2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§6-2 等差数列及其前n项和（试题部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§6-2 等差数列及其前n项和（试题部分）

‎§6.2　等差数列及其前n项和 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 等差数列 的定义及 通项公式 ‎①理解等差数列的概念.②掌握等差数列的通项公式.③了解等差数列与一次函数的关系 ‎2019课标全国Ⅲ,14,5分 等差数列基本量的计算 求和公式 ‎★★★‎ ‎2016课标全国Ⅱ,17,12分 等差数列基本量的计算 分段函数 等差数列 的性质 能利用等差数列的性质解决相应问题 ‎2015课标Ⅱ,5,5分 等差数列性质的应用 求和公式 ‎★★★‎ 等差数 列的前 n项和 掌握等差数列的前n项和公式 ‎2018课标全国Ⅱ,17,12分 求前n项和的最值 二次函数求最值 ‎★★★‎ ‎2015课标Ⅰ,7,5分 等差数列前n项和公式 等差数列的通项公式 ‎2019课标全国Ⅰ,18,12分 求等差数列的通项公式及前n项和 不等式的求解 分析解读 等差数列是高考考查的重点内容,主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式、等差中项等相关内容.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中低档题.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点一　等差数列的定义及通项公式 ‎1.(2018陕西咸阳12月模拟,7)《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?(　　)‎ A.3尺 B.4尺 C.5尺 D.6尺 答案　C　‎ ‎2.已知正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2an+1‎‎2‎=an+2‎‎2‎+an‎2‎,则a6等于(　　)‎ A.16 B.8 C.4 D.2‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎3.(2018河南开封定位考试,17)已知数列{an}满足a1=‎1‎‎2‎,且an+1=‎2‎an‎2+‎an.‎ ‎(1)求证:数列‎1‎an是等差数列;‎ ‎(2)若bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 答案　(1)证明:∵an+1=‎2‎an‎2+‎an,∴‎1‎an+1‎=‎2+‎an‎2‎an,‎ ‎∴‎1‎an+1‎-‎1‎an=‎1‎‎2‎.‎ ‎∴数列‎1‎an是以2为首项,‎1‎‎2‎为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知an=‎2‎n+3‎,∴bn=‎4‎‎(n+3)(n+4)‎=4‎1‎n+3‎‎-‎‎1‎n+4‎,‎ ‎∴Sn=4‎‎1‎‎4‎‎-‎‎1‎‎5‎‎+‎1‎‎5‎‎-‎‎1‎‎6‎+…+‎‎1‎n+3‎‎-‎‎1‎n+4‎ ‎=4‎1‎‎4‎‎-‎‎1‎n+4‎=nn+4‎.‎ 考点二　等差数列的性质 ‎　(2019湖北宜昌模拟,6)已知数列{an}满足‎5‎an+1‎=25·‎5‎an,且a2+a4+a6=9,则log‎1‎‎3‎(a5+a7+a9)=(　　)‎ A.-3 B.3 C.-‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎ 答案　A　‎ 考点三　等差数列的前n项和 答案　D　‎ ‎2.(2019江西九江高三第一次十校联考,7)已知数列{an}满足2an+1=2an-1(n∈N*),a1=1,S=a1+a4+a7+…+a37,则S的值为(　　)‎ A.130 B.-104 C.-96 D.370‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019福建龙岩永定模拟,10)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=‎3n‎2n+1‎,则a‎11‎b‎11‎=(　　)‎ A.‎18‎‎13‎ B.‎63‎‎23‎ C.‎33‎‎23‎ D.‎‎63‎‎43‎ 答案　D　‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法1　等差数列的判定与证明的方法 ‎　(2019福建三明模拟,17)已知数列{an}中,an=2n-1.‎ ‎(1)证明:数列{an}是等差数列;‎ ‎(2)若数列{an}的前n项和Sn=25,求n.‎ 答案　(1)证明:∵an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2,a1=1,‎ ‎∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为2.‎ ‎(2)由(1)得数列{an}的前n项和Sn=n+‎(n-1)n‎2‎×2=n2,由Sn=25得n2=25,又n>0,解得n=5.‎ 方法2　等差数列前n项和的最值问题的解决方法 ‎1.(2019江西高安模拟,11)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,满足a1+3a2=S6,给出下列结论:(1)a7=0;(2)S13=0;(3)S7最小;(4)S5=S8.其中正确结论的个数是(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　C　‎ ‎2.