2018届二轮复习(理)数学思想领航三、分类与整合思想课件(全国通用)

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2018届二轮复习(理)数学思想领航三、分类与整合思想课件(全国通用)

数学思想领航二轮复习 方法一 公式、定理分类整合法 方法二 位置关系的分类整合法 方法三 含参问题的分类整合法 三、分类与整合思想 分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解 ( 或分割 ) 成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略 . 对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题 ( 或综合性问题 ) 分解为小问题 ( 或基础性问题 ) ,优化解题思路,降低问题难度;分类研究后还要对讨论结果进行整合 . 方法一 公式、定理分类整合法 模型 解法 公式、定理分类整合法即利用数学中的基本公式、定理对研究对象进行分类,然后分别对每类问题进行解决的方法 . 此方法多适用于公式、定理自身需要分类讨论的情况 . 破解此类题的关键点: ① 分类转化,结合已知所涉及的知识点,找到合理的分类标准 . ② 依次求解,对每个分类所对应的问题,逐次求解 . ③ 汇总结论,汇总分类结果,得结论 . 由 ① 得- 1< q <1 ,由 ② 得 q >1. 故 q 的取值范围是 ( - 1,0) ∪ (0 ,+ ∞ ). 典例 1  设等比数列 { a n } 的公比为 q ,前 n 项和 S n >0 ( n = 1,2,3 , … ) ,则 q 的取值范围是 ___________________. 答案 解析 思维升华 解析  由 { a n } 是等比数列, S n >0 , 可得 a 1 = S 1 >0 , q ≠ 0 ,当 q = 1 时, S n = na 1 >0. ( - 1,0) ∪ (0 ,+ ∞ ) 思维升华  公式、定理的分类整合法的分类一般比较固定,由定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等 . 跟踪演练 1   S n 是等比数列 { a n } 的前 n 项和,若 S 4 , S 3 , S 5 成等差数列,则 { a n } 的公比为 答案 解析 √ 解析  设 { a n } 的公比为 q ( q ≠ 0) , 由等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 , S 3 , S 5 成等差数列,得 2 S 3 = S 4 + S 5 . 当 q = 1 时, S 4 = 4 a 1 , S 3 = 3 a 1 , S 5 = 5 a 1 , 此时 2 S 3 ≠ S 4 + S 5 ,不满足题意; 即 q 2 + q - 2 = 0 , 解得 q =- 2 或 q = 1( 舍去 ). 方法 二 位置关系的分类整合法 模型解法 对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分类整合法,这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系,以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究 . 破解此类题的关键点: ① 确定特征,一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定 . ② 分类,根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类 . ③ 得出结论,将 “ 所有关系 ” 下的目标问题进行汇总处理 . 典例 2  在 约束条件 下 ,当 3 ≤ s ≤ 5 时, z = 3 x + 2 y 的最大值 的 变化范围 是 A.[6,15] B .[7,15] C.[6,8] D .[7,8] 答案 解析 √ 思维升华 由图,可得 A (2,0) , B (4 - s ,2 s - 4) , C (0 , s ) , C ′ (0,4). ① 当 3 ≤ s <4 时,不等式组所表示的可行域是四边形 OABC 及其内部, 此时, z = 3 x + 2 y 在点 B 处取得最大值,且 z max = 3(4 - s ) + 2(2 s - 4) = s + 4 , 由 3 ≤ s <4 ,得 7 ≤ z max <8. ② 当 4 ≤ s ≤ 5 时,不等式组所表示的可行域是 △ OAC ′ 及其内部 , 此时 z = 3 x + 2 y 在点 C ′ 处取得最大值,且 z max = 8. 综上可知, z = 3 x + 2 y 的最大值的变化范围是 [7,8] ,故选 D. 思维升华  (1) 在解析几何位置关系的研究中,不能仅仅关注直线与圆锥曲线的位置关系中的相交、相离和相切三种情况,还要注意焦点在不同位置时的关系的探究 . (2) 在几何图形的相关问题中,要充分发挥空间想象能力,将所有可能出现的关系 “ 一网打尽 ”. 