【数学】河北省衡水市桃城区第十四中学2019-2020学年高二下学期期末考试试卷（解析版）

【数学】河北省衡水市桃城区第十四中学2019-2020学年高二下学期期末考试试卷（解析版）

河北省衡水市桃城区第十四中学2019-2020学年 高二下学期期末考试试卷www.ks5u.com 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，则集合，且的子集的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．“赌金分配”是概率论中非常经典的问题，在一次赌局中，两个赌徒约定谁先赢满5局谁就获得全部赌金，赌了半天，甲贏了局，乙赢了局，由于时间很晚了，他们都不想再赌下去．假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么全部赌金的合理分配方案为（ ）‎ A．甲分，乙分 B．甲分，乙分 C．甲分，乙分 D．甲分，乙分 ‎5．正四面体的外接球与内切球的表面积之比为（ ）‎ A． B． C． D．不确定 ‎6．下列命题中的假命题是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎7．曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．在等比数列中，，，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．过点作圆的弦，则所得弦长的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知，是双曲线()的左、右焦点，点在双曲线上，且轴，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知，，是球的球面上的三点，，，，且球的表面积为，则点到平面的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知，若存在、、、满足，且，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知单位向量满足等式，，则与的夹角为_______．‎ ‎14．记为数列的前项和，若，则_______．‎ ‎15．已知为第四象限的角，，则_______．‎ ‎16．一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好经过点，则下列四个命题：‎ ‎①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；‎ ‎②若往容器内再注升水，则容器恰好能装满；‎ ‎③将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点；‎ ‎④任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点．‎ 其中正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知的内角、、的对边分别为、、，若．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎18．（12分）如图所示，四边形是正方形，平面，，分别是线段，的中点，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求到平面的距离．‎ ‎19．（12分）某省确定从年开始，高考采用“”的模式，取消文理分科，即“”包括语文、数学、外语，为必考科目；“”表示从物理、历史中任选一科；“”表示从生物、化学、地理、政治中任选两科．某高中从高一年级名学生（其中女生人）中，采用分层抽样的方法抽取名学生进行调查．‎ ‎（1）已知抽取的名学生中含男生人，求的值及抽取到的女生人数；‎ ‎（2）学校计划在高二上学期开设物理和历史两个科目的选修课，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）．下表是根据调查结果得到的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择的科目与性别有关？说明你的理由．‎ ‎（3）在（2）的条件下，从抽取的选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，对其选课原因进行深入了解，求选出的人中至少有名女生的概率．‎ 附：，其中．‎ ‎20．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数的图象与直线恰有两个交点，求的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于不同的，两点（点，与点不重合），设直线，的斜率分别为，．‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）当时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎22．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】由题意得，∴集合有个子集．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】设，，，‎ 因为，所以，‎ 即，所以，解得，‎ 所以，故选B．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】因为，，，‎ 所以，故选C．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】由题意得：甲赢的概率为，乙赢的概率为，‎ 所以应该分给甲，分给乙．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】设正四面体的棱长为，外接球半径为，内切球的半径为，‎ 根据图象可得，‎ 整理可得正四面体的外接球与内切球的半径之比为，所以表面积之比为．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】对于B选项，当时，满足，但是，与矛盾，‎ 故选B．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】记，则，‎ 所以曲线在点处的切线斜率为，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 整理得，故选C．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】由等比数列的性质可知，‎ ‎，，，，构成首项为，‎ 公比为的等比数列，所以，即的值为．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】最短的弦为过点且与圆心和点连线垂直的弦，此时弦长为，‎ 最长的弦为直径，故选D．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】设分别为双曲线的半实轴长，半虚轴长，半焦距，‎ 因为，，‎ 所以，故选D．‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】因为，，，所以是直角三角形，‎ 设球的半径为，则球的表面积，∴，‎ 设为三棱锥的顶点到底面的高，‎ 为三棱锥的顶点到底面的高，‎ 则，‎ ‎∵，数形结合可算出的边对应的高为，‎ ‎∴，∴，所以选B．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】作图，依题意可得，且，‎ ‎∴所求，故选B．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】∵为单位向量，∴，，设与的夹角为，‎ ‎∵，∴，‎ 故，解得，∴．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】当时，，即；‎ 当时，①，②，‎ ‎①-②得，即，‎ 所以是公比为，首项为的等比数列，故．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】∵，两边平方得，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵为第四象限的角，∴，，∴，‎ ‎∴．‎ ‎16．【答案】②③‎ ‎【解析】设图（1）水的高度为，几何体的高为，底面边长为，‎ 图（1）中水的体积为，图（2）中水的体积为，‎ 所以，所以，故①错误；‎ 由题意知升水占容器内空间的一半，所以②正确；‎ 当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，中截面将容器内部空间分成相等的两部分，结合题意可知③正确；‎ 假设④正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为，‎ 与题意矛盾，故④不正确，‎ 故答案为②③．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【解】（1）由，得，所以，‎ ‎∵，所以．‎ ‎（2）由正弦定理得，即，‎ 又，所以，所以，‎ 所以，，‎ 所以．‎ ‎18．【解】（1）取中点，连接，，‎ ‎∵，分别是，的中点，∴，，‎ ‎∵为中点，为正方形，∴，．‎ ‎∴，，∴四边形为平行四边形，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴平面．‎ ‎（2）∵平面，∴到平面的距离等于到平面的距离，‎ ‎∵平面，∴，‎ ‎∵，∴在中，，‎ ‎∵平面，∴，‎ ‎∵，，∴平面，‎ ‎∴，则，‎ ‎∵，∴为直角三角形，∴，‎ ‎∵，设到平面的距离为，‎ 则，解得，‎ ‎∴到平面的距离为．‎ ‎19．【解】（1）因为，所以，抽取到的女生人数为．‎ ‎（2）列联表补充如下：‎ 的观测值，‎ 所以有的把握认为选择的科目与性别有关．‎ ‎（3）从名选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽取人，这人中有名男生，记为，，，；有名女生，记为，．‎ 从这人中随机抽取人，所有的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共种，其中至少有名女生的情况为，，，，，，，，，共种，‎ 故所求概率．‎ ‎20．【解】（1）因为，‎ 令，得，，，‎ 由，知和的取值变化情况如下表所示：‎ 所以的递增区间为，，递减区间为与．‎ ‎（2）由（1）得，，‎ ‎，要使的图象与直线恰有两个交点，‎ 只要或，解得或．‎ ‎21．【解】（1）由抛物线的定义，得，∴，‎ ‎∴该抛物线的方程为．‎ ‎（2）证明：由（1）可知，点的坐标为，‎ 当直线斜率不存在时，设，，且，‎ 则，‎ ‎∴，∴，此时，两点重合，舍去；‎ 当直线斜率存在时，设直线的方程为，‎ 设，，联立直线与抛物线的方程，得，‎ 整理，得，∴，，‎ 又，‎ 整理，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，‎ 解得或．‎ 当时，直线为，此时直线恒过定点；‎ 当时，直线为，‎ 此时直线恒过定点（与点重合，舍去），‎ ‎∴直线恒过定点．‎ ‎22．【解】（1）当时，．‎ 当时，，得；‎ 当时，恒成立；‎ 当时，，得，‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎（2）由题知当时，恒成立，‎ 等价于当时，恒成立，‎ 当时，，不满足条件；‎ 当时，由，得，∴，∴，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