新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：1-7-3 正切函数的图象与性质 课件（62张）

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7.3　正切函数的图象与性质 必备知识·自主学习 1.正切曲线:正切函数的图象称作正切曲线. 思考 正切曲线有什么特征? 提示:正切曲线是由被相互平行的直线x= +kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组 成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线. 导 思 1.什么叫正切曲线? 2.正切函数的主要性质有哪 些? 2  2.正切函数的图象与性质 注意:正切函数在每一个开区间 ,k∈Z上单调递增.但是正切函 数y=tan x在定义域上不是增函数. k k 2 2       （ ， ） 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R. (　　) (2)正切函数在整个定义域上是增函数. (　　) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值. (　　) (4)正切函数的图象既是轴对称图形,也是中心对称图形.(　　) 提示:(1)×.正切函数的定义域为 ,值域为R,故(1)错; (2)×.正切函数在区间 ,k∈Z上单调递增,但在整个定义域内 不单调,故(2)错; (3)√.正切函数的值域为R,无最大值和最小值,故(3)正确; (4)×.正切函数的图象是中心对称图形,不是轴对称图形,故(4)错. x R x k ,k Z 2           k k 2 2       （ ， ） 2.函数y=tan 的定义域是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.由x- ≠ +kπ,k∈Z, 得x≠kπ+ ,k∈Z.所以y=tan 的定义域为 (x ) 3   5x R x 2k ,k Z 6          5x R x k ,k Z 6          5x R x 2k ,k Z 6          5x R x k ,k Z 6          3  2  5 6  (x ) 3   5x R x k ,k Z 6          3.函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为 (　　) A. 　　　B. 　　　C.π　　　D.2π 【解析】选B.最小正周期T= . 4  2  2  4.(教材二次开发:例题改编)函数y=tan 的单调递增区间是 (　　) A. ,k∈Z B. ,k∈Z C. ,k∈Z D. ,k∈Z 【解析】选A.由- +kπ< x+ < +kπ,k∈Z,解得x∈ ,k∈Z. ( x ) 2 3    5 1( 2k, 2k) 3 3    5 1( k k ) 3 3     ， 5 5( k k) 3 3   ， 5( 2k 2k) 3 3     ， 2  2  2  3  5 1( 2k, 2k) 3 3    关键能力·合作学习 类型一　求正切函数的定义域(数学运算) 【典例】求函数的定义域:(1)y=tan ;(2)y= . 【思路导引】(1)根据x+ ≠ +kπ,k∈Z求解; (2)根据正切函数的图象解关于正切函数的不等式即可. (x ) 4 ＋ 3 tan x 2  4  【解析】(1)由x+ ≠kπ+ (k∈Z)得x≠kπ+ ,k∈Z, 所以函数y=tan 的定义域为 . (2)由 -tan x≥0得tan x≤ . 结合y=tan x的图象可知在 上, 满足tan x≤ 的角x应满足- 0)的定义域时要将“ωx+φ”视为 一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+ ,k∈Z解得x的取值范围. 2  2  【跟踪训练】 (2020·武汉高一检测)求函数y= 的定义域. 【解析】要使函数有意义,则有1+tan x≠0, 所以tan x≠-1,所以x≠kπ- 且x≠kπ+ ,k∈Z. 因此函数y= 的定义域为 . 1 1 tan x＋ 4  2  1 1 tan x＋ x x k x k k Z 4 2            且 ＋ ， 类型二　与正切函数有关的周期性、奇偶性问题(逻辑推理) 【典例】(1)求f(x)=tan 的周期; (2)判断y=sin x+tan x的奇偶性. 