(2019福建龙岩新罗模拟,12)已知等差数列{an}的公差为-2,前n项和为Sn,a3,a4,a5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120°,若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立,则实数m=(　　)‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019福建龙岩新罗模拟,16)等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,且S6S8,给出下列结论:‎ ‎①数列{an}的公差d<0;②S90,求使得Sn≥an的n的取值范围.‎ 答案　本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和应用能力,主要考查数学运算的核心素养.‎ ‎(1)设{an}的公差为d.‎ 由S9=-a5得a1+4d=0.‎ 由a3=4得a1+2d=4.‎ 于是a1=8,d=-2.‎ 因此{an}的通项公式为an=10-2n.‎ ‎(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(n-9)d‎2‎.‎ 由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.‎ 所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.‎ ‎3.(2018课标全国Ⅱ,17,12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ 答案　(1)设{an}的公差为d,‎ 由题意得3a1+3d=-15.‎ 由a1=-7得d=2.‎ 所以{an}的通项公式为an=2n-9.‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　等差数列的定义及通项公式 ‎1.(2016浙江,8,5分)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(　　)‎ A.{Sn}是等差数列 B.{Sn‎2‎}是等差数列 C.{dn}是等差数列 D.{dn‎2‎}是等差数列 答案　A　‎ ‎2.(2019江苏,8,5分)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是　　　　. ‎ 答案　16‎ 考点二　等差数列的性质 ‎　(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为　　　　. ‎ 答案　5‎ 考点三　等差数列的前n项和 ‎1.(2017浙江,6,4分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C　‎ ‎2.(2019北京,16,13分)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.‎ 答案　本题属等差、等比数列的综合运用,重在考查等差、等比数列的基础知识、基本运算,考查的学科素养为数学运算.‎ ‎(1)设{an}的公差为d.‎ 因为a1=-10,‎ 所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.‎ 因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,‎ 所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).‎ 所以(-2+2d)2=d(-4+3d).‎ 解得d=2.‎ 所以an=a1+(n-1)d=2n-12.‎ ‎(2)由(1)知,an=2n-12.‎ 所以,当n≥7时,an>0;当n≤6时,an≤0.‎ 所以,Sn的最小值为S6=-30.‎ C组　教师专用题组 考点一　等差数列的定义及通项公式 ‎1.(2014辽宁,9,5分)设等差数列{an}的公差为d.若数列{‎2‎a‎1‎an}为递减数列,则(　　)‎ A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0‎ 答案　D　‎ ‎2.(2013安徽,7,5分)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=(　　)‎ A.-6 B.-4 C.-2 D.2‎ 答案　A　‎ ‎3.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=x‎1+x,x≥0,若f1(x)=f(x), fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则f2 014(x)的表达式为　　　　　　　　　　　　　　　. ‎ 答案　f2 014(x)=‎x‎1+2 014x ‎4.(2014浙江,19,14分)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.‎ ‎(1)求d及Sn;‎ ‎(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.‎ 答案　(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,‎ 将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.‎ 因为d>0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),‎ 所以(2m+k-1)(k+1)=65.‎ 由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故‎2m+k-1=13,‎k+1=5,‎ 所以m=5,‎k=4.‎ ‎5.(2015北京,16,13分)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{an}的第几项相等?‎ 答案　(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a4-a3=2,所以d=2.‎ 又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.