高中数学 3_1_1 数系的扩充与复数的概念同步练习 新人教A版选修2-2

高中数学 3_1_1 数系的扩充与复数的概念同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 3.1 第1课时 数系的扩充与复数的概念 一、选择题 ‎1．下列命题中：‎ ‎①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；‎ ‎②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；‎ ‎③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；‎ ‎④两个虚数不能比较大小．‎ 其中，正确命题的序号是(　　)‎ A．①　　　　‎ B．②　　　　‎ C．③　　　　‎ D．④‎ ‎[答案]　D ‎[分析]　由复数的有关概念逐个判定．‎ ‎[解析]　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.‎ ‎2．(2010·四川理，1)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝(　　)‎ A．－1 ‎ B．1 ‎ C．－i ‎ D．i ‎[答案]　A ‎[解析]　i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.‎ ‎3．下列命题中假命题是(　　)‎ A.不是分数 B.i不是无理数 C．－i2是实数 D．若a∈R，则ai是虚数 ‎[答案]　D ‎[解析]　当a＝0时，ai是实数，所以D是假命题，故应选D.‎ ‎4．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列结论正确的是(　　)‎ A．a＝0⇔a＋bi为纯虚数 B．b＝0⇔a＋bi为实数 C．a＋(b－1)i＝3＋2i⇔a＝3，b＝－3‎ D．－1的平方等于i ‎[答案]　B ‎[解析]　a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，A错误，B正确．a＋(b－1)i＝3＋2i⇒a＝3，b＝3，C错误．(－1)2＝1，D错误．故应选B.‎ ‎5．若z的实部为lgx2，虚部为lg2x，x是正实数，那么(　　)‎ A．使z的实部、虚部都是正数的x的集合是(1，＋∞)‎ B．使z的虚部为负数的x的集合是(0,1)‎ C．使z的实部和虚部互为相反数的x的集合是{1}‎ D．使z的实部和虚部互为倒数的x的集合是 ‎[答案]　A ‎[解析]　由解得x>1，A正确．故应选A.‎ ‎6．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　)‎ A．|a|＝|b| ‎ B．a<0且a＝－b C．a>0且a≠b ‎ D．a≤0‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，而|a|＝－a，∴a≤0，故应选D.‎ ‎7．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)‎ A．2kπ－ ‎ B．2kπ＋ C．2kπ± ‎ D.＋(以上k∈Z)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由得(k∈Z)‎ ‎∴θ＝2kπ＋.选B.‎ ‎8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)‎ A．a＝－1 ‎ B．a≠－1且a≠2‎ C．a≠－1 ‎ D．a≠2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.‎ ‎9．下列命题中哪个是真命题(　　)‎ A．－1的平方根只有一个 B．i是1的四次方程 C．i是－1的立方根 D．i是方程x6－1＝0的根 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵(±i)2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A错；∵i3＝－i≠－1.∴i不是－1的立方根；∴C错；‎ ‎∵i6＝i2＝－1，∴i6－1≠0故i不是方程x6－1＝0的根，故D错；‎ ‎∵i4＝1，∴i是1的四次方根，故选B.‎ ‎10．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)‎ A．3＋i ‎ B．3－i C．－3－i ‎ D．－3＋i ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0‎ 即，解得.‎ ‎∴z＝3－i，故应选B.‎ 二、填空题 ‎11．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　方程可化为 解得x＝2.‎ ‎12．如果z＝a2＋a－2＋(a2－‎3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为________．‎ ‎[答案]　－2‎ ‎[解析]　如果z为纯虚数，需，解之得a＝－2.‎ ‎13．已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i>0，则实数x＝________.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　复数z能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知，解得x＝1.‎ ‎14．已知复数z1＝m＋(4＋m)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3cosθ)i(λ∈R)，若z1＝z2，则λ的取值范围是______．‎ ‎[答案]　[3,5]‎ ‎[解析]　∵z1＝z2，∴ ‎∴λ＝4－cosθ.‎ 又∵－1≤cosθ≤1，∴3≤4－cosθ≤5，∴λ∈[3,5]．‎ 三、解答题 ‎15．若log2(m2－‎3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．‎ ‎[解析]　∵log2(m2－‎3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，∴ ‎∴m＝4，故当m＝4时，log2(m2－‎3m－3)＋ilog2(m－2)是纯虚数．‎ ‎16．已知复数z＝＋(a2－‎5a－6)i(a∈R)．实数a取什么值时，z是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？‎ ‎[解析]　(1)当z为实数时，则有 所以 所以当a＝6时，z为实数．‎ ‎(2)当z为虚数时，则有 所以 即a≠±1且a≠6.‎ 所以当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．‎ ‎(3)当z为纯虚数时，则有 所以 所以不存在实数a使得z为纯虚数．‎ ‎17．若x∈R，试确定a是什么实数时，等式3x2－x－1＝(10－x－2x2)i成立．‎ ‎[解析]　由复数相等的充要条件，得 由②得x＝2或x＝－，‎ 代入①，得a＝11或a＝－.‎ ‎18．已知z1＝＋i，z2＝cosβ＋isinβ，且z1＝z2，求cos(α－β)的值．‎ ‎[解析]　由复数相等的充要条件，知 即 ‎①2＋②2得2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝1，‎ 即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝.‎