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文档介绍
高科数学专题复习课件：第一章 1_3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础知识
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词 与 存在量词 基础知识 自主学习 课时作业 题型分 类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1. 命题 p ∧ q ， p ∨ q ， 綈 p 的真假判断 知识梳理 p q p ∧ q p ∨ q 綈 p 真 真 ____ 真 假 真 假 ____ 真 假 假 真 假 真 ____ 假 假 假 ____ ____ 真 假 真 假 真 2. 全称量词和存在量词 量词名词 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ___ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ___ ∀ ∃ 3. 全称命题和特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对 M 中任意一个 x ，有 p ( x ) 成立 特称命题 存在 M 中的一个 x 0 ，使 p ( x 0 ) 成立 4. 含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀ x ∈ M ， p ( x ) ∃ x 0 ∈ M ， p ( x 0 ) ∀ x ∈ M ， p ( x ) ∃ x 0 ∈ M ， p ( x 0 ) ∃ x 0 ∈ M ， 綈 p ( x 0 ) ∀ x ∈ M ， 綈 p ( x ) 1. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1) p ∨ q ： p 、 q 中有一个为真，则 p ∨ q 为真，即有真为真； (2) p ∧ q ： p 、 q 中有一个为假，则 p ∧ q 为假，即有假即假； (3) 綈 p ：与 p 的真假相反，即一真一假，真假相反 . 2. 含一个量词的命题的否定的规律是 “ 改量词，否结论 ”. 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 命题 p ∧ q 为假命题，则命题 p 、 q 都是假命题 .( ) (2) 命题 p 和 綈 p 不可能都是真命题 .( ) (3) 若命题 p 、 q 至少有一个是真命题，则 p ∨ q 是真命题 .( ) (4) 命题 綈 ( p ∧ q ) 是假命题，则命题 p ， q 中至少有一个是真命题 .( ) (5) “ 长方形的对角线相等 ” 是特称命题 .( ) (6) 命题 “ 对顶角相等 ” 的否定是 “ 对顶角不相等 ”. ( ) 思考辨析 × √ √ × × × 1. 设命题 p ：函数 y ＝ sin 2 x 的最小正周期 为 ； 命题 q ：函数 y ＝ cos x 的图象关于直线 x ＝ 对称 ，则下列判断正确的 是 A. p 为真 B . 綈 q 为假 C. p ∧ q 为假 D. p ∨ q 为真 考点自测 答案 解析 函数 y ＝ sin 2 x 的最小正周期 为 ＝ π ，故命题 p 为假命题； x ＝ 不是 y ＝ cos x 的对称轴，命题 q 为假命题，故 p ∧ q 为假 . 故选 C. 2. 已知命题 p ， q ， “ 綈 p 为真 ” 是 “ p ∧ q 为假 ” 的 A. 充分不必要 条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 綈 p 为真知 p 为假，可得 p ∧ q 为假； 反之，若 p ∧ q 为假，则可能是 p 真 q 假，从而 綈 p 为假， 故 “ 綈 p 为真 ” 是 “ p ∧ q 为假 ” 的充分不必要条件，故选 A. 3.( 教材改编 ) 下列命题中，为真命题的 是 答案 4.( 2017· 西安 调研 ) 命题 “ 全等三角形的面积一定都相等 ” 的否定 是 A. 全等三角形的面积不一定都相等 B. 不全等三角形的面积不一定都相等 C. 存在两个不全等三角形的面积相等 D. 存在两个全等三角形的面积不相等 答案 解析 命题是省略量词的全称命题，易知选 D. 5.(2015· 山东 ) 若 “ ∀ x ∈ ， tan x ≤ m ” 是真命题，则实数 m 的最小值为 ___. 答案 解析 1 依题意， m ≥ y max ，即 m ≥ 1. ∴ m 的最小值为 1. 