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人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:平方根、立方根和开立方(附答案与全解全析)
人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习: 平方根、立方根和开立方 知识网络 重难突破 知识点一 平方根 算术平方根概念:一般的如果一个正数x的平方等于a,即 算术平方根的表示方法:非负数a的算术平方根记作 平方根概念:如果一个数的平方等于,那么这个数就叫做的平方根或二次方根,即,那么x叫做a的平方根。 平方根的性质与表示: 表示:正数a的平方根用表示, 叫做正平方根,也称为算术平方根, 叫做a的负平方根。 性质:一个正数有两个平方根: (根指数2省略)且他们互为相反数。 0有一个平方根,为0,记作 负数没有平方根 平方根与算术平方根的区别与联系: 【典型例题】 1.(2019·迁安市期末)25的算术平方根是 A.5 B. C. D.25 2.(2018·大石桥市石佛中学初一期末)的值是 A.±3 B.3 C.9 D.81 3.(2020·灯塔市期末)估计的值在( ) A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 4.(2020·沈阳市第七中学初二期末)9的平方根是( ) A.±3 B.3 C.±4.5 D.4.5 5.(2020·东营市期末)16的平方根是( ) A.±4 B.±2 C.4 D.﹣4 6.(2020·沭阳县外国语实验学校初二期末)下列说法正确的是( ) A.(﹣3)2的平方根是3 B.=±4 C.1的平方根是1 D.4的算术平方根是2 7.(2019·石家庄市期末)如果=4,那么x等于( ) A.2 B. C.4 D. 8.(2020·河南省实验中学初二期中)已知一个正数的两个平方根分别为和,则这个正数的立方根是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 9.(2020·宝鸡市期末)一个正数的两个平方根分别是与,则a的值为( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 10.(2020·南京市期末)面积为的正方形的边长是( ) A.的平方根 B.的算术平方根 C.开平方的结果 D.的立方根 11.(2019·恩施市期末)已知(x +1)2= 16 ,则 x 的值是( ) A.3 B.7 C.3 或-5 D.7 或-8 12.(2020·银川市期末)“的算术平方根是”,用式子表示为( ) A.±=± B.=± C.= D.±= 13.(2020·陕西省宝鸡市第一中学初二期中)下列运算中错误的有( ) ①②,③,④=3 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 14.(2020·沈阳市第二十三中学初一期中)若x是9的算术平方根,则x是( ) A.3 B.-3 C.9 D.81 15.(2020·贵港市期末)若a2=4,b2=9,且ab<0,则a﹣b的值为( ) A.﹣2 B.±5 C.5 D.﹣5 知识点二 立方根和开立方 立方根概念:如果一个数的立方等于,即那么x叫做的立方根或三次方根, 表示方法:数a的立方根记作,读作三次根号a 立方根的性质:任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0. 开立方概念:求一个数的立方根的运算。 开平方的表示: (a取任何数) 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 注意:0的平方根和立方根都是0本身。 次方根(扩展) 概念:如果一个数的次方(是大于1的整数)等于,这个数就叫做的次方根。 当为奇数时,这个数叫做的奇次方根。 当为偶数时,这个数叫做的偶次方根。 性质: 正数的偶次方根有两个:;0的偶次方根为0:;负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。 【典型例题】 1.(2019·唐山市期中)下列等式正确的是( ) A. B. C. D. 2.(2018·成都市武侯区西蜀实验学校初二期末)下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 3.(2019·昌平区期中)下列各式中,正确的是( ) A. B. C. D. 4.(2019·宜宾市期中)下列说法正确的是( ) A.1的平方根是1 B.﹣2没有立方根 C.±6是36的算术平方根 D.27的立方根是3 5.(2018·福建省厦门第六中学初一期中)下列各式中,正确的是 A. B. C. D.=-4 6.(2019·湖南广益实验中学初一期末)的算术平方根是( ) A.2 B.±2 C. D. 7.(2018·泉州市北峰中学初二期中)下列说法正确的是( ). A.1的立方根是 B. C. D.0没有平方根; 8.