如本题随着 s 取值的变化,目标函数值是会随着变化的,如果考虑不全,就会得出错误结论 . 跟踪演练 2   抛物线 y 2 = 4 px ( p >0) 的焦点为 F , P 为其上的一点, O 为坐标原点,若 △ OPF 为等腰三角形,则这样的点 P 的个数为 ________. 答案 解析 4 解析  当 | PO | = | PF | 时,点 P 在线段 OF 的中垂线上,此时,点 P 的位置有两个; 当 | OP | = | OF | 时,点 P 的位置也有两个; 对 | FO | = | FP | 的情形,点 P 不存在 . 又 ∵ y 2 = 4 px , ∴ x 2 + 2 px = 0 ,解得 x = 0 或 x =- 2 p , 当 x = 0 时,不构成三角形 . 当 x =- 2 p ( p >0) 时,与点 P 在抛物线上矛盾 . ∴ 符合要求的点 P 有 4 个 . 方法三 含参问题的分类整合法 模型解法 含参问题的分类整合法是分类讨论问题中最重要、最常见也是最复杂的一种方法,在解决问题中一般根据参数的取值范围进行分类 . 此模型适用于某些含有参数的问题,如含参的方程、不等式等,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的方法进行求解或证明,因此要分类讨论 . 破解此类题的关键点: ① 确定范围,确定需要分类问题中参数的取值范围 . ② 确定分类标准,这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的,注意有些参数可能出现多级分类,要做到不重不漏 . ③ 分类解决问题,对分类出来的各相应问题分别进行求解 . ④ 得出结论,将所得到的结论进行汇总,得出正确结论 . 解析 思维升华 典例 3  函数 f ( x ) = ax 2 + 4 x - 3 在 [0,2] 上有最大值 f (2) ,则实数 a 的取值范围为 A.( - ∞ ,- 1] B .[ - 1 ,+ ∞ ) C.( - ∞ , 0) D .(0 ,+ ∞ ) 答案 √ 解析  方法一  当 a = 0 时, f ( x ) = 4 x - 3 在 [0,2] 上为单调递增函数,最大值为 f (2) ,满足题意 . 当 a >0 时, f ( x ) = ax 2 + 4 x - 3 在 [0,2] 上为单调递增函数,最大值为 f (2) ,满足题意 . 综上,当 a ≥ - 1 时,函数 f ( x ) = ax 2 + 4 x - 3 在 [0,2] 上有最大值 f (2). 故选 B. 方法二  由 f ( x ) = ax 2 + 4 x - 3 ,得 f ′ ( x ) = 2 ax + 4 , 要使函数 f ( x ) = ax 2 + 4 x - 3 在 [0,2] 上有最大值 f (2) , 需使 f ( x ) = ax 2 + 4 x - 3 在 [0,2] 上为单调递增函数,则 f ′ ( x ) = 2 ax + 4 ≥ 0 在 [0,2] 上恒成立, 综上,当 a ≥ - 1 时,函数 f ( x ) = ax 2 + 4 x - 3 在 [0,2] 上有最大值 f (2). 故选 B. 思维升华  对于含参问题的分类讨论主要有以下三种类型: (1) 概念型,即问题所涉及的数学概念是分类进行定义的,如 | a | 的定义分 a >0 , a = 0 , a <0 三种情况 . (2) 性质型,即问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制、或者是分类给出的,如等比数列的前 n 项和公式,分 q = 1 和 q ≠ 1 两种情况 . (3) 含参型,求解含有参数的问题时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论 . 另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都需要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性 . 跟踪演练 3   已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F 1 ( - 1,0) , F 2 (1,0) ,且 F 2 到直线 x - y - 9 = 0 的距离等于椭圆的短轴长 . (1) 求椭圆 C 的方程; 所以 b = 2 ,又 c = 1 ,所以 a 2 = b 2 + c 2 = 5 , 解答 解答 (2) 若圆 P 的圆心为 P (0 , t )( t >0) ,且经过 F 1 , F 2 两点, Q 是椭圆 C 上的动点且在圆 P 外,过 Q 作圆 P 的切线,切点为 M ,当 | QM | 的最大值 为 时 ,求 t 的值 . 圆 P 的方程为 x 2 + ( y - t ) 2 = t 2 + 1 , 连接 PM ,因为 QM 为圆 P 的切线, 所以 PM ⊥ QM , 当 y =- 2 时, | QM | 取得最大值, 当 y =- 4 t 时, | QM | 取得最大值,
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