题型分类 深度剖析 题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 例 1 (1) 已知命题 p ：对任意 x ∈ R ，总有 2 x >0 ； q ： “ x >1 ” 是 “ x >2 ” 的充分不必要条件，则下列命题为真命题的 是 A. p ∧ q B .( 綈 p ) ∧ ( 綈 q ) C.( 綈 p ) ∧ q D. p ∧ ( 綈 q ) 答案 解析 ∵ p 是真命题， q 是假命题， ∴ p ∧ ( 綈 q ) 是真命题 . (2)(2016· 聊城模拟 ) 若命题 “ p ∨ q ” 是真命题， “ 綈 p 为真命题 ” ， 则 A. p 真， q 真 B. p 假， q 真 C. p 真， q 假 D. p 假， q 假 答案 解析 ∵ 綈 p 为真命题， ∴ p 为假命题， 又 p ∨ q 为真命题， ∴ q 为真命题 . 思维 升华 “ p ∨ q ”“ p ∧ q ”“ 綈 p ” 等形式命题真假的判断步骤 (1) 确定命题的构成形式； (2) 判断其中命题 p 、 q 的真假； (3) 确定 “ p ∧ q ”“ p ∨ q ”“ 綈 p ” 等形式命题的真假 . 跟踪训练 1 已知命题 p ：若 x > y ，则－ x < － y ；命题 q ：若 x > y ，则 x 2 > y 2 . 在命题 ① p ∧ q ； ② p ∨ q ； ③ p ∧ ( 綈 q ) ； ④ ( 綈 p ) ∨ q 中，真命题 是 A. ①③ B. ①④ C . ②③ D. ②④ 答案 解析 当 x > y 时，－ x < － y ， 故命题 p 为真命题，从而 綈 p 为假命题 . 当 x > y 时， x 2 > y 2 不一定成立， 故命题 q 为假命题，从而 綈 q 为真命题 . 由真值表知： ① p ∧ q 为假命题； ② p ∨ q 为真命题； ③ p ∧ ( 綈 q ) 为真命题； ④ ( 綈 p ) ∨ q 为假命题 ，故 选 C. 例 2 不等式 组 的 解集记为 D ，有下面四个命题： p 1 ： ∀ ( x ， y ) ∈ D ， x ＋ 2 y ≥ － 2 ， p 2 ： ∃ ( x ， y ) ∈ D, x ＋ 2 y ≥ 2 ， p 3 ： ∀ ( x ， y ) ∈ D ， x ＋ 2 y ≤ 3 ， p 4 ： ∃ ( x ， y ) ∈ D ， x ＋ 2 y ≤ － 1. 其中的真命题 是 A. p 2 ， p 3 B. p 1 ， p 4 C. p 1 ， p 2 D. p 1 ， p 3 题型二 含有一个量词的命题 命题点 1 全称命题、特称命题的真假 答案 解析 画出不等式 组 的 可行域 D 如图阴影部分所示， 两直线交于点 A (2 ，－ 1) ， 设直线 l 0 的方程为 x ＋ 2 y ＝ 0. 由图象可知， ∀ ( x ， y ) ∈ D ， x ＋ 2 y ≥ 0 ， 故 p 1 为真命题， p 2 为真命题， p 3 ， p 4 为假命题 . 命题点 2 含一个量词的命题的否定 答案 解析 将 “ ∃ ” 改为 “ ∀ ” ，对结论中的 “ > ” 进行否定，可知 C 正确 . (2)(2015· 浙江 ) 命题 “ ∀ n ∈ N * ， f ( n ) ∈ N * 且 f ( n ) ≤ n ” 的否定形式 是 A. ∀ n ∈ N * ， f ( n ) ∉ N * 且 f ( n ) ＞ n B. ∀ n ∈ N * ， f ( n ) ∉ N * 或 f ( n ) ＞ n C. ∃ n 0 ∈ N * ， f ( n 0 ) ∉ N * 且 f ( n 0 ) ＞ n 0 D. ∃ n 0 ∈ N * ， f ( n 0 ) ∉ N * 或 f ( n 0 ) ＞ n 0 答案 解析 由全称命题与特称命题之间的互化关系知选 D. 思维 升华 (1) 判定全称命题 “ ∀ x ∈ M ， p ( x ) ” 是真命题，需要对集合 M 中的每一个元素 x ，证明 p ( x ) 成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个 x ＝ x 0 ，使 p ( x 0 ) 成立 . (2) 对全 ( 特 ) 称命题进行否定的方法 ① 找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词 . ② 对原命题的结论进行否定 . 