(2018·邯郸市期中)(-)2的平方根是x,64的立方根是y,则x+y的值为( ) A.3 B.7 C.3或7 D.1或7 9.(2019·萍乡市期中)下列各组数中互为相反数的是( ) A.-2与 B.-2与 C.2与(-)2 D.|-|与 25.(2019·赣州市期末)已知为实数,且,则的立方根是( ) A. B.-8 C.-2 D. 、 巩固训练 一、 选择题(共10小题) 1.(2019·丹东市期中)的算术平方根为( ) A. B. C. D. 2.(2018·武邑县期末)2的算术平方根是( ) A. B. C. D.2 3.(2018·贵阳市期末)下列结果错误的是( ) A.=2 B.的算术平方根是4 C.12的算术平方根是 D.(-π)2的算术平方根是π 4.(2019·运城市期末)的算术平方根是( ) A.4 B.2 C. D. 5.(2017·张家港市期中)(-6)2的平方根是( ) A.-6 B.36 C.±6 D. 6.(2020·盐城市期末)下列说法正确的是( ) A.4的平方根是±2 B.8的立方根是±2 C. D. 7.(2018·南昌市期中)一个正数的平方根是x-5和x+1,则x的值为( ) A.2 B.-2 C.0 D.无法确定 8.(2018·南京市期末)-64的立方根与的平方根之和为( ) A.-2或2 B.-2或-6 C.-4+2或-4-2 D.0 9.(2016·深圳市高级中学初二期中)比较的大小,正确的是( ) A. B. C. D. 10.(2018·龙岩市期中)若a是(﹣3)2的平方根,则等于( ) A.﹣3 B. C.或﹣ D.3或﹣3 一、 填空题(共5小题) 11.(2018·嘉兴市期末)的算术平方根是_____. 12.(2019·嘉兴市期末)已知a、b满足(a﹣1)2+=0,则a+b=_____. 13.(2019·杭州市期中)的算术平方根是 _____. 14.(2020·郑州市期末)立方根是__________. 15.(2019·从江县期中)的平方根是_____,﹣的立方根是_____. 二、 解答题(共2小题) 16.(2019·朝阳市期中)已知+=b+8. (1)求a的值; (2)求a2-b2的平方根. 17.(2017·张家港市期中)(1)已知的平方根是,的立方根是2,是的整数部分,求的值; (2)已知与互为相反数,求(x+y)2的平方根. 人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习: 平方根、立方根和开立方 知识网络 重难突破 知识点一 平方根 算术平方根概念:一般的如果一个正数x的平方等于a,即 算术平方根的表示方法:非负数a的算术平方根记作 平方根概念:如果一个数的平方等于,那么这个数就叫做的平方根或二次方根,即,那么x叫做a的平方根。 平方根的性质与表示: 表示:正数a的平方根用表示, 叫做正平方根,也称为算术平方根, 叫做a的负平方根。 性质:一个正数有两个平方根: (根指数2省略)且他们互为相反数。 0有一个平方根,为0,记作 负数没有平方根 平方根与算术平方根的区别与联系: 【典型例题】 1.(2019·迁安市期末)25的算术平方根是 A.5 B. C. D.25 【答案】A 【解析】 ∵, ∴的算术平方根是5. 故选A. 2.(2018·大石桥市石佛中学初一期末)的值是 A.±3 B.3 C.9 D.81 【答案】C 【解析】 试题解析:∵ ∴的值是3 故选C. 3.(2020·灯塔市期末)估计的值在( ) A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 【答案】B 【详解】 ∵4 < 6 < 9 , ∴,即, ∴, 故选B. 4.(2020·沈阳市第七中学初二期末)9的平方根是( ) A.±3 B.3 C.±4.5 D.4.5 【答案】A 【详解】 (±3)2=9 ∴9的平方根是±3 故选A. 5.(2020·东营市期末)16的平方根是( ) A.±4 B.±2 C.4 D.﹣4 【答案】A 【详解】 ∵ ∴16的平方根是±4. 故选A. 6.(2020·沭阳县外国语实验学校初二期末)下列说法正确的是( ) A.(﹣3)2的平方根是3 B.=±4 C.1的平方根是1 D.4的算术平方根是2 【答案】D 【详解】 A、(﹣3)2的平方根是±3,故该项错误;B、,故该项错误;C、1的平方根是±1,故该项错误;D、4的算术平方根是2,故该项正确.故选D. 7.(2019·石家庄市期末)如果=4,那么x等于( ) A.2 B. C.4 D. 【答案】D 【详解】 解:∵=4, ∴ ∴x=±4. 故选:D. 8.(2020·河南省实验中学初二期中)已知一个正数的两个平方根分别为和,则这个正数的立方根是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【详解】 解:∵一个正数的两个平方根分别为3a-5和7-a, ∴3a-5+7-a=0, 解得:a=-1, ∴3a-5=-8, 这个数是(-8)2=64, 64的立方根为4, 故选:A. 9.