数学文卷·2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上学期第二次联考试题（2016

数学文卷·2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上学期第二次联考试题（2016

‎2017届高三上学期第二次联考 数学试卷（文科）‎ ‎（长治二中 晋城一中 康杰中学 临汾一中 忻州一中）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2.设复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.，，三个学生参加了一次考试，，的得分均为分，的得分为分．已知命题：若及格分低于分，则，，都没有及格．在下列四个命题中，为的逆否命题的是（ ）‎ A．若及格分不低于分，则，，都及格 B．若，，都及格，则及格分不低于分 C．若，，至少有人及格，则及格分高于分 D．若，，至少有人及格，则及格分不低于分 ‎4.设向量，且，，若函数为偶函数，则的解析式可以为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.在中，，，的对边分别是，，，若，，则的周长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.设，满足约束条件则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.直线与双曲线（，）的左支、右支分别交于、两点，为坐标原点，且为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.在中，，，，边上的高线为，点位于线段上，若，则向量在向量上的投影为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎10.已知函数（其中，为正实数）的图象关于直线对称，且，，，恒成立，则下列结论正确的是（ ）‎ A．，‎ B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象的一个对称中心为 D．不等式取到等号时的最小值为 ‎11.已知函数与的图象如下图所示，则函数的递减区间为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12.已知函数，，给出下列个命题：‎ ‎：若，则的最大值为．‎ ‎：不等式的解集为集合的真子集．‎ ‎：当时，若，，恒成立，则．‎ 那么，这个命题中所有的真命题是（ ）‎ A． B．、 C．、 D．、、‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.某高校调查了名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，‎ ‎，，．根据此直方图，这名大学生中每周的自习时间不少于小时的人数是_________．‎ ‎14.设函数，则_________．‎ ‎15.在等比数列中，公比，且，则与的等差中项为_________．‎ ‎16.若函数有个零点，则实数的取值范围是_________．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知，向量，向量，集合．‎ ‎（1）判断“”是“”的什么条件；‎ ‎（2）设命题：若，则．命题：若集合的子集个数为，则．判断，，的真假，并说明理由．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）若，，求的值；‎ ‎（2）求的递减区间；‎ ‎（3）求曲线在坐标原点处的切线方程．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图所示，在中，点为边上一点，且，为的中点，，，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为线段上一点，且，点、分别为线段、的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面将四棱锥分成左右两部分，求这两部分的体积之比．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 记表示，中的最大值，如，已知函数，．‎ ‎（1）求函数在上的值域；‎ ‎（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，过点分别作的切线与割线，为切点，与交于、两点，圆心在的内部，，与交于点．‎ ‎（1）在线段上是否存在一点，使、、、四点共圆？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）若，证明：．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）．在直角坐标系中，，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．直线与曲线交于，两点．‎ ‎（1）求的值及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，为不等式的解集．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：当，时，．