2017-2018学年山东师范大学附属中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年山东师范大学附属中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年山东师范大学附属中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数的模为(　 )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据复数的除法运算和模的公式，即可求解. ‎ 详解：由，可得，故选A. ‎ 点睛：本题考查了复数的四则运算及复数模的求解，属于基础题，着重考查了学生推理与运算能力. ‎ ‎2．若，，如果与为共线向量，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用向量共线定理，即可求解. ‎ 详解：因为和是共线向量，所以，解得，故选C. ‎ 点睛：本题考查了向量的共线定理，属于基础题，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎3．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）‎ A. 8 B. 24 C. 48 D. 120‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎4．在二项式的展开式中，含的项的系数是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第项，令的指数为，再代入系数求出结果. ‎ 详解：根据所给的二项式写出展开式的通项，‎ 令，解得，解得，‎ 即的系数为，故选B. ‎ 点睛：本题考查了二项式定理的应用，此类问题解答的关键在于写出二项式展开式的通项，在这种题目中图象是解决二项展开式的特定项问题的工具，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎5．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）‎ A. 假设至少有一个钝角 B. 假设至少有两个钝角 C. 假设没有一个钝角 D. 假设没有一个钝角或至少有两个钝角 ‎【答案】B ‎【解析】由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，故选B．‎ ‎【考点】反证法.‎ ‎6．如图，是的重心，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用平面向量的基本定理，把向量，用表示出来，从而求出系数即可. ‎ 详解：因为，‎ 则 ‎，故选D. ‎ 点睛：本题考查了空间向量的基本定理，及向量的线性运算，试题属于基础题，熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎7．除以88的余数是（ ）‎ A. B. 1 C. D. 87‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用二项式定理的展开式转化为二项式形式，将二项式中的底数的底数写出用为一项的和形式，再利用二项式定理展开，即可求解余数. ‎ 详解：由题意 ‎ ‎ ‎，‎ 所以除以的余数为，故选B. ‎ 点睛：本题考查了二项式的余数问题，解决一个幂除以某数的余数问题时，应现将幂的底数写出用除数与另一个数的和的形式，再利用二项式定理展开即可求解，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎8．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，，则异面直线与所成的角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得 ‎，利用向量的夹角公式，即可求解. ‎ 详解：以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 则，‎ 设异面直线和所成的角为，‎ 则，‎ 所以异面直线和所成的角为，故选B. ‎ 点睛：本题考查了异面直线所成的角的求解，其中把异面直线所成的角转化为向量所成的角，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，对于对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎9．把个不同小球放入个分别标有号的盒子中,则不许有空盒子的放法共有( )‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】A ‎【解析】分析：可分两步完成：①先把小球分成组；②再将分的组放在各盒子中，由分步计数原理即可求解. ‎ 详解：①根据题意，将把小球分成组，共有中不同的分法；‎ ‎②再将分好的组小球放在各盒子中，共有种不同的放法，‎ 由分步计数原理可得，共有种不同的放法，故选A. ‎ 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．‎ ‎10．已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立，则成立，下列命题成立的是( )‎ A. 若成立，则对于任意，均有成立 B. 若成立，则对于任意的，均有成立 C. 若成立，则对于任意的，均有成立 D. 若成立，则对于任意的，均有成立 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：本小题给出的条件是由成立推知成立，所以D正确.‎ ‎【考点】本小题主要考查类比推理及其应用，考查学生的推理能力.‎ 点评：对于此类问题，要注意看清题目，有时还要借助逆否命题进行判断.‎ ‎11．对于非零实数，以下四个命题都成立：‎ ‎①；②；③；④若，则.