上海市上海中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 上海中学高一期末数学试卷 一.填空题 ‎1.方程的解为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程得答案.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以，‎ 解得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条件，对数式的运算法则，属于基础题目.‎ ‎2.函数的值域为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 根据根式有意义，有，所以的值域为，‎ 故答案为：.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目.‎ ‎3.若幂函数图像过点，则此函数的解析式是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项.‎ ‎【详解】设幂函数的解析式为，‎ 由于函数图象过点，故有，解得，‎ 所以该函数的解析式是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目.‎ ‎4.若指数函数的定义域和值域都是，则_________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论和两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.‎ ‎【详解】当时：函数单调递增，；‎ 当时：函数单调递减，，无解.‎ 综上所述： ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握.‎ ‎5.函数的反函数为_________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 利用函数表达式解得，得到反函数.‎ ‎【详解】‎ 故函数的反函数为 故答案为 ‎【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.‎ ‎6.若，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将0写成1的对数，之后根据函数的单调性整理出关于的不等式组，求得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为函数是上的单调增函数，‎ 所以有，解得，‎ 所以的取值范围是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.‎ ‎7.己知函数定义域为，且恒满足，，则函数的奇偶性为________.‎ ‎【答案】奇函数 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，能导出是周期为2的周期函数，由此能够证明 - 21 -‎ 是奇函数，得到结果.‎ ‎【详解】由，得，‎ 所以是周期为2的周期函数，‎ 所以，因为，‎ 所以，‎ 所以是奇函数，‎ 故答案为：奇函数.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目.‎ ‎8.函数单调递增区间为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数的定义域，得到其图象是不间断的，再讨论当时，将函数解析式进行变形得到，再利用的单调区间，结合复合函数的单调性法则，确定出函数本身的单调增区间，求得结果.‎ ‎【详解】因为函数的定义域为，‎ 当时，，‎ 因为在和上单调递增，在和上单调递减，‎ 根据复合函数单调性法则，可知应该在和上单调递增，‎ 而函数本身在处有意义，且函数图象不间断，‎ - 21 -‎ 所以函数的增区间是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于简单题目.‎ ‎9.函数在定义域上单调递增，则的取值范围__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将函数解析式进行化简，之后令，将函数化为，之后结合复合函数的单调性，求得参数的取值范围.‎ ‎【详解】，‎ 令，且随的增大而增大，‎ 且当时，在上是增函数，‎ 所以函数在上是增函数，‎ 所以函数在定义域上是增函数，‎ 当时，函数在上是增函数，‎ 所以，即，‎ 所以的取值范围为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目.‎ ‎10.关于的方程有两个不同解，则的取值范围为_________.‎ - 21 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据式子的意义，将式子转化为，将方程有两个不同的解转化为只有一个正根，画出函数图象求得结果.‎ ‎【详解】因为恒成立，所以原式可化为，‎ 可知，所以，‎ 因为方程有两个不同的解，所以不是方程的根，‎ 令，‎ 则方程只有一个正根，‎ 画出函数的图象如图所示：‎ 可知所求取值范围是：，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目.‎ ‎11.已知函数，，对任意的，存在，使得恒成立，则的取值范围为__________.‎ - 21 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对任意的，存在，使得恒成立，等价于在区间上恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案.‎ ‎【详解】当时，在区间上单调递减，，‎ 在区间上单调递增，，‎ 所以，解得，因为，所以无解；‎ 当时，可知，‎ 当时，在区间上单调递增，其最小值为，‎ 所以有，无解，‎ 当时，在区间上单调减，在上单调增，‎ 其最小值为，‎ 所以有，解得，‎ 所以的取值范围是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.‎ ‎12.已知函数，若，则实数的取值范围为_______.‎ - 21 -‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用分类讨论将函数解析式进行化简，从而分析判断要使，会出现哪些情况，列出对应的式子求解即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 即，‎ 画出函数图象如图所示：‎ 可以看到，‎ 要使，则有以下几种情况：‎ ‎①，解得；‎ ‎②，无解；‎ - 21 -‎ ‎③，无解.‎ ‎④，无解；‎ ‎⑤，解得，‎ ‎⑥，无解；‎ ‎⑦，解得；‎ 所以的取值范围为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目.‎ 二.选择题 ‎13.设是定义域为的偶函数，且在递增，下列一定正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据偶函数在上递增，得到其在上递减，将自变量放在同一个单调区间，借助于自变量大小，得到函数值的大小，从而得到结果 - 21 -‎ ‎【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且在上递增，‎ 所以函数在上递减，‎ 因为，所以，所以A项不正确；‎ ‎，所以，‎ 又因为，所以，‎ 观察B、C、D三项很明显C项正确，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.‎ ‎14.函数的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像，函数的图像与函数图像关于成轴对称，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的反函数图象向右平移1个单位，得到，再求反函数可得到结果.‎ ‎【详解】函数的反函数图象向右平移1个单位，‎ 得到，则 ‎，‎ 的反函数为 即，‎ 故选：C.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线对称，属于简单题目.‎ ‎15.