江苏省启东中学2019-2020学年高二下学期期初考试 数学试题（含答案）

江苏省启东中学2019-2020学年高二下学期期初考试 数学试题（含答案）

第 1 页 共 16 页 江苏省启东中学 2019-2020 学年高二下学期期初考试试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．与曲线 3 5y x x  相切且过原点的直线的斜率为（ ） A．2 B．-5 C．-1 D．-2 2．已知等差数列{ }na 中， 7 9 16 a a ，则 8a 的值是（ ） A．4 B．16 C．2 D．8 3．已知复数 z 满足  z i iz ，则 z  （ ） A． 1 1 2 2 i B． 1 1 2 2 i C． 1 1 2 2   i D． 1 1 2 2 i  4．已知随机变量 8   ，若 ~ (10, 0.4) B ，则 ( )E ， ( )D 分别是（ ） A．4 和 2.4 B．2 和 2.4 C．6 和 2.4 D．4 和 5.6 5．已知抛物线 2:C y x 的焦点为 F ， 0 0( , )A x y 是C 上一点， 0 5| | 4AF x ，则 0x （ ） A．4 B．2 C．1 D．8 6． 411 (1 2 )xx      展开式中 2x 的系数为（ ） A．10 B．24 C．32 D．56 7．设 1F , 2F 是双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   （ ）的左、右焦点，O 是坐标原点．过 2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若 1 6PF OP ，则C 的离心率为（ ） A． 5 B． 3 C． 2 D． 2 8．直线 y＝a 分别与直线 y＝2(x＋1)，曲线 y＝x＋lnx 交于点 A，B，则|AB|的最小值为（ ） A．3 B．2 C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 第 2 页 共 16 页 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．若数列{ }na 对任意 2( )n n N  满足 1 1( 2)( 2 ) 0n n n na a a a     ，下面选项中关于 数列{ }na 的命题正确的是（ ） A．{ }na 可以是等差数列 B．{ }na 可以是等比数列 C．{ }na 可以既是等差又是等比数列 D．{ }na 可以既不是等差又不是等比数列 10．已知函数 ( )f x 的定义域为 R 且导函数为 '( )f x ，如图是函数 '( )y xf x 的图像，则下 列说法正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的增区间是 ( 2,0),(2, )  B．函数 ( )f x 的增区间是   , 2 , 2,   C． 2x   是函数的极小值点 D． 2x  是函数的极小值点 11．设椭圆的方程为 2 2 12 4 x y  ，斜率为 k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于 ,A B 两 点， M 为线段 AB 的中点.下列结论正确的是（ ） A．直线 AB 与OM 垂直； B．若点 M 坐标为 1,1 ，则直线方程为 2 3 0x y   ； C．若直线方程为 1y x  ，则点 M 坐标为 1 3,3 4      D．若直线方程为 2y x  ，则 4 23AB  . 12．下列说法中，正确的命题是（ ） A．已知随机变量 服从正态分布  22,N  ，  4 0.84P    ，则  2 4 0.16P    ． B．以模型 kxy ce 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 lnz y ，将其变换后得到 线性方程 0.3 4z x  ，则 c ， k 的值分别是 4e 和 0.3． C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 y a bx  ，若 2b  ， 1x  ， 3y  ， 则 1a  ． 第 3 页 共 16 页 D．若样本数据 1x ， 2x ，…， 10x 的方差为 2，则数据 12 1x  ， 22 1x  ，…， 102 1x  的方 差为 16． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．。 13．两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为 2 3 和 3 4 ，则这两个零件中恰有 一个一等品的概率为__________. 14．某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁 4 个小朋友分发 5 本不同的课外书，则每个小朋友 至少分得 1 本书的不同分法数为______. 15．若 5(2 )ax x  的展开式中各项系数之和为 0,则展开式中含 3x 的项为__________. 16．