‎ 所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).‎ ‎(2)设等比数列{bn}的公比为q.‎ 因为b2=a3=8,b3=a7=16,‎ 所以q=2,b1=4.‎ 所以b6=4×26-1=128.‎ 由128=2n+2得n=63.‎ 所以b6与数列{an}的第63项相等.‎ ‎6.(2015福建,17,12分)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=‎2‎an‎-2‎+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.‎ 答案　(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 由已知得a‎1‎‎+d=4,‎‎(a‎1‎+3d)+(a‎1‎+6d)=15,‎ 解得a‎1‎‎=3,‎d=1.‎ 所以an=a1+(n-1)d=n+2.‎ ‎(2)由(1)可得bn=2n+n.‎ 所以b1+b2+b3+…+b10‎ ‎=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)‎ ‎=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)‎ ‎=‎2(1-‎2‎‎10‎)‎‎1-2‎+‎‎(1+10)×10‎‎2‎ ‎=(211-2)+55=211+53=2 101.‎ ‎7.(2013课标Ⅰ,17,12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列‎1‎a‎2n-1‎a‎2n+1‎的前n项和.‎ 答案　(1)设{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)‎‎2‎d.‎ 由已知可得‎3a‎1‎+3d=0,‎‎5a‎1‎+10d=-5.‎解得a1=1,d=-1.‎ 故{an}的通项公式为an=2-n.‎ ‎(2)由(1)知‎1‎a‎2n-1‎a‎2n+1‎=‎1‎‎(3-2n)(1-2n)‎=‎1‎‎2‎‎1‎‎2n-3‎‎-‎‎1‎‎2n-1‎,‎ 从而数列‎1‎a‎2n-1‎a‎2n+1‎的前n项和为 ‎1‎‎2‎‎1‎‎-1‎‎-‎1‎‎1‎+‎1‎‎1‎-‎1‎‎3‎+…+‎1‎‎2n-3‎-‎1‎‎2n-1‎=n‎1-2n.‎ ‎8.(2013江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.‎ ‎(1)求证:a,b,c成等差数列;‎ ‎(2)若C=‎2π‎3‎,求ab的值.‎ 答案　(1)证明:由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,‎ 因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B,‎ 由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.‎ ‎(2)由C=‎2π‎3‎,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以ab=‎3‎‎5‎.‎ 考点二　等差数列的性质 ‎1.(2014课标Ⅱ,5,5分)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(　　)‎ A.n(n+1) B.n(n-1)‎ C.n(n+1)‎‎2‎ D.‎n(n-1)‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2014重庆,2,5分)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=(　　)‎ A.5 B.8 C.10 D.14‎ 答案　B　‎ ‎3.(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:‎ p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列;‎ p3:数列ann是递增数列; p4:数列{an+3nd}是递增数列.‎ 其中的真命题为(　　)‎ A.p1,p2 B.p3,p4‎ C.p2,p3 D.p1,p4‎ 答案　D　‎ 考点三　等差数列的前n项和 答案　D ‎2.(2015安徽,13,5分)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+‎1‎‎2‎(n≥2),则数列{an}的前9项和等于　　　　. ‎ 答案　27‎ ‎3.(2014重庆,16,13分)已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.‎ ‎(1)求an及Sn;‎ ‎(2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.‎ 答案　(1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.‎ 故Sn=1+3+…+(2n-1)=n(a‎1‎+an)‎‎2‎=n(1+2n-1)‎‎2‎=n2.‎ ‎(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.‎ 又因为b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列,‎ 所以bn=b1qn-1=2×4n-1=22n-1.‎ 从而{bn}的前n项和Tn=b‎1‎‎(1-qn)‎‎1-q=‎2‎‎3‎(4n-1).‎ ‎4.(2013浙江,19,14分)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.‎ ‎(1)求d,an;‎ ‎(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.