设方程的两个根、，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案.‎ ‎【详解】作出函数图象如图所示：‎ ‎ ‎ 若方程的两根为，‎ 则，‎ 可得，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目.‎ ‎16.己知函数定义域为，满足，且当时，，若对任意，都恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 21 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，首先求出函数在区间上的值域为，再根据条件，判断当时，，并求解时的解析式，和时对应的两根中较小根，即可得到的取值范围.‎ ‎【详解】当时，，‎ 可求得，且在上单调增，在上单调减，‎ 根据，可知当，，‎ 当，，且在上单调增，在上单调减，‎ 因为，当时，，‎ ‎，，‎ 令，解得或，‎ 所以对任意，都恒成立，的取值范围为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析.‎ 三.解答题 ‎17.已知函数定义域为，当时，.‎ ‎（1）若是偶函数，求时解析式；‎ ‎（2）若是奇函数，求时的解析式.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，代入函数解析式，根据偶函数的定义，求得相应区间上的的解析式；‎ ‎（2）当时，，代入函数解析式，根据奇函数的定义，求得相应区间上的的解析式，再利用，进而求得在上的解析式.‎ ‎【详解】（1）因为为偶函数，‎ 当时，，‎ 则，‎ 所以当时，；‎ ‎（2）因为为奇函数，‎ 当时，，‎ ‎，‎ 所以，‎ 且，‎ 所以.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，结合函数奇偶性的定义，求得函数的解析式，属于简单题目.‎ ‎18.设关于的方程.‎ ‎（1）若常数，求此方程的解；‎ ‎（2）若该方程在内有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入方程，得到，将其整理得到 - 21 -‎ ‎，集合指数函数的值域，得到，从而得到，求得结果；‎ ‎（2）将式子整理得出，令，则，借助于二次函数在某个区间上的值域求得最后的结果.‎ ‎【详解】（1）当时，方程即为，‎ 化简得，即，‎ 解得（舍去）或，‎ 所以，所以，此方程的解为，‎ ‎（2）由可得，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 所以，‎ 由可得当时，最小值为，‎ 当时，的最大值为，‎ 所以，即，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.‎ ‎19.某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入列列车.‎ ‎（1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于的函数解析式；‎ ‎（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？‎ - 21 -‎ ‎（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？‎ ‎【答案】（1）；（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内环线10列列车，外环线8列列车..‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；‎ ‎（2）根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围；‎ ‎（3）根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得取最值时的值.‎ ‎【详解】（1）根据题意可知，内环投入辆列车，则外环投入辆列车，‎ 从而可得内环线乘客的最长候车时间为分钟，‎ 外环线乘客的最长候车时间为分钟，‎ 根据实际意义，可知，‎ 所以，；‎ ‎（2）由题意可得，‎ 整理得 所以 因为，所以，‎ 所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟；‎ - 21 -‎ ‎（3）令 可以确定函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 结合的条件，可知当时取得最小值，‎ 所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函数的最小值，属于较难题目.‎ ‎20.已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数，使得.‎ ‎（1）判断函数（为常数）是否属于集合；‎ ‎（2）若属于集合，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，求证：对任意实数，都有属于集合.‎ ‎【答案】（1）属于；（2）；（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用时，方程，此方程恒成立，说明函数（为常数）属于集合；‎ ‎（2）由属于集合，推出有实数解，即方程有实数解，分和两种情况，得到结果；‎ ‎（3）当时，方程有解，令，则在上的图象是连续的，当时，当 - 21 -‎ 时，判定函数是否有零点，证明对任意实数，都有属于集合.‎ ‎【详解】（1）当时，方程，‎ 此方程恒成立，‎ 所以函数（为常数）属于集合；‎ ‎（2）由属于集合，‎ 可得方程有实数解，‎ 即，整理得方程有实数解，‎ 当时，方程有实根，‎ 当时，有，‎ 解得或，‎ 综上，实数取值范围为；‎ ‎（3）当时，方程有解，‎ 等价于有解，‎ 整理得有解，‎ 令，则在上的图象是连续的，‎ 当时，，‎ 故在上有一个零点，‎ 当时，，‎ 故在上至少有一个零点，‎ 故对任意的实数，在上都有零点，即方程总有解，‎ 所以对任意实数，都有属于集合.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题.‎ ‎21.对于函数.‎ ‎（1）当向下和向左各平移一个单位，得到函数，求函数的零点；‎ ‎（2）对于常数，讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当，若对于函数满足恒成立，求实数取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）当，单调递增；当，在上递增，上递减，上递增；当，在递增，递减，递增；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将，求得，利用图象变换原则求得，分类讨论去掉绝对值符号，求得函数的零点；‎ ‎（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；‎ ‎（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 根据题意，可得，‎ 令，即，‎ 当时，原式化为，‎ 解得或，‎ 当时，原式化为，无解，‎ 所以函数的零点为或；‎ ‎（2），‎ - 21 -‎ 当时，， ，‎ 当时，， ，‎ 所以当时，恒成立，在上单调递增，‎ 当时，令，解得或，‎ 所以在和上单调递增，‎ 令，解得，所以所以在上单调递减。，‎ 当时，令，解得或，‎ 所以在和上递增，‎ 令，解得，所以所以在上单调递减，‎ 综上，当时，在上单调递增；‎ 当，在上递增，上递减，上递增；‎ 当时，在递增，递减，递增；‎ ‎（3）时，，‎ 即为，‎ 整理得，‎ 化简得 当时，原式可化为，显然不成立，‎ 当时，‎ 分类讨论，可求得和时都恒成立，‎ 对于，要使式子成立，‎ 即在时成立，‎ 只要，‎ - 21 -‎ 结合的条件，解得，‎ 当时，上式对于时就不成立，所以不满足条件，‎ 综上，所求实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数的综合题，涉及到的知识点有绝对值的意义，求函数的零点，应用导数研究函数的单调性，根据恒成立求参数的取值范围，属于难题.‎ - 21 -‎ ‎ ‎ - 21 -‎