跟踪训练 2 (1) 下列命题是假命题的 是 A. ∃ α ， β ∈ R ，使 sin( α ＋ β ) ＝ sin α ＋ sin β B. ∀ φ ∈ R ，函数 f ( x ) ＝ sin(2 x ＋ φ ) 都不是偶函数 答案 解析 D. ∀ a >0 ，函数 f ( x ) ＝ ln 2 x ＋ ln x － a 有零点 取 α ＝ 0 时， sin( α ＋ β ) ＝ sin α ＋ sin β ， A 正确； 对于三次函数 y ＝ f ( x ) ＝ x 3 ＋ ax 2 ＋ bx ＋ c ， 当 x → － ∞ 时， y → － ∞ ，当 x → ＋ ∞ 时， y → ＋ ∞ ， 当 f ( x ) ＝ 0 时， ln 2 x ＋ ln x － a ＝ 0 ， 所以 ∀ a >0 ，函数 f ( x ) ＝ ln 2 x ＋ ln x － a 有零点， D 正确，综上可知选 B. (2)( 2017· 福州质检 ) 已知命题 p ： “ ∃ x 0 ∈ R ， ” ，则 綈 p 为 A. ∃ x 0 ∈ R ， B. ∃ x 0 ∈ R ， C. ∀ x ∈ R ， e x － x － 1>0 D. ∀ x ∈ R ， e x － x － 1 ≥ 0 答案 解析 根据全称命题与特称命题的否定关系， 可得 綈 p 为 “ ∀ x ∈ R ， e x － x － 1>0 ” ，故选 C. 题型三 含参数命题中参数的取值范围 例 4 (1) 已知命题 p ：关于 x 的方程 x 2 － ax ＋ 4 ＝ 0 有实根；命题 q ：关于 x 的函数 y ＝ 2 x 2 ＋ ax ＋ 4 在 [3 ，＋ ∞ ) 上是增函数，若 p ∧ q 是真命题，则实数 a 的取值范围是 __________________ ___ _. 答案 解析 若命题 p 是真命题，则 Δ ＝ a 2 － 16 ≥ 0 ， 即 a ≤ － 4 或 a ≥ 4 ；若命题 q 是真命题， ∵ p ∧ q 是真命题， ∴ p ， q 均为真， ∴ a 的取值范围是 [ － 12 ，－ 4] ∪ [4 ，＋ ∞ ). [ － 12 ，－ 4] ∪ [4 ，＋ ∞ ) (2) 已知 f ( x ) ＝ ln( x 2 ＋ 1) ， g ( x ) ＝ ( ) x － m ，若对 ∀ x 1 ∈ [0 , 3] ， ∃ x 2 ∈ [1 , 2] ，使得 f ( x 1 ) ≥ g ( x 2 ) ，则实数 m 的取值范围 是 答案 解析 当 x ∈ [0,3] 时， f ( x ) min ＝ f (0) ＝ 0 ，当 x ∈ [1,2] 时， 引申探究 本 例 ( 2) 中，若将 “ ∃ x 2 ∈ [1,2] ” 改为 “ ∀ x 2 ∈ [1,2] ” ，其他条件不变，则实数 m 的取值范围是 __________. 答案 解析 思维 升华 (1) 已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围 ； ( 2) 含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域 ( 或最值 ) 解决 . 跟踪训练 3 (1) 已知命题 p ： “ ∀ x ∈ [0,1] ， a ≥ e x ” ，命题 q ： “ ∃ x 0 ∈ R ， ＋ 4 x 0 ＋ a ＝ 0 ”. 若命题 “ p ∧ q ” 是真命题，则实数 a 的取值范围 是 A.(4 ，＋ ∞ ) B . [1,4] C. [e,4] D .( － ∞ ，－ 1) 答案 解析 由题意知 p 与 q 均为真命题，由 p 为真，可知 a ≥ e ， 由 q 为真，知 x 2 ＋ 4 x ＋ a ＝ 0 有解，则 Δ ＝ 16 － 4 a ≥ 0 ， ∴ a ≤ 4. 综上可知 e ≤ a ≤ 4. (2) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ＋ 3 ， g ( x ) ＝ log 2 x ＋ m ，对任意的 x 1 ， x 2 ∈ [1,4] 有 f ( x 1 )> g ( x 2 ) 恒成立，则实数 m 的取值范围是 __________. 答案 解析 f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ＋ 3 ＝ ( x － 1) 2 ＋ 2 ， 当 x ∈ [1,4] 时， f ( x ) min ＝ f (1) ＝ 2 ， g ( x ) max ＝ g (4) ＝ 2 ＋ m ， 则 f ( x ) min > g ( x ) max ，即 2>2 ＋ m ，解得 m <0 ， 故实 数 m 的取值范围是 ( － ∞ ， 0). ( － ∞ ， 0) 常用 逻辑用语 高频小考点 1 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下 . 解决这类问题应熟练把握各类内在联系 . 考点分析 典例 1 (1) 已知命题 p ： ∃ x 0 ∈ R ， ＋ 1<2 x 0 ；命题 q ：若 mx 2 － mx － 1<0 恒成立，则－ 4< m <0 ， 那么 A. 綈 p 为 假命题 B. q 为真命题 C. p ∨ q 为假 命题 D. p ∧ q 为真命题 答案 解析 由于 x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ ( x － 1) 2 ≥ 0 ，即 x 2 ＋ 1 ≥ 2 x ，所以 p 为假命题； 对于命题 q ，当 m ＝ 0 时，－ 1<0 恒成立 ，所以 命题 q 为假命题 . 