八年级下册数学配套练习册答案人教版最新+同步练习(全册)+课堂同步练习(全册)
八年级下册数学配套练习册答案
人教版最新+同步练习(全册)+课堂同步练习(全册)
八年级下册数学配套练习册答案人教版最新
16.1 分式同步测试题
1、式子①
x
2 ②
5
yx ③
a2
1 ④
1
x 中，是分式的有（ ）
A．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④
2、分式
13
x
ax 中，当 ax 时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零 B.分式无意义
C. 若
3
1a 时,分式的值为零 D. 若
3
1a 时,分式的值为零
3. 若分式
1x
x 无意义,则 x 的值是( )
A. 0 B. 1 C. -1 D. 1
4. (2008 年山西省太原市)化简
2 2
2
m n
m mn
的结果是（ ）
A．
2
m n
m
B． m n
m
C． m n
m
D． m n
m n
5.使分式
x
1
11
1 有意义的条件是( )
A. 0x B. 21 xx 且 C. 1x D. 1x 且 0x
6.当_____时,分式
43
12
x
x 无意义.
7.当______时,分式
68 x
x 有意义.
8.当_______时,分式
5
34
x
x 的值为 1.
9.当______时,分式
5
1
x
的值为正.
10.当______时分式
1
4
2
x
的值为负.
11.要使分式 22
1
yx
x
的值为零，x 和 y 的取值范围是什么？
12．x 取什么值时，分式
)3)(2(
5
xx
x （1）无意义？（2）有意义？ （3）值为零？
13．2005-2007 年某地的森林面积（单位：公顷）分别是 321 ,, SSS ，2005 年与 2007 年相比，
森林面积增长率提高了多少？（用式子表示）
14．学校用一笔钱买奖品，若以 1 支钢笔和 2 本日记本为一份奖品，则可买 60 份奖品；若
以 1 支钢笔和 3 本日记本为一份奖品，则可买 50 份奖品，那么这笔钱全部用来买钢笔可以
买多少支？
15．用水清洗蔬菜上残留的农药．设用 x（ 1x ）单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的
农药量与本次清洗前残留的农药量之比为
x1
1 ． 现有 a （ 2a ）单位量的水，可以一
次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量
比较少？说明理由．
16.1 分式
第 1 课时
课前自主练
1．________________________统称为整式．
2． 2
3
表示_______÷______的商，那么（2a+b）÷（m+n）可以表示为________．
3．甲种水果每千克价格 a 元，乙种水果每千克价格 b 元，取甲种水果 m 千克，乙种水果 n
千克，混合后，平均每千克价格是_________．
课中合作练
题型 1：分式、有理式概念的理解应用
4．（辨析题）下列各式 a
， 1
1x
，1
5
x+y，
2 2a b
a b
，-3x2，0中，是分式的有___________；
是整式的有___________；是有理式的有_________．
题型 2：分式有无意义的条件的应用
5．（探究题）下列分式，当 x 取何值时有意义．
（1） 2 1
3 2
x
x
； （2）
23
2 3
x
x
．
6．（辨析题）下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（ ）
A． 1
2 1x
B．
2 1
x
x
C． 2
3 1x
x
D．
2
22 1
x
x
7．（探究题）当 x______时，分式 2 1
3 4
x
x
无意义．
题型 3：分式值为零的条件的应用
8．（探究题）当 x_______时，分式
2
2
1
2
x
x x
的值为零．
题型 4：分式值为±1 的条件的应用
9．（探究题）当 x______时，分式 4 3
5
x
x
的值为 1；
当 x_______时，分式 4 3
5
x
x
的值为-1．
课后系统练
基础能力题
10．分式 2 4
x
x
，当 x_______时，分式有意义；当 x_______时，分式的值为零．
11．有理式① 2
x
，②
5
x y ，③ 1
2 a
，④
1
x
中，是分式的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
12．分式
3 1
x a
x
中，当 x=-a 时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零； B．分式无意义
C．若 a≠- 1
3
时，分式的值为零； D．若 a≠ 1
3
时，分式的值为零
13．当 x_______时，分式 1
5x
的值为正；当 x______时，分式 2
4
1x
的值为负．
14．下列各式中，可能取值为零的是（ ）
A．
2
2
1
1
m
m
B．
2 1
1
m
m
C． 2
1
1
m
m
D．
2 1
1
m
m
15．使分式
| | 1
x
x
无意义，x 的取值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
拓展创新题
16．（学科综合题）已知 y= 1
2 3
x
x
，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；
（3）y 的值是零；（4）分式无意义．
17．（跨学科综合题）若把 x 克食盐溶入 b 克水中，从其中取出 m 克食盐溶液，其中含纯盐
________．
18．（数学与生活）李丽从家到学校的路程为 s，无风时她以平均 a 米/秒的速度骑车，便
能按时到达，当风速为 b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前_______
出发．
19．（数学与生产）永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要 a 天完成，若甲组单独
完成需要 b 天，乙组单独完成需_______天．
20．（探究题）若分式 2
2
x
x
-1 的值是正数、负数、0 时，求 x 的取值范围．
21．（妙法巧解题）已知 1
x
- 1
y
=3，求 5 3 5
2
x xy y
x xy y
的值．
22．（2005．杭州市）当 m=________时，分式 2
( 1)( 3)
3 2
m m
m m
的值为零．
16.1 分式
第 2 课时
课前自主练
1．分数的基本性质为：______________________________________________________．
2．把下列分数化为最简分数：（1） 8
12
=________；（2）125
45
=_______；（3） 26
13
=________．
3．把下列各组分数化为同分母分数:
（1） 1
2
， 2
3
， 1
4
； （2） 1
5
， 4
9
， 7
15
．
4．分式的基本性质为：______________________________________________________．
用字母表示为：______________________．
课中合作练
题型 1：分式基本性质的理解应用
5．（辨析题）不改变分式的值，使分式
1 1
5 10
1 1
3 9
x y
x y
的各项系数化为整数，分子、分母应乘以
（ ）
A．10 B．9 C．45 D．90
6．（探究题）下列等式：① ( )a b
c
=- a b
c
;② x y
x
= x y
x
;③ a b
c
=- a b
c
;
④ m n
m
=- m n
m
中,成立的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
7．（探究题）不改变分式
2
3
2 3
5 2 3
x x
x x
的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确
的是（ ）
A．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
B．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
C．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
D．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
题型 2：分式的约分
8．（辨析题）分式 4 3
4
y x
a
，
2
4
1
1
x
x
，
2 2x xy y
x y
，
2
2
2
2
a ab
ab b
中是最简分式的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．（技能题）约分：
（1）
2
2
6 9
9
x x
x
； （2）
2
2
3 2m m
m m
．
题型 3：分式的通分
10．（技能题）通分：
（1） 26
x
ab
， 29
y
a bc
； （2） 2
1
2 1
a
a a
， 2
6
1a
．
课后系统练
基础能力题
11．根据分式的基本性质，分式 a
a b
可变形为（ ）
A． a
a b
B． a
a b
C．- a
a b
D． a
a b
12．下列各式中，正确的是（ ）
A． x y
x y
= x y
x y
; B． x y
x y
= x y
x y
; C． x y
x y
= x y
x y
; D． x y
x y
= x y
x y
13．下列各式中，正确的是（ ）
A． a m a
b m b
B． a b
a b
=0 C． 1 1
1 1
ab b
ac c
D． 2 2
1x y
x y x y
14．（2005·天津市）若 a= 2
3
，则
2
2
2 3
7 12
a a
a a
的值等于_______．
15．（2005·广州市）计算
2
2 2
a ab
a b
=_________．
16．公式 2
2
( 1)
x
x
， 3
2 3
(1 )
x
x
， 5
1x
的最简公分母为（ ）
A．（x-1）2 B．（x-1）3 C．（x-1） D．（x-1）2（1-x）3
17． 2
1 ?
1 1
x
x x
，则？处应填上_________，其中条件是__________．
拓展创新题
18．（学科综合题）已知 a2-4a+9b2+6b+5=0，求 1
a
- 1
b
的值．
19．（巧解题）已知 x2+3x+1=0，求 x2+ 2
1
x
的值．
20．（妙法求解题）已知 x+ 1
x
=3，求
2
4 2 1
x
x x
的值．
16.1 分式同步测试题 A
一、选择题（每题分，共分）
1、把分式
yx
x
中的 、 都扩大 3 倍，那么分式的值（ ）
A、扩大 3 倍 B、不变 C、缩小 3 倍 D、缩小 9 倍
2、把分式
xy
yx 中的 、 都扩大 2 倍，那么分式的值 （ ）
A、扩大 2 倍 B、扩大 4 倍 C、缩小 2 倍 D 不变
3、下列等式中成立的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
4、(2008 年株洲市)若使分式
2
x
x
有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A． 2x B． 2x C． 2x D． 2x
5、已知 ，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
A、①③④ B、①②⑤ C、③⑤ D、①④
二、填空题（每题分，共分）
1、分式
3
92
x
x 当 x __________时分式的值为零.
2、当 x __________时分式
x
x
21
21
有意义.当 ________________x 时，分式
8x3
2x
无意义.
3、① )0(,10
5
3 aaxyxy
a ②
1
4
2
2
a
a .
4、约分：①
ba
ab
220
5 __________，②
96
9
2
2
xx
x __________.
5、已知 P=
9
99
99
9
,Q=
9
11
90
9
,那么 P、Q 的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿。
6、a>0>b>c,a+b+c=1,M=
a
cb ,N=
b
ca ,P=
c
ba ，则 M、N、P 的大小关系是＿＿＿.
三、解答题（共分）
1、（分）
2、（分）已知
2
2 2
2 1 1 11
x x xy xx x x
。试说明不论 x 为何值，y 的值不变.
3、（分） 都化
为整数.
4、（分）
16.1 分式同步测试题 B
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1、 为任意实数，分式一定有意义的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、当 时， 值为（ ）
A、 B、
C、 D、
3、已知： ， 则：则 表示 的代数式为（ ）
A、 B、
C、 D、
4、（2008 无锡）计算
2
2
( )ab
ab
的结果为（ ）
Ａ．b B． a Ｃ．1 Ｄ． 1
b
二、填空题（每题 3 分，共 18 分）
1、 是____．
2、－
92
93,1992
1993,91
92,1991
1992 四个数的大小关系是＿＿.
3、当 x=______时，分式
145
4
2
2
xx
x 的值为零.
4、甲、乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与
乙做 60 个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？
设甲每小时做 x 个零件，那么乙每小时做（x-6）个。甲做 90 个所用的时间是 90÷x（或
x
90 ）小时，乙做 60 个的用的时间是［60÷（x-6）］（或
6
60
x
）小时，根据题意列方程为＿
＿＿＿＿＿.
三、解答题（52 分）
1 、 （ 10 分 ）
.
2、（10 分）已知：a=2b，
16.1 分式同步测试题 C（人教新课标八年级下）
A 卷（共 60 分）
一、选择题(每小题 3 分 ，共 18 分)
1.代数式- ,2
3 x ,1,8
7,1,,4 2
a
xyxyx
中是分式的有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.使分式
2x
x 有意义的是（ ）
A. 2x B. 2x C. 2x D. 2x 或 2x
3. 下列各式中，可能取值为零的是（ ）
A．
2
2
1
1
m
m
B．
2 1
1
m
m
C． 2
1
1
m
m
D．
2 1
1
m
m
4. 分式 4 3
4
y x
a
，
2
4
1
1
x
x
，
2 2x xy y
x y
，
2
2
2
2
a ab
ab b
中是最简分式的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5. 分式
3 1
x a
x
中，当 x=-a 时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零； B．分式无意义
C．若 a≠- 1
3
时，分式的值为零； D．若 a≠ 1
3
时，分式的值为零
6.如果把分式
yx
yx
2 中的 yx, 都扩大 2 倍，则分式的值（ ）
A.扩大 2 倍 B.缩小 2 倍 C.是原来的
3
2 D.不变
二、填空题(每小题 3 分 ，共 18 分)
7. 分式 2 4
x
x
，当 x 时，分式有意义.
8.当 x 时，分式
3
3
x
x 的值为 0.
9.在下列各式中， ),(3
2,,1,2,2,1 22
2
bax
xyx
baa
分式有 .
10. 不改变分式的值，使分式
1 1
5 10
1 1
3 9
x y
x y
的各项系数化为整数，分子、分母应乘以
11. 计算
2
2 2
a ab
a b
= ．
12.
22 yxyx
yx
.
三、解答题（每大题 8 分，共 24 分）
13. 约分：
（1）
2
2
6 9
9
x x
x
； （2）
2
2
3 2m m
m m
．
14. 通分：
（1） 26
x
ab
， 29
y
a bc
； （2） 2
1
2 1
a
a a
， 2
6
1a
．
15.若 ,532 zyx 求
x
zyx
2
32 的值.
B 卷（共 40 分）
一、选择题（每小题 2 分，共 8 分）
1.如果把分式
n
m
2
中的字母 m 扩大为原来的 2 倍，而 n 缩小原来的一半，则分式的值
（ ）
A.不变 B.是原来的 2 倍 C.是原来的 4 倍 D.是原来的一半
2. 不改变分式
2
3
2 3
5 2 3
x x
x x
的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ ）
A．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
B．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
C．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
D．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
3.一项工程，甲单独干，完成需要 a 天，乙单独干，完成需要b 天，若甲、乙合作，完成这
项工程所需的天数是（ ）
A.
ba
ab
B.
b
a 1
1
C.
ab
ba D. )( baab
4.如果 ,0432
zyx 那么
zyx
zyx
的值是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
二、填空题（每小题 2 分，共 8 分）
5. 李丽从家到学校的路程为 s，无风时她以平均 a 米/秒的速度骑车，便能按时到达，当
风速为 b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前 出发．
6. 当 m= 时，分式 2
( 1)( 3)
3 2
m m
m m
的值为零．
7.已知 2+ ,,15
4415
44,8
338
33,3
223
2 222 若 10+ bab
a
b
a ,(102 为正整
数）则 a ， b .
8. （08 江苏连云港）若一个分式含有字母 m ，且当 5m 时，它的值为 12，则这个分式
可以是 ．
（写出一个．．即可）
三、解答题（每大题 8 分，共 24 分）
9. 已知 1
x
- 1
y
=3，求 5 3 5
2
x xy y
x xy y
的值．
10.先能明白（1）小题的解答过程，再解答第（2）小题，
（1）已知 ,0132 aa 求 2
2 1
aa 的值，
解，由 0132 aa 知 ,0a 31,013
aaaa 即
∴ 72)1(1 2
2
2
aaaa ；
（2）已知： ,0132 yy 求
13 48
4
yy
y 的值.