已知函数    2lnpf x px x f xx    ，若 在定义域内为单调递增函数，则实数 p 的 最小值为_________；若 p>0，在[1,e]上至少存在一点 0x ，使得  0 0 2ef x x  成立，则实数 p 的取值范围为_________．(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 17．(本小题满分 10 分) 已知等差数列 na 的首项为 1，公差 0d  ，且 8a 是 5a 与 13a 的等比中项. （1）求数列 na 的通项公式； （2）记   1 1 n n n b n Na a     ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 18．(本小题满分 12 分) 某品牌汽车 4S 店，对该品牌旗下的 A 型、B 型、C 型汽车进行维修保养，汽车 4S 店记录 了 100 辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表： 第 4 页 共 16 页 车型 A 型 B 型 C 型 频数 20 40 40 假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的 100 辆该品牌三种类型汽车中随机取 10 辆进行 问卷回访． （1）求 A 型、B 型、C 型各车型汽车抽取的数目； （2）维修结束后这 100 辆汽车的司机采用“100 分制”打分的方式表示对 4S 店的满意度，按 照大于等于 80 为优秀，小于 80 为合格，得到如下列联表： 优秀 合格 合计 男司机 10 38 48 女司机 25 27 52 合计 35 65 100 问能否在犯错误概率不超过 0.01 的前提下认为司机对 4S 店满意度与性别有关系？请说明原 因． （参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( )      n ad bcK a b c d a c b d ） 附表：  2P K k 0.100 0.050 0.010 0.001 K 2.706 3.841 6.635 10.828 19．(本小题满分 12 分) 设函数 2( ) (ln 1)f x x a x   . （1）当 1a  时，求 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； 第 5 页 共 16 页 （2）当 2 ea  时，判断函数 ( )f x 在区间 0, 2 a      是否存在零点？并证明. 20．(本小题满分 12 分) 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用 7 场 4 胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响， 只要有一队获胜 4 场就结束比赛.现已比赛了 4 场，且甲篮球队胜 3 场，已知甲球队第 5,6 场获胜的概率均为 3 5 ，但由于体力原因，第 7 场获胜的概率为 2 5 . （1）求甲对以 4:3 获胜的概率； （2）设 X 表示决出冠军时比赛的场数，求 X 的分布列及数学期望. 21．(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 : 16 3 x yC   ，若圆 2 2 2:O x y R  ( 0)R  的一条切 线与椭圆C 有两个交点 ,A B ，且 0OA OB   . 第 6 页 共 16 页 （1）求圆 O 的方程； （2）已知椭圆 C 的上顶点为 M ，点 N 在圆O 上，直线 MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且 2MN NQ  ，求直线 MN 的方程. 22．(本小题满分 12 分) 已知函数   ln ( 2) (f x x a x a   是常数），此函数对应的曲线  y f x 在点 (1, (1))f 处 的切线与 x 轴平行. （1）求 a 的值，并求  f x 的最大值； （2）设 0m  ，函数   31 , (1,2)3g x mx mx x   ，若对任意的 1 (1,2)x  ，总存在 2 (1,2)x  ， 使 1 2( ) ( ) 0f x g x  ，求实数 m 的取值范围. 第 7 页 共 16 页 参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．与曲线 3 5y x x  相切且过原点的直线的斜率为（ ） A．2 B．-5 C．-1 D．-2 【答案】B 2．已知等差数列{ }na 中， 7 9 16 a a ，则 8a 的值是（ ） A．4 B．16 C．2 D．8 【答案】D 3．已知复数 z 满足  z i iz ，则 z  （ ） A． 1 1 2 2 i B． 1 1 2 2 i C． 1 1 2 2   i D． 1 1 2 2 i  【答案】A 4．已知随机变量 8   ，若 ~ (10, 0.4) B ，则 ( )E ， ( )D 分别是（ ） A．4 和 2.4 B．2 和 2.4 C．6 和 2.4 D．4 和 5.6 【答案】A 5．已知抛物线 2:C y x 的焦点为 F ， 0 0( , )A x y 是C 上一点， 0 5| | 4AF x ，则 0x （ ） A．