综上可知， 綈 p 为真命题， p ∧ q 为假命题， p ∨ q 为假命题，故选 C. 一、命题的真假判断 (2) 下列命题中错误的个数 为 ① 若 p ∨ q 为真命题，则 p ∧ q 为真命题； ②“ x >5 ” 是 “ x 2 － 4 x － 5>0 ” 的充分不必要条件； ③ 命题 p ： ∃ x 0 ∈ R ， ＋ x 0 － 1<0 ，则 綈 p ： ∀ x ∈ R ， x 2 ＋ x － 1 ≥ 0 ； ④ 命题 “ 若 x 2 － 3 x ＋ 2 ＝ 0 ，则 x ＝ 1 或 x ＝ 2 ” 的逆否命题为 “ 若 x ≠ 1 或 x ≠ 2 ，则 x 2 － 3 x ＋ 2 ≠ 0 ”. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 解析 对于 ① ，若 p ∨ q 为真命题，则 p ， q 至少有一个为真，即可能有一个为假，所以 p ∧ q 不一定为真命题，所以 ① 错误； 对于 ② ，由 x 2 － 4 x － 5>0 可得 x >5 或 x < － 1 ，所以 “ x >5 ” 是 “ x 2 － 4 x － 5>0 ” 的充分不必要条件，所以 ② 正确； 对于 ③ ，根据特称命题的否定为全称命题，可知 ③ 正确； 对于 ④ ，命题 “ 若 x 2 － 3 x ＋ 2 ＝ 0 ，则 x ＝ 1 或 x ＝ 2 ” 的逆否命题为 “ 若 x ≠ 1 且 x ≠ 2 ，则 x 2 － 3 x ＋ 2 ≠ 0 ” ，所以 ④ 错误，所以错误命题的个数为 2 ，故选 B. 典例 2 (1) 已知 p ： x ≥ k ， q ： < 1 ，如果 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 k 的取值范围 是 A.[2 ，＋ ∞ ) B .(2 ，＋ ∞ ) C. [ 1 ，＋ ∞ ) D .( － ∞ ，－ 1 ] 二、求参数的取值范围 答案 解析 即 ( x － 2)( x ＋ 1)>0 ， 解得 x < － 1 或 x >2 ，由 p 是 q 的充分不必要条件，知 k >2 ，故选 B. (2)(2016· 郑州一模 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x ＋ ， g ( x ) ＝ 2 x ＋ a ，若 ∀ x 1 ∈ [ ， 3] ， ∃ x 2 ∈ [2,3] 使得 f ( x 1 ) ≥ g ( x 2 ) ，则实数 a 的取值范围 是 A. a ≤ 1 B. a ≥ 1 C. a ≤ 0 D. a ≥ 0 当且仅当 x ＝ 2 时， f ( x ) min ＝ 4 ， 当 x ∈ [2,3] 时， g ( x ) min ＝ 2 2 ＋ a ＝ 4 ＋ a ， 依题意 f ( x ) min ≥ g ( x ) min ， ∴ a ≤ 0 ，故选 C. 答案 解析 三、利用逻辑推理解决实际问题 典例 3 (1) 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A ， B ， C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市 . 由此可判断乙去过的城市为 ________. 由题意可推断：甲没去过 B 城市，但比乙去的城市多，而丙说 “ 三人去过同一城市 ” ， 说明 甲去过 A ， C 城市，而乙 “ 没去过 C 城市 ” ，说明乙去过 A 城市 ， 由此可知 ，乙去过的城市为 A . A 答案 解析 (2) 对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名； 乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名 . 竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第 ____ 名 . 由题意可知：甲、乙、丙均为 “ p 且 q ” 形式，所以猜对一半者也说了错误 “ 命题 ” ，即只有一个为真，所以可知丙是真命题 ， 因此 中国足球队得了第一名 . 一 答案 解析 课时作业 1. 命题 p ：若 sin x >sin y ，则 x > y ；命题 q ： x 2 ＋ y 2 ≥ 2 xy . 下列命题为假命题的 是 A. p ∨ q B. p ∧ q C. q D . 綈 p √ 答案 解析 命题 p 假， q 真，故命题 p ∧ q 为假命题 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 下列命题中，真命题 是 A. ∀ x ∈ R ， x 2 >0 B . ∀ x ∈ R ，－ 1查看更多