11. 已知 a2-4a+9b2+6b+5=0，求 1
a
- 1
b
的值．
16．2 分式的运算
第 1 课时
课前自主练
1．计算下列各题：
（1） 3
2
× 1
6
=______；（2） 3
5
÷ 4
5
=_______；（3）3a·16ab=________；
（4）（a+b）·4ab2=________；（5）（2a+3b）（a-b）=_________．
2．把下列各式化为最简分式：
（1）
2
2
16
8 16
a
a a
=_________； （2）
2 2
2 2
( )
( )
x y z
x y z
=_________．
3．分数的乘法法则为_____________________________________________________；
分数的除法法则为_____________________________________________________．
4．分式的乘法法则为____________________________________________________；
分式的除法法则为____________________________________________________．
课中合作练
题型 1：分式的乘法运算
5．（技能题）
2
2
3
4
xy
z
·（-
28z
y
）等于（ ）
A．6xyz B．-
2 33 8
4
xy z
yz
C．-6xyz D．6x2yz
6．（技能题）计算： 2
3
x
x
·
2
2
6 9
4
x x
x
．
题型 2：分式的除法运算
7．（技能题）
2
2
ab
cd
÷ 3
4
ax
cd
等于（ ）
A．
22
3
b
x
B． 3
2
b2x C．-
22
3
b
x
D．-
2 2
2 2
3
8
a b x
c d
8．（技能题）计算： 2
3
a
a
÷
2
2
4
6 9
a
a a
．
课后系统练
基础能力题
9．（- 3a
b
）÷6ab 的结果是（ ）
A．-8a2 B．-
2
a
b
C．- 2
18a
b
D．- 2
1
2b
10．-3xy÷
22
3
y
x
的值等于（ ）
A．-
29
2
x
y
B．-2y2 C．- 2
2
9
y
x
D．-2x2y2
11．若 x 等于它的倒数，则
2 6
3
x x
x
÷ 2
3
5 6
x
x x
的值是（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
12．计算：（xy-x2）· xy
x y
=________．
13．将分式
2
2
x
x x
化简得
1
x
x
，则 x 应满足的条件是________．
14．下列公式中是最简分式的是（ ）
A． 2
12
27
b
a
B．
22( )a b
b a
C．
2 2x y
x y
D．
2 2x y
x y
15．计算 ( 1)( 2)
( 1)( 2)
a a
a a
·5（a+1）2 的结果是（ ）
A．5a2-1 B．5a2-5 C．5a2+10a+5 D．a2+2a+1
16．（2005·南京市）计算
2
2
1
2 1
a
a a
÷
2
1
a a
a
．
17．已知 1
m
+ 1
n
= 1
m n
，则 n
m
+ m
n
等于（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
拓展创新题
18．（巧解题）已知 x2-5x-1 997=0，则代数式
3 2( 2) ( 1) 1
2
x x
x
的值是（ ）
A．1 999 B．2 000 C．2 001 D．2 002
19．（学科综合题）使代数式 3
3
x
x
÷ 2
4
x
x
有意义的 x 的值是（ ）
A．x≠3 且 x≠-2 B．x≠3 且 x≠4
C．x≠3 且 x≠-3 D．x≠-2 且 x≠3 且 x≠4
20．（数学与生活）王强到超市买了 a 千克香蕉，用了 m 元钱，又买了 b 千克鲜橙，也用了
m 元钱，若他要买 3 千克香蕉 2 千克鲜橙，共需多少钱？（列代数式表示）．
16．2 分式的运算
第 2 课时
课前自主练
1．计算下列各题：
（1） 2
a
· 4
a
； （2） 2
a
÷ 4
a
； （3）
2
2
5 6
1
x x
x
÷ 2
3x
x x
；
（4）
2 2
2
2x xy y
xy y
·
2 2
2
2x xy y
xy y
．
2．55=____×____×_____×_____×5=_______;an=_______．（ 1
2
）2=____×______=____;
（ b
a
）3=_____·______·_____=
3
3
b
a
．
3．分数的乘除混合运算法则是________．
课中合作练
题型 1：分式的乘除混合运算
4．（技能题）计算：
2
2
2
3
x y
mn
·
2
2
5
4
m n
xy
÷ 5
3
xym
n
．
5．（技能题）计算：
2
2
16
16 8
m
m m
÷ 4
2 8
m
m
· 2
2
m
m
．
题型 2：分式的乘方运算
6．（技能题）计算：（-
22
3
a b
c
）3．
7．（辨析题）（-
2b
a
）2n 的值是（ ）
A．
2 2
2
n
n
b
a
B．-
2 2
2
n
n
b
a
C．
4
2
n
n
b
a
D．-
4
2
n
n
b
a
题型 3：分式的乘方、乘除混合运算
8．（技能题）计算：（
2
b
a
）2÷（ b
a
）·（- 3
4
b
a
）3．
9．（辨析题）计算（
2x
y
）2·（
2y
x
）3÷（- y
x
）4 得（ ）
A．x5 B．x5y C．y5 D．x15
课后系统练
基础能力题
10．计算（
2x
y
）·（ y
x
）÷（- y
x
）的结果是（ ）
A．
2x
y
B．-
2x
y
C． x
y
D．- x
y
11．（-
2b
m
）2n+1 的值是（ ）
A．
2 3
2 1
n
n
b
m
B．-
2 3
2 1
n
n
b
m
C．
4 2
2 1
n
n
b
m
D．-
4 2
2 1
n
n
b
m
12．化简：（
3x y
z
）2·（ xz
y
）·（ 2
yz
x
）3 等于（ ）
A．
2 3
2
y z
x
B．xy4z2 C．xy4z4 D．y5z
13．计算：（1） 2
2 6
4 4
x
x x
÷（x+3）·
2 6
3
x x
x
；
（2）
2
2
6 9
6
x x
x x
÷
2
2
9
3 10
x
x x
· 3
2 10
x
x
．
拓展创新题
14．（巧解题）如果（
3
2
a
b
）2÷（ 3
a
b
）2=3，那么 a8b4 等于（ ）
A．6 B．9 C．12 D．81
15．（学科综合题）已知│3a-b+1│+（3a- 3
2
b）2=0．求
2b
a b
÷[（ b
a b
）·（ ab
a b
）]的
值．
16．（学科综合题）先化简，再求值：
2
3 2
2 8
2
x x
x x x
÷（ 2x
x
· 4
1
x
x
）．其中 x=- 4
5
．
17．（数学与生活）一箱苹果 a 千克，售价 b 元；一箱梨子 b 千克，售价 a 元，试问苹果的
单价是梨子单价的多少倍？（用 a、b 的代数式表示）
18．（探究题）（2004·广西）有这样一道题：“计算
2
2
2 1
1
x x
x
÷ 2
1x
x x
-x 的值，其中 x=2
004”甲同学把“x=2 004”错抄成“x=2 040”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回
事？
16.2 分式的运算同步测试题 A
A 卷：
一、精心选一选
1．下列算式结果是－3 的是（ ）
A. 1)3( B. |3| C. )3( D. 0)3(
2. （2008 黄冈市）计算 ( )a b a b
b a a
的结果为（ ）
A． a b
b
B． a b
b
C． a b
a
D． a b
a
3.把分式 中的 x、y 都扩大 2 倍,则分式的值( )
A.不变 B.扩大 2 倍 C.缩小 2 倍 D.扩大 4 倍
4．用科学记数法表示-0.000 0064 记为（ ）
A. -64×10-7 B. -0.64×10-4 C. -6.4×10-6 D. -640×10-8
5．若
3
22
ba
ba ，则
a
b 等于 （ ）
A．
5
4 B．
5
4 C．1 D． 5
4
6.若 0 yxxy ，则分式
xy
11 （ ）
A.1 B. xy C.
xy
1 D.－1
7.一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为 U 像距为 V，凸透镜的焦距为 F，且满足
FVU
111 ，
则用 U、V 表示 F 应是（ ）
A.
UV
VU B.
VU
UV
C.
V
U D.
U
V
8．如果 x ＞ y ＞0，那么
x
y
x
y
1
1 的值是（ ）
A. 0 B. 正数 C. 负数 D. 不能确定
二、细心填一填
1. (16x3-8x2+4x) ÷(-2x)= 。
2.已知 a+b=2,ab=-5,则
a b+b a ＝____________
3.（2007 年芜湖市）如果 2a
b
，则
2 2
2 2
a ab b
a b
= ____________
4.一颗人造地球卫星的速度是 8×103/秒，一架喷气式飞机的速度是 5×102 米/秒，这颗人
造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的____________倍.
5.a 取整数 时，分式(1-
1
14
a
a )·
a
1 的值为正整数.
6. 已知 a＋
a
1 ＝6，则（a－
a
1 ）2 =
7.已知 25, 4n nx y ，则 2( ) nxy =_____________
8.已知｜x+y-3|+(x-y-1)2=0，则 -2 21[(-x y) ]2
=______________________
三、仔细做一做
1.计算 2 3 01( ) 2 0.125 2005 | 1|2
2. （1）化简： 1)2)(1(
3
1
xxx
x ，并指出 x 的取值范围
（2）先化简，再求值已知 3a ， 2b ，求 2 2
1 1( ) 2
ab
a b a ab b
的值．
3. 已知 y = ÷ － ＋ 1 ，试说明在右边代数式
有意义的条件下，不论 x 为何值，y 的值不变。
4.按下列程序计算：
n n n n 平方 答案
（1）填表。
输入 n 3 1
2
2 3 …
输出答案 1 1
（2）请将题中计算程序用式子表达出来，并化简。
B 卷：
一、选择题
1.在①x·x5; ②x7y÷xy; ③(-x2)3; ④(x2y3)3÷y3 中,结果为 x6 的有( )
A. ① B. ①② C. ①②③④ D. ①②④
2.使分式 2
5 5x=x-3 x -3x自左至右变形成立的条件是（ ）
A. x<0 B,x>0 C.x 0 D.x 0 且 x 3
3.已知
ba
babaabba
则且 ,0622 的值为（ ）
A、 2 B、 2 C、2 D、 2
二、填空题
1. 若 1)1( 1 xx ，则 x ＝ ．
2. 如果 x+
x
1 =3，则
1xx
x
24
2
的值为 .
3.若-1
CD ，如果∠D>∠C，
那么 AD 和 BC 的关系是（ ）
A.AD>BC B.AD=BC C.AD 2
21
1
a
∴Q1 或 x< 2
3
时，y 为负数，
当 x=1 时，y 值为零，当 x= 2
3
时，分式无意义．
17． xm
x b
克
18．（ s
a b
- s
a
）秒
19． ab
b a
20．当 x>2 或 x<-2 时，分式的值为正数；
当-2P>N；提示：∵M+1=
a
1 ,N+1=
b
1 ,P+1=
c
1 ,
∴M+1>P+1>N+1,
三、1、解：要使分式的值为零，需要分式的分子为零而分母不为零，即
2、解析：对 y 进行化简，得
2
2 2
2 1 1 11
x x xy xx x x
＝x-x+1=1。
∴不论 x 为何值，y 的值都是 1。
3、
4、
16.1 分式同步测试题 B 参考答案
一、1、C；提示：分母为非负数加一个正数
2、B；提示：根据分式的基本性质
3、B；提示：注意到分式的变形
4、B
二、 1、解 将原不等式作如下的变形
9a＞5b，即 9a－5b＞0，
4b＞7a，即 4b－7a＞0．
当 A=1，B=1 时，b 达到最小 16，此时 a=9．
2、解：∵－ ,1991
111991
1992 －
1992
111992
1993 ，－
91
1191
92
又
91
1
92
1
1991
1
1992
1
91
1
92
1
1991
1
1992
1
－
91
92
92
93
1991
1992
1992
1993 .
3、当 x2－4＝0，即 x=±2 时，由于 x=2 时，分母 x2+5x－14=0，因此分式无意义．故正
确答案为：x=－2
4、
x
90 =
6
60
x
三、1、解 设 S=原式，对原式括号内各项反序排列后，有
＝1770，
∴S=885．
2、将 a=2b 代入，得原式＝
16
3
42436
2212
.
16.1 分式同步测试题 C A 卷答案：
一、1.B，提示：根据分式的概念判断，π是常数而不是字母，所以有 2 个；2.C，提示：分
式有意义则 02 x ，则 2x ，故选 C；3.B，提示：分子为零且分母不为零即
01,012 mm 且 ，所以 ,1m 故选 B；4.C，提示：最简分式是指分子、分母都没有
公因式也就是不能约分，故选 C； 5.C，提示：把 x=-a 代入
3 1
x a
x
即为
13
a
aa ，从而判
断，故选 C；6.D，提示：按题意，分式变成
yx
yx
22
42
，化简后是
yx
yx
2 ，此式显然不变，
故选 D；
二、7. ≠±2，0；提示：分式有意义即分母不等于零即 042 x ，解得 2x ；
8.3，提示：分式的值为零就是分子等于零且分母不等于零即 0303 xx 且 ，故
3x ；
9. ,,2,1 2
x
x
baa
提示：根据分式的概念判断，π是常数而不是字母，代数式
x
x 2
，只符合
分式的特征不需要化简，所以它是分式；
10.90， 提示：根据分式的基本性质都乘以 90 即寻找分子、分母的最小公倍数为 90.
11. a
a b
，提示：先将分子、分母分解因式变成
))((
)(
baba
baa
然后约分化成最简分式；
12. 22 2 yxyx ，提示：分子、分母所乘的数是同一个，变形后是（ ,)2yx 应写成
22 2 yxyx ；
三、13. （1）
2
2
6 9
9
x x
x
=
)3)(3(
)3( 2
xx
x 3
3
x
x
（2）
2
2
3 2m m
m m
=
)1(
)2)(1(
mm
mm 2m
m
14. （1） 2 2
3
18
acx
a b c
， 2 2
2
18
by
a b c
（2）
2
2
( 1)
( 1) ( 1)
a
a a
， 2
6( 1)
( 1) ( 1)
a
a a
15.设
24
8
22
)5(3322
2
32,5,3,2,532
k
k
k
kk
x
zyxkzkykxkzyx 所以则
16.1 分式同步测试题 C B 卷答案：
一、1.C，提示：按题意，分式变成 ,
22
1
2
n
m
化简后是
n
m2 ，此式显然是原来分式的 4 倍，
故选 C；2.C，提示：先将分子和分母按降幂排列然后在分子和分母同乘以（-1）得到 C 的
答案；
3.A，提示：工程问题把总工作量看成“1”，甲的工作效率为 ,1
a
乙的工作效率为 ,1
b
则工作
时间为
ba
ab
ab
ba
ba
1
11
1 ，故选 A；
4. 设 ,4,3,2,432 kzkykxkzyx
zyx
zyx
99
432
432
k
k
kkk
kkk
故选 C；
二、5. （ s
a b
- s
a
）秒 提示：顶风时风速为 )( ba 米/秒，所用时间为
ba
s
秒，也就
是费时间减去无风时的时间即为提前的时间；
6.3.提示：分式的值为零就是分子等于零且分母不等于零即为
023.0)3)(1( 2 mmmm 且 ，解得 3m ；
7.10，99，提示：从前面的式子得到规律：分子是加号前面的数，分母是分子的平方减 1，
故 99110,10 2 ba ；
8. 60
m
（答案不唯一）；
三、9.解：由 1
x
- 1
y
=3 得， xyyxxy
yx 3,3 ，
原式= 5 3 5
2
x xy y
x xy y
= 623
33
2)(
3)(5
xyxy
xyxy
xyyx
xyyx
10.解：由 ,0132 yy 知 ,0y ∴ ,31,013 yyyy 即
∴（ ,111,921)1 2
2
2
2
2 yyyyyy
即
∴（ ,121)1 22
2 yy
∴ ,1191 4
4 yy
由 1161313
4
4
4
48
y
y
y
yy ，
∴
13 48
4
yy
y =
116
1
11. 解 ： a2-4a+9b2+6b+5=0 得 ， 016944 22 bbaa ， 则
（ ,0)13()2 22 ba 则
3
1,2 ba ，代入得 3 1
2
.
16．2 分式的运算第 1 课时答案
1．（1） 1
4
（2） 3
4
（3）48a2b （4）4a2b2+4ab3 （5）2a2+ab-3b2
2．（1） 4
4
a
a
（2） x y z
x y z
3．分数与分数相乘，把分子、分母分别相乘；除以一个数等于乘以这个数的倒数
4．分式乘以分式，把分子、分母分别相乘；除以一个分式等于乘以这个分式的倒数
5．C 6． 3
2
x
x
7．C 8． 3
2
a
a
9．D 10．A 11．A 12．-x2y 13．x≠0
14．C 15．B 16． 1
a
17．B 18．C 19．D 20．（ 3m
a
+ 2m
b
）元
16．2 分式的运算第 2 课时答案:
1．（1） 2
8
a
（2） 1
2
（3）
2 2
1
x x
x
（4）
2 2
2
x y
y
2．5，5，5，5，3，125；
n
a a a
个
， 1
2
， 1
2
， b
a
， b
a
， b
a
3．把除法统一成乘法来计算
4． 2
1
2y
5． 4 2
2
m
m
6．-
6 3
3
8
27
a b
c
7．C 8．
4
4
27
256
b
a
9．A 10．B 11．D 12．B
13．（1）- 2
2x
（2） 1
2
14．B 15．-1 16．5
17．
2
2
b
a
倍
18．因为
2
2
2 1
1
x x
x
÷ 2
1x
x x
-x=x-x=0．
16.2 分式的运算同步测试题答案：A 卷：
一、1 、B
2、 A
3、B 提示 把 2x x换成 2y y换成 代入可得
4、 C
5 、D 提示 根据内项积等于外项积 6 3 2 2a b a b 4 5a b
6 、A 提示
xy
11 x y
xy
整体代入得 1
7 、B 提示 1u v
uv F
UVF U V
8 、B 提示
1
1 1 1
y y xy x xy y x y
x x x x x x
>0
二、1. 28 4 2x x
2. 14
5
提示
2 2a b+b a
a b ab
ab
整体代入
3. 3
5
提示可把 a=2b 代入 也可设特殊值 a=2 b=1 代入
4.16
5.-4，-2 提示 3
1a
原式 为正整数所以 a+1<0
6.32 提示
2
2
2
1 12 36a aa a
2
2
2
1 12 34 2 32a aa a
7. 1
10000
提示 原式= 2nxy =
2
1
n nx y
1
10000
8. 1
32
提示 列方程组 求得 x=2 y=1 在代入
三、1. 5
2. （1）解
2 3 1 2 1 1
1 2 1 2 2
x x x x x
x x x x x
原式 x≠1 且 x≠
-2
（2）解 分式化简得 1
a b
当 3a ， 2b 时 原式=1
3.右边=
21 1 1 11 1 1
x x
x x x x x
=
1 1 1 1x x
4.（1）1 ， 1
（2）
2 2 2
1n n n n nnn n
16.2 分式的运算同步测试题 B 卷
一、
1. B
2. C 提示 分式两边同时乘以不为 0 的数或式子
3. C 提示
22
2
8 24
a ba b ab
a b aba b
二、
1.-1 提示 任何不为 0 的 0 次幂都等于 1
2. 1
8
提示 先求
4 2
2
2 2
1 11 7 1 8x x xx x
3.增大 提示 做差法比较大小
三、1.（1） 规律 商等于
2x
y
（2）
15
7
x
y
2.（1）①（2） 不正确 不能去分母
(3) －
= +
= +
= 2
4 3
4
x
x
4. （1）A×B＝
3 2 2 2 2 2 82 2
x x x x x x xx x x
（2）已知 A×B=2x-8 A= 3x
x－2
－ x
x＋2
求 B 的值
（2x-8）÷（ 3x
x－2
－ x
x＋2
）＝（2x+8）×（
2
2 2
2 8
x x
x x
）＝x2－4
x
16.2 分式的运算同步测试题 B （A）卷答案：
一、1.C，2.A，3.C，提示：根据定义分子、分母没有公因式即可；4.A 5.C，提示：由
),0(54 yyx 得 ,4
5
y
x
2
22
y
yx 化简得
16
91)4
5(1)( 22
y
x ；6.D，提示：通分得
24
)4(2
4
73
yx
yx
yx
yyxx ；
二、7. 2x ，提示：幂指数中的对底数有限制条件即为底数不等于零，即 02 x ；8. x2，
提示：通分得， 2 2
m
x y
= 22
2
yx
x
，根据恒等式的意义得， 2xm ；9. 7，提示：由 a+b=3，
ab=1，得 7,92,9)( 22222 baabbaba ，将 a
b
+ b
a
通分得， 7
22
ab
ba ；
10.-3，提示：将 3464
1 ， 344 m ，得 3m ；11. 24.9 10 ;12.(1)1,1(2)任意输入
一个不为 0 的数，输出的结果均为 1，提示：程序为： xx
xx )( 2
1；
三、13.（1） 2
1
2y
（2）． 4 2
2
m
m
（3）
4
4
27
256
b
a
，（4） 1
1x
14. 5，
15.解：原式 1211
)1(
1
)1( 2
aaaa
aa
a
a ，当 0a 时，原式=2×0-1= -1.
