数学文卷·2019届河北省承德一中高二第二次月考(2017-10)

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数学文卷·2019届河北省承德一中高二第二次月考(2017-10)

河北承德第一中学 2017-2018 学年度第一学期第二次月考 高二数学试题(文科) 时间:120 分钟 总分:150 分 出题人: 审核人: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题 60 分)和第Ⅱ卷(非选择题 90 分)两部分,满分 150 分; 2. 本次考试内容:必修 2 第四章圆与方程和选修 1-1 第二章圆锥曲线与方程。 第Ⅰ卷(选择题 60 分) 一、选择题:(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(  ) A.|a| 4   B.|a| 2 C.|a| D.-a 2 2.椭圆 + =1 的焦距是 2,则 m= (  ) A.5 B.3 或 8 C.3 或 5 D.20 3.直线 3x+4y+12=0 与圆(x-1)2+(y+1)2=9 的位置关系是(  ) A.相交且过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心 4.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的弦为 AB,则|AB|的最小值为(  ) A.p 2 B.pC.2p D.无法确定 5.椭圆 + =1 与 + =1(00)的焦点为 F,其准线与双曲线x2 3 -y2 3 =1 相交于 A,B 两 点,若△ABF 为等边三角形,则 p=() A.4 B.5 C.6 D.7 11.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点, 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为(  ) A.x=1 B.x=-1C.x=2 D.x=-2 12.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为(  ) A.x2 3 -y2 6 =1  B.x2 4 -y2 5 =1C.x2 6 -y2 3 =1 D. x2 5 -y2 4 =1 第Ⅱ卷(非选择题 90 分) 二、填空题:(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.圆 x2+y2-2x+6y+8=0 的周长为________. 14.设 P 是椭圆 + =1 上的点,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2| 的最大值是    . 15.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程 为    . 16.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该 抛物线准线的距离之和的最小值为________. 三、解答题(共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知 A1、A2 是椭圆: + =1 长轴的左右两个端点,P 为椭 圆上除 A1、A2 外的任意一点,求证: 为定值 18.(本小题满分 12 分)已知圆 C1:x2+y2─4x─3=0 和 C2:x2+y2─4y─3=0. (1) 求两圆 C1 和 C2 的公共弦方程; (2)若圆 C 的圆心在直线 x─y─4=0 上,并且通过圆 C1 和 C2 的交点,求圆 C 的方 程. 19.(本小题满分 12 分)如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A. (1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 21 PAPA kk • 20.(本小题满分 12 分)已知双曲线与椭圆 x2+4y2=64 共焦点,它的一条渐近线 方程 x- 3y=0,求双曲线的方程. 21.(本小题满分 12 分)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共 点,且直线 OA 与 l 的距离等于 5 5 .若存在,求直线 l 的方程;若不存在,说明 理由. 22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C:x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的离心率为 2 2 ,点(2, 2)在 C 上. (1)求 C 的方程; (2)直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 河北承德第一中学 2017-2018 学年度第一学期第二次月考 高二数学试题(文科)参考答案 一、选择题: BCDCB DACDC BB 二、填空题: 13.2 2π 14.16 15. + =1 16. 17 2 三、解答题: 17.证明:由题设可得:A1(-2,0)、A2(-2,0),设 P(x,y),则: 由 P 在椭圆上,得 + =1,从而: 故: 为定值 18.解:(1)将圆 C1 和圆 C2 的方程相减得:x-y=0,此即为公共弦的方程 (2)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为:x 2+y2─4x─3+λ(x 2+y2─4y─ 3)=0,即 (1+λ)(x2+y2)─4x─4λy─3λ─3=0, 即 =0,圆心为 ( , ), 由于圆心在直线 x─y─4=0 上, ∴ ─ ─4=0, 解得 所求圆的方程为:x2+y2─6x+2y─3=0 19.解:(1)由{y=x+b, x2=4y 得 x2-4x-4b=0,(*) 因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得 b=-1. (2)由(1)可知 b=-1,故方程(*)即为 x2-4x+4=0, 解得 x=2,代入 x2=4y,得 y=1. 故点 A(2,1),因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切, 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 与抛物线的准线 y=-1 的距离,即 r=|1-(-1)|=2, 所以圆 A 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 4 )4(3)41(3 22 2 xxy −=−= 4 3 4 4 )4(3 422 2 2 2 2 21 −=− − =−=−•+=• x x x y x y x ykk PAPA 31 4 1 422 −+−+−+ λ λ λ yxyx λ+1 2 λ λ +1 2 λ+1 2 λ λ +1 2 3 1−=λ 20.解:法一:椭圆 x2+4y2=64,即 x2 64+ y2 16=1,其焦点是(±4 3,0). 设双曲线方程为 x2 a2- y2 b2=1(a>0,b>0),其渐近线方程是 y=± b ax. 又因为双曲线的一条渐近线方程为 x- 3y=0,所以 a b= 3. 又由 a2+b2=c2=48,解得 a2=36,b2=12. 所以所求双曲线方程为 x2 36- y2 12=1. 法二:由双曲线与椭圆共焦点,可设双曲线方程为 x2 64-λ- y2 λ-16=1(16<λ<64). 因为双曲线的一条渐近线方程为 x- 3y=0,即 y= 1 3 x, 所以 λ-16 64-λ= 1 3,所以 λ=28. 故所求双曲线方程为 x2 36- y2 12=1. 21.解:(1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p·1,∴p=2, 故所求的抛物线方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t, 由Error!得 y2+2y-2t=0, 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得 t≥- 1 2. 另一方面,由直线 OA 与直线 l 的距离等于 5 5 可得 |t| 5= 5 5 ,∴t=±1, 由于-1∉ ,1∈ , 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 y=-2x+1. 22.(1)解:由题意有 a2-b2 a = 2 2 , 4 a2+ 2 b2=1,解得 a2=8,b2=4, 所以椭圆 C 的方程为 x2 8 + y2 4 =1. (2)证明:设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),把 y=kx+ b 代入 x2 8 + y2 4 =1 得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 故 xM= x1+x2 2 = -2kb 2k2+1,yM=kxM+b= b 2k2+1,于是直线 OM 的斜率 kOM= yM xM=- 1 2k, 所以 kOM·k=- 1 2,所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. ),2 1[ +∞− ),2 1[ +∞−
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