(2020·宝鸡市期末)一个正数的两个平方根分别是与,则a的值为( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】A 【详解】 ∵一个正数的两个平方根分别是2a−1与−a+2, ∴,解得:. 故选A. 10.(2020·南京市期末)面积为的正方形的边长是( ) A.的平方根 B.的算术平方根 C.开平方的结果 D.的立方根 【答案】B 【详解】 解:因为正方形的边长的平方等于面积,且正方形的边长为正数, A选项的平方根有两个,其中一个为负数,故A错误; B选项,一个正数的平方等于a,那么这个数叫做a的算术平方根,所以面积为的正方形的边长是的算术平方根,故B正确; C选项开平方的结果即为的平方根,故C错误; D选项的立方根是求一个数的立方等于13,故D错误. 故选:B 11.(2019·恩施市期末)已知(x +1)2= 16 ,则 x 的值是( ) A.3 B.7 C.3 或-5 D.7 或-8 【答案】C 【详解】 根据题意得x+1=±4, x=-1±4, 得x=3或-5. 故选C. 12.(2020·银川市期末)“的算术平方根是”,用式子表示为( ) A.±=± B.=± C.= D.±= 【答案】C 【解析】 的算术平方根是, 用式子表示为 . 故选C. 13.(2020·陕西省宝鸡市第一中学初二期中)下列运算中错误的有( ) ①②,③,④=3 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【详解】 ①4,故A正确; ②,故B错误; ③,无法开方,故C错误; ④±±3,故D错误. 错误的有3个. 故选B. 14.(2020·沈阳市第二十三中学初一期中)若x是9的算术平方根,则x是( ) A.3 B.-3 C.9 D.81 【答案】A 【解析】 试题解析:∵32=9, ∴=3, 故选A. 15.(2020·贵港市期末)若a2=4,b2=9,且ab<0,则a﹣b的值为( ) A.﹣2 B.±5 C.5 D.﹣5 【答案】B 【解析】 ∵a2=4,b2=9, ∴a=±2,b=±3, ∵ab<0, ∴a=2时,b=−3,a−b=2−(−3)=2+3=5, a=−2时,b=3,a−b=−2−3=−5, 所以,a−b的值为5或−5. 故选:B. 知识点二 立方根和开立方 立方根概念:如果一个数的立方等于,即那么x叫做的立方根或三次方根, 表示方法:数a的立方根记作,读作三次根号a 立方根的性质:任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0. 开立方概念:求一个数的立方根的运算。 开平方的表示: (a取任何数) 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 注意:0的平方根和立方根都是0本身。 次方根(扩展) 概念:如果一个数的次方(是大于1的整数)等于,这个数就叫做的次方根。 当为奇数时,这个数叫做的奇次方根。 当为偶数时,这个数叫做的偶次方根。 性质: 正数的偶次方根有两个:;0的偶次方根为0:;负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。 【典型例题】 1.(2019·唐山市期中)下列等式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 A、原式=,错误; B、原式=-(-)=,错误; C、原式没有意义,错误; D、原式==4,正确, 故选D. 217.(2018·成都市武侯区西蜀实验学校初二期末)下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 解:A、=-2,故本选项正确; B、-=-0.6,故本选项错误; C、=13,故本选项错误; D、=5,故本选项错误; 故选:A. 3.(2019·昌平区期中)下列各式中,正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 试题分析:A.;该选项正确; B.=3≠9,故该选项错误; C.=-3,该选项错误; D.=2≠-2,该选项错误. 故选A. 4.(2019·宜宾市期中)下列说法正确的是( ) A.1的平方根是1 B.﹣2没有立方根 C.±6是36的算术平方根 D.27的立方根是3 【答案】D 【详解】 A、1的平方根是±1,故选项错误; B、﹣2的立方根是,故选项错误; C、6是36的算术平方根,故选项错误; D、27的立方根是3,故选项正确. 故选:D. 5.(2018·福建省厦门第六中学初一期中)下列各式中,正确的是 A. B. C. D.=-4 【答案】C 【详解】 A、,故A错误; B、,故B错误; C、,故C正确; D、=4,故D错误, 故选C. 6.(2019·湖南广益实验中学初一期末)的算术平方根是( ) A.2 B.±2 C. D. 【答案】C 【详解】 ∵=2, 而2的算术平方根是, ∴的算术平方根是, 故选C. 7.(2018·泉州市北峰中学初二期中)下列说法正确的是( ). A.1的立方根是 B. C. D.0没有平方根; 【答案】C 【解析】 试题解析:A. 1的立方根是1,故错误. B.故错误. C.正确. D. 0有平方根.