THUSSAT2019年9月诊断性测试文科数学答案

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第1页 共 6 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年 9 月测试 文科数学（一卷）答案 一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A C D C C A B A B C D 二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 7 15 14. ( ,0 ) (4 ,9 )− 15. 2 16. 3 8 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分． 17.（12 分） 17.解：（1）在△ ABC 中，由 cos5 cos Aca Bb −= 可得， cos ( 5 )cosb A c a B=− ， 又由正弦定理可知，sin cos ( 5sin sin )cosB A C A B=− ， ………………2 分 即sin()5sincosABCB+= ， 因为sin()sin0ABC+= ，所以 5cos 5B = ，则 25sin 5B = . …………4 分 所以 π π π 10coscos()cos()cos cossin sin 44410AB CBBB= −+= −+= −+= .…6 分 （2） 在△ 中， 310sin 10A = ， ……………………………7 分 由正弦定理可知， sin sin bc BC= ，所以 sin52 sin4 bCc B==， ………………10 分 所以△ 的面积 1 15sin28S bc A==. ……………………………12 分 18.（12 分） 解：（1）由题 意可 知，高三一班学 生的总 数为 8 =500.016 10 ， 3 =0.0065010a =  ， 0.100 0.006 0.010 0.016 0.040 0.028b = − − − − = . ……………………………6 分 （2）由题意可知，分数在[80,90) 内的学生有 5 人，记这 5 人分别为 1a ， 2a ， 3a ， 4a ， 5a ， 第2页 共 6 页 分数在 [90 ,100] 内的学生有 3 人，记这 3 人分别为 1b ， 2b ， 3b . …………………8 分 抽取的 2 名学生的所有情况有 28 种，分别为： （ 1a ， 2a ），（ ， 3a ），（ ， 4a ），（ ， 5a ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）， （ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）， （ ， ）， （ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）， （ ， ）， （ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）， ……………………………10 分 其中这 2 名同学的分数都不在 内的情况有 10 种，分别为： （ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）， （ ， ），（ ， ），（ ， ）， ……………………………11 分 所以抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 内的概率为 1091 2814−=. ……12 分 19.（12 分） 证明： （1）连结 AC 交 BD 于 O ，连结 OE ，由 ABCD 为平行四边形， 可知 为 AC 的中点， 在△ ACP 中， //OEPA ， ……………………2 分 OE  平面 B D E ， PA  平面 ， 所以 //PA 平面 ． ……………………………4 分 （2）根据 AB 为半圆的直径， D 在半圆上，可得 90ADB= ， 即 ADBD⊥ ， …………………………5 分 由 PD ⊥ 平面 ABCD ， AD  平面 ， CD  平面 ，所以 PDAD⊥ ， PDCD⊥ ， PD BD D= ，所以 AD ⊥ 平面 PBD ， ……………………………7 分 又 //ADBC ，所以 BC ⊥ 平面 ， PB  平面 ，所以 BCPB⊥ ，…………8 分 在 Rt △ PBC 中，E 为 PC 的中点，所以 1 2BEPC= ，同理， 1 2DE PC= ，故 BE DE= ， 在 △ PAD 中， 2PA = ，故 2 2OE = ，在 △ ABD 中， 3BD = ， 在等腰△ 中， 1 1 2 632 2 2 4BDES BD OE =  =   = ，…………………………10 分 第 19 题 第3页 共 6 页 由 PD ⊥ 平面 ABCD ， E 是 PC 的中点，则 到平面 的距离为 1 2 PD ， 设点 C 到平面 B D E 的距离为 h ，则由 CBDEEBCDVV−−= ，得： 111 332BDEBCDShSPD= ，得 2 2h = ， 即点 到平面 的距离为 2 2 ． …………………………12 分 20.（12 分） 解：（1）由题意可知 ，故 ， ……………………………1 分 设 ( 0)c  ，则 2 ( , )3 bBc−− ，代入 ，得 22 6 0cb− + − = ，又 222b a c=−， 所以 ， ……………………………2 分 解得 ，或 （舍），故 ， 所以椭圆 的方程为 ． ……………………………4 分 （2）设坐标原点为 ，由于 ，则 ，故 ， ……………………………6 分 由题意可知 ，设直线 的方程为 2()3k  ， ， ， 则 ，得 ， ……………………………7 分 所以 ， ， 又 ， ，得 ， ……………………………8 分 则 （*），消去 可得： ，………………9 分 (3 ,0)A 3a = 1 ( ,0 )Fc− 2 3 6 0xy− − = 2 2 3 0cc+ − = 1c = 3c =− 22b = E 22 198 xy+= O 1 1 || || sin || ||3||2 1 || |||||| || sin2 PMA PBN PAPMAPMS AOPMPM SOFPNPN PBPNBPN    ====  || ||3 PM PN = 3PMPN =− (0,2)P − MP 2ykx=− 11(,)Mxy 22(,)Nxy 22 198 2 xy ykx  +=  =− 22(98)36360kxkx+−−= 12 2 36 98 kxx k+= + 12 2 36 98xx k −= + 11(,2)PMxy=+ 22(,2)PNxy=+ 123xx=− 2 2 2 2 2 36(1 )3 9 8 36 3 9 8 kx k x k    −= + −−= + 2x 22 2 (3 ) 36 3 9 8 k k   − = + 第4页 共 6 页 由于 ，则 ， ，解得 ，或 ．