四步 内容 理解 题意 条件:已知函数解析式 结论:求函数的周期或判断函数的奇偶 性 思路 探求 (1)根据函数周期性的定义求解; (2)利用奇偶性的定义判断. (2x ) 3 ＋ 题后 反思 判断函数的奇偶性,除了利用定义外,还可以 根据复合函数的奇偶性进行判断.如奇+奇= 奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇等. 【解题策略】 1.函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法: (1)定义法. (2)公式法:对于函数f(x)=Atan(ωx+φ)的最小正周期T= . (3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少,函数值重复出现. 2.判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称, 则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系. | |   【跟踪训练】 判断函数f(x)=lg 的奇偶性. 【解析】由 >0得tan x>1或tan x<-1. 所以函数定义域为 ∪ (k∈Z),关于原点对称. f(-x)+f(x)=lg +lg =lg =lg 1=0. 所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数. tan x 1 tan x 1 ＋ tan x 1 tan x 1 ＋ (k k ) 4 2    ＋ ， ＋(k k ) 2 4    ， tan x 1 tan x 1 ＋tan ( x) 1 tan ( x) 1    ＋ tan x 1 tan x 1( ) tan x 1 tan x 1     ＋ ＋ 类型三　正切函数的单调性及应用(逻辑推理、直观想象) 角度1　求单调区间  【典例】(2020·潍坊高一检测)求函数y=tan 的单调区间. 【思路导引】利用整体法,根据复合函数的单调性进行求解. 【解析】y=tan =-tan , 由kπ- < x- -tan , 所以tan >tan . 12( ) 5   13( ) 4   13( ) 4   3( 4 ) 4   ＋ 3 4  4  12( ) 5   2( 2 ) 5    2( ) 5   2 5  2  4  2 5  0, 2 （ ） 4  2 5  2 5  4  13( ) 4   12( ) 5   角度3　求最值或值域  【典例】(2020·合肥高一检测)已知f(x)=tan2x-2tan x ,求f(x)的值 域. 【思路导引】利用换元法转化为二次函数求值域问题来解决. 【解析】令u=tan x,因为|x|≤ ,所以u∈[- , ], 所以函数化为y=u2-2u.对称轴为u=1∈[- , ]. 所以当u=1时,ymin=1 2-2×1=-1. 当u=- 时,ymax=3+2 . 所以f(x)的值域为[-1,3+2 ]. ( x ) 3   3  33 33 33 3 【变式探究】 若将本例中的x改为x∈ ,结果又将如何? 【解析】令u=tan x,易得u∈[0,1], 当u=1时,ymin=1 2-2×1=-1. 当u=0时,ymax=0.所以f(x)的值域为[-1,0]. 0, 4      【解题策略】 1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换” 的思想,令kπ- <ωx+φ0且tan ,tan <0. 又正切函数在 上单调递增,故tan 0. 故y=lg tan x的单调递增区间为 ,k∈Z. ( 2x) 3   ( 2x) 3   (2x ) 3   3  2  2  k 2  12  k 2  5 12  ( 2x) 3   k k 5( , ) 2 12 2 12       (k ,k ) 2    3.(2020·长沙高一检测)求函数f(x)=tan2x+2tan x+5在x∈ 时的值域. 【解析】因为x∈ ,所以tan x∈[1,+∞), 因为f(x)=tan2x+2tan x+5= +4, 所以tan x=1时,f(x)min=8,函数无最大值, 所以值域为[8,+∞). , ) 4 2    , ) 4 2    2tanx 1（ ） 1.在(0,π)内,使tan x>- 成立的x的取值范围为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. ∪ C. ∪ D. 【解析】选B.画出y=tan x(0- ,在(0,π)上解集为 ∪ . 