16.2 分式的运算同步测试题 B （B）卷答案：
一、1.D，提示：
1
22
2
x
x 化简得
1
2
x
，其值为整数则 21,11 xx 或 ，解得 x =2，
0，-1，3；2.D，提示：由零指数幂和负指数幂的定义得，
03
02
x
x ，得
3
2
x
x 故选 D；
3.B，提示：化简得 324 ba ，整体代入得 a8b4=（ 93) 2224 ba ，故选 B；4.B，提示：
将
baba 111 化 简 得 ，（ ,,) 222 abbaabba 即 再 将
b
a
a
b 化 简 为
1
22
ab
ba ；
二、5.5，1，-1，提示：分类讨论即当 505,0 aaa 即 ；当
115,1 5 aaaaa 时，为任意数，即 成 立 ； 当 为偶数5,1 aa ， 即
11 5 aaa 时， 成立；6.-1，提示：将结论化简得 120082007
11 yx
；7.1，
;40
1
8.
8
1 ，提示：∵ ,0x ∴分子分母都除以 ,2x
得
8
1
13
1
1)1(
1
11
1
1 3
2
2
2
24
2
xx
x
xxx
x
三、9.
nxnxnxnx
1
)1(
1
)]1()[(
1 ；
解：
)2008)(2007(
1
)3)(2(
1
)2)(1(
1
1
1
xxxxxxx
=
2007
1
2008
1
2
1
3
1
1
1
2
1
1
1
xxxxxxx
=
2008
1
x
10. 解：
4
1)4
4
2
2
22
xx
x
x
x
=
1
)2)(2(
)2)(2(
4
)2)(2(
1
)2)(2(
4)2( 22
xx
xx
x
xxxx
xx = 42 x
把 2008x 看成了 2008x 时，结果一样.
11. 解：
2
1)1()2( 23
x
xx =
2
2)2(
2
1)12()2( 2323
x
xxx
x
xxx
= .45)2(2
)2()2( 22
3
xxxxx
xxx
因为 200452 xx ，所以
2
1)1()2( 23
x
xx =2004+4=2008
16.2 分式的运算同步测试题 C 参考答案：
一、1，B；2，B；3，D；4，D；5，A；6，D；7，D；8，D；9，B；10，C.
二、11，分子和分母的公因式约去、分子与分母分解因式、约去分子与分母的公因式；
12，分子的积、分母的积、除式的分子分母、相乘；13，25b2c、－
23a b
d
、1；14，x+3.
；15，
ba
b
4
；16，xy；17，
2
2 2
a
c d
.提示：原式＝a2× 1
b
×b× 1
c
× 1
c
× 1
d
× 1
d
＝
2
2 2
a
c d
；
18，x≠－2，－3 和－4.
三、19，（1） 2
2
9
16
c
z ，（2）a+b+c，（3）
m
m 3 ，（4）
ba
ba
3
；
20，（1） yx3
2
9 ，（2） yx236 ，（3）
yx
zyx
，（4）
y
yyyx 11 2 ；
21 ，（ 1 ） 化 简 结 果 是 ：
1
1
x
值 为 ： 5. （ 2 ）
2 2
2 2 12 4 4
a b a b
a b a ab b
＝
2( 2 ) 12 ( )( )
a b a b
a b a b a b
＝ 2a b a b
a b a b
＝ 2a b a b
a b
＝ b
a b .答案不惟一，如，当
a＝b＝1 时，原式＝ 1
1 1
＝ 1
2
；
22，（1）因为－
5
2
x
y
÷
3x
y
＝
7
3
x
y
÷(－
5
2
x
y )＝－
9
4
x
y
÷(－
7
3
x
y )＝…＝－
2x
y
，所以任意一
个分式除以前面一个分式的规律是恒等于－
2x
y .（2）因为已知的一列分式可知分式的分母
的指数依次增加 1，分子的指数是分母指数的 2 倍加 1，并且分母的指数是偶数的分式带有
“－”号，所以第 7 个分式应该是
15
7
x
y
；
23，（1）“丰收 2 号”小麦单位面积产量高，（2）
1
1
a
a ；
24，
21
12
mm
mm
；
25，（1）A 玉米试验田面积是(a2－1)米 2，单位面积产量是
1
500
2 a
千克／米 2；B 玉米试
验田面积是(a－1)2 米 2，单位面积产量是 2
500
( 1)a
千克／米 2；因为 a2－1－(a－1)2＝2(a－1)，
而 a－1＞0，所以 0＜(a－1)2＜a2－1，所以
1
500
2 a
＜ 2
500
( 1)a
，即 B 玉米的单位面积产量高.
(2) 2
500
( 1)a
÷
1
500
2 a
＝ 2
500
( 1)a
×
500
12 a ＝ 2
( 1)( 1)
( 1)
a a
a
＝
1
1
a
a ，所以高的单位面积产
量是低的单位面积产量的
1
1
a
a 倍.
26，（1）A·B＝( 3
2
x
x
－
2
x
x )×
2 4x
x
＝ 2 ( 4)
( 2)( 2)
x x
x x
× 2 2x x
x
＝2x+8.
（2）答案不惟一.如，“逆向”问题一：已知 A·B＝2x+8，B＝
2 4x
x
，求 A . 解答 A＝(A·B)
÷B＝(2x+8)·
2 4x
x
＝
2
2
2 8
4
x x
x
.“逆向”问题二：已知 A·B＝2x+8，A＝ 3
2
x
x
－
2
x
x .
求 B.解答 B＝(A·B)÷A＝(2x+8)÷( 3
2
x
x
－
2
x
x )＝(2x+8)÷ 2 ( 4)
( 2)( 2)
x x
x x
＝2(2x+8)×
( 2)( 2)
2 ( 4)
x x
x x
＝
2 4x
x
.“逆向”问题三：已知 A·B＝2x+8，A+B＝x+10，求(A－B)2.解答
(A－B)2＝(A+B)2－4AB＝(x+10)2－4(2x+8)＝x2+12x+68.
16.3 分式方程同步测试题 A 答案
一、1.B，提示：关键方程里含有分母，分母里含有未知数 x ，故有③④⑤；2.C 3.C；4.B，
提示：把
x
2 看做整体，原方程转化为：（1- 0)2 2
x
，解得
x
2 =1；5.D，提示：A 去分母
时漏乘，B、C 去分母没变号，故选 D；6.C，提示：本题等量关系“两周内读完”，设他读
前一半时平均每天读 x 页则他读后一半时每天读（ x +21）页，他读前一半用的时间为
x
140 天，
读后一半用的时间为
21
140
x
天，又因为要在两周读完，因此列方程：
21
140140
xx
=14；7.B，
提示：有增根说明 01 x 即 1x ，把 1x 代入 ,01 xm 得 2m ，故选 B；8.C，
提示：去分母得，A 1234 xBBxAx ，根据恒等的意义得，
134
2
BA
BA
解得
1
1
B
A ；9.B，提示：由已知可得 ,bxa 代入
ba
ba
中；10.D；
二、11.0；12.3，提示：根据题意得
x
x
5
1 =
2
1 解得 3x ；13. 2x ，提示：分式方程有增
根说明 02 x ，即 2x ；14.
21
2
vv
tv
；15.
3
215
3
15
xx
；提示：等量关系是汽车所用
的时间=自行车所用时间-
3
2 小时；16.
9
41 . 17. 0.5
1 x当 时， ,5
32
2
1
a
a 解得
5
1a ；
18.
21
212
vv
vv
；19.6 或 12，提示：因为方程有增根，所以这个增根必使公分母 ,0)3)(3( xx
所 以 3x ， 或 3x ， 在 原 方 程 的 两 边 都 乘 以 )3)(3( xx ， 去 分 母 得
3)3(2 xxm . 当 3x 时 ， 33)33(2 m ， .6m 当 3x 时 ，
33)33(2 m ， 12m ；20.
2400 2400 8
1 20%x x
；
三、21.(1)无解
（2）x= －1；
（3）方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x2-4)=1，
化简，得 2x=-3，x=
3
2
经检验，x=
3
2 是原方程的根．
22.6 天，提示；设工程规定日期为 x 天，根据题意得， 13
2
x
x
x
，解得，经检验 6x
是原分式方程的根；23.解：设红方装甲部队的实际行进速度.为每小时 xkm ，由题意得，
.190150
10
150 xx
解这个方程得， 60,40 21 xx ，经检验 60,40 21 xx 都是原
方程的解，但实际条件限制 ,40,50 xx
24.解；设她第一次在供销大厦买了 x 瓶酸奶，根据题意，得 2.0
5
8
40.1850.12
xx
解得 5x ，经检验， 5x 是原方程的根，
25.（1） ;, 21 c
mxcx
（2）结论：方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边与左边形式完全相同，
只是其中的未知数换成了某个常数，这样左边的未知数就等于右边的常数和倒数.
1
2
1
2
aayy 可 变 形 为
1
211
21
aayy ， ∴
1
21,11
ayay 或 ，即
1
1
21
a
ayay 或 ，经检验：
1
1, 21
a
ayay 都是原
方程的解，∴原方程的解为
1
1, 21
a
ayay
16.3 分式方程课时练第一课时答案：
一、1.A；2.B，提示：A、C 方程尽管有分母，但都是常数；D 方程尽管含有分母，但分母中
不含有未知数，由定义知这三个都不是分式方程，只有 B 符合分式方程的条件.
3.A；4.A；5.B，提示：去分母得：6 yxyx 223 ，解得 4
5
4,5
x
yyx ，故选 B；
6.C
二、7. 0，8. 2x ，提示：分式方程有增根说明 02 x ，即 2x ；9. 7；
二、10.无解 11.x= －1；12.无解 13.x= －1；（解分式方程别忘了验根）
16.3 分式方程课时练第二时答案：
一、1. D，提示：顺水速度为 ba （千米/时），逆水速度为（ )ba 千米/时；再根据时间
=
速度
路程 ；2. C，提示：本题等量关系“两周内读完”，设他读前一半时平均每天读 x 页则他
读后一半时每天读（ x +21）页，他读前一半用的时间为
x
140 天，读后一半用的时间为
21
140
x
天，又因为要在两周读完，因此列方程：
21
140140
xx
=14；3. A；
二、4. 3，提示：根据题意得
x
x
5
1 =
2
1 ；
5.
21
2
vv
tv
；6.
3
215
3
15
xx
；提示：等量关系是汽车所用的时间=自行车所用时间-
3
2 小时；
三、7.由题意，得
1x
x = 11
3
2 x
，解得 2x ，检验：当 2x 时（ 03)1)(1 xx
∴ 2x 是分式方程的根.因此当 2x 时 A=B.
8..解：设参加旅游的学生人数是 x 人，全票价为 a 元，又题意得，
32
31
%80)2(
%75)19
ax
aax ，消去 a 可得，
32
31
)2(8.0
1)1(75.0
x
x
解此方程得， 8x 经检验， 8x 是原方程的解且符合题意.
9.设工程规定日期为 x 天，根据题意得， 13
2
x
x
x
，解得，经检验 6x 是原分式方程
的根；
10.解：设红方装甲部队的实际行进速度.为每小时 xkm ，由题意得， .190150
10
150 xx
解这个方程得， 60,40 21 xx ，经检验 60,40 21 xx 都是原方程的解，但实际条件限
制 ,40,50 xx
11. 解；设她第一次在供销大厦买了 x 瓶酸奶，根据题意，得 2.0
5
8
40.1850.12
xx
解得 5x ，经检验， 5x 是原方程的根，
16.3 分式方程同步测试题 A 卷答案：
一、1.B，提示：关键方程里含有分母，分母里含有未知数 x ，故有③④⑤；2.D，提示：先
把 x=1 代入方程得
4
3
1
32
a
a ，解得 3a ，故选 D；3.C；4.B，提示：把
x
2 看做整体，
原方程转化为：（1- 0)2 2
x
，解得
x
2 =1；5.D，提示：A 去分母时漏乘，B、C 去分母没
变号，故选 D；6.C，提示：本题等量关系“两周内读完”，设他读前一半时平均每天读 x 页
则他读后一半时每天读（ x +21）页，他读前一半用的时间为
x
140 天，读后一半用的时间为
21
140
x
天，又因为要在两周读完，因此列方程：
21
140140
xx
=14；
二、7.0；8.3，提示：根据题意得
x
x
5
1 =
2
1 解得 3x ；9. 2x ，提示：分式方程有增根说
明 02 x ，即 2x ；10.
21
2
vv
tv
；11.
3
215
3
15
xx
；提示：等量关系是汽车所用的时
间=自行车所用时间-
3
2 小时；12.
9
41 .
三、13.(1)无解（2）)x= －1；14.6 天，提示；设工程规定日期为 x 天，根据题意得，
13
2
x
x
x
，解得，经检验 6x 是原分式方程的根；15.解：设红方装甲部队的实际行
进速度.为每小时 xkm ，由题意得， .190150
10
150 xx
解这个方程得， 60,40 21 xx ，
经检验 60,40 21 xx 都是原方程的解，但实际条件限制 ,40,50 xx
16.3 分式方程同步测试题 B 卷答案：
一、1.B，提示：有增根说明 01 x 即 1x ，把 1x 代入 ,01 xm 得 2m ，故选
B；2.C，提示：去分母得，A 1234 xBBxAx ，根据恒等的意义得，
134
2
BA
BA
解得
1
1
B
A ；3.B，提示：由已知可得 ,bxa 代入
ba
ba
中；4.D；
二、5. 0.5
1 x当 时， ,5
32
2
1
a
a 解得
5
1a ；6.
21
212
vv
vv
；7.6 或 12，提示：因为方程
有增根，所以这个增根必使公分母 ,0)3)(3( xx 所以 3x ，或 3x ，在原方程的
两 边 都 乘 以 )3)(3( xx ， 去 分 母 得 3)3(2 xxm . 当 3x 时 ，
33)33(2 m ， .6m 当 3x 时 ， 33)33(2 m ， 12m ； 8.
2400 2400 8
1 20%x x
；
三、9. 解：方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x2-4)=1，
化简，得 2x=-3，x=
3
2
经检验，x=
3
2 是原方程的根．
10.（1）设乙工程队单独完成建校工程需 x 天，则甲工程队单独完成建校工程需1.5x ，依题
意得：
1 1 1
1.5 72x x
．
解得 120x ，经检验 120x 是原方程的解，1.5 180x ，
所以甲需 180 天，乙需 120 天；
（2）甲工程队需总费用为 0.8 180 0.01 180 145.8 （万元），
设乙工程队施工时平均每天的费用为 m ，则120 120 0.01 145.8m ≤ ，
解得 1.205m≤ ，
所以乙工程队施工时平均每天的费用最多为1.205万元．
11.（1） ;, 21 c
mxcx
（2）结论：方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边与左边形式完全相同，
只是其中的未知数换成了某个常数，这样左边的未知数就等于右边的常数和倒数.
1
2
1
2
aayy 可 变 形 为
1
211
21
aayy ， ∴
1
21,11
ayay 或 ，即
1
1
21
a
ayay 或 ，经检验：
1
1, 21
a
ayay 都是原
方程的解，∴原方程的解为
1
1, 21
a
ayay
17.1 反比例函数课时练第一课时答案：
一、1.D，提示：直接利用定义法判断；2.C，提示：根据条件列出关系式，A 为 2
4
3 as ，
B 为 A=90 -B，C 为
x
sy ，D 为 A=180 -2B，只有选项 C 满足 kx
ky ( 是常数， 0k ）
形式；3.D 4.B；
二、5.-6；6.-2；提示：根据反比例函数的定义得，
01
1132
a
aa 符合条件的是 2a ；
7.
xy 20 ；8.
RI 36 ；9. 体积为 1 500 3cm 的圆柱底面积为 2cmx ，那么圆柱的高 (cm)y
可以表示为 1 500y x
（其它列举正确均可）；
三、11. 由 ,vts 得
vt 100 ，图略（注意 0v ，只画在第一象限即可.
