2020届二轮复习 高考解题的数学思想 课件

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数形结合思想 总纲目录 应用一  利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题 应用二　利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题 应用三　利用数形结合思想解决解析几何问题 应用一　利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题 例1     (2018天津,14,5分)已知 a >0,函数 f ( x )=   若 关于 x 的方程 f ( x )= ax 恰有2个互异的实数解,则 a 的取值范围是      　　　　     . 答案 　(4,8) 解析 　设 g ( x )= f ( x )- ax =   方程 f ( x )= ax 恰有2个互异的实数解即函数 y = g ( x )有两个零点,即 y = g ( x )的图象与 x 轴有2个交点,满足条件的 y = g ( x )的图象有以下两种 情况: 情况一: 则   ∴4< a <8. 情况二: 则   不等式组无解. 综上,满足条件的 a 的取值范围是(4,8). 【技法点评】 　用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对 数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重 要的方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉 函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函 数),然后在同一坐标系中作出这两个函数的图象,图象的交点个 数即为方程解(或函数零点)的个数. 1. 函数 f ( x )=3 - x + x 2 -4的零点个数是 　　　     . 答案 　2 解析 　求函数 f ( x )=3 - x + x 2 -4的零点个数,即为求函数 g ( x )= x 2 -4与 h ( x ) =-   的图象的交点个数,在同一直角坐标系中,函数 g ( x ), h ( x )的 图象如图所示,   由图可知, h ( x )与 g ( x )的图象有2个交点,故函数 f ( x )的零点个数为2 . 2. 已知 f ( x )=   若函数 y = f ( x )+ m 的图象与 x 轴 恰有三个不同的交点,则 m 的取值范围为 　　　     . 答案 　[-2,1) 解析      f ( x )=   的图象如图所示.令 y = f ( x )+ m =0,则 f ( x )=- m .由图可知,当-1<- m ≤ 2,即-2 ≤ m <1时,函数 y = f ( x )的图 象与直线 y =- m 恰有三个不同的交点,故当-2 ≤ m <1时,函数 y = f ( x )+ m 的图象与 x 轴恰有三个不同的交点.   应用二　利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题 例2     (2018课标全国Ⅰ,12,5分)设函数 f ( x )=   则满足 f ( x + 1)< f (2 x )的 x 的取值范围是   (　　) A.(- ∞ ,-1]　    B.(0,+ ∞ ) C.(-1,0)　    D.(- ∞ ,0) 答案     D 解析 　　∵ f ( x )=   ∴函数 f ( x )的图象如图所示.   由图可知,当 x +1 ≤ 0且2 x ≤ 0时,函数 f ( x )为减函数,故 f ( x +1)< f (2 x )转 化为 x +1>2 x . 此时 x ≤ -1. 当2 x <0且 x +1>0时, f (2 x )>1, f ( x +1)=1, 满足 f ( x +1)< f (2 x ). 此时-1< x <0. 综上,不等式 f ( x +1)< f (2 x )的解集为(- ∞ ,-1] ∪ (-1,0)=(- ∞ ,0). 【技法点评】 　求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图 象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,把两个 函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决,往往可以避 免烦琐的运算,获得简捷的解答. 3. 若不等式| x -2 a | ≥   x + a -1对 x ∈R恒成立,则 a 的取值范围是 　     　     . 答案        解析 　作出 y =| x -2 a |和 y =   x + a -1的简图.依题意可知2 a ≤ 2-2 a ,故 a ≤   .   4. 若不等式   ≤ k ( x +2)-   的解集为区间[ a , b ],且 b - a =2,则 k = 　　　     . 答案        解析      y = k ( x +2)-   过定点(-2,-   ),显然当 k <0时不符合题意,故 k > 0,分别作出直线 y = k ( x +2)-   与半圆 y =   ,如图.由题意知直线 在半圆的上方,由 b - a =2,可知 b =3, a =1,所以直线 y = k ( x +2)-   过点 (1,2   ),则 k =   .   应用三　利用数形结合思想解决解析几何问题 例3     (2018课标全国Ⅱ,12,5分)已知 F 1 , F 2 是椭圆 C :   +   =1( a > b > 0)的左、右焦点, A 是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为   的直线上, △ PF 1 F 2 为等腰三角形,∠ F 1 F 2 P =120 ° ,则 C 的离心率为   (　　) A.   　　　    B.   　　　    C.   　　　    D.   答案     D 解析 　本题考查直线方程和椭圆的几何性质. 由题意易知直线 AP 的方程为 y =   ( x + a ),① 直线 PF 2 的方程为 y =   ( x - c ).② 联立①②得 y =   ( a + c ), 如图,过 P 向 x 轴引垂线,垂足为 H ,则 PH =   ( a + c ). 因为∠ PF 2 H =60 ° , PF 2 = F 1 F 2 =2 c , PH =   ( a + c ), 所以sin 60 ° =   =   =   , 即 a + c =5 c ,即 a =4 c , 所以 e =   =   .故选D. 【技法点评】 　根据几何意义利用数形结合法解决问题需要熟 悉常见的代数形式,主要有:①比值——可考虑直线的斜率;②二 元一次式——可考虑直线的截距;③含根式的分式——可考虑点 到直线的距离;④根式——可考虑两点间的距离. 5. 若实数 x , y 满足不等式组   则 x 2 + y 2 的最小值是   (  　) A.25　    B.5　    C.4　    D.1 答案     B　在平面直角坐标系中画出不等式组   所表 示的平面区域,如图阴影部分所示, x 2 + y 2 的最小值即表示阴影部分 (包含边界)中的点与原点的距离的最小值的平方.由图可知直线 x - y +1=0与直线 x =1的交点(1,2)到原点最近,故 x 2 + y 2 的最小值为1 2 +2 2 =5.故选B. 6. 已知点 P 是直线 l :3 x +4 y +8=0上的动点, PA , PB 是圆 x 2 + y 2 -2 x -2 y +1 =0的两条切线, A , B 是切点, C 是圆心,则四边形 PACB 面积的最小值 为 　　　     . 答案 　2   解析　从运动的观点看问题,当动点 P 沿直线3 x +4 y +8=0向左上方 或右下方无穷远处运动时, S Rt△ PAC =   | PA |·| AC |=   | PA |越来越大,从 而 S 四边形 PACB 也越来越大;当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动 时, S 四边形 PACB 变小,显然,当点 P 到达一个最特殊的位置,即 CP 垂直于 直线 l 时, S 四边形 PACB 应有唯一的最小值, 此时| PC |=   =3, 从而| PA |=   =2   . 所以( S 四边形 PACB ) min =2 ×   × | PA |·| AC |=2   .