北师大版高三数学复习专题-导数及其应用课件-第3章第2节
走向高考 · 数学
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北师大版 · 高考总复习
导数及其应用
第三章
第二节
导数在函数单调性、极值中的应用
第三章
课前自主导学2 课 时 作 业4
高考目标导航1 课堂典例讲练3
高考目标导航
考纲要求 命题分析
1.了解函数单调
性和导数的关系．
2．能利用导数
研究函数的单调性，
会求函数的单调区间(
其中多项式函数一般
不超过三次)．
3．了解函数在
某点取得极值的必要
条件和充分条件．
4．会用导数求
函数的极大值、极小
值(其中多项式函数一
般不超过三次).
每年的高考命题中都有导数应用的解答
题出现，对导数的考查非常全面，既有选择
题、填空题等客观题，又有解答题，通常以
解答题为主，并且所占的分值较高．常见的
考查方式有两种形式：一是直接把导数应用
于多项式函数性质的研究，考查多项式函数
的单调性、极值、最值等，二是把导数与函
数、方程、不等式、数列等相联系，进行综
合考查，主要考查函数的最值或求参数的值
(或范围)．
预测2016年高考对本节知识的考查仍将
突出导数的工具性，重点考查利用导数研究
函数极值、最值及单调性等问题．在2016年
备考中应予以高度关注.
课前自主导学
1．函数的单调性与导数
递增
递减
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其
他点的函数值________，且f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左
侧________，右侧________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)
叫做函数的极小值．
都小
f ′(x)<0 f ′(x)>0
(2)函数的极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其
他点的函数值________，且f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左
侧________，右侧________，则点b叫做函数的极大值点，f(b)
叫做函数的极大值，________和________统称为极值．
都大
f ′(x)>0 f ′(x)<0
极大值 极小值
1.(教材改编题)函数f(x)＝x3＋x的增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞)
[答案] C
[解析] 因为f ′(x)＝3x2＋1>0对任意x∈R恒成立，故f(x)的
增区间为(－∞，＋∞)．
3．(2014·新课标Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p：
f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
[答案] C
4．(文)函数f(x)＝ax2－b在区间(－∞，0)内是减函数，则
a，b应满足( )
A．a<0且b＝0 B．a>0且b∈R
C．a<0且b≠0 D．a<0且b∈R
[答案] B
[解析] f ′(x)＝2ax，当x<0时，由f ′(x)＝2ax<0，得a>0，
∴a>0，b∈R.
[答案] D
[解析] y′＝3ax2－1，
∵函数y＝ax3－x在R上是减函数，
∴3ax2－1≤0在R上恒成立，∴a≤0.
5 ． 函 数 f ( x ) ＝ x 3 － 1 5 x 2 － 3 3 x ＋ 6 的 单 调 减 区 间 为
________．
[答案] (－1,11)
[解析] 本题主要考查求导公式和单调区间．
f ′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，
由(x－11)(x＋1)<0得－1
0；02时，f ′(x)>0.
∴x＝2时，f(x)取极小值．
(理)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增加的，则a的最
大值是________．
[答案] 3
[解析] ∵f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增加的，
∴f ′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，
而当x∈[1，＋∞)时，(3x2)min＝3×12＝3.
∴a≤3，故amax＝3.
课堂典例讲练
已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中
t∈R.
(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当t>0时，求f(x)的单调区间．
[规范解答] (1)当t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0，f
′(x)＝12x2＋6x－6，f ′(0)＝－6，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为
y＝－6x.
利用导数求函数的单调区间
[方法总结] 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实数
根．
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面
的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数
f(x)的定义区间分成若干个小区间．
(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定
函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．
(理)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，
f(e)＝2(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)求实数b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析] (1)由f(e)＝2得b＝2.
(2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axlnx，
从而f ′(x)＝alnx.
因为a≠0，故：
①当a>0时，由f ′(x)>0得x>1，
由f ′(x)<0得00得01.
综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单
调减区间为(0,1)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调
递减区间为(1，＋∞)．
由函数的单调性求参数的范围(值)
[方法总结] 由函数的单调性求参数的取值范围，这类问
题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减)，等价于不等式
f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求
出参数的取值范围．
(文)已知f(x)＝ex－ax－1.是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单
调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不
存在，说明理由．
[解析] 方法一：由题意知ex－a≤0在(－∞，0]上恒成立．
∴a≥ex在(－∞，0]上恒成立．
∵y＝ex在(－∞，0]上为增函数．
∴当x＝0时，ex最大为1.
∴a≥1.
同理可知ex－a≥0在[0，＋∞)上恒成立，
∴a≤ex在[0，＋∞)上恒成立．
∴a≤1.
综上可知a＝1.
方法二：由题意知，x＝0为f(x)的极小值点．
∴f ′(0)＝0，即e0－a＝0，∴a＝1，验证a＝1符合题意．
利用导数研究函数的极值
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
[方法总结] (1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要
条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调
函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
(文)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,00时，f(x)＝xlnx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x≠0时，求函数f(x)的极值．
[分析] (1)令x<0知－x>0，代入可求．
(2)求x>0的极值，由奇函数性质便可求得x<0的极值．
利用极值求参数
[思路分析] (1)根据导函数值的正负可判断原函数的单调
性，从而判断极值点．
(2)根据极值点是f ′(x)＝0的方程的根可列a，b，c的方程组
求参数．
(文)(2014·兰州一中月考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x
＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
[答案] B
[解析] 因为f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，要使f(x)有极大值也
有极小值，则f ′(x)的判别式大于零，
即(2a)2－4×3(a＋6)>0，
解得a<－3或a>6，故选B．
(理)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.
(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范
围．
[分析] (1)单调区间为f′(x)>0，f′(x)<0的解区间．
(2)f′(x)的零点在(2,3)内至少有一个．
(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．
f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
令f′(x)＝0，得到x1＝1，x2＝A．
当a>1时，
[方法总结] (1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨
论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否
有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在
定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．
(2)本题的难点是分类讨论，除了比较两个根1与a的大小
外，还须比较f(0)与f(a)的大小．
一点注意
如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些
区间之间一般不能用并集符合“∪”连接，只能用“，”或
“和”字隔开．
两个条件
(1)f ′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分
条件．
(2)对于可导函数f(x)，f ′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值
的必要不充分条件．
三个步骤
求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f ′(x)；
(3)由f ′(x)>0(f ′(x)<0)解出相应的x的范围．
当f ′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f ′(x)<0时，
f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调
区间．
课 时 作 业
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