4 B．2 C．1 D．8 【答案】C 6． 411 (1 2 )xx      展开式中 2x 的系数为（ ） A．10 B．24 C．32 D．56 【答案】D 7．设 1F , 2F 是双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   （ ）的左、右焦点，O 是坐标原点．过 2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若 1 6PF OP ，则C 的离心率为（ ） 第 8 页 共 16 页 A． 5 B． 3 C． 2 D． 2 【答案】B 8．直线 y＝a 分别与直线 y＝2(x＋1)，曲线 y＝x＋lnx 交于点 A，B，则|AB|的最小值为（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．若数列{ }na 对任意 2( )n n N  满足 1 1( 2)( 2 ) 0n n n na a a a     ，下面选项中关于 数列{ }na 的命题正确的是（ ） A．{ }na 可以是等差数列 B．{ }na 可以是等比数列 C．{ }na 可以既是等差又是等比数列 D．{ }na 可以既不是等差又不是等比数列 【答案】ABD 10．已知函数 ( )f x 的定义域为 R 且导函数为 '( )f x ，如图是函数 '( )y xf x 的图像，则下 列说法正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的增区间是 ( 2,0),(2, )  B．函数 ( )f x 的增区间是   , 2 , 2,   C． 2x   是函数的极小值点 D． 2x  是函数的极小值点 【答案】BD 11．设椭圆的方程为 2 2 12 4 x y  ，斜率为 k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于 ,A B 两 点， M 为线段 AB 的中点.下列结论正确的是（ ） A．直线 AB 与OM 垂直； B．若点 M 坐标为 1,1 ，则直线方程为 2 3 0x y   ； C．若直线方程为 1y x  ，则点 M 坐标为 1 3,3 4      第 9 页 共 16 页 D．若直线方程为 2y x  ，则 4 23AB  . 【答案】BD 12．下列说法中，正确的命题是（ ） A．已知随机变量 服从正态分布  22,N  ，  4 0.84P    ，则  2 4 0.16P    ． B．以模型 kxy ce 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 lnz y ，将其变换后得到 线性方程 0.3 4z x  ，则 c ， k 的值分别是 4e 和 0.3． C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 y a bx  ，若 2b  ， 1x  ， 3y  ， 则 1a  ． D．若样本数据 1x ， 2x ，…， 10x 的方差为 2，则数据 12 1x  ， 22 1x  ，…， 102 1x  的方 差为 16． 【答案】BC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．。 13．两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为 2 3 和 3 4 ，则这两个零件中恰有 一个一等品的概率为__________. 【答案】 5 12 14．某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁 4 个小朋友分发 5 本不同的课外书，则每个小朋友 至少分得 1 本书的不同分法数为______. 【答案】240 15．若 5(2 )ax x  的展开式中各项系数之和为 0,则展开式中含 3x 的项为__________. 【答案】 3160x 16．已知函数    2lnpf x px x f xx    ，若 在定义域内为单调递增函数，则实数 p 的 最小值为_________；若 p>0，在[1,e]上至少存在一点 0x ，使得  0 0 2ef x x  成立，则实数 p 的取值范围为_________．(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 第 10 页 共 16 页 【答案】1， 2 4 ,1 e e     四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 17．(本小题满分 10 分) 已知等差数列 na 的首项为 1，公差 0d  ，且 8a 是 5a 与 13a 的等比中项. （1）求数列 na 的通项公式； （2）记   1 1 n n n b n Na a     ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 【解】 (1)设等差数列 na 的公差为 d ，  8a 是 5a 与 13a 的等比中项. 