‎ ‎2016～2017第二次五校联考 数学试卷参考答案（文科）‎ ‎（长治二中 晋城一中 康杰中学 临汾一中 忻州一中）‎ 一、选择题 ‎1. ，．‎ ‎2. ，故复数所对应的点为在第四象限．‎ ‎3. 低于的否定是不低于，都没有及格的否定是至少有人及格，故选．‎ ‎4. ，，结合选项，易知当时，函数为偶函数．‎ ‎5. 由正弦定理可得，‎ 即，，，故的周长为．‎ ‎6. 作出不等式组表示的可行域，可知点为直线与的交点，则的最大值为．‎ ‎7. 由为等腰直角三角形得，，．联立与得，点的坐标为，则，．‎ ‎8. 第一次运算：，，；‎ 第二次运算：，，；‎ 第三次运算：，，；‎ 第四次运算：，，，输出．‎ ‎9. 由等面积法求得，设，则，，．‎ ‎，或，‎ 故向量在向量上的投影为或．‎ ‎10. （其中），，的最大值为，①‎ 由于图象的对称轴为直线，，‎ ‎②，由①②解得，．，故错误．‎ 在区间单调递增，在区间上单调递减，故错误．易知错误．当取到等号时，能取到两个最大值，最小间隔为一个周期，故选．‎ ‎11. 由图可知，先减后增的那条曲线为的图象，先增再减最后增的曲线为的图象，‎ 当时，．‎ 令，得，则．‎ 故的减区间为，．‎ ‎12. ，‎ 的最大值为．故为真命题 作出与的图象，注意到，且 ‎，由图可知，不等式的解集为（）．故为真命题．‎ 当时，在区间上，的最小值总小于的最大值；当时，在区间上，的最小值不小于的最大值．故为真命题．‎ 二、填空题 ‎13. 这名大学生中每周的自习时间不少于小时的人数是．‎ ‎14. ，．‎ ‎15. ，，，，，．‎ ‎16. 令，则（），设（），．‎ 由，得或，函数递增；由，得或，函数递减，故函数的极小值为，极大值为，由数形结合可得．‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）若，则，（舍去），…………………………………2分 此时，，．………………………………………………………………………………3分 若，则．故“”是“”的充分不必要条件．…………………………5分 ‎（2）若，则，（舍去），为真命题．………………7分 由得，或，若集合的子集个数为，则集合中只有个元素，则，或，故为假命题．…………………………………………………………9分 为真命题，为假命题，为真命题．……………………………………………………12分 ‎18.解：（1），．…………………………………………………1分 ‎，．……………………………………………………………………………2分 ‎．……………………………………………………………………………4分 ‎（2）由得，‎ 的递减区间为（）．……………………………………………………8分 ‎19.解：（1）在中，，，‎ ‎，…………………………………………………………1分 ‎．…………………………………4分 由正弦定理知，．………………………………6分 ‎（2）由（1）知，依题意得，在中由余弦定理得 ‎，‎ 即，‎ ‎，解得（负值舍去）．……………………………………………10分 ‎，‎ 从而 ‎．……………………………………………………………………12分 ‎20.（1）证明：在等腰中，，‎ 则由余弦定理可得，．…………………………2分 ‎，．……………………………………………………………3分 平面平面，平面平面，‎ 平面．…………………………………………………………………………………4分 ‎（2）解：设平面与棱交于点，连接，因为，所以平面，‎ 从而可得．……………………………………………………………………………………6分 延长至点，使，连接，，则为直三棱柱．……………7分 到的距离为，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．………………………………………………………12分 ‎21.解：（1）设，，………………………1分 令，得，递增；令，得，递减．………………2分 ‎，，…………………………………………………………………3分 即，．……………………………………………………………………4分 故函数在上的值域为．……………………………………………………………5分 ‎（2）（ⅰ）当时，‎ ‎，，，．‎ ‎…………………………………………………………………………………………6分 若对恒成立，则对恒成立．‎ 设，则，‎ 令，得，递增；令，得，递减．‎ ‎，，，，．…9分 ‎（ⅱ）当时，由（ⅰ）知对恒成立，‎ 若对恒成立，则对恒成立，‎ 即对恒成立，这显然不可能，‎ 即当时，不满足对恒成立．………………………………………11分 故存在实数，使得对恒成立，且的取值范围为．…12分 ‎22.（1）解：当点为中点时，、、、四点，证明如下：‎ 为的中点，故，即，‎ 又，，‎ 与互补，、、、四点共圆．…………………………………………5分 ‎（2）证明：，，‎ 连接，为切线，，‎ ‎，，，‎ 又，，．………………………………………10分 ‎23.解：（1）消去参数得，．……………………2分 化为直角坐标方程为．……………………………………………5分 ‎（2）将代入整理得，………………………………8分 由的几何意义得．………………………………………………………………10分 ‎24.（1）解：‎ 当时，由得，，舍去；‎ 当，由得，，即；‎ 当时，由得，，即，‎ 综上，．……………………………………………………………………………………6分 ‎（2）证明：，，，，‎ ‎．‎ ‎……………10分