课堂检测·素养达标 3 2(0, ) 3  ( ) 3 2  ， (0, ) 2  2( , ) 3   (0, ) 2  2( , ) 2 3   3 (0, ) 2  2( , ) 3  3 2.函数y=tan 是 (　　) A.最小正周期为4π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为4π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数 【解析】选B.该函数为奇函数,其最小正周期为T= =2π. 1 2  2  3.关于函数y=tan ,下列说法正确的是 (　　) A.是奇函数 B.在区间 上单调递增 C. 为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π 【解析】选C.2× + = , 所以 是函数y=tan 图象的一个对称中心. 2(2x ) 3   7( , ) 12 12   ( ,0) 12   ( ) 12   2 3  2  ( ,0) 12   2(2x ) 3   4.设函数f(x)= 为奇函数,则k=________.  【解析】已知tan x和f(x)都是奇函数,且定义域的交集关于原点对称,由奇偶 性的运算性质,得(x+2)(x+k)=f(x)tan x是偶函数, 则(x+2)(x+k)=x2+(k+2)x+2k的对称轴为y轴,所以k+2=0,即k=-2. 答案:-2   x 2 x k tan x   5.(教材二次开发:练习改编)(2020·西安高一检测)不通过求值,比较下列各 组中两个正切值的大小. (1)tan 与tan ; (2)tan 与tan . ( 47 ) ( 52 )  17 5 13 4  【解析】(1)-90°<-52°<-47°<0°, 且y=tan x在 内为增函数, 所以tan 0)的图象相邻两支的交点的距离为 ______.  【解析】直线y=a与函数y=tan ωx的图象相邻两支的交点的距离正好是一个 周期. 答案:   6.(2020·宁波高一检测)函数y=lg 的定义域为________.  【解析】由题可知 -tan x>0,所以tan x< . 所以- +kπ0,f =tan =tan <0, 所以f >f ,故D不正确. (2x ) 3  x（ ） x（ ） 2  x（ ） 3  k 2  k 4  6  6  ( ,0) 6  x（ ） 2( ) 5  2(2 ) 5 3     7 15  3( ) 5  3(2 ) 5 3     13 15  2( ) 5  3( ) 5  3.(2020·北京高一检测)已知函数f(x)=-2tan(2x+φ), ,其函数图象的 一个对称中心是 ,则该函数的一个单调递减区间是(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.因为 是函数的对称中心,所以2× +φ= (k∈Z), 解得φ= - (k∈Z),因为0<φ< ,所以φ= ,f(x)=-2tan , 令- +kπ<2x+ < +kπ(k∈Z),解得- + b>c B.aa>c D.btan 2>tan(5-π). , 2  （ ） 二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错 的得0分) 5.下列说法错误的是 (　　) A.y=sin x在第一象限是增函数 B.y=cos 的最小正周期为2π C.y=tan x是增函数 D.y=tan x的所有对称中心坐标为 ,k∈Z x (k ,0 ） 【解析】选ACD.由于390°>30°,且都是第一象限角,sin 390°=sin 30°= , 故函数y=sin x在第一象限不是增函数,故A不正确. y=cos =cos x其最小正周期为2π,故B正确; y=tan x的单调递增区间为 ,k∈Z,故C不正确; 由于函数y=tan x的图象的对称中心是 ,k∈Z,故D不正确. x 1 2 k , k 2 2       （ ） k( ,0 2  ） 6.下列函数中,周期为π,且在 上为增函数的是 (　　) A.y=tan B.y=tan C.y=cos D.y=sin 【解析】选AC.对于A选项,函数y=tan 的周期为π,且在 上为增函数, 符合题意,故A选项正确.对于B选项,函数y=tan 的周期为 ,不合题意, 故B选项错误.对于C选项,函数y=cos =sin 2x的周期为π,且在 上为 增函数,符合题意,故C选项正确. 