‎ 答案　(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.‎ 所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.‎ ‎(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11,所以当n≤11时,‎ ‎|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-‎1‎‎2‎n2+‎21‎‎2‎n.‎ 当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=‎1‎‎2‎n2-‎21‎‎2‎n+110.‎ 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|‎ ‎=‎‎-‎1‎‎2‎n‎2‎+‎21‎‎2‎n,　　　　n≤11,‎‎1‎‎2‎n‎2‎‎-‎21‎‎2‎n+110,n≥12.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:50分钟　分值:70分 一、选择题(每小题5分,共45分)‎ ‎1.(命题标准样题,4)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S5=2S4,a1=2,则a6=(　　)‎ A.-15 B.-13 C.13 D.15‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018河南开封定位考试,5)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a5=10,S4=16,则数列{an}的公差为(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　B　‎ ‎3.(2020届广西岑溪模拟,4)在等差数列{an}中,a2+a3=1+a4,a5=9,则a8=(　　)‎ A.14 B.15 C.16 D.17‎ 答案　B　‎ ‎4.(2019江西上饶二模,3)已知等差数列{an},a10=10,其前10项和S10=70,则公差d=(　　)‎ A.-‎2‎‎9‎ B.‎2‎‎9‎ C.-‎2‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ 答案　D　‎ 答案　D　‎ ‎6.(2019河北衡水中学二调,3)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对任意n>1,n∈N*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则S10的值为(　　)‎ A.90 B.91 C.96 D.100‎ 答案　B　‎ ‎7.(2019山西运城月考,8)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n=(　　)‎ A.12 B.14 C.16 D.18‎ 答案　B　‎ ‎8.(2019湖北黄冈八模,6)设等差数列{an}的前n项和为Sn,等差数列{bn}的前n项和为Tn,若SnTn=‎2 018n-1‎‎3n+4‎,则a‎3‎b‎3‎=(　　)‎ A.528 B.529 C.530 D.531‎ 答案　D　‎ ‎9.(2020届河南南阳模拟,7)《九章算术》是我国最重要的数学典籍,曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名著之一.其中的“竹九节”问题,题意是:有一根竹子,共九节,各节的容积依次成等差数列.已知较粗的下3节共容4升,较细的上4节共容3升.根据上述条件,这根竹子各节容积的总和是(　　)‎ A.‎201‎‎22‎ B.‎211‎‎22‎ C.‎601‎‎66‎ D.‎‎611‎‎66‎ 答案　A　‎ 二、填空题(共5分)‎ ‎10.(2018四川德阳一模,7)我国古代数学名著《张邱建算经》中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是　　　　. ‎ 答案　195‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎11.(2020届云南玉溪月考,17)设数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,都有Sn=nan-n(n-1).‎ ‎(1)求证:数列{an}是等差数列;‎ ‎(2)若a1=-16,求满足Sn<0的最大正整数n.‎ 答案　(1)证明:因为对任意n∈N*,都有Sn=nan-n(n-1),‎ 所以当n≥2时,Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)(n-2),‎ 所以(n-1)an-(n-1)an-1=2(n-1)(n≥2),‎ 所以an-an-1=2(n≥2),‎ 则数列{an}是以a1为首项,2为公差的等差数列.‎ ‎(2)因为a1=-16,所以an=-16+2(n-1)=2n-18.‎ 则Sn=n(-16+2n-18)‎‎2‎=n2-17n.‎ 由Sn<0,得n2-17n<0,解得00,由00,‎ 可得a2+a4=5,即a1q+a1q3=5②,‎ 由①②解得q=‎1‎‎2‎(q=2舍去),所以a1=8,‎ 则an=8·‎1‎‎2‎n-1‎=24-n.‎ ‎(2)bn=log2an=log224-n=4-n,‎ 可得Sn=‎1‎‎2‎n(3+4-n)=‎7n-‎n‎2‎‎2‎,‎ 故Snn=‎7-n‎2‎,‎ 则S‎1‎‎1‎+S‎2‎‎2‎+…+Snn=3+‎5‎‎2‎+…+‎‎7-n‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎n‎3+‎‎7-n‎2‎=‎13n-‎n‎2‎‎4‎=-‎1‎‎4‎n-‎‎13‎‎2‎‎2‎+‎169‎‎16‎,‎ 可得n=6或7时,S‎1‎‎1‎+S‎2‎‎2‎+…+Snn取最大值‎21‎‎2‎.‎