故错误. 故选C. 8.(2018·邯郸市期中)(-)2的平方根是x,64的立方根是y,则x+y的值为( ) A.3 B.7 C.3或7 D.1或7 【答案】D 【详解】 ∵(-)2=9,9的平方根x=±3,y=4, ∴x+y=7或1. 故答案为7或1. 9.(2019·萍乡市期中)下列各组数中互为相反数的是( ) A.-2与 B.-2与 C.2与(-)2 D.|-|与 【答案】A 【解析】 选项A. -2与 =2, 选项B. -2与 =-2, 选项 C. 2与(-)2=2, 选项D. |-|=与, 故选A. 25.(2019·赣州市期末)已知为实数,且,则的立方根是( ) A. B.-8 C.-2 D. 【答案】C 【详解】 ∵, ∴x−3=0,y+2=0, 解得:x=3,y=−2, 则yx=(−2)3=−8的立方根是:−2. 故选:C. 巩固训练 一、 选择题(共10小题) 1.(2019·丹东市期中)的算术平方根为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵=2, 而2的算术平方根是, ∴的算术平方根是, 故选B. 2.(2018·武邑县期末)2的算术平方根是( ) A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】 解:2的算术平方根是,故选B. 3.(2018·贵阳市期末)下列结果错误的是( ) A.=2 B.的算术平方根是4 C.12的算术平方根是 D.(-π)2的算术平方根是π 【答案】B 【解析】 A. 原式==2,故A正确,与要求不符; B.4,4的算术平方根是2,故B错误,与要求相符; C.12=,它的算术平方根是,故C正确,与要求不符; D.(−π)2=π2,π2的算术平方根是π,故D正确,与要求不符. 故选:B. 4.(2019·运城市期末)的算术平方根是( ) A.4 B.2 C. D. 【答案】C 【解析】 解:∵=2,∴的算术平方根是.故选C. 5.(2017·张家港市期中)(-6)2的平方根是( ) A.-6 B.36 C.±6 D. 【答案】C 【解析】 试题解析: 的平方根是 故选C. 6.(2020·盐城市期末)下列说法正确的是( ) A.4的平方根是±2 B.8的立方根是±2 C. D. 【答案】A 【解析】 解:A.4的平方根是±2,故本选项正确; B.8的立方根是2,故本选项错误; C. =2,故本选项错误; D.=2,故本选项错误; 故选A. 7.(2018·南昌市期中)一个正数的平方根是x-5和x+1,则x的值为( ) A.2 B.-2 C.0 D.无法确定 【答案】A 【解析】试题解析:由题意得,x−5+x+1=0, 解得:x=2. 故选A. 8.(2018·南京市期末)-64的立方根与的平方根之和为( ) A.-2或2 B.-2或-6 C.-4+2或-4-2 D.0 【答案】B 【详解】 解:-64的立方根是-4. =4,4的平方根是±2, 所以-4+2=-2,-4+(-2)=-6. 故选:B. 9.(2016·深圳市高级中学初二期中)比较的大小,正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 ∵2,∴2; ∵,∴,∴. 故选A. 10.(2018·龙岩市期中)若a是(﹣3)2的平方根,则等于( ) A.﹣3 B. C.或﹣ D.3或﹣3 【答案】C 【解析】 详解:∵a是(﹣3)2的平方根,∴a=±3, ∴等于或﹣.故选C. 一、 填空题(共5小题) 11.(2018·嘉兴市期末)的算术平方根是_____. 【答案】 【解析】 ∵=8,()2=8, ∴的算术平方根是. 故答案为:. 12.(2019·嘉兴市期末)已知a、b满足(a﹣1)2+=0,则a+b=_____. 【答案】﹣1 【详解】 ∵(a﹣1)2+=0, ∴a=1,b=﹣2, ∴a+b=﹣1, 故答案为﹣1. 13.(2019·杭州市期中)的算术平方根是 _____. 【答案】2 【详解】 ∵,的算术平方根是2, ∴的算术平方根是2. 14.(2020·郑州市期末)立方根是__________. 【答案】2; 【详解】 ∵=8,, ∴的立方根是2. 故答案为:2. 15.(2019·从江县期中)的平方根是_____,﹣的立方根是_____. 【答案】±2 -2 【详解】 =4,所以的平方根是±2, -=-8,所以﹣的立方根是-2, 故答案为:±2,-2. 一、 解答题(共2小题) 16.(2019·朝阳市期中)已知+=b+8. (1)求a的值; (2)求a2-b2的平方根. 【答案】(1)17;(2)±15. 【解析】 根据题意得:, 解得:a=17, (2)b+8=0, 解得:b=﹣8, 则a2﹣b2=172﹣(﹣8)2=225, 则平方根是:±15. 17.(2017·张家港市期中)(1)已知的平方根是,的立方根是2,是的整数部分,求的值; (2)已知与互为相反数,求(x+y)2的平方根. 【答案】详见解析. 【解析】 根据题意,可得2a−1=9,3a+b−9=8; 故a=5,b=2; 又有 可得 则 根据题意得: 可得 解得: 则 的平方根是 查看更多