12. 解：设 1
1
ky x
， 2 2 ( 2)y k x ，则 y = 1k
x 2 ( 2)k x － 。
根据题意有：
1 2
1
2
1
53
k k
k k
，解得： 1 3k ， 2 4k ，∴ 3 4 8y xx
当 x＝5 时,y 3 20 85
＝ ＋ － = 312 5
.
17.1 反比例函数课时练第二课时答案：
1. 双曲线，2，二、四，提示：因为-4＜0，所以图象位于二、四象限；2. ,1k 提示：
由图象两支分布在第二、四象限内得到 01k ，即 1k ；3.-6；4.B，提示：先求出反
比例函数的解析式为
xy 18 ，将选项代入解析式，正确的是 B；5.C，提示：又-1＜0，图
象位于二、四象限，又因为 ,0x 所以图象位于第二象限，故选 C；6. .y2＜y3＜y1，提示：
根据反比例函数的性质得到；7. 图①，理由是：粮食产量 a 必为正数，故其图象应在第一、
三象限.人口数量x也为正数,故图象必在第一象限，又xy=a,则其图象应为双曲线的一个分支，
综上，可知 y 与 x 的函数图象必为图①.；8. y=－
x3
2 ；9. y=
x
6 ，提示：设 A 点的坐标（ yx, ），
根据三角形的面积得 6,32
1 xyxy ，所以反比例函数的比例系数为 6k ，所以
xy 6 ；
10.C；11.D；
12. （1）反比例函数，y=
x
6 .（2）该函数性质如下：
①图象与 x 轴、y 轴无交点；
②图象是双曲线，两分支分别位于第二、四象限；
③图象在每一个分支都朝右上方延伸，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时，y
随 x 的增大而增大.
13. （ 1 ） 把 1, ymx 代 入
xy 3 ， )1,3(,3,13 Amm
， 把 1,3 yx 代 入
xykkkxy 3
1,3
1,13, ，（2）解方程组
1
3,1
3
3
3
1
2
2
1
1
y
x
y
x
xy
xy
，故另一交
点为（-3，-1）；
14. （1）由已知设交点 A（m，6）
3 2 6
3 6
m k
k
m
m
k
4
3
5
y x y x1 23 10 8，
（2）由方程组
3 10
8
x y
x y
得 3 10 8 02x x
x x1 22 4
3
，
由图像可知当 x x y y 2 4
3 0 1 2或 时
15.解：（1）∵点 ( 21)A ， 在反比例函数 my x
的图象上，
( 2) 1 2m ∴ ．∴反比例函数的表达式为 2y x
．
∵点 (1 )B n， 也在反比例函数 2y x
的图象上， 2n ∴ ，即 (1 2)B ， ．
把点 ( 21)A ， ，点 (1 2)B ， 代入一次函数 y kx b 中，得
2 1
2
k b
k b
，
，解得 1
1
k
b
，
．∴一次函数的表达式为 1y x ．
（2）在 1y x 中，当 0y 时，得 1x ．∴直线 1y x 与 x 轴的交点为 ( 1 0)C ， ．
∵线段OC 将 AOB△ 分成 AOC△ 和 BOC△ ，
1 1 1 31 1 1 2 12 2 2 2AOB AOC BOCS S S △ △ △∴ ．
17.1 反比例函数同步测试 A 答案：
一、1.D，提示：三个面积都等于比列系数的一半，故都相等选 D；2. B，提示：利用正比
例函数解析式求出交点的纵坐标为 2，即交点的坐标为（1，2），再代入 ky x
求得 02 k ，
图象位于一、三象限，故选 B；3. B，提示：因为 0m ，即 0,0 mm 两种情况讨论，
当 0m 时，一次函数在一、二、三象限，反比例函数在一、三象限，所以 B 正确；4.C，
提示：设 A 点的坐标为（ ,a ）（ ,0,0 a ）则 B 点的坐标为（ ,a ）AC= 2 ，
BC= a2 ，所以三角形的面积为 102222
1 aa ；
二、5.-1，提示：根据定义得 1,1,12 22 mmm ，又因为 1,01 mm ，所以
1m ；6.1，2，提示：根据题意得 ,3,03 kk 则满足该条件的正整数 k 的值是 1，2；
7.答案不唯一： ,1k ，提示：由反比例函数的性质可知， 0k ，只要符合 0k 任意
一个即可；8. 100y x
；
三、9. 解：设 1
1
ky x
， 2 2 ( 2)y k x ，则 y = 1k
x 2 ( 2)k x － 。
根据题意有：
1 2
1
2
1
53
k k
k k
，解得： 1 3k ， 2 4k ，∴ 3 4 8y xx
当 x＝5 时,y 3 20 85
＝ ＋ － = 312 5
.
10.（1）
vp 96 ；（2）当 8.0v 时， 120p （千帕）；（3）∵当气球内的气压大于 144
千帕时，气球将爆炸，∴ 144p ，∴ 14496
v
，
3
2
144
96 v （ 3m ）
11. 解：（1） 点 A 横坐标为 4 ，当 4x 时， 2y ．点 A 的坐标为 (4 2)， ．
点 A 是直线 1
2y x 与双曲线 ( 0)ky kx
的交点 4 2 8k ．
（2）解法一：如图 B-11-1，
点C 在双曲线上，当 8y 时， 1x 点C 的坐标为 (18)， ．
过点 A C， 分别做 x 轴， y 轴的垂线，垂足为 M N， ，得矩形 DMON ．
B-11-1
O
x
A
y
D
M
N C
32ONDMS 矩形 ， 4ONCS △ ， 9CDAS △ ， 4OAMS △ ．
32 4 9 4 15AOC ONC CDA OAMONDMS S S S S △ △ △ △矩形 ．
解法二：如图 B-11－2，
过点C A， 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E F， ，
点C 在双曲线 8y x
上，当 8y 时， 1x ．
点C 的坐标为 (18)， ．点C ， A 都在双曲线 8y x
上，
4COE AOFS S △ △ COE COA AOFCEFAS S S S △ △ △梯形 ．
COA CEFAS S △ 梯形 ． 1 (2 8) 3 152CEFAS 梯形 ， 15COAS △ ．
（3）反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形，
OP OQ ， OA OB ．四边形 APBQ 是平行四边形．
1 1 24 64 4POA APBQS S △ 平行四边形 ．
设点 P 横坐标为 ( 0 4)m m m 且 ，得 8( )P m m
， ．
过点 P A， 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E F， ，
点 P A， 在双曲线上， 4PQE AOFS S △ △ ．
若 0 4m ，如图 B-11－3，
POE POA AOFPEFAS S S S △ △ △梯形 ，
6POAPEFAS S △梯形 ． 1 82 (4 ) 62 mm
∴ · ．
解得 2m ， 8m （舍去）． (2 4)P ， ．
若 4m ，如图 B-11－4， AOF AOP POEAFEPS S S S △ △ △梯形 ，
6POAPEFAS S △梯形 ． 1 82 ( 4) 62 mm
，
解得 8m ， 2m （舍去）． (81)P ， ．
点 P 的坐标是 (2 4)P ， 或 (81)P ， ．
17.1 反比例函数同步测试题 B 参考答案：
一、1，B；8，A；3，D；4，D；5，A；6，C.
二、7，2；8，－2；9，＜；10，4；11，2；12，2
B-11－2
O x
A
y
B
FE
C
B-11－3
O
A
y
B
F
Q
E
P
x
B-11－4
O x
A
y
B
F EQ
P
三、13，略；14，（1）y＝－ 18
x
，（2）－6；15，y＝－ 1
9
x2+ 6
3x
（x≠－3），16，y
＝2x，y＝ 2
x
；17，y＝ 2
x
，y＝ 1
3
x－ 1
3
；18，（1）设 P（a，
a
2000 ），则 PA＝|
a
2000 |，PB
＝|a|，四边形 PAOB 的面积 S＝PA·PB＝|
a
2000 |·|a|＝（－
a
2000 ）（－a）＝2000，（2）面积
不变.
17.1 反比例函数同步测试题 C 答案：
一、1，A；2，A；3，C；4，C；5，D；6，C.
二、7，k＞0；8，＜ 2
3
、＞ 2
3
；9，4；0，在一、三象限.提示：因为 m2+2m+3＞0，则
a＞0，点 P(1，a)在图象上，则 k＞0；11，答案不唯一，比例系数小于 0；12，一、二、四.
三、13，y＝－ 4
x
，二、四，在每一象限内 y 随 x 的减小而减小，略，点（－3，0），（－3，
－3）都不在图象上；14，y＝－ 9
x
；15，y＝－ 6
x
(x＜0)；16，（1）b＞a，（2）a＞b，（3）
在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，（4）当位于同一分支上时，y1＜y2，当位于不同分支
上时，y1＞y2；
17，【答案】设 A 点的坐标为（x,y）,由题意得 2x+2y=8,
整理得 y= 4-x 即 A 的坐标为（x,4-x）,把 A 点代入
3 ( 0)y xx
中，解得 x=1 或 x=3
由此得到 A 点的坐标是（1,3）或（3,1）
又由题意可设定直线l 的解析式为 y=x+b（b≥0）
把（1,3）点代入 y=x+b，解得 b＝2
把（3,1）点代入 y=x+b，解得 b=－2，不合要求，舍去
所以直线l 的解析式为 y=x+2
18，y＝－ 6
x
，（2）x＝－3，
17.2 实际问题与反比例函数课时练 A 第一课时答案：
1.（1） ;100)3(;20)2(;400 xhxy 2.D，提示：由题意，得 )0(250 xxy ，故选 D；
3.C，提示：根据面积公式 S=
x
Syxy 2,2
1 ；
4.B
5.V= 3/5;5.9 mkg
，提示：设 V= 5.99.15, kVk ，代入得，由图象得
；
6.解：（1）由于一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 y （ )m 是面条的粗细（横截面积）
S（ )2mm 的反比例函数，所以可设 )0( kS
ky ，由图象知双曲线过点（4，32），可得，
,128k 即 y 与 S 的函数关系式为
.
128
Sy
（2）当面条粗 1.6 2mm 时，即当 S=1.6 时， ,806.1
128 y 当面条粗 1.6 2mm 时，面条的总
长度为 80 米.
7.（1）U=IR=4×5=20V，函数关系式是：I= .20
R
（2）当 I=1.5 时，R=4 .；
（3）当 R=10 时，I=2A；
（4）因为电流不超过 10A，由 I= .20
R
可得 2,1020 RR
，可变电阻应该大于等于 2 ..
17.2 实际问题与反比例函数课时练 A 第二课时答案：
1.（1）∵ ,500nS ∴
Sn 500 ，∴ n 与 S 成反比例函数
（2）80×80=0.64（ )2m .当 S=0.64 时， 78225.78164.0
500500
Sn
由于蓝、白两种地板砖数相等，故需这蓝、白两种地板砖各 391 块.
2.（-1，-2）提示：A、B 两点关于原点对称.；3.2；4.2004.5，提示：点在函数图象上，点
的坐标将满足函数关系式，又点 P1，P2，P3，……，的纵坐标将满足 为正整数）nn (12 ，
当 ,400912005212,2005 nn 即 P2005 的纵坐标为 4009，因为 P2005 在
xy 6 的
图象上，所以 4009= ,6
2005x
所以 ,4009
6
2005 x 即 P2005 的横坐标是
4009
6 ，因为 Q2005 是由
P2005 作 y 轴的平行线得到，可知 Q2005 的横坐标为
4009
6 ，而 Q2005 在函数
xy 3 图象上，所
以 5.2004
4009
6
3
2005 y ；
5. ．解：（1） 1600w t
（2） 1600 1600
4t t
1600 1600( 4)
( 4)
t t
t t
2
6400 6400( )
( 4) 4t t t t
．或
6.解（1）画图略，由图象猜测 xy与 之间的函数关系为反比例函数，所以设 )0( kx
ky
把 30,10 yx 代入得：
xyk 300,300 ，将其余各点代入验证均适应，所以 xy与 之
间的函数关系式为： y x
300
（2）把 24y 代入 y x
300 得 5.12x cm
所以当弹簧秤的示数为 24 时，弹簧秤与 0 点的距离是 12.5 cm ，随着弹簧秤与 0 点的距离
不断减小，弹簧秤上的示数不断增大
17.2 实际问题与反比例函数课时练 B 答案：
一、1.B，提示； y 将选项分别代入解析式正确的是 B；2. A，提示：根据反比例函数定义
得到 1422 mm ，解得 13 mm 或 ，由 1,01 mm 即为 ，故选 A；3.D，
提示：由当 x1＜0＜x2 时，有 y1＜y2，得到
2
1,021 mm ，故选 D；4.D，提示：根据反
比例函数的性质求得；5.D。,提示：因为 y 与 x 成反比例函数关系，三角形的底与高都必须
大于 0，所以 x＞0 的图像在第一象限。
6.C，提示：因为 m=ρV，当 V＝30 时，m＝30ρ，故为正比例函数。7.D，提示：其中 S1
＝S2＝S3＝|k|；8.C；9. D；10.C，提示：因为 ,02 k 则- ,02 k ，故在二、四象限，选 C；
11.C；12.C；
二、13. )0(100 xxy ，提示：由于 y 与 x 成反比例，则
x
ky ，当 y =400 时， x =0.25，
所以 10025.0400 k ，又焦距不能为负值，故 )0(100 xxy ；14.二、四，提示：
将点（ )2, nn 代入
x
ky 得 22nk ，又因为 02,0,0 22 nnn ，所以图象在二、
四象限；18.-2，提示：由双曲线经过 A、B 得
2
14
km
k
，解得 m =2，由 baxy 经过 A、
B 得
ba
ba
22
4 解得， ba 2 -2；16. 反比例函数
vt 300 ；17. 0.5；
三、18.根据长方形的面积公式可得其解析式应为 ),0(42 xxy 用描点法画出其图象（略）
19. （1）.由△OAB 的面积为 3，可以求出反比例函数的系数为 6，所以函数解析式为
xy 6
（2）.根据这些条件不足以求出一次函数的关系式。由于点 A 的坐标并不确定，所以无法确
定一次函数中的 m，也就不能确定一次函数的关系式。实际上一次函数与反比例函数的交点
以及坐标原点所构成的三角形的面积应该是一个定值，从这点也可以看出一次函数的解析式
不是唯一的。
20. 1）反比例函数 2）
xy 12 3）近似于 6 与 4 即可
21.（1）设 A、B 两地之间的路程为 s 千米，则 s =75×4=300（千米）
∴ y 与 x 之间的函数关系式是
xy 300 .
（2）当 y =3 时，则有 3= 100,300 xx
，∴返回时车速至少是 100 千米/小时.
22.（1）设
R
UI ，把 R=5，I=2 代入，即可求得 U=10，即 I 与 R 之间的函数关系式 I=
R
10 ；
（2）当 I=0.5 时，0.5= 20,10 RR
（欧姆），因此电阻 R 的值为 20 欧姆..
23.（1）略；（2）设
x
ky ，把 20,3 yx 代入
x
ky 中，得
xyk 60,60 分别把（4，
15）（5，12），（6，10）代入上式均成立；∴ y 与 x 之间的函数关系式是
xy 60 ；
（3）W=（
xxxyx 1206060)2()2 ，当 10x 时，W 有最大值.
第一课时 18.1 勾股定理答案：
1.A，提示：根据勾股定理得 122 ACBC ，所以 AB 222 ACBC =1+1=2；
2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5 m ，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了 4 步.
3.
13
60 ，提示：设斜边的高为 x ，根据勾股定理求斜
边为 13169512 22 ，再利用面积法得，
13
60,132
11252
1 xx ；
4. 解：依题意，AB=16 m ，AC=12 m ，
在直角三角形 ABC 中,由勾股定理,
222222 201216 ACABBC ,
所以 BC=20 m ,20+12=32( m ),
故旗杆在断裂之前有 32 m 高.
5.8
6. 解:如图,由题意得,AC=4000 米,∠C=90°,AB=5000 米,由勾股定理得
BC= 300040005000 22 (米),
所以飞机飞行的速度为 540
3600
20
3 (千米/小时)
7. 解：将曲线沿 AB 展开，如图所示，过点 C 作 CE⊥AB 于 E.
在 R 90, CEFCEFt ，EF=18-1-1=16（ cm ），
CE= )(3060.2
1 cm
，
由勾股定理，得 CF= )(341630 2222 cmEFCE
8. 解：在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理，得
2543 22222 ABACBC
在直角三角形 CBD 中，根据勾股定理，得 CD2=BC2+BD2=25+122=169，所以 CD=13.
第 2 题图
9. 解：延长 BC、AD 交于点 E.（如图所示）
∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8，
设 AB= x ，则 AE=2 x ，由勾股定理。得 33
8,8)2( 222 xxx
10. 如图，作出 A 点关于 MN 的对称点 A′，连接 A′B 交 MN 于点 P，
则 A′B 就是最短路线. 在 Rt△A′DB 中，由勾股定理求得 A′B=17km
11.解：根据勾股定理求得水平长为 m12513 22 ，
地毯的总长 为 12+5=17（m），地毯的面积为 17×2=34（ )2m ，
铺完这个楼道至少需要花为：34×18=612（元）
12. 解：如图，甲从上午 8：00 到上午 10：00 一共走了 2 小时，
走了 12 千米，即 OA=12．
乙从上午 9：00 到上午 10：00 一共走了 1 小时，
走了 5 千米，即 OB=5．
在 Rt△OAB 中，AB2=122 十 52＝169，∴AB=13，
因此，上午 10：00 时，甲、乙两人相距 13 千米．
∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．
18.2 勾股定理的逆定理答案：
一 、 1.C ； 2.C ； 3.C ， 提 示 ： 当 已 经 给 出 的 两 边 分 别 为 直 角 边 时 ， 第 三 边 为 斜 边
= ;10262 22 当 6 为斜边时，第三边为直角边= 2426 22 ；4. C；
二、5.90°提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为
90°.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为 .541292
1 7.