对于D选项,函数y=sin =cos 2x在 上为减函数,不符合题意,故D选 项错误. (0, ) 4  (2x ) 2  (x ) 2   (2x ) 2   (2x ) 2   (x ) 2   (0, ) 4  (2x ) 2   2  (2x ) 2   (0, ) 4  (2x ) 2   (0, ) 4  三、填空题(每小题5分,共10分) 7.函数y=tan 的单调递增区间为______.  【解析】令- +kπ< x+ < +kπ,k∈Z,解得-5+6k0且tan x>1, 由sin x>0得x∈ ,k∈Z.由tan x>1得x∈ ,k∈Z. 因为 ∩ = ,k∈Z, 所以原函数的定义域为 ,k∈Z. 答案: ,k∈Z  lg sin x tan x 1  lg sin x tan x 1 (2k ,2k  ） k ,k ) 4 2     (2k ,2k  ） k ,k ) 4 2     2k ,2k ) 4 2     2k ,2k ) 4 2     2k ,2k ) 4 2     四、解答题(每小题10分,共20分) 9.已知函数f(x)= . (1)求函数f(x)的定义域; (2)用定义判断函数f(x)的奇偶性; (3)在 上作出函数f(x)的图象. sin x cos x  ,  【解析】(1)由cos x≠0,得x≠kπ+ (k∈Z), 所以函数f(x)的定义域是 . (2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称, 因为f(-x)= = =-f(x), 所以f(x)是奇函数. 2  x x k (k Z) 2         sinx cos x sin( x) cos ( x)   (3)f(x)= 所以f(x)在 上的图象如图所示, tan x, x 2 2 tan x, x x 2 2                 ， 或 ，  ,  10.(2020·上海高一检测)求下列函数的值域: (1)y= ,x∈ ; (2)y=tan2x+3tan x-1,x∈ . 1 tan x 1 tan x   ( ,0) 2   , 3 4      【解析】(1)因为y= ,x∈ , 所以tan x∈ ,令t=tan x,则t∈ ,所以y= , 因为t∈ ,所以t-1∈ , ∈ , ∈ ,-1+ ∈ , 即y∈ . 1 tan x 1 tan x   ( ,0) 2   1 t 21 1 t t 1        ,0（ ） ,0（ ） ,0（ ） , 1 （ ） 1 t 1 1,0（ ） 2 t 1   0,2（ ） 2 t 1   1,1（ ） 1,1（ ） (2)因为y=tan2x+3tan x-1,x∈ , 所以tan x∈ ,令m=tan x,m∈ , 所以y=f(m)=m2+3m-1= , 所以f(m)在 上单调递增,在 上单调递减, f =- ,f(1)=3,f =2-3 , 所以f(m)∈ .即函数的值域为 . , 3 4      3,1   3,1   23 13(m ) 2 4   3 ,1 2     33, 2      3 2 （ ） 13 4 ( 3) 13 ,3 4     13 ,3 4     【创新迁移】 设函数f(x)=tan(ωx+φ) 已知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两 个交点的距离为 ,且图象关于点M 对称. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)的单调区间; (3)求不等式-1≤f(x)≤ 的解集. ( 0,0 ) 2       2  ( 0) 8   ， 3 【解析】(1)由题意知,函数f(x)的最小正周期为T= ,即T= = . 因为ω>0,所以ω=2, 从而f(x)=tan . 因为函数y=f(x)的图象关于点M 对称,所以2× +φ= ,k∈Z, 即φ= + ,k∈Z. 因为0<φ< ,所以φ= , 故f(x)=tan . 2    2  (2x ） ( 0) 8   ， ( ) 8   k 2  k 2  4  2  4  (2x ) 4   (2)令- +kπ<2x+ < +kπ,k∈Z, 解得 ,k∈Z, 所以函数的单调递增区间为 ,k∈Z,无单调递减区间. (3)由(1)知f(x)=tan . 由-1≤tan ≤ , 得- +kπ≤2x+ ≤ +kπ,k∈Z, 即- + ≤x≤ + ,k∈Z, 所以不等式-1≤f(x)≤ 的解集为 ,k∈Z. 2  4  2  3 k kx 8 2 8 2          3 k k, 8 2 8 2       （ ） (2x ) 4   (2x ) 4   3 4  24  4  3  4  k 2  k 2  3 k k, 4 2 24 2         