6. 答案　 (1)A 　 (2)B 规律方法 　 (1) 利用 3 σ 原则求概率问题时 ， 要注意把给出的区间或范围与正态变量的 μ ， σ 进行对比联系 ， 确定它们属于 ( μ － σ ， μ ＋ σ ) ， ( μ － 2 σ ， μ ＋ 2 σ ) ， ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 中的哪一个 . (2) 利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题 ， 涉及的知识主要是正态曲线关于直线 x ＝ μ 对称 ， 及曲线与 x 轴之间的面积为 1. 注意下面两个结论的活用： ① P ( X ＜ a ) ＝ 1 － P ( X ≥ a ) ； ② P ( X ＜ μ － σ ) ＝ P ( X ≥ μ ＋ σ ). 【训练 4 】 已知某批零件的长度误差 ( 单位：毫米 ) 服从正态分布 N (0 ， 3 2 ) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间 (3 ， 6) 内的概率为 ( 附：若随机变量 ξ 服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ， 则 P ( μ － σ < ξ < μ ＋ σ ) ＝ 68.26% ， P ( μ － 2 σ < ξ < μ ＋ 2 σ ) ＝ 95.44%.) ( 　　 ) A.4.56 % B.13.59 % C.27.18 % D.31.74 % 答案　 B