直角，提示：
2222222 864182100,1002,100)( cbaabbaba 得 ；8.
13
60 ，提
示 ： 先 根 据 勾 股 定 理 逆 定 理 判 断 三 角 形 是 直 角 三 角 形 ， 再 利 用 面 积 法 求 得
AD 132
15122
1 ；
三、9. 解：连接 AC，在 Rt△ABC 中，
AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴ AC=5.
在△ACD 中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169，
而 AB2=132=169，
∴ AC2＋CD2=AB2，∴ ∠ACD=90°．
故 S 四边形 ABCD=S△ABC＋S△ACD= 2
1 AB·BC＋
2
1 AC·CD= 2
1 ×3×4＋
2
1 ×5×12=6＋30=36.
10. 解：由勾股定理得 AE2=25，EF2=5，
AF2=20，∵AE2= EF2 +AF2，
∴△AEF 是直角三角形
A
BD
P N
A′
M
第 10 题图
O A
B
11. 设 AD=x 米，则 AB 为（10+x）米，AC 为（15-x）米，BC 为 5 米，∴(x+10)2+52=(15-x)2，
解得 x=2，∴10+x=12（米）
12. 解：第七组， .1131112,112)17(72,15172 cba
第 n 组， 1)1(2),1(2,12 nncnnbna
19.1 平行四边形课时练
课时一答案：
一、1.B，提示：平行四边形的两邻角的和为 180°，所以它们的角平分线的夹角为 90°；
2.B，提示：设相邻两边为 ,, ycmxcm 根据题意得
2
12
yx
yx ，解得
5
7
y
x ；3. B，提示：
根据平行四边形的性质对角相等得∠D＝∠ABC=120°，邻角互补得∠CAB+∠CAD+∠
D=180°，则∠CAB=180°-32°-120°=28°；4. D，提示：根据平行四边形的对角相等，得对
角的比值相等故选 D；5.A；6.B，由题意得∠A=60°，根据平行四边形的邻角互补，得∠B=180°
-60°=120°；
二、7.3 个即四边形 ABCB′，C′BCA，ABA′C 都是平行四边形；8.24 ，CD=12；9.100°，
提示：先求出对角为100°，另一组对角为80°，所以较大的为100°；10.45°，135°，45°，135°
11.4；15.70°，提示：根据平行四边形的对角互补得∠B=∠ADC=110°，则∠FDC=70°，再根据
三角形的外角等于其不相邻的两个角的和，故为∠E+∠F=70°；
三、13. 证明：∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°,又∵∠A＝∠C,∴∠C+∠D=180°,
∴AD∥CB, ∴四边形 ABCD 是平行四边形..
14.解:在□ABCD 中, ∠A＝∠C,
又∵∠A+∠C=160°∴∠A＝∠C=80°
∵在□ABCD 中 AD∥CB,∴∠A+∠B=180°,
∴∠B＝∠D=180°-∠A=180°-80°=100°
15. 解：∵ ABCD,∴BC=AD=12,CD=AB=13，OB=
2
1 BD
∵BD⊥AD,∴BD= 22 ADAB = 22 1213 =5
∴OB=
2
5
16. AE=CF；证明∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AF∥CE，又∵AE∥CF
∴四边形 AECF 为平行四边形，AE=CF；
课时二答案：
1. 10＜x＜22，提示：根据三角形的三边关系得 112
15 x ，解得 2210 x ；2. B；3.
BC=AD=4.8；4.A；提示：根据面积法求出邻边的比为 3∶2，则邻边为 7.5，5，则面积为 7.5
×2=15 cm 2 ；
5. 证明：∵ ABCD,∴OA=OC,DF∥EB∴∠E=∠F,又∵∠EOA=∠FOC
∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF；
6. OE=OF, 在□ABCD 中，OB=OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠BEO＝∠DFO，
又∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，∴OE=OF.
7.D，提示：因为平行四边形的对角线把平行四边形分成面积相等的 4 个小三角形，所以平
行四边形的面积为 4；8.C，提示：根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三
边，若 yx ，则
1222
1222
yx
yx
，所以符合条件的 yx, 可能是 18 与 20；9.30 2cm ；10.8;
11.证明：∵DE∥AB，DF∥AC
∴四边形 AEDF 是平行四边形，∴DF=AE，又∵DE∥AB，∴∠B=∠EDC，又∵AB=AC,
∴∠B=∠C，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴DF+DE=AE+CE=AC=AB.
12. 解：（1）有 4 对全等三角形．
分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．
（2）证明：∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF，
∴△OAE≌△OCF，∴∠EAO=∠FCO．
在ABCD 中，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，∴∠EAM=∠NCF．
课时三答案：
一、1.C；2.B，提示：AD∥BC，添加条件①③④能使四边形 ABCD 成为平行四边形;3.C；
4.B；
二、5. AD=BC（或 AB∥CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D）；6.30°，6，9；7.对角线互相平分；8.
3；
三、9.在 ABCD 中，AD=CB,AB=CD,∠D＝∠B，∵E、F 分别为 AB、CD 的中点，∴DF=BE，
又∵AB∥CD，AB=CD，∴AE=CF，∴四边形 AECF 是平行四边形.
10. 证明：∵ ABCD
∴AB=CD,AB∥CD
∴∠1=∠2
AE⊥BD,CF⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°,AE∥CF
∴△AEB≌△CFD,∴AE=CF
∴AECF 为平行四边形
11. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD
又∵AE=CF，∴OE=OF
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
12. 猜想： BE DF∥ ， BE DF
证明：
证法一：如图第 12－1．
四边形 ABCD 是平行四边形．
BC AD 1 2
又 CE AF
BCE DAF△ ≌△
BE DF 3 4
BE DF ∥
A
B C
D
E
F
第 12-2
Ｏ
A
B C
D
E
F
第 12-1
2
3 4
1
证法二：如图第 12－2．
连结 BD ，交 AC 于点 O ，连结 DE ， BF ．
四边形 ABCD 是平行四边形
BO OD ， AO CO
又 AF CE
AE CF
EO FO
四边形 BEDF 是平行四边形
BE DF ∥
课时四答案：
1.C;2.D，提示：根据三角形中位线的性质定理： ;2
1,2
1
DEFLMNABCDEF LLLL 3.26
或 22，提示：当两腰上的中位线长为 3 时，则底边长为 6，腰长为 10，三角形的周长为 26，
当两腰上的中位线长为 5 时，则底边长为 10，腰长为 6，三角形的周长为 22；4.平行四边形 ；
5.平行四边形；
6.证明：(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CF．
∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵E 是 AD 的中点，∴ AE=DE．
∴△ABE ≌△DFE．
(2)四边形 ABDF 是平行四边形．∵△ABE ≌△DFE
∴AB=DF 又 AB∥CF．∴四边形 ABDF 是平行四边形．
7.解：∵BA∥DE，BD∥AE，∴四边形 ABDE 是平行四边形
∴AB=DE，BD=AE，又 EF=FC 且 AF∥BC，EC⊥BC，∴DE=DC，
∴EA+AE+EF=BD+DC+CF，∴二人同时到达 F 站.
8.证明：(1)∵BD=CD，∴∠BCD=∠1．∵ ∠l=∠2，∠BCD=∠2．∴CD∥AB．
(2) ∵ CD∥AB ∴∠CDA=∠3．
∠BCD=∠2=∠3．且 BE=AE．且∠CDA=∠BCD．∴DE=CE．
在△BDE 和△ACE 中， DE=CE，∠DEB=∠CEA，BE=AE．∴△BDE≌△ACE
(3) ∵△BDE≌△ACE
∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°．
第 1 题图
∴∠ACH=90°一∠BCH
又 CH⊥AB，．∴ ∠2=90°一∠BCH
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4．AF=CF
∵∠AEC=90°一∠4，∠ECF=90°一∠ACH
∠ACH=∠4 ∠AEC=∠ECF．CF=EF．∴ EF=AF
O 为 AB 中点，OF 为△ABE 的中位线 ∴OF= 1
2
BE
9. 线段 AC 与 EF 互相平分.理由是：∵四边形 ABCD 是平行四边形.
∴AB∥CD,即 AE∥CF，AB=CD，∵BE=DF，∴AE=CF
∴四边形 AECF 是平行四边形，
∴AC 与 EF 互相平分.
10.是平行四边形,△AOE≌△COF.
11 是平行四边形，四边形 AMCN、BMDN 是平行四边形.
19.1 平行四边形同步测试题 A
(A)参考答案:
一、1.D 2.C 3.C 4.C 5.D 6.B 7.C 8.D
二、1.125°，55°，125°，55°; 2. 5, 5; 3. 3; 4. 12cm ; 5.12, 8; 6.1; 7.20; 8.
BE=DF．（或∠BAE=∠CDF 等）.
三、1. 解：因为
△
AOB 的周长为 25，
所以 OA+BO+AB=25，
又 AB=12，所以 AO+OB=25-12=13，
因为平行四边形的对角线互相平分，所以 AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=26
2. 解:因为四边形 ABCD 是平行四边形,
所以 AD//BC,
因为点 E 在 AD 上,点 F 在 BC 上,
所以 AE//CF,
又因为 AE=CF,
所以四边形 AFCE 是平行四边形.
3. 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AO=CO= 2
1 AC，OB=OD．
因为 BD⊥AB，所以在 Rt△ABO 中，AB=12cm，AO=13cm．
所以 BO= 522 ABAO ．所以 BD=2B0=10cm．
所以在 Rt△ABD 中，AB=12cm，BD=10cm．
所以 AD= 61222 BDAB (cm)．
4. （1）因为 DF∥BE， 所以∠AFD＝∠CEB． 又因为 AF=CE， DF=BE，
所以
△
AFD≌⊿CEB．
（2）由(1)
△
AFD≌⊿CEB 知 AD=BC，∠DAF＝∠BCE ， 所以 AD∥BC ，
所以四边形 ABCD 是平行四边形．
(B)参考答案:
一、1. B 2.B 3.C 4.D
二、1.8cm; 2.3; 3.2; 4.7
三、1. (1)∠DAB=∠DCB 且∠ADC=∠ABC（或两组对角分别相等）；
(2)AB=CD 且 AD=BC（或两组对边分别相等）；
(3)OA=OC 且 OD=OB（或 O 是 AC 和 BD 的中点；或 AC 与 BD 互相平分；或对角线互
相平分）；
(4)AD//BC 且 AD=BC（或 AB//DC 且 AB=DC；或一组对边平行且相等）．
(5) AB//CD 且∠DAB=∠DCB（或一组对边平行且一组对角相等）
2. 设计的方案如图所示，可分别取 AB、AC 边的中点 D、E，连接 DE，过点 C 作 CF∥AB，
交 DE 的延长线于 F，把
△
ABC 切割后，补在
△
CFE 的位置上，就可焊接成□BCFD．理由如
下：
因为 E 是 AC 的中点， 所以 AE=CE.
因为 CF∥AB， 所以∠ADF＝∠F．
又因为∠AED＝∠CEF， 所以
△
ADE≌△CFE, 所以 AD=CF．
因为 D 是 AB 的中点, 所以 AD=BD，故 BD=CF，
又因为 CF∥AB，所以四边形 BCFD 是平行四边形．
3. ①设 AE=CF,如图(1),
已知□ABCD,AE=CF(补充条件)
求证:四边形 EBFD 是平行四边形(提出结论)
证明:连结 BE、FD，
在□ABCD 中，AD//BC，AD=BC，
又 AE=CF，
所以 ED//BF，ED=BF (1) (2)
所以四边形 EBFD 是平行四边形.
②设 AE=BF.如图(2),
已知□ABFE 是平行四边形,AE=BF(补充条件)
求证:四边形 ABFE 是平行四边形.
证明:连结 EF.
因为四边形 ABCD 是平行四边形,
所以 AD//BC,AE//BF,
又 AE=BF,
所以四边形 ABEF 是平行四边形
19.1 平行四边形同步测试题 B 答案：
一、填空题 1. 122°，1.5cm 2. 3, □AEDF □BDEF □DCEF 3. 边 DC,△CDA,180°
4. 平行四边 5. 平行四边形 6. 10
二、选择题 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.B 13.D 14.C
三、15. 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD∥BC, AD∥BC
又因为 AE=CF,所以 ED=FB,四边形 AFCE 是平行四边形
所以 AF∥EC．同理：BE∥FD．所以四边形 MFNE 是平行四边形．
16. 我认为她说的对．理由略．
17. 能实现．如图：□EFGH 是要求的图形
E
A
B
C
D
H
G
F
19.2 特殊的平行四边形课时练
课时一答案：
1.C；2.D，提示：由勾股定理求得斜边为： 13512 22 ，斜边的中线长为 5.62
13 ；
3.18，提示：AB=5,BC=12,AC=13, cmACABOBOAABL ABO 18513 ；4.
A，提示：DE=3,AB=AE=6,在直角三角形 ADE 中，∠DAE=30 ，由折叠的性质得∠BAF=
∠EAF=30,设 BF= x ，则 AF=2 x ， 342,32,364 22 xAFxxx ；5.3；6.14；
7 证明：∵四边形 ABCD 为矩形,∴AC=BD,BO=CO,
∵ BE AC ,CF BD ,∴∠BEO=∠CFO=90 ,又∵∠BOE=∠COF
则 BOE COF ∴BE=CF
8.连接 AC、BD，AC 与 BD 相交于点 O，连接 OE
在□ABCD 中，AO=OC,BO=DO. 在 DEBRt 中，OE= BD2
1 ,
在 AECRt 中，OE= AC2
1 ,∴BD=AC, ∴□ABCD 为矩形.
9. 猜想结果：图 2 结论 S△PBC=S△PAC+S△PCD； 图 3 结论 S△PBC=S△PAC-S△PCD
证明：如图 2，过点 P 作 EF 垂直 AD，分别交 AD、BC 于 E、F 两点．
∵ S△PBC=1
2
BC·PF=1
2
BC·PE+1
2
BC·EF
=1
2
AD·PE+1
2
BC·EF=S△PAD+1
2
S 矩形 ABCD
S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+1
2
S 矩形 ABCD
∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD
10. (1)证明：∵MN∥BC，∴∠BCE=∠CEO 又∵∠BCE=∠ECO
∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC,同理 OC=OF，∴OE=OF
(2)当 O 为 AC 中点时，AECF 为矩形，∵EO=OF(已证)，OA=OC
∴AECF 为平行四边形，又∵CE、CF 为△ABC 内外角的平分线
∴∠EOF=90°，∴四边形 AECF 为矩形
课时二答案：
1. B；2. C; 3.答案不唯一： AB AD AC BD ， 等；4.5；5.C；6.24，提示：由已知得菱
形 一 边 长 为 5 cm ， 由 菱 形 的 对 角 线 互 相 平 分 且 垂 直 ， 所 以 另 一 条 对 角 线 的 长 为
)(632452 22 cm ，∴S 菱= )(24682
1 2cm ；7.①②⑥或③④⑤或③④⑥；
8.四边形 AEDF 是菱形，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAF，
∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠DAE＝∠DAF，∴∠ADE=∠DAE，∴AE=ED.
又∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形 AEDF 是平行四边形，∴平行四边形 AEDF 是菱形.
