【数学】2018届一轮复习人教A版专题16 平面向量的应用学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版专题16 平面向量的应用学案

专题16 平面向量的应用 ‎1.向量的线性运算.‎ ‎2.向量的坐标运算.‎ ‎3.向量的数量积运算.‎ 例1 证明:平行四边形的对角线互相平分.‎ 变式训练1 如图,▱ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE与AC交于R,AF与BE交于T,证明:BT=4TE.‎ 例2 证明:如果平行四边形的对角线相等,那么该平行四边形是矩形.‎ 变式训练2 如图,在△ABC中,AB,BC,CA的长分别为c,a,b.求证:b2=c2+a2-2accos B.‎ 例3 一条渔船距对岸为4 km,现正以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,求河水的流速.‎ 变式训练3 作用于同一点的两个力F1和F2,|F1|=5,|F2|=3,夹角为60°,求F1+F2的大小.‎ A级 ‎1.一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用,两力大小都为5,则两个力的合力的大小为(  )‎ A.10 N B.0 N C.5 N D. N ‎2.在△ABC中,已知A(4,1)、B(7,5)、C(-4,7),则BC边的中线AD的长是(  )‎ A.2 B. C.3 D. ‎3.已知一物体在共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)的作用下产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为(  )‎ A.lg 2 B.lg 5‎ C.1 D.2‎ ‎4.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则这个三角形是(  )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 ‎5.作用于原点的两个力F1(1,1),F2(2,3),为使它们平衡,需要加力F3=________.‎ ‎6.已知在△ABC中,=a,=b,a·b<0,S△ABC=,|a|=3,|b|=5,则∠BAC=________.‎ ‎7.过点(1,2)且与直线3x-y+1=0垂直的直线的方程是____________.‎ B级 ‎8.向量a=(-1,1),且a与a+2b方向相同,则a·b的范围是(  )‎ A.(1,+∞) B.(-1,1)‎ C.(-1,+∞) D.(-∞,1)‎ ‎9.在△ABC所在平面上有一点P,满足++=,则△PAB与△ABC的面积的比值是(  )‎ A. B. C. D. ‎10.已知|a|=8,|b|=15,|a+b|=17,则a与b的夹角θ为________.‎ ‎11.设O为坐标原点,C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足·=0,则=__________________________________________________.‎ ‎12.已知平面上三点A、B、C满足||=3,||=4,||=5.则·+·+·=______.‎ ‎13.在水流速度为4千米/小时的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行,求船实际航行的速度的大小.‎ 专题16 平面向量的应用 典型例题 例1 证明 如图,设=a,=b,=λ,=μ,‎ 则=a+b,=b-a,‎ 则=λ=λ(a+b)=λa+λb,‎ 又=+=a+μ=a+μ(b-a)‎ ‎=(1-μ)a+μb,‎ 由于向量a、b不共线,所以,‎ 解得λ=μ=,即=,=,‎ 所以平行四边形的对角线互相平分.‎ 变式训练1 证明 如图,设=a,=b,=λ,=μ,‎ 则=a+b,=b-a,‎ 则=λ=λ(+)=λ(a+b)=a+λb,①‎ 又=+=a+μ=a+μ(-)‎ ‎=a+μ(-)=a+μ(b-a)=(1-μ)a+b,②‎ 所以解得μ=,即=,‎ 所以=4,故BT=4TE.‎ 例2 证明 如图,设=a,=b,‎ 则=a+b,=b-a,‎ 由题意,得||=||,‎ 即|a+b|=|b-a|,‎ 所以(a+b)2=(b-a)2,‎ 整理得a·b=0,‎ 故a⊥b,即AB⊥AD,所以该平行四边形是矩形.‎ 变式训练2 证明 ∵=+,‎ ‎∴·=(+)·(+)=2+2·+2‎ ‎=||2+2||·||cos(180°-B)+||2=c2-2accos B+a2,‎ 即b2=c2+a2-2accos B.‎ 例3 解 如图所示,设表示船垂直于对岸的速度,则+=,知就是渔船实际航行的速度.因为航行的时间为4÷2=2(h),‎ 所以在Rt△ABC中,||=2 km/h,||=8÷2=4 km/h,则||=2 km/h.‎ 答 河水的流速为2 km/h.‎ 变式训练3 解 |F1+F2|2=F+2F1·F2+F=25+2×5×3×cos 60°+9=49,所以|F1+F2|=7.‎ 强化提高 ‎1.C ‎2.B [BC中点为D,=,‎ ‎∴||=.]‎ ‎3.D [合力F=F1+F2=(lg 2,lg 2)+(lg 5,lg 2)=(1,2lg 2),‎ 所以W=F·s=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2.]‎ ‎4.B [∵=(2,-2),=(6,6),‎ ‎∴·=12-12=0,‎ ‎∴⊥,∴△ABC为直角三角形.]‎ ‎5.(-3,-4)‎ 解析 F3=-(F1+F2)=(-3,-4).‎ ‎6.150°‎ 解析 ∵·<0,∴∠BAC为钝角,‎ 又∵S△ABC=|a||b|sin∠BAC=.‎ ‎∴sin∠BAC=,∴∠BAC=150°.‎ ‎7.x+3y-7=0‎ 解析 设P(x,y)是所求直线上任一点,‎ 直线3x-y+1=0的方向向量为(1,3),‎ 由(x-1,y-2)·(1,3)=0得x+3y-7=0.‎ ‎8.C [注意a与a+2b同向,‎ 可设a+2b=λa(λ>0),则b=a,‎ 从而a·b=a2=λ-1.‎ 又∵λ>0,∴λ-1>-1.]‎ ‎9.A [由题意可得=2,‎ 所以P是线段AC的三等分点(靠近点A),‎ 易知S△PAB=S△ABC,即S△PAB∶S△ABC=1∶3.]‎ ‎10.90°‎ 解析 |a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=289+240cos θ=289,‎ ‎∴cos θ=0,∴θ=90°.‎ ‎11.± 解析 ∵·=0,∴OM⊥CM,‎ ‎∴OM是圆的切线,设OM的方程为y=kx,‎ 由=,得k=±,即=±.‎ ‎12.-25‎ 解析 △ABC中,B=90°,cos A=,cos C=,‎ ‎∴·=0,·=4×5×=-16,‎ ·=5×3×=-9.‎ ‎∴·+·+·=-25.‎ ‎13.解 如图用v0表示水流速度,v1表示与水流垂直的方向的速度.‎ 则v0+v1表示船实际航行速度,‎ ‎∵|v0|=4,|v1|=8,‎ ‎∴解直角三角形|v0+v1|‎ ‎==4.‎ 故船实际航行的速度为4千米/小时.‎
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