2 8 5 13=a a a 即    2 1 1 17 4 12a d a d a d    0d  或 2d  ； ……………2 分 0d  2d  2 1na n   ……………4 分 (2)由（1）知 2 1na n    1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n b a a n n n n            ……………7 分 1 2 3n nT b b b b      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 1 3 3 5 5 7 2 1 2 1 2 2 1 2 1 n n n n n                         . ……………10 分 18．(本小题满分 12 分) 某品牌汽车 4S 店，对该品牌旗下的 A 型、B 型、C 型汽车进行维修保养，汽车 4S 店记录 了 100 辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表： 第 11 页 共 16 页 车型 A 型 B 型 C 型 频数 20 40 40 假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的 100 辆该品牌三种类型汽车中随机取 10 辆进行 问卷回访． （1）求 A 型、B 型、C 型各车型汽车抽取的数目； （2）维修结束后这 100 辆汽车的司机采用“100 分制”打分的方式表示对 4S 店的满意度，按 照大于等于 80 为优秀，小于 80 为合格，得到如下列联表： 优秀 合格 合计 男司机 10 38 48 女司机 25 27 52 合计 35 65 100 问能否在犯错误概率不超过 0.01 的前提下认为司机对 4S 店满意度与性别有关系？请说明原 因． （参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( )      n ad bcK a b c d a c b d ） 附表：  2P K k 0.100 0.050 0.010 0.001 K 2.706 3.841 6.635 10.828 【解】 （1）A、B、C 型汽车抽取数目分别为 20 10 2100   ， 40 10 4100   ， 40 10 4100   ， ……………3 分 （2）根据题意， 2 2 2 ( ) 100 (27 10 38 25)=( )( )( )( ) 35 65 52 48             n ad bcK a b c d a c b d 8.1431 ……………8 分 8.1431 6.635 第 12 页 共 16 页 所以能在犯错误概率不超过 0.01 的前提下，认为司机对 4S 店满意度与性别有关系． ……………10 分 答：（1）A、B、C 型汽车抽取数目分别为 2，4，4 （2）在犯错误概率不超过 0.01 的前提下，认为司机对 4S 店满意度与性别有关系 ……………12 分 19．(本小题满分 12 分) 设函数 2( ) (ln 1)f x x a x   . （1）当 1a  时，求 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （2）当 2 ea  时，判断函数 ( )f x 在区间 0, 2 a      是否存在零点？并证明. 【解】 函数 ( )f x 的定义域为(0, ), 22( ) 2 a x af x x x x     . （1）当 1a  时， 2( ) ln 1,f x x x   21 2 1( ) 2 xf x x x x     ， 又 (1) 0f  ，切点坐标为 (1,0) ，切线斜率为 (1) 1k f   ， 所以切线方程为 1y x  ； ……………4 分 （2）当 0, 2 ax      时， 22( ) 0x af x x    ， 所以 ( )f x 在 0, 2 a      上单调递减， ……………6 分 当 2 ea  时， ln 1 02 2 2 a a af               ， 又 1 10 e ea    1 1 e e 2 a    1 2 2 2 0a af e e a      ， ……………10 分 所以函数 ( )f x 在 0, 2       a 上存在零点. ……………12 分 第 13 页 共 16 页 20．(本小题满分 12 分) 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用 7 场 4 胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响， 只要有一队获胜 4 场就结束比赛.现已比赛了 4 场，且甲篮球队胜 3 场，已知甲球队第 5,6 场获胜的概率均为 3 5 ，但由于体力原因，第 7 场获胜的概率为 2 5 . （1）求甲对以 4:3 获胜的概率； （2）设 X 表示决出冠军时比赛的场数，求 X 的分布列及数学期望. 