9. □AFCE 是菱形，△AOE≌△COF，四边形 AFCE 是平行四边形，EF⊥AC
10.. 解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．
∵点 E 、F 分别是 AB、CD 的中点，∴AE＝
2
1 AB ，CF＝
2
1 CD ．
∴AE＝CF ．∴△ADE≌△CBF ．
（2）当四边形 BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC ．
∵AG∥BD ，∴四边形 AGBD 是平行四边形．
∵四边形 BEDF 是菱形，
∴DE＝BE ．∵AE＝BE ，
∴AE＝BE＝DE ．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°．
即∠ADB＝90°．
∴四边形 AGBD 是矩形．
课时三答案：
1.A；2.A; 3.∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°中的任一条件即可;4. D；5. 3 2 ；
6. 1
32
;7.105;
8.证明：(1)∵四边形 ABCD 是正方形.∴BC=DC，∠BCD=90°
在 Rt△BCE 和 Rt△DCF 中，BC=DC，CE=CF,∴Rt△BCE≌Rt△DCF
(2)∵CE=CF，∴∠CEF=∠CFE,∴∠CFE= 2
1 (180°－90°)=45°
∵Rt△BCE≌Rt△DCF,∴∠CFD=∠BEC=60°
∴∠EFD=∠DFC－∠EFC=15°
9. (1) 证明： 如图，∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90o，
又 ∠CDG=90o +∠ADG=∠ADE，
∴
△
ADE≌△CDG． ∴ AE=CG．
（2）猜想： AE⊥CG．
证明： 如图，
设 AE 与 CG 交点为 M，AD 与 CG 交点为 N．
∵
△
ADE≌△CDG， ∴ ∠DAE=∠DCG．
又∵ ∠ANM=∠CND， ∴
△
AMN∽△CDN．
∴ ∠AMN=∠ADC=90o．∴ AE⊥CG．
10. 解： HG HB ．
证法 1：连结 AH ，
∵四边形 ABCD ， AEFG 都是正方形．
90B G °．
由题意知 AG AB ，又 AH AH ．
Rt Rt ( )AGH ABH HL △ ≌ △ ，
HG HB∴ ．
证法 2：连结GB ．
∵四边形 ABCD AEFG， 都是正方形，
90ABC AGF ∴ °．
由题意知 AB AG ．
AGB ABG ∴ ．
HGB HBG ∴ ．
HG HB∴ ．
11. 解：（1）连结 DF．
因为点 E 为 CD 的中点，所以 1
2
EC EC
AB DC
．
据题意可证△FEC∽△FBA，所以 1
4
CEF
ABF
S
S
． （2 分）
因为 S△DEF=S△CEF，S△=S． （2 分）
所以 4
5
AEF AEF
ADF DEFADEF
S S
S S S
四边形
．
（2）连结 DF．
与（1）同理可知， CEF
ABF
S
S
= 4
9
，S△DEF= 1
2
S△CEF， ADF ABFS S ，
所以 ABF ABF
ADEF DEF ADF
S S
S S S
= 9
11
．
D C
A B
G
H
F
E
（第 10 题）
D C
A B
G
H
F
E
（第 10 题）
（3）当 CE：ED=3：1 时，=16
19
．
当 CE：ED=n：1 时， =
2
2
( 1)
( 1)
n
n n
（=
2
2
2 1
3 1
n n
n n
）．
（4）提问举例：①当点 E 运动到 CE：ED=5：1 时，△ABF 与四边形 ADEF 的面积之比是
多少？
②当点 E 运动到 CE：ED=2：3 时，△ABF 与四边形 ADEF 的面积之比是多少？
③当点 E 运动到 CE：ED=m：n（m，n 是正整数）时，△ABF 与四边形 ADEF的面积之比
是多少？
19.3 梯形同步测试题答案
一、1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.D 7.B 8.D 9. A 10.B
二、11. 135°; 12. BD，∠CDA，∠ABC，等腰梯形的对角线相等，等腰梯形同一底上的
两个角相等; 13. 3; 14. ∠B=∠C 等; 15.2; 16.30°; 17.15; 18.②④. 19.108°；20. 8
5
㎝
三、21. 解:因为 ABCD 是等腰梯形,AD=3cm,BC=5cm,过点 A 作 AE⊥BC 于 E,
因为∠B=45°,∠BAE=45°,所以 BE=AE,BE=
2
1 (5-3)=1,所以 AE=1,所以
S 梯形 ABCD=
2
1 (5+3)×1=4(cm2).
22. 解：因为 AB//CD，DC=AD=BC，所以∠1=∠2，∠1=∠3，∠DAB=∠B，
所以∠1=∠2=∠3，
所以∠B=∠DAB=∠2+∠3=2∠2，
又 AC⊥BC，所以∠2+∠B=90°，所以∠B=60°，
所以∠DAB=60°，∠ADC=∠BCD=120°.
23. 证明:因为 AB//CD,BE=DC,且 BE 在 AB 的延长线上,所以 CD//BE,CD=BE,所以四边形
DBEC 是平行四边形,所以 CE=DB,
因为 AD=BC,所以梯形 ABCD 是等腰梯形,所以 AC=BD,
所以 AC=CE.
24.过点 A 作 AE//DC 交 BC 与 E,]
∵AD//BC，四边形 AEDC 是平行四边形．
∴EC=AD=3，DC=AE，∴BE=BC-CE=7-3=4．
∵等腰梯形两腰相等，∴AB=CD=4,
∴AE=AB=BE=4，∴
△
ABE 是等边三角形，∴∠B=60º．
25.选第一种铝板，最多能剪甲、乙两种零件 2 个，共计 4 个.
剩余边角料面积=500×300－（100+300）×200－（100+300）×150=10000 ㎜ 2
全册同步练习
第一章 一元一次不等式（组）
1.1 不等关系同步练习 1
1. 在数学表达式 ①-3<0；②4x+5>0；③x=3；④x2+x； ⑤ x -4；⑥ x+2>x+1 是不等式
的有( )
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
2. x 的 2 倍减 7 的查不大于-1,可列关系式为( )
A.2x-7≥-1 B. 2x-7<-1 C. 2x-7=-1 D. 2x-7≥-4
3.下列列出的不等关系式中, 正确的是( )
A.a 是负数可表示为 a>0 B. x 不大于 3 可表示为 x<3
C. m 与 4 的差是负数,可表示为 m-4<0 D. x 与 2 的和非负数可表示为 x+2>0
4. 代数式 3x+4 的值不小于 0,则可列不等式为( )
A. 3x+4<0 B. 3x+4>0 C. 3x+4≥0 D. 3x+4<10
5.下列由题意列出的不等关系中, 错误的是( )
A.a 不是负数可表示为 a>0
B. x 不大于 3 可表示为 x≤3
C. m 与 4 的差是非负数,可表示为 x-4≥0
D.代数式 x2+3 大于 3x-7,可表示为 x2+3>3x-7
6.用不等式表示“a 的 5 倍与 b 的和不大于 8”为 _______.
7. a 是个非负数可表示为_______.
8. 用适当的符号表示下列关系:
（1）x 的
3
1 与 x 的 2 倍的和是非正数；
（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于 300 米；
（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于 268 元；
（4）明天下雨的可能性不小于 70%；
（5）小明的身体不比小刚轻.
9.某校规定期中考试成绩的 40%和期末考试成绩的 60%的和作为学生成绩总成绩.该校骆红
同学期中数学考了85分,她希望自己学期总成绩不低于90分,她在期末考试中数学至少应得
多少分?(只列关系式)
10.某次数学测验,共有 16 道选择题,评分方法是:答对一题得 6 分,不答或答错一题扣 2 分,
某同学要想得分为 60 分以上,他至少应答对多少道题?(只列关系式)
参考答案
1．C 2.A 3.C 4.C 5.A 6.5a+b≤8 7. a ≥0
8.(1)
3
1 x+2x≤0；
(2)设炮弹的杀伤半径为 r,则应有 r≥300；
(3)设每件上衣为 a 元, 每条长裤是 b 元,应有 3a+4b≤268；
(4)用 P 表示明天下雨的可能性, 则有 P≥70%；
（5）设小明的体重为 a 千克, 小刚的体重为 b 千克,则应有 a≥b.
9. 设她在期末至少应考 x 分, 则有 40×85%+60x≥90.
10. 设该同学至少应答对 x 道题,依题意有 6x-2(16-x) ≥60
1.1 不等关系同步练习 2
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1、（2007 年安顺市）如图所示，对 a，b，c 三种物体的重量判断不正确的是（ ）
a a a b b c cb b b
A、a＜c B、a＜b C、a＞c D、b＜c
2、如果 a＜0,b＞0，a＋b＜0，那么下列关系式中正确的是（ ）
A、a＞b＞－b＞－a B、a＞－a＞b＞－b C、b＞a＞－b＞－a D、－a＞b＞－b＞a
3、已知实数 a、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A、ab＞0 B、 a b C、a－b＞0 D、a＋b＞0
1-1 0 ab
4、若 a＜b＜0，则下列式子：①a＋1＜b＋2；② 1a
b
；③a＋b＜ab；④ 1 1
a b
中，正确的
有（ ）
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
5、某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了 30 斤，价格为每斤 x 元；下午，他又买了 20 斤，价
格为每斤 y 元．后来他以每斤
2
x y 元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是
（ ）
A、x＜y B、x＞y C、x≤y D、x≥y
6、对于命题“a、b 是有理数，若 a＞b，则 a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命
题才是真命题，给出下列以下四种说法：①a、b 是有理数，若 a＞b＞0，则 a2＞b2；②a、
b 是有理数，若 a＞b，且 a＋b＞0，则 a2＞b2；③a、b 是有理数，若 a＜b＜0，则 a2＞b2；
④a、b 是有理数，若 a＜b 且 a＋b＜0，则 a2＞b2。其中，真命题的个数是（ ）
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7、有下列数学表达：①3 0 ；② 4 5 0x ；③ 3x ；④ 2x x ；⑤ 4x ； ⑥
2 1x x ．其中是不等式的有________个.
8、学校食堂出售两种厚度一样但大小不同的面饼,小饼直径30cm,售价30分；大饼直径40cm，
售价 40 分.你更愿意买 饼,原因是___________________________.
9、小强在一次检测中，语文与英语平均分数是 76 分，但语文、英语、数学三科的平均分不
低于 80 分，则数学分数 x 应满足的关系为 ．
10、（2007 年临沂）有如图所示的两种广告牌，其中图 1 是由两个等腰直角三角形构成的，
图 2 是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字
母 a，b 的不等式表示为 ．
a
b
a
b
图 1 图 2
11、如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将 300ml 的水倒进一个容量为 500ml 的杯子中；
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在________ cm3 以上，_________cm3 以下
12、一个工程队规定要在 6 天内完成 300 土方的工程，第一天完成了 60 土方，现在要比原
计划至少提前两天完成任务，请列出以后几天平均每天至少要完成的土方数 x 应满足的不
等式为___________________________.
三、解答题（每题 10 分，共 10 分）
13、用不等式表示：
（1）x 与－3 的和是负数；
（2）x 与 5 的和的 28%不大于－6；
（3）m 除以 4 的商加上 3 至多为 5；
（4）a 与 b 两数和的平方不小于 3；
（5）三角形的两边 a、b 的和大于第三边 c.
14、燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到 10 m 以外的
安全区域.已知导火线的燃烧速度为 0.02m/s，人离开的速度为 4m/s，导火线的长 x(m)
应满足怎样的关系式？请你列出.
15、班级 50 名学生上体育课，老师出了一道题目：现在我拿来一些篮球，如果每 5 人一组
玩一个篮球，有些同学没有球玩；如果每 6 人一组玩一个篮球，就会有一组玩篮球的人
数不足 6 个．你们知道有几个篮球吗？
甲同学说：如果有 x 个篮球，5 50x ．
乙同学说： 6 50x ．
丙同学说： 6( 1) 50x ．
你明白他们的意思吗？
16、比较下面每小题中两个算式结果的大小(在横线上填“＞”、“＜”或“＝”)．
⑴32＋42 2×3×4；⑵22＋22 2×2×2；⑶12＋
2
4
3
2×1×
4
3 ；
⑷(－2) 2＋52 2×(－2)×5；⑸
22
3
2
2
1
3
2
2
12 ．
通过观察上面的算式，请你用字母来表示上面算式中反映的一般规律．
四、拓展探究（不计入总分）
17、有 5 支排球劲旅 A 队、B 队、C 队、D 队、E 队，参加排球锦标赛，成绩如下：D 队的名
次比 C 队低，A 队比 B 队高，但低于 E 队；E 队比 C 低，B 队比 D 队高，请问：这 5 支球
队各是第几名。解决这类问题，一个非常方便的方法是利用数学符号帮忙，此处用“＞”
或“＜”，将成绩可简单表示成不等式，很快就得出这 5 个队的名次，试一下吧？
参考答案
1、C 2、D 3、C 4、D 5、B 6、D
7、4
8、大饼 相同面积的大饼价格便宜
9、152＋x≥240
10、 1
2
a2＋ 1
2
b2＞ab (a≠b)
11、40 50
12、3x≥300－60（点拨：“现在要比原计划至少提前两天完成任务”隐含着这样一个不等关
系“4 天内完成的任务不小于 300 土方”）
13、（1）x＋(－3)＜0（2）28% (x＋5)≤－6（3）
4
m ＋3≤5（4）(a＋b)2≥3
（5）a＋b＞c
14、 10
0.02 4
x
15、甲同学说的意思是：如果每 5 人一组玩一个篮球，那么玩球的人数少于 50 人，有些同
学就没有球玩．
乙同学说的意思是：如果每 6 人一组玩一个篮球，那么就会有一个组玩篮球的人数不足
6 人．
丙同学说的意思是：如果每 6 人一组玩一个篮球，除了一个球以外，剩下的每 6 人玩一
个球，还有几人（不足 6 人）玩另外一个篮球．
16、（1）＞（2）＝（3）＞（4）＞（5）＞； 2 2a b ≥2ab（当 a＝b 时取等号）
17、D＜B＜A＜E＜C.
1.2 不等式的基本性质同步练习 1
1． 判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”
（1）不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ ）
（2）如果 a＞b，那么 3－2a＞3－2b.（ ）
（3）如果 a 是有理数，那么－8a＞－5a.（ ）
（4）如果 a＜b，那么 a2＜b2.（ ）
（5）如果 a 为有理数，则 a＞－a.（ ）
（6）如果 a＞b，那么 ac2＞bc2.（ ）
（7）如果－x＞８，那么 x＞－8.（ ）
（8）若 a＜b，则 a＋c＜b＋c.（ ）
2． 若 x＞ｙ，则 ax＞ay，那么 a 一定为（ ）
A．a＞０ B．ａ＜０ C．ａ≥0 D．a≤0
3．若 m＜ｎ，则下列各式中正确的是（ ）
A．m－3＞ｎ－3 B.3m＞3n C.－3m＞－3n D. 1 13 3
m n
4．若 a＜0，则下列不等关系错误的是（ ）
A．a＋5＜a＋7 B.5a＞7a C.5－a＜7－a D.
5 7
a a
5．下列各题中，结论正确的是（ ）
A．若 a＞0，b＜0，则 0b
a
B．若 a＞b，则 a－b＞0
C．若 a＜0，b＜0，则 ab＜0
D．若 a＞b，a＜0，则 0b
a
６．下列变形不正确的是（ ）
A．若 a＞b，则 b＜a B．－a＞－b，得 b＞a
C．由－2x＞a，得
2
ax D．由
2
x y ，得 x＞－2y
７．有理数 b 满足︱b︱＜3，并且有理数 a 使得 a＜b 恒成立，则 a 得取值范围是（ ）
A．小于或等于 3 的有理数 B．小于 3 的有理数
C．小于或等于－3 的有理数 D．小于－3 的有理数
8．若 a－b＜0，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a＞b B．ab＞0 C． 0b
a
D．－a＞－b
9．绝对值不大于 2 的整数的个数有（ ）
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
10．若 a＜0，则－
2
ba ____－
2
b
11．设 a＜b，用“＞”或“＜”填空：
a－1____b－1， a＋3____b＋3， －2a____－2b，
3
a ____
3
b
12．实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：
a－b____0， a＋b____0，ab____0，a2____b2，
a
1 ____
b
1 ，︱a︱____︱b︱
13．若 a＜b＜0，则
2
1 （b－a）____0
１４．根据不等式的性质，把下列不等式表示为 x＞a 或 x＜a 的形式：
（1）10x－１＞9x （2）2x＋2＜3 （3）5－6x≥2
１５．某商店先在广州以每件 15 元的价格购进某种商品 10 件，后来又到深圳以每件 12.5
元的价格购进同一种商品 40 件.如果商店销售这些商品时，每件定价为 x 元，可获得大于
12％的利润，用不等式表示问题中的不等关系，并检验 x＝14（元）是否使不等式成立？
答案：
1．（1）× 注意当此整数为 0 时，此不等式变为等式了，当此整数为负数时，不等号应改变
方向；
（2）× 正确答案应为 3－2a＜3－2b，这可由不等式的基本性质 3 得到；
（3）× 当 a＜0 时，－8a＜－5a；
（4）× 当 a＝－4，b＝1 时，有 a＜b，但 a2＞b2；
（5）× 当 a≤0 时，a≤－a；
（6）× 当 c＝0 时，ac2＝bc2 ；
（7）× 由不等式的基本性质 3 应有 x＜－8；
（8）√ 这可由不等式的基本性质 1 得到.
2．A 3.C 4.D 5.B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.＞ 11.＜ ＜ ＞ ＜
12.＜ ＜ ＞ ＞ ＞ ＞ 13.＞
14．（1）x＞1 （2）x＜
2
1 （3）x≤
2
1
15．
650
65050 x ＞12％，当 x＝14 时，不等式不成立，所以 x＝14 不是不等式的解.
