高中数学选修2-2课时练习第三章 章末检测

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高中数学选修2-2课时练习第三章 章末检测

章末检测 一、选择题 ‎1.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(a为常数),在区间[-2,1]上有最大值20,则此函数在[-2,1]上的最小值为(  )                   ‎ A.-37 B.-‎7 C.-5 D.-11‎ 答案 B ‎2.函数f(x)=2x3-9x2+12x+1的单调减区间是(  )‎ A.(1,2) B.(2,+∞)‎ C.(-∞,1) D.(-∞,1)和(2,+∞)‎ 答案 A 解析 f′(x)=6x2-18x+12,令f′(x)<0,即6x2-18x+12<0,解得10的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B ‎4.函数y=2x3-3x2的极值情况为(  )‎ A.在x=0处取得极大值0,但无极小值 B.在x=1处取得极小值-1,但无极大值 C.在x=0处取得极大值0,在x=1处取得极小值-1‎ D.以上都不对 答案 C 解析 因为y=2x3-3x2,所以y′=6x2-6x=6x(x-1).令y′=0,解得x=0或x=1.令y=f(x),y′=f′(x),当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,0)‎ ‎0‎ ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎  ‎0‎  ‎-1‎  所以,当x=0时,函数y=2x3-3x2取得极大值0;当x=1时,函数y=2x3-3x2‎ 取得极小值-1,故选C.‎ ‎5.如果函数f(x)=2x3+ax2+1(a为常数)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,且在区间(0,2)上单调递减,则a的值为(  )‎ A.1 B.‎2 C.-6 D.-12‎ 答案 C 解析 令f′(x)=6x2+2ax=0,得x=0或x=-,由题意,知f′(x)=0的两根为0,2,所以2=-,所以a=-6.‎ ‎6.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是(  )‎ A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)‎ C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)‎ 答案 D 解析 设F(x)=f(x)·g(x),‎ 则当x<0时,F′(x)>0,‎ 即F(x)在(-∞,0)上是增函数.‎ 又∵g(x)是偶函数,∴g(-3)=g(3)=0.‎ ‎∴在x∈(-∞,-3)上F(x)<F(-3)‎ ‎=f(-3)·g(-3)=0,‎ 即f(x)g(x)<0.又∵可证得F(x)是奇函数,∴在x∈(0,3)上,f(x)g(x)<0,故选D.‎ ‎7.在函数①y=x;②y=x2;③y=x3;④y=-cos x中,在x=0处取得极值的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 B 解析 只有②④能在x=0处取得极值.‎ ‎8.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0,则m、n的值分别为(  )‎ A.3,7 B.2,‎9 C.4,6 D.5,8‎ 答案 B 解析 f′(x)=3x2+6mx+n ‎∵x=-1时函数有极值0‎ ‎∴f′(-1)=3×(-1)2+‎6m×(-1)+n=0①‎ f(-1)=(-1)3+‎3m(-1)2+n(-1)+m2=0②‎ 联立①②两式解得:m=2,n=9.‎ ‎9.若函数f(x)=x2+bx+c的图像的顶点在第四象限,则如下图所示能大致反映函数f′(x)的图像的是________.‎ 答案 A 解析 f′(x)=2x+b,由函数f(x)的图像的顶点在第四象限得b<0,则直线f′(x)=2x+b的斜率为2,且与y轴的交点的纵坐标为负值.所以,只有A符合要求.故应选A.‎ ‎10.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图像不可能为y=f(x)的图像是(  )‎ 答案 D 解析 设h(x)=f(x)ex,则h′(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=(ax2+2ax+bx+b+c)ex.