【解】 （1）设甲队以 4:3获胜的事件分别为 B ∵甲队第 5，6 场获胜的概率均为 3 5 ，第 7 场获胜的概率为 2 5 ， ∴   23 2 81 5 5 125          ∴甲队以 4:3获胜的概率分别为 125 8 ……………4 分 （2）随机变量 X 的可能取值为 5，6，7 ∴   35 5       3 3 66 1 5 5 25             2 23 2 3 2 47 1 1 15 5 5 5 25                           ……………7 分 ∴随机变量 X 的分布列为 ……………9 分 ∴   3 6 4 1395 6 75 25 25 25          ……………12 分 21．(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 : 16 3 x yC   ，若圆 2 2 2:O x y R  ( 0)R  的一条切 线与椭圆C 有两个交点 ,A B ，且 0OA OB   . X 5 6 7  3 5 6 25 4 25 第 14 页 共 16 页 （1）求圆 O 的方程； （2）已知椭圆 C 的上顶点为 M ，点 N 在圆O 上，直线 MN 与椭圆C 相交于另一点Q ， 且 2MN NQ  ，求直线 MN 的方程. 【解】 （1）设圆的切线为 y kx b  ，点    1 1 2 2, , ,A x y B x y . 由方程组 2 2 , 1,6 3 y kx b x y     所以  2 2 21 2 4 2 6 0k x kbx b     ， 得 2 1 2 1 22 2 4 2 6,1 2 1 2 kb bx x x xk k      . ……………2 分 因为 0OA OB   ， 所以    1 1 2 2, , 0x y x y  ，即 1 2 1 2 0x x y y  . 又因为点    1 1 2 2, , ,A x y B x y 在直线 y kx b  上， 所以   1 2 1 2 0x x kx b kx b    ， 即    2 2 1 2 1 21 0k x x kb x x b     . 所以   2 2 2 2 2 2 2 1 2 6 4 01 2 1 2 k b k b bk k       ， 化简得 2 22 2b k  ， ……………4 分 所以圆O 的半径 2 | | 2 1 bR k    ，所以圆O 的方程为 2 2 2x y  . ……………5 分 当切线 AB 为 2 x 时，易得圆O 的方程为 2 2 2 x y ……………6 分 （2）设点  0 0,Q x y ，点 (0, 3)M ， 由 2MN NQ  ，得 0 02 2 3,3 3 x yN       . ……………7 分 第 15 页 共 16 页 代入椭圆和圆得 2 2 0 0 22 0 0 1,6 3 2 2 3 2,3 3 x y x y                 解得 0 0 3 2 ,2 3 2 x y       或者 0 0 3 2 ,2 3 .2 x y      所以点 3 2 3,2 2Q       或 3 2 3,2 2Q      . ……………10 分 故直线 MN 的方程为 6 32y x  或 6 32y x   ． ……………12 分 22．(本小题满分 12 分) 已知函数   ln ( 2) (f x x a x a   是常数），此函数对应的曲线  y f x 在点 (1, (1))f 处 的切线与 x 轴平行. （1）求 a 的值，并求  f x 的最大值； （2）设 0m  ，函数   31 , (1,2)3g x mx mx x   ，若对任意的 1 (1,2)x  ，总存在 2 (1,2)x  ， 使 1 2( ) ( ) 0f x g x  ，求实数 m 的取值范围. 【解】 （1）对  f x 求导，得   1 2f x ax    ， 由题意可得  1 1 2 0f a    ， 解得 1a  ， ……………1 分 故   lnf x x x  ， 又定义域为 0, ，且   1 11 xf x x x    ， 当 0 1x  时，   0f x  ，  f x 单调递增， 当 1x  时，   0f x  ，  f x 单调递减， ……………2 分 所以当 1x  时，  f x 有极大值，也为最大值且    max 1 ln1 1 1f x f     . 第 16 页 共 16 页 ……………3 分 （2）设     1,2f x x 的值域为     , 1,2A g x x 的值域为 B , 由题意“对于任意的  1 1,2x  ，总存在  2 1,2x  使得    1 2 0f x g x  ”，等价于 A B ， ……………4 分 由（1）知   1 xf x x   ， 因为  1,2x ，所以   0f x  ，故  f x 在  1,2x 上单调递减， 所以      1 2f f x f  ， 即  ln2 2 1f x    ， 所以  ln2 2, 1A    ， ……………7 分 因为   31 3g x mx mx  ， 所以     2 1 1g x mx m m x x     ， 因为 0m  ，故   0g x  ， 所以  g x 在  1,2x 上是增函数， 所以      g 1 2 g x g ， 即  2 2 3 3m g x m   ， 故 2 2,3 3B m m     ……………10 分 由 A B ，得 2 0 13 2 2 23 m m ln        ， 解得 33 ln22m   ， 所以实数 m 的取值范围是 33 ln2,2     . ……………12 分