1.2 不等式的基本性质同步练习 2
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 4 分，共 32 分）
1、如果 m＜n＜0,那么下列结论中错误的是（ ）
A、m－9＜n－9 B、－m＞－n C、 1 1
n m
D、 1m
n
2、若 a－b＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）
A、a＞b B、ab＞0 C、 0a
b
D、－a＞－b
3、由不等式 ax＞b 可以推出 x＜ b
a
，那么 a 的取值范围是（ ）
A、a≤0 B、a＜0 C、a≥0 D、a＞0
4、如果 t＞0,那么 a＋t 与 a 的大小关系是（ ）
A、a＋t＞a B、a＋t＜a C、a＋t≥a D、不能确定
5、如果
3 4
a a
，则 a 必须满足（ ）
A、a≠0 B、a＜0 C、a＞0 D、a 为任意数
6、已知有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
a0bc
A、cb＞ab B、ac＞ab C、cb＜ab D、c＋b＞a＋b
7、有下列说法：
（1）若 a＜b，则－a＞－b； （2）若 xy＜0，则 x＜0，y＜0；
（3）若 x＜0，y＜0，则 xy＜0； （4）若 a＜b，则 2a＜a＋b；
（5）若 a＜b，则 1 1
a b
； （6）若1 1
2 2
x y ，则 x＞y。
其中正确的说法有（ ）
A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个
8、2a 与 3a 的大小关系（ ）
A、2a＜3a B、2a＞3a C、2a＝3a D、不能确定
二、填空题（每题 4 分，共 32 分）
9、若 m＜n，比较下列各式的大小：
（1）m－3______n－3 （2）－5m______－5n （3）
3
m ______
3
n
（4）3－m______2－n (5)0_____m－n （6） 3 2
4
m _____ 3 2
4
n
10、用“＞”或“＜”填空：
（1）如果 x－2＜3，那么 x______5； （2）如果 2
3
x＜－1，那么 x______ 2
3
；
（3）如果 1
5
x＞－2，那么 x______－10；（4）如果－x＞1，那么 x______－1；
（5）若 ax b ， 2 0ac ，则 x______ b
a
.
11、x＜y 得到 ax＞ay 的条件应是____________。
12、若 x＋y＞x－y，y－x＞y，那么①x＋y＞0，②y－x＜0，③xy≤0,④ y
x
＜0 中，正确结
论的序号为________。
13、满足－2x＞－12 的非负整数有________________________。
14、若 ax＞b，ac2＜0，则 x________
a
b .
15、如果 x－7＜－5，则 x ；如果－
2
x ＞0，那么 x ；
16、当 x 时，代数式 2x－3 的值是正数.
三、解答题（每题 9 分，共 36 分）
17、说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质：
（1）由 1
2
x＞－3，得 x＞－6；___________________________;
（2）由 3＋x≤5，得 x≤2；______________________________;
（3）由－2x＜6，得 x＞－3；____________________________;
（4）由 3x≥2x－4，得 x≥－4.___________________________;
18、根据不等式的性质解下列不等式，并说出每一步的依据：
（1）x－9＜1 （2） 3 124 x
19、求不等式 1＋x＞x－1 成立的 x 取值范围。
20、同桌的甲、乙两名同学，争论着一个问题：甲同学说：“5a＞4a”，乙同学说：“这不可
能”，请你评说一下两名同学的观点究竟哪个正确？为什么？举例说明.
四、拓展探究（不计入总分）
17、（2007 年临沂）若 a＜b＜0，则下列式子：
①a＋1＜b＋2；② 1a
b
；③a＋b＜ab；④ 1 1
a b
中，正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
参考答案
1、A 2、D 3、B 4、A 5、C 6、A 7、B 8、D
9、（1）＜（2）＞（3）＞（4）＞（5）＞（6）＜
10、（1）＜（2）＞（3）＞（4）＜（5）＜ 11、a＜0 12、（2）（4）
13、1，2，3，4，5 14、＜ 15、＜2 ＜0 16、＞ 3
2
17、C
1.3 不等式的解集同步练习 1
1.下列不等式的解集,不包括-4 的是( )
A.X≤-4 B.X≥-4 C.X<-6 D.X>-6
2.下列说法正确的是( )
A.X=1 是不等式-2X<1 的解集 B.X=3 是不等式-X<1 的解集
C.X>-2 是不等式-2X<1 的解集 D.不等式-X<1 的解集是 X<-1
3. 不等式 X-3>1 的解集是( )
A.X>2 B. X>4 C.X-2> D. X>-4
4.不等式 2X<6 的非负整数解为( )
A.0,1,2 B.1,2 C.0,-1,-2 D.无数个
5.用不等式表示图中的解集,其中正确的是( )
A. X≥-2 B. X>-2 C. X<-2 D. X≤-2
6.下列说法中,错误的是( )
A.不等式 X<5 的整数解有无数多个
B.不等式 X>-5 的负数解集有有限个
C.不等式-2X<8 的解集是 X<-4
D.-40 是不等式 2X<-8 的一个解
7.-3X≤9 解集在数轴上可表示为( )
8 不等式 X-3<1 的解集是_____________.
9.如图所示的不等式的解集是_____________.
10.当 X_______时,代数式 2X-5 的值为 0,当 X_______时,代数式 2X-5 的值不大于 0.
11.在数轴上表示下列不等式的解集.
（1）X>2.5； (2) X<-2.5； (3) X≥3
12.试求不等式 X+3≤6 的正整数解.
答案:
1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.C 7.D 8.X<4 9.X<2 10. 5
2
≤
2
5
12.X=1,2,3
1.3 不等式的解集同步练习 2
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、耐心选一选，你会开心（每题 4 分，共 32 分）
1、－3x≤6 的解集是（ ）
0-1-2 0-1-2 0 1 2 0 1 2
A、 B、 C、 D、
2、用不等式表示图中的解集,其中正确的是( )
A. x≥－2 B. x＞－2 C. x＜－2 D. x≤－2
3、下列说法中,错误的是( )
A.不等式 x＜5 的整数解有无数多个 B.不等式 x＞－5 的负数解集有有限个
C.不等式－2x＜8 的解集是 x＜－4 D.－40 是不等式 2x＜－8 的一个解
4、下列说法正确的是( )
A.x＝1 是不等式－2x＜1 的解集 B.x＝3 是不等式－x＜1 的解集
C.x＞－2 是不等式－2x＜1 的解集 D.不等式－x＜1 的解集是 x＜－1
5、不等式 x－3＞1 的解集是( )
A.x＞2 B. x＞4 C.x－2＞ D. x＞－4
6、不等式 2x＜6 的非负整数解为( )
A.0,1,2 B.1,2 C.0,－1,－2 D.无数个
7、下列 4 种说法：① x＝
4
5 是不等式 4x－5＞0 的解；② x＝
2
5 是不等式 4x－5＞0 的一个
解；③ x＞
4
5 是不等式 4x－5＞0 的解集；④ x＞2 中任何一个数都可以使不等式 4x－5
＞0 成立，所以 x＞2 也是它的解集，其中正确的有（ ）
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
8、若 ( 1) 1a x a 的解集为 x＞1，那么 a 的取值范围是（ ）
A、a＞0 B、a＜0 C、a＜1 D、a＞1
二、精心填一填，你会轻松（每题 4 分，共 32 分）
9、不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式可能是_____________.
10、当 x_______时,代数式 2x－5 的值为 0,当 x_______时,代数式 2x－5 的值不大于 0.
11、不等式－5x≥－13 的解集中，最大的整数解是__________.
12、不等式 x+3≤6 的正整数解为___________________.
13、不等式－2x＜8 的负整数解的和是______.
14、直接想出不等式的解集：
（1） x＋3＞6 的解集 ；（2）2x＜12 的解集 ；
（3）x－5＞0 的解集 ；（4）0.5x＞5 的解集 ；
15、一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是__________.
43210-1
16、恩格尔系数 n 是指家庭日常饮食开支占家庭收入的比例，它反映了居民家庭的实际生活
水平，各种类型家庭的 n 值如下所示：
家庭类型 贫困 温饱 小康 发达国家 最富裕国家
n 75%以上 50%～75% 40%～49% 20%～39% 不到 20%
如用含 n 的不等式表示，则贫困家庭为 ；小康家庭为 ；最富裕国
家为 ；当某一家庭 n＝0.6 时，表明该家庭的实际生活水平是 .
三、细心做一做，你会成功（每题 9 分，共 36 分）
17、在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x≥－3.5 （2）x＜－1.5
2-1 10-2-3-4 3 2-1 10-2-3-4 3
（3） x ≥2 （4）－1≤x＜2
2-1 10-2-3-4 3 2-1 10-2-3-4 3
18、已知 x 的 1
2
与 3 的差小于 x 的－ 1
2
与－6 的和，根据这个条件列出不等式.你能估计出
它的解集吗？
19、某种饮料重约 300g，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量为多少克？
20、求不等式 1＋x＞x－1 成立的 x 取值范围.
参考答案
1、A 2、A 3、C 4、A 5、B 6、A 7、A 8、C
9、答案不唯一，如 x－1≤0,2x≤2 等. 10、＝ 5
2
，≤ 5
2
11、x＝2
12、x＝1，2，3 13、－6 14、（1）x＞3；（2）x＜6；（3）x＞5；（4）x＞10
15、x＝1，2 16、n＞75% 40%≤n≤49% n＜20％ 温饱
17、图略 18、 1 13 62 2x x ，解集： 3x － 19、不少于 1.5 克
20、x 可取一切实数
1.4 一元一次不等式同步练习 1
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 4 分，共 32 分）
1、下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A、4＞1 B、3x－24＜4 C、 1 2x
D、4x－3＜2y－7
2、与不等式 3 2 1 13 2
x x 有相同解集的是（ ）
A、3x－3＜（4x＋1）－1 B、3(x-3)＜2（4x＋1）－1
C、2(x-3)＜3（2x＋1）－6 D、3x－9＜4x－4
3、不等式 1 3(1 9 ) 76 2x x 的解集是（ ）
A、x 可取任何数 B、全体正数 C、全体负数 D、无解
4、关于 x 的方程 5－a(1－x)＝8x－(3－a)x 的解是负数，则 a 的取值范围是( )
A、a＜－4 B、a＞5 C、a＞－5 D、a＜－5
5、若方程组 3 1
3 3
x y k
x y
的解为 x、y，且 x＋y＞0，则 k 的取值范围是（ ）
A、k＞4 B、k＞－4 C、k＜4 D、k＜－4
6、不等式 2x－1≥3x 一 5 的正整数解的个数为 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
7、不等式 7 3 212 2
x x 的负整数解有（ ）.
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
8、若不等式（3a－2）x＋2＜3 的解集是 x＜2，那么 a 必须满足( )
A、a＝ 5
6
B、a＞ 5
6
C、a＜ 5
6
D、a＝－ 1
2
二、填空题（每题 4 分，共 32 分）
9、不等式 10(x－4）＋x≥－84 的非正整数解是_____________
10、若 51)2( 12 mxm 是关于 x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为
11、已知 2R－3y＝6，要使 y 是正数，则 R 的取值范围是_______________.
12、若关于 x 的不等式(2n－3)x＜5 的解集为 x＞－
3
1 ，则 n＝
13、不等式 12
x x 与 6 5ax x 的解集相同，则 a ______.
14、若关于 x 的不等式 x－1≤a 有四个非负整数解，则整数 a 的值为
15、不等式 3 2 1 1(4 3 ) (7 6) 15 2 6
x x x 的非正整数解 _____.
16、当 k 时，代数式 2
3
(k-1)的值不小于代数式 1- 5 1
6
k 的值.
三、解答题（每题 9 分，共 36 分）
17、下面解不等式的过程是否正确，如不正确，请找出，并改正.
解不等式： 4 3 7 513 5
x x
解：去分母，得5 4 3 15 3(7 5 )x x （ ） ①
去括号，得 20 15 15 21 15x x ②
移项，合并，得 5＜21 ③
因为 x 不存在，所以原不等式无解. ④
18、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来:
（1）3( 1) 4( 2) 3x x （2） 2 1 5 1
3 2
x x ≤1
（3） 0.4 1 5
0.5 2
x x ≤ 0.03 0.02
0.03
x （4） 1 2 5
3 4
x x ＞－2
19、求不等式 28
5 x ≤
4
1
8
x 的非负数解.
20、若关于 x 的方程组
134
123
pyx
pyx 的解满足 x > y ，求 p 的取值范围.
四、拓展探究（不记入总分）
21、若 2（x＋1）－5＜3（x－1）＋4 的最小整数解是方程 1
3
x－mx＝5 的解，求代数式
2 2 11m m 的值.
参考答案
1、B 2、C 3、A 4、B 5、B 6、D 7、A 8、A
9、x＝0，－1，－2，－3，－4 10、x＜－3 11、R＞3 12、－6 13、2
14、2≤a＜3 15、0 16、x≥11
9
17、第④步错误，应该改成无论 x 取何值，该不等式总是成立的，所以 x 取一切数.
18、（1） 14x （2）x≥－1（3）x≤165
59
（4）x＜ 5
2
19、x＝0，1，2，3
20、p＞－6 21、－11.
1.4 一元一次不等式同步练习 2
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 5 分，共 25 分）
1、亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有 45 元，计划从现在起以
后每个月节省 30 元，直到他至少有 300 元．设 x 个月后他至少有 300 元，则可以用于计
算所需要的月数 x 的不等式是（ ）
A、30x－45≥300 B、30x＋45≥300 C、30x－45≤300 D、30x+45≤300
2、初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要 0.80 元，洗一张相片需要
0.35 元．在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足 0.5
元，那么参加合影的同学人数 （ ）
A、至多 6 人 B、至少 6 人 C、至多 5 人 D、至少 5 人
3、2x＋1 是不小于－3 的负数，表示为（ ）
A、－3≤2x＋1≤0 B、－3＜2x＋1＜0; C、－3≤2x＋1＜0 D、－3＜2x＋1≤0
4、现用甲、乙两种运输车将 46t 搞旱物资运往灾区，甲种运输车载重 5t ，乙种运输车载重 4t ，
安排车辆不超过 10 辆，则甲种运输车至少应安排（ ）
A、4 辆 B、5 辆 C、6 辆 D、7 辆
5、（2007 年佛山市）小颖准备用 21 元钱买笔和笔记本．已知每支笔 3 元，每个笔记本 2 元，
她买了 4 个笔记本，则她最多还可以买（ ）支笔．
A、1 B、2 C、3 D、4
二、填空题（每题 5 分，共 15 分）
6、某试卷共有 20 道题，每道题选对得 10 分，选错了或者不选扣 5 分，至少要选对_____
道题，其得分才能不少于 80 分。
7、某人 10∶10 离家赶 11∶00 的火车，已知他家离车站 10 公里，他离家后先以 3 公里/时
的速度走了 5 分钟，然后乘公共汽车去车站，公共汽车每小时至少走______公里才能不误
当次火车。
8、（2007 年潍坊市）幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友．若每人 3 件，那么还剩余 59
件；若每人 5 件，那么最后一个小朋友分到玩具，但不足 4 件，这批玩具共有
_____________件．
三、解答题（每题 10 分，共 60 分）
9、一个工程队原定在 10 天内至少要挖土 600 立方米，在前两天一共完成了 120 立方米，由
于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务。以后 6 天内平均每天至少要挖土多少
立方米？
10、某厂原定计划年产某种机器 1000 台，现在改进了技术，准备力争提前超额完成，但开
始的三个月内，由于工人不熟悉新技术，只生产 100 台机器，问以后每个月至少要生产多
少台？
11、小明在上午 8：20 分步行出发去春游，10：20 小刚在同一地骑自行车出发，已知小明
每小时走 4 千米，小刚要在 11 点前追上小明，小刚的速度应至少是多少？
12、学校图书馆有 15 万册图书需要搬迁，原准备每天在一个班级的劳动课上，安排一个小
组同学帮助搬运图书，两天共搬了 1.8 万册。如果要求在一周内搬完，设每个小组搬运图
书数相同，那么在以后 5 天内，每天至少安排几个小组？
13、红星公司要招聘 A、B 两个工种的工人 150 人，A、B 两个工种的工人的月工资分别为 600
元和 1000 元，现要求 B 工种的人数不少于 A 工种人数的 2 倍，那么招聘 A 工种工人多少
时，可使每月所付的工资最少？此时每月工资为多少元？
14、某城市平均每天生产垃圾 700 吨，由甲、乙两个垃圾处理厂处理，已知甲厂每小时可处
理垃圾 55 吨，需费用 550 元，乙厂每小时可处理垃圾 45 吨需费用 495 元，若规定该城市
每天处理垃圾的费用不超过 7370 元，甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？
四、拓展探究（不计入总分）
15、（2007 年内江）“六·一”儿童节那天，小强去商店买东西，看见每盒饼干的标价是整．
数．，于是小强拿出 10 元钱递给商店的阿姨，下面是他俩的对话：
如果每盒饼干和每袋牛奶的标价分别设为 x 元， y 元，请你根据以上信息：
小强：阿姨，我有 10
元钱，我想买一盒饼
干和一袋牛奶．
阿姨：小朋友，本来你用 10 元钱买
一盒饼干是有剩的，但要再买一袋
牛奶钱就不够了，不过今天是儿童
节，饼干打九折，两样东西请你拿
好，还有找你的 8 角钱．
（1）找出 x 与 y 之间的关系式；
（2）请利用不等关系，求出每盒饼干和每袋牛奶的标价．
参考答案
1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、12 7、14 8、152
9、以后 6 天内平均每天至少要挖土 80 立方米
10、以后每个月至少要生产 100 台
11、不少于 16 千米
12、每天至少安排 3 个小组
13、那么招聘 A 工种工人为 50 人，可使每月所付的工资最少，此时每月工资为 130000 元 14、
甲厂每天处理垃圾至少需要 6 小时
15、饼干和牛奶的标价分别为 2 元、8 元.