那么对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是( )‎ A. ②③ B. ①② C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：令，可判断①是否满足题目要求；由复数乘法的运算法则，可判断②是否满足要求；根据复数模的运算，可判定③是否符合要求，根据复数模的的定义，可判断④是否满足要求；进而得到答案. ‎ 详解：当，则，所以①不满足题意；‎ 根据复数乘法的定义， 可判断成立，所以②满足题意；‎ 根据复数模的定义可得是成立的，所以③满足题意，‎ 若，表示两个复数的模相等，所以不一定成立，所以④不满足题意，‎ 综上满足题意为②③，故选A. ‎ 点睛：本题考查了有关复数的命题真假判定与应用，其中熟记复数的概念、复数的模、复数相等的基本概念，以及复数运算法则是解答的关键. ‎ ‎12．如图所示，五面体中，正的边长为，平面，且.设与平面所成的角为，若，则当取最大值时，平面与平面所成角的正切值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成的角，求解的最大值，进而求解平面和平面的一个法向量，利用向量所成的角，求解二面角的余弦值，进而求得正切值，得到结果. ‎ 详解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系 ，‎ 则，‎ 取的中点，则，则平面的一个法向量为，‎ 由题意，‎ 又由，所以，解得，‎ 所以的最大值为，‎ 当时，设平面的法向量为，则，‎ 取，由平面的法向量为，‎ 设平面和平面所成的角为，‎ 则，所以，所以，故选C. ‎ 点睛：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解答的关键在于建立适当的空间直角坐标系，求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力，以及转化的思想方法的应用. ‎ 二、填空题 ‎13．比较大小：___ （用连接）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：本题可用分析法求解. ‎ 详解：要比较与的大小，‎ 只需比较与的大小，‎ 只需比较与的大小，‎ 只需比较与的大小，‎ 只需比较与的大小，因为，所以 . ‎ 点睛：本题考查了利用分析法比较大小，分析法求解时，从结论开始，逐步寻找成立的充分条件，逐步到条件和基本事实，问题得以解决，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力. ‎ ‎14．在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形 ‎1 3 6 10 15‎ 则第个三角形数为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：观察图形可得，第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多，即，第三个图中点的个数比第二个图中的点的个数多，即，依次类推，可得第个图中点的个数比第个图中点的个数多，即，将得到式子，相加可得答案. ‎ 详解：设第个三角形数记第个点，‎ 由图可得：‎ 第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多，即，‎ 第三个图中点的个数比第二个图中的点的个数多，即，‎ ‎ ‎ 第个图中点的个数比第个图中点的个数多，即，‎ 则，即第个三角形数记第个点为. ‎ 点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，解答关键在于通过观察，发现图形中点的个数的编号规律，利用数列的知识求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力. ‎ ‎15．平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，则的长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，在平行六面体中，因为，，，且，所以，所以.‎ ‎【考点】空间向量的运算.‎ ‎16．已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，如图所示， ‎ 给出下列结论：‎ ‎①四面体体积的最大值为；‎ ‎②四面体外接球的表面积恒为定值；‎ ‎③若分别为棱的中点，则恒有且； ‎ ‎④当二面角的大小为时，棱的长为；‎ ‎⑤当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为．‎ 其中正确的结论有_____________________(请写出所有正确结论的序号)．‎ ‎【答案】②③⑤‎ ‎【解析】分析：将矩形折叠后得到三棱锥：①四面体体积最大值为两个面互相垂直求三棱锥的底面积和高即可；②求出三棱锥的外接球半径，即可计算表面积；③连接，则，连接，得到，利用等腰三角形的三线合一即可；④当二面角为直二面角时，以为原点所在直线分别为轴建立坐标系，借助于向量的数量积解答；⑤找到二面角的平面角计算即可. ‎ 详解：由题意，①中，四面体体积最大值为两个面互相垂直，四面体体积的最大值，所以不正确；‎ ‎②中，三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，所以是正确的. ‎ ‎③中，若分别为棱的中点，连接，则，根据等腰三角形三线合一得到，连接，可得，所以，所以是正确的；‎ ‎④中，由二面角的大小为时，棱的长为，‎ 在直角中，，‎ 作，则，‎ 同理直角中，则,‎ 在平面内，过作，连接，易得四边形为矩形，‎ 则，‎ 又，即为二面角的平面角，即，‎ 则，由平面，得到，即有，‎ 则，所以是错误的，‎ ‎⑤中，当二面角为直二面角时，以为原点所在直线分别为轴建立坐标系，则由向量的数量积可得到直线所成的角的余弦值为，所以是正确的；‎ 综上可知正确命题的序号为②③⑤. ‎ 点睛：本题考查了平面与立体几何的综合应用，解答中涉及到两条直线的位置关系的判定，二面角以及三棱锥的外接球的表面积，以及直线与平面垂直的判定等知识点的综合应用，试题综合性强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力. 