由x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,得当x=-1时,ax2+2ax+bx+b+c=c-a=0,∴c=a.∴f(x)=ax2+bx+a.若方程ax2+bx+a=0有两根x1,x2,则x1x2==1,D中图像一定不满足该条件.‎ 二、填空题 ‎11.函数y=(x+1)·(x-1)在x=1处的导数为________.‎ 答案 2‎ 解析 y′=x-1+x+1=2x,所以y′|x=1=2.‎ ‎12.函数f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最大值为__________.‎ 答案  解析 f′(x)=1-3x2,因为x∈[0,1],所以令f′(x)=0得x=,又f(0)=0,f(1)=0,f=,所以f(x)在[0,1]上的最大值为.‎ ‎13.函数y=2x3-6x2+11的单调减区间是__________.‎ 答案 (0,2)‎ 解析 y′=6x2-12x,令6x2-12x<0,得00,则f′(x)>0.‎ 所以当a=0时,函数f(x)在(-∞,0)内单调递减,‎ 在(0,+∞)内单调递增.‎ ‎(2)当a>0时,由2x+ax2>0,‎ 解得x>0或x<-;‎ 由2x+ax2<0,解得-0时,函数f(x)在内单调递减,‎ 在和(0,+∞)内单调递增.‎ ‎(3)当a<0时,由2x+ax2>0,解得0-.‎ 所以当a<0时,函数f(x)在内单调递增,‎ 在(-∞,0)和内单调递减.‎ ‎17.已知函数f(x)=aln(x+1)-+b图像与x+y-2=0‎ 相切于(0,c).‎ ‎(1)求a的值.‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间和极小值.‎ 解 1)f′(x)=- 由题意知:f′(0)=-1,代入上式得:‎ a-2=-1,∴a=1.‎ ‎(2)由(1)知a=1,‎ ‎∴f(x)=ln(x+1)-+b,‎ f′(x)=-=.‎ 令f′(x)>0,解得:x>1,‎ ‎∴f(x)在(1,+∞)上为增函数 令f′(x)<0,解得:x<1,‎ 又∵x+1>0,∴x>-1,‎ ‎∴f(x)在(-1,1)上为减函数.‎ 故f(x)在x=1时取得极小值.‎ ‎∴f(1)=ln 2-1+b.‎ 又∵(0,c)在直线x+y-2=0上,‎ ‎∴0+c-2=0,∴c=2.‎ 故(0,2)在直线上也在f(x)图像上,‎ ‎∴ln(0+1)-+b=2,∴b=2.‎ ‎∴f(1)=ln 2+1.‎ 故函数f(x)在(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数且在x=1时取得 极小值1+ln 2.‎ ‎18.已知a,b是实数,函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)分别是 f(x)和g(x)的导函数.若 f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致.‎ ‎(1)设a>0,若f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求b的取值范围;‎ ‎(2)设a<0且a≠b,若f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致,‎ 求|a-b|的最大值.‎ 解 f′(x)=3x2+a,g′(x)=2x+b.‎ ‎(1)由题意知f′(x)g′(x)≥0,在[-1,+∞)上恒成立.‎ 因为a>0,故3x2+a>0,进而2x+b≥0,‎ 即b≥-2x在区间[-1,+∞)上恒成立,所以b≥2.‎ 因此,b的取值范围是[2,+∞).‎ ‎(2)令f′(x)=0,解得x=± .‎ 若b>0,由a<0得0∈(a,b).‎ 又因为f′(0)g′(0)=ab<0,‎ 所以函数f(x)和g(x)在(a,b)上的单调性是不一致的,因此b≤0.由此得,‎ ‎(-∞,0)时,g′(x)<0,‎ 当x∈时,f′(x)>0,‎ 因此,当x∈时,f′(x)g′(x)<0,‎ 故由题设得a≥-且b≥-,‎ 从而-≤a<0,于是-≤b≤0.‎ 因此|a-b|≤,且当a=-,b=0时等号成立.‎ 又当a=-,b=0时,f′(x)g′(x)=6x,‎ 从而当x∈时,f′(x)g′(x)>0,‎ 故函数f(x)和g(x)在上单调性一致.‎ 因此|a-b|的最大值为.‎
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