………………11 分 又根据 在第一象限，所以 ， ，根据（*）式， ，可知 ，得 ， 综上可知， 的取值范围是 ． …………………………12 分 21.（12 分） 解：（1）由题意可知， 3()f x x = 的“ (2)S 点”中常数 ， 设 3( , )A t t ， 3 28( , )B tt ， A ，B 为函数 ()y f x= 图象上相异两点，故 0t  ，且 2t  ， 由于 2( ) 3f x x = ，所以函数 在 A ， B 两点处的切线方程分别为： 2332ytxt=−， 23 12 16yxtt=−， ……………………………2 分 联立 23 23 32 1216 ytxt yxtt  =− =− ，消去 x ，得 42(4 ) 8 (2 )t y t t− = − ， 所以 2 8 2 ty t= + ， ……………………………3 分 故 8 2y tt = + ，由于 2 (,22)(22,)tt + − −+ ， ……………………………4 分 所以 (22 0)(0 22)y− ， ， ， 即函数 的“ 点”的纵坐标的取值范围是( 2 2 0) (0 2 2)− ， ， . ………5 分 （2）函数 ()lnfxx = 的“ (1)S 点”在第一象限. 由题意可知， 的“ (1)S 点”中常数 ， 设 (,ln)Att ， 11( ,ln )B tt ， ， 为函数 图象上相异两点，故 0t  ，且 1t  ， 由于 1()fx x  = ，所以函数 在 ， 两点处的切线方程分别为： 2 3k  2 22 36324 4(,4)98983 k kk=−++ 24 ( 3 ) 433   − 9 9 6 2  + 9 6 2 1 −   M 1 0x  2 0x  2 2 36(1) 398 kx k −=+ 103 − 3   ( 9 ,9 6 2)+ 2k = 1k = 第5页 共 6 页 1 l n 1y x t t= + − ， l n 1y tx t= − − ， ……………………………6 分 联立 1 ln 1 ln 1 y x tt y tx t  = + −  = − − ，消去 y 得， 2 2 l n 1 ttx t= − ， 当 (0 , 1)t  时， ln 0t  ， 2 10t − ，所以 0x  ， 当 1t  时， l n 0t  ， 2 10t − ，所以 ， 所以当 0t  ，且 1t  时， . ……………………………7 分 故 22 22 2lnlnln1ln111 tttttyttt +−+=+−=−− ， ……………………………8 分 令 22( ) ln ln 1g t t t t t= + − + ，当 时，则 1( ) 2 lng t t t tt  = + − ， 令 1()2lnhtttt t=+− ， ，则 2 1()2ln10htt t  =+− ， …………………10 分 故 在 (0,1) 上单调递减， ( ) ( ) (1) 0g t h t h ==， 故 ()gt 在 上单调递增， ()(1)0gtg =，即 22lnln10tttt +−+ ，…………11 分 又 2 10t − ，所以 22 2 ln ln 1 01 t t t ty t + − +=− ， 当 1t  时，同理 0y  ， 所以函数 ()lnfxx = 的“ (1)S 点”在第一象限. ……………………………12 分 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分.作答时请写清题号. 22．【选修 4−4：坐标系与参数方程】（10 分） 解：（1）曲线 1C 的极坐标方程为： 2222cossin4cos0 +−= ， 即 4cos= . ……………………………2 分 曲线 2C 的普通方程为： 22 143 xy+=， ……………………………3 分 则曲线 的极坐标方程为： 2222cossin 143  +=， 即 2 2 12 3sin = + . ……………………………5 分 （2）由（1）得：点 A 的极坐标为 π(2, )3 ，点 B 的极坐标为 45π( , )53 ， ………………6 分 第6页 共 6 页 所以 451045||| 2| 55AB −=−= ， ……………………………7 分 (5,0)M 点到射线 π ( 0)3=的距离为 π 535sin 32d ==， ………………………9 分 所以△ M A B 的面积为 1110455353215||22522ABd −−== ． …………………………10 分 23．【选修 4−5：不等式选讲】（10 分） 解：（ 1）由题意可得： 3,1 1()51,1 3 13, 3 xx fxxx xx  −+− =−−−   − ， ………………………………1 分 当 1x − 时， 34x− +  ，得 1x − ，无解； ………………………………2 分 当 11 3x−   时， 5 1 4x− −  ，得 ，即 11 3x−   ； ………………………………3 分 当 1 3x  时， 34x − ，得 7x  ，即 1 73 x ； ………………………………4 分 所以不等式的解集为：{ | 1 7}xx−   ． ………………………………5 分 （2） ( )5|1| | 31| 3|1| | 31|| 33| 4f xxxxxx++=−++=−++ ，……………………………7 分 则根据题意可得： 2 54aa− +  ， ………………………………9 分 解得： 14a． ………………………………10 分