其中线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，或是根据面面垂直. ‎ 三、解答题 ‎17．试问取何值时，复数 ‎（1）是实数（2）是虚数（3）是纯虚数 ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】分析：（1）由虚部为，即可求得的值；‎ ‎（2）由虚部不为，即可求得的值；‎ ‎（3）由实部为，虚部不为，即可求得的值；‎ 详解：（1）由条件，解得.‎ ‎（2）由条件，解得 ‎（3）由条件，解得 点睛：本题考查了复数的基本概念和复数的分类，其中熟记复数的分类是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力. ‎ ‎18．如图，直棱柱的底面中，，，棱，如图，以为原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系 ‎（1）求平面的法向量；‎ ‎（2）求直线与平面夹角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）设处平面的法向量的坐标，利用向量的数量积为，即可求解平面的一个法向量；‎ ‎（2）取出向量，利用向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成角的正弦值. ‎ 详解：（1）由题意可知 故 设为平面的法向量，则 ‎， ‎ 令，则 ‎ ‎（2）设直线与平面夹角为， ‎ 点睛：本题考查了平面法向量的求解，以及直线与平面所成的角，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，在高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. ‎ ‎19．某学习小组有个男生和个女生共人：‎ ‎（1）将此人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种 ‎（2）将此人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种 ‎（3）从中选出名男生和名女生分别承担种不同的任务，有多少种选派方法 ‎（4）现有个座位连成一排，仅安排 个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种 ‎【答案】（1）144；（2）3720；（3）432；（4）480.‎ ‎【解析】分析：（1）利用插空法即可求解，先排男生，插入女生即可；（2）现排甲、乙，再排其它运算，即可求解；（3）先选名男生，名女生，再安排任务，即可求解；（4）现把两个空位捆绑，再排列即可求解. ‎ 详解：（1）‎ ‎（2） ‎ ‎（3）‎ ‎（4），或 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．‎ ‎20．设展开式中只有第1010项的二项式系数最大．‎ ‎（1）求n； （2）求;（3）求.‎ ‎【答案】（1）2018；（2）；（3）-1.‎ ‎【解析】分析：（1）根据二项式系数的对称性，即可求解. ‎ ‎（2）令，可得，即可求解；‎ ‎（3）由，根据二项式的性质，即可求解. ‎ 详解：（1）由二项式系数的对称性， ‎ ‎（2） ‎ ‎（3）‎ 点睛：本题考查了二项式定理及其性质的应用，二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．‎ ‎21．如图，已知四棱锥中，侧棱平面，底面是平行四边形，，，，分别是的中点．‎ ‎（1）求证：平面 ‎（2）当平面与底面所成二面角为时，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值. ‎ 详解：（1）证明：∵平面，∴的射影是，的射影是，‎ ‎∵∴∴，且，‎ ‎∴是直角三角形，且，‎ ‎∴，∵平面，∴，‎ 且，∴平面 ‎ ‎（2）解法1：由（1）知 ，且是平行四边形，可知 ，‎ 又∵平面，由三垂线定理可知， ，‎ 又∵由二面角的平面角的定义可知，是平面与底面 所成二面角，故，故在中，，∴，，‎ 从而 ‎ 又在中，，∴在等腰三角形，分别取中点和中点，连接，和，∴中位线，且平面，∴平面，在中，中线，由三垂线定理知，，‎ 为二面角的平面角， ‎ 在中，，，‎ ‎ . ‎ ‎∴二面角的余弦值为 解法2：由(Ⅰ)知，以点为坐标原点，以、、‎ 所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设，则，，，，‎ ‎，，，‎ 则，，‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则由 又是平面的一个法向量，‎ 平面与底面所成二面角为 ‎，解得，‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则由.‎ 又是平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则 ‎，∴ ‎ ‎∴二面角的余弦值为 点睛：本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎22．（1）已知，比较和的大小并给出解答过程；‎ ‎（2）证明：对任意的，不等式成立.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）利用作差法，作差比较法的基本步骤：（1）作差；（2）判断正负；（3）确定大小. ‎ ‎（2）利用数学归纳法证明，即可. ‎ 详解：(1)：. ‎ 由条件= ，， ‎ ‎ . ‎ ‎（2）：证法一 证明：由（1）所得结论得 ‎ ‎ = ‎ 两边开方，命题得证. ‎ 证法二 下面用数学归纳法证明不等式成立.‎ ‎①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.‎ ‎②假设当时不等式成立,即成立.‎ 则当时,左边 所以当时,不等式也成立.‎ 由①、②可得不等式恒成立. .‎ 点睛：本题考查了不等式的基本性质，及数学归纳的应用，试题比较基础，属于基础题，解答中熟记数学归纳法证明的步骤是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