1.4 一元一次不等式同步练习 3
1、如果关于 x 的不等式－k－x＋6＞0 的正整数解为 1，2，3，正整数 k 应取怎样的值？
2、已知方程 3（x－2a）＋2＝x－a＋1 的解适合不等式 2（x－5）≥8a，求 a 的取值范围.
3、甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价 20 元，乒乓
球定价每盒 5 元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：
按定价的九折优惠.某边需购球拍 4 副，乒乓球若干盒（不少于 4 盒）.
（1）设购买乒乓球盒数为 x（盒），在甲商店付款为 y 甲（元），在乙商店付款为 y 乙（元），
分别写出 y 甲，y 乙与 x 的关系式；
（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算？
4．某校举行庆祝“十六大”的文娱汇演，评出一等奖 5 个，二等奖 10 个，三等奖 25 个，
学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件：
品 名 小提琴 运动服 笛子 舞鞋 口琴 相册 笔记本 钢笔
单价/元 120 80 24 22 16 6 5 4
（1）如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品？
（2）学校要求一等奖奖品单价是二等奖奖品单价的 5 倍，二等奖奖品单价是三等奖奖品单
价的 4 倍，在总费用不超过 1000 元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种方案需多
少钱？
答案：
1． 由 x＜6－k 及 x 的正整数解为 1，2，3，所以 3＜6－k≤4，即 2≤k＜3，又因为 k 为正
整数，故 k＝2.
2． 解方程得 x＝
2
15 a ，代入不等式 2（x－5）≥8a 中有 5a－1－10≥8a，所以 a≤－
3
11 .
3． （1）y 甲＝5x＋60，y 乙＝72+4.5x；（2）当 y 甲＝y 乙时，即 5x+60＝72+4.5x，此时 x＝24；
当 y 甲＞y 乙时，即 5x+60＞72+4.5x，此时 x＞24；当 y 甲＜y 乙时，即 5x+60＜72+4.5x，
此时 x＜24，从而可知，当购买乒乓球盒数为 24 盒时，两家商店的花费相同；当乒乓球
盒数大于 24 盒时，去乙商店购买合算；当乒乓球盒数不少于 4 盒而少于 24 盒时，去甲
商店购买合算.
4． （1）由题意，可将一、二、三等奖的奖品定为相册、笔记本、钢笔即可.此时所需费用
为 5×6+10×5+25×4＝180（元）；
（2）设三等奖的奖品单价为 x 元，则二等奖奖品单价应为 4x 元，一等奖奖品单价为 20x
元，由题意应由 5×20x＋10×4x＋25×x≤1000，解得 x≤6.06（元）.故 x 可取 6 元、5 元、
4 元.故 4x 依次应为 24 元，20 元，16 元，20x 依次应为 120 元、100 元、80 元.再看表格中
所提供各类奖品单价可知，120 元、24 元、6 元以及 80 元、16 元、4 元这两种情况适合题
意，故有两种购买方案，方案一：奖品单价依次为 120 元、24 元、6 元，所需费用为 990
元；方案二：奖品单价依次为 80 元、16 元、4 元，所需费用为 660 元.从而可知花费最多的
一种方案需 990 元.
1.5 一元一次不等式与一次函数同步练习 1
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题:（每题 5 分，共 40 分）
1、已知函数 y＝8x－11，要使 y＞0，那么 x 应取( )
A、x＞
8
11 B、x＜
8
11 C、x＞0 D、x＜0
2、已知一次函数 y＝kx＋b 的图像，如图所示，当 x＜0 时，y 的取值范围是（ ）
A、y＞0 B、y＜0 C、－2＜y＜0 D、y＜－2
0 2
－4
x
y
3O
y2=x＋a
y1=kx＋b
(第 2 题) (第 4 题) (第 5 题)
3、已知 y1＝x－5，y2＝2x＋1．当 y1＞y2 时，x 的取值范围是（ ）．
A、x＞5 B、x＜ 1
2
C、x＜－6 D、x＞－6
4、已知一次函数 y kx b 的图象如图所示，当 x＜1 时，y 的取值范围是（ ）
A、－2＜y＜0 B、－4＜y＜0 C、y＜－2 D、y＜－4
5、一次函数 y1＝kx＋b 与 y2＝x＋a 的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当 x＜3 时，
y1＜y2 中，正确的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
6、如图，直线 y kx b 交坐标轴于 A，B 两点，则不等式 0kx b 的解集是（ ）
A、x＞－2 B、x＞3 C、x＜－2 D、x＜3
7、已知关于 x 的不等式 ax＋1＞0（a≠0）的解集是 x＜1，则直线 y＝ax＋1 与 x 轴的交点
是（ ）
A．（0，1） B．（－1，0） C．（0，－1） D．（1，0）
Ｏ x
y
(0 3)B ，
A(－2,0)
y
x1
2
1y k x b
2y k x
0
(第 6 题) (第 8 题)
8、直线 1l ： 1y k x b 与直线 2l ： 2y k x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则
关于 x 的不等式 1 2k x b k x 的解为（ ）
A、x＞－1 B、x＜－1 C、x＜－2 D、无法确定
二、填空题（每题 5 分，共 40 分）
9、若一次函数 y＝(m－1)x－m＋4 的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方，则 m 的取值范围是
________.
10、如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数，由图可知行李
的重量只要不超过________千克，就可以免费托运.
(第 10 题) (第 13 题)
11、当自变量 x 时，函数 y＝5x＋4 的值大于 0；当 x 时，函数 y＝5x＋4
的值小于 0.
12、已知 2x－y＝0，且 x－5＞y，则 x 的取值范围是________．
13、如图，已知函数 y＝3x＋b 和 y＝ax－3 的图象交于点 P(－2，－5)，则根据图象可得不
等式 3x＋b＞ax－3 的解集是_______________。
14、如图，一次函数 y1＝k1x＋b1 与 y2＝k2x＋b2 的图象相交于 A(3，2)，则不等式(k2－k1)x
＋b2－b1＞0 的解集为__________.
15、已知关于 x 的不等式 kx－2＞0（k≠0）的解集是 x＞－3，则直线
y＝－kx＋2 与 x轴的交点是__________．
16、已知不等式－x＋5＞3x－3 的解集是 x＜2，则直线 y＝－x
＋ 5 与 y ＝ 3x － 3 的 交 点 坐 标 是
_________． （第 14 题）
三、解答题（每题 10 分，共 20 分）
17、如果 x，y 满足不等式组
3
0
5 0
x
x y
x y
≤
≥
≥
，那么你能画出点(x，y)所在的平面区域吗?
A
y1
y2
y
xO
18、在同一坐标系中画出一次函数 y1＝－x＋1 与 y2＝2x－2 的图象，并根据图象回答下列问
题：
（1）写出直线 y1＝－x＋1 与 y2＝2x－2 的交点 P 的坐标．
（2）直接写出：当 x 取何值时 y1＞y2；y1＜y2
参考答案
1、A 2、D 3、C 4、C 5、B 6、A 7、D 8、B 9、m＜4 10、20
11、x＞－ 4
5
，x＜－ 4
5
12、x＜－5 13、x＞－2 14、x＜3 15、（－3，0）
16、（2，3）
17、在直角坐标系画出直线 x＝3，x＋y＝0，x－y＋5＝0，
因原点(0，0)不在直线 x－y＋5＝0 上，
故将原点(0，0)代入 x－y＋5 可知，原点所在平面区域表示 x-y+5≥0 部分，
因原点在直线 x+y=0 上，
故取点(0，1)代入 x+y 判定可知点(0，1)所在平面区域表示 x+y≥0 的部分，见图阴影部
分．
18、（1）P（1，0）；（2）当 x＜1 时 y1＞y2，当 x＞1 时 y1＜y2.
1.5 一元一次不等式与一次函数同步练习 2
(总分：100 分 时间 45 分钟)
1、某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行
驶 x 千米，个体车主收费 y1 元，国营出租车公司收费为 y2 元，观察下列图象可知，当
x________时，选用个体车较合算.
2、甲有存款 600 元，乙有存款 2000 元，从本月开始，他们进行零存整取储蓄，甲每月存款
500 元，乙每月存款 200 元.
(1)列出甲、乙的存款额 y1、y2(元)与存款月数 x(月)之间的函数关系式，画出函数图象.
(2)请问到第几个月，甲的存款额超过乙的存款额？
3、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经市场调研发现，如果本月初出售，可获
利 10%，然后将本利再投资其他商品，到下月初又可获利 10%；如果下月初出售可获利 25%，
但要支付仓储费 8000 元.请你根据商场的资金情况，向商场提出合理化建议，说明何时出
售获利较多．
4、某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过 8 m3，
则每 m3 按 1 元收费；若每户每月用水超过 8m3，则超过部分每 m3 按 2 元收费.某用户 7 月
份用水比 8m3 多 xm3，交纳水费 y 元.
(1)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围.
(2)此用户要想每月水费控制在 20 元以内，那么每月的用水量最多不超过多少 m3?
5、（2007 年河南省）某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进
价和售价如下表：
A B
进价(元/件) 1200 1000
售价(元/件) 1380 1200
（注：获利＝售价－进价）
(1) 该商场购进 A、B 两种商品各多少件?
(2) 商场第二次以原进价购进 A、B 两种商品．购进 B 种商品的件数不变，而购进 A 种商
品的件数是第一次的 2 倍，A 种商品按原价出售，而 B 种商品打折销售．若两种商品销售完
毕，要使第二次经营活动获利不少于 81600 元，B 种商品最低售价为每件多少元?
6、为了加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价是每台 5800
元，优惠条件是购买 10 台以上，则从第 11 台开始按报价的 70%计算；乙公司的报价也
是每台 5800 元，优惠条件是每台均按报价的 85%计算.假如你是学校有关方面负责人，
在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？请说明理由？
7、小杰到学校食堂买饭，看到 A、B 两窗口前面排队的人一样多（设为 a 人，a > 8），就站
到 A 窗口队伍的后面. 过了 2 分钟，他发现 A 窗口每分钟有 4 人买了饭离开队伍，B 窗口
每分钟有 6 人买了饭离开队伍，且 B 窗口队伍后面每分钟增加 5 人.
（1）此时，若小杰继续在 A 窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含 a 的代
数式表示）？
（2）此时，若小杰迅速从 A 窗口队伍转移到 B 窗口队伍后面重新排队，且到达 B 窗口
所花的时间比继续在 A 窗口排队到达 A 窗口所花的时间少，求 a 的取值范围（不考虑其他因
素）.
8、苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾
的混合养殖，他了解到如下信息：
①每亩水面的年租金为 500 元，水面需按整数亩出租；
②每亩水面可在年初混合投放 4 千克蟹苗和 20 千克虾苗；
③每千克蟹苗的价格为 75 元，其饲养费用为 525 元，当年可获 1400 元收益；
④每千克虾苗的价格为 15 元，其饲养费用为 85 元，当年可获 160 元收益；
（1）若租用水面 n 亩，则年租金共需__________元；
（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖
的年利润（利润=收益－成本）；
（3）李大爷现在资金 25000 元，他准备再向银行贷不超过 25000 元的款，用于蟹虾混合
养殖.已知银行贷款的年利率为 8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，
可使年利润超过 35000 元？
9、某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共 10 辆，其中轿车至少要购买 3 辆，轿车每辆 7
万元，面包车每辆 4 万元，公司可投入的购车款不超过 55 万元；
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为 200 元，每辆面包车的日租金为 110 元，假设新购买的这
10 辆车每日都可租出，要使这 10 辆车的日租金不低于 1500 元，那么应选择以上哪种购买
方案？
10、哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴 50 元月基础费，
然后每通话 1 分钟，再付 0.4 元；“神州行”不缴月基础费，每通话 1 分钟，付话费 0.6
元（这里均指市内通话）.若一个内通话时间为 x 分钟，两种通讯方式的费用分别为 y1 元
和 y2 元.
（1）写出 y1，y2 与 x 的关系式；
（2）一个月通话为多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？
参考答案
1、＞1500
2、(1)y1=600+500x y2=2000+200x
(2)x＞4
3
2 ，到第 5 个月甲的存款额超过乙的存款额.
3、设商场投入资金 x 元，
如果本月初出售，到下月初可获利 y1 元，
则 y1＝10%x＋(1＋10%)x·10%＝0.1x＋0.11x＝0.21x；
如果下月初出售，可获利 y2 元，则 y2＝25%x－8000＝0.25x－8000
当 y1＝y2 即 0.21x＝0.25x－8000 时，x＝200000
当 y1＞y2 即 0.21x＞0.25x－8000 时，x＜200000
当 y1＜y2 即 0.21x＜0.25x－8000 时，x＞200000
∴ 若商场投入资金 20 万元，两种销售方式获利相同；若商场投入资金少于 20 万元，
本月初出售获利较多，若投入资金多于 20 万元，下月初出售获利较多．
4、(1)y=2x+8(x≥0) (2)14
5、（1）该商场分别购进 A、B 两种商品 200 件、120 件.
（2）B 种商品最低售价为每件 1080 元.
6、解：如果购买电脑不超过 11 台，很明显乙公司有优惠，而甲公司没优惠，因此选择乙公
司.如果购买电脑多于 10 台.则：
设学校需购置电脑 x 台，则到甲公司购买需付[10×5800＋5800（x－10）×70%]元，到乙
公司购买需付 5800×85% x 元.根据题意得：
（1）若甲公司优惠：则
10×5800＋5800（x－10）×70%＜5800×85% x
解得： x＞30
（2）若乙公司优惠：则
10×5800＋5800（x－10）×70%＞5800×85% x
解得： x＜30
（3）若两公司一样优惠：则
10×5800＋5800（x－10）×70%＝5800×85% x
解得： x＝30
答：购置电脑少于 30 台时选乙公司较优惠，购置电脑正好 30 台时两公司随便选哪家，
购置电脑多于 30 台时选甲公司较优惠，
7、（1）他继续在 A 窗口排队所花的时间为
4 2 8
4 4
a a （分）
（2）由题意，得
4 2 6 2 5 2
4 6
a a ,解得 a＞20.
8、解：（1）500n
（2）每亩年利润＝（1400×4＋160×20）－（500＋75×4＋525×4＋15×20＋85×20）
＝3900（元）
（3）n 亩水田总收益＝3900n
需要贷款数＝（500＋75×4＋525×4＋15×20＋85×20）n－25000＝4900n－25000
贷款利息＝8％×(4900n－25000)＝392n－2000
根据题意得： 3900 (392 2000) 35000n n ≥
解得：n≥9.41
∴ n ＝10
需要贷款数：4900n－25000＝24000(元)
答：李大爷应该租 10 亩水面，并向银行贷款 24000 元，可使年利润超过 35000 元
9、解：（1）设轿车要购买 x 辆，那么面包车要购买（10－x）辆，由题意得：
7x＋4（10－x）≤55
解得：x≤5
又∵x≥3，则 x＝3，4，5
∴购机方案有三种：
方案一：轿车 3 辆，面包车 7 辆；方案二：轿车 4 辆，面包车 6 辆；方案三：轿车 5 辆，
面包车 5 辆；
（2）方案一的日租金为：3×200＋7×110＝1370（元）
方案二的日租金为：4×200＋6×110＝1460（元）
方案三的日租金为：5×200＋5×110＝1550（元）
为保证日租金不低于 1500 元，应选择方案三.
10、（1）y1＝50＋0.4x，y2＝0.6x；
（2）当 y1＝y2，即 50＋0.4x＝0.6x 时，x＝250（分钟），即当通话时间为 250 分钟时，
两种通讯方式的费用相同；
（3）由 y1＜y2 即 50＋0.4x＜0.6x，知 x＞250，即通话时间超过 250 分钟时用“全球通”
的通讯方式便宜.
1.5 一元一次不等式与一次函数同步练习 3
A 卷：基础题
一、选择题
1．在一次函数 y=－2x+8 中，若 y>0，则（ ）
A．x>4 B．x<4 C．x>0 D．x<0
2．如图是一次函数 y=kx+b 的图象，当 y<2 时，x 的取值范围是（ ）
A．x<1 B．x>1 C．x<3 D．x>3
（第 2 题） （第 5 题）
3．一次函数 y=3x+m－2 的图象不经过第二象限，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≤－2 C．m>2 D．m<2
4．已知函数 y=mx+2x－2，要使函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≥－2 B．m>－2 C．m≤－2 D．m<－2
5．直线 L1：y=k1x+b 与直线 L2：y=k2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x
的不等式 k1x+b>k2x 的解为（ ）
A．x>－1 B．x<－1 C．x<－2 D．无法确定
二、填空题
6．已知 y1=3x+2，y2=－x－5，如果 y1>y2，则 x 的取值范围是_____．
7．当 a 取_____时，一次函数 y=3x+a+6 与 y 轴的交点在 x 轴下方．（在横线上填上一个你
认为恰当的数即可）
8．已知一次函数 y=（a+5）x+3 经过第一，二，三象限，则 a 的取值范围是____．
9．一次函数 y=kx+2 中，当 x≥ 1
2
时，y≤0，则 y 随 x 的增大而_____．
三、解答题
10．一次函数 y=2x－a 与 x 轴的交点是点（－2，0）关于 y 轴的对称点，求一元一次不等式
2x－a≤0 的解集．
11．我边防局接到情报，在离海岸 5 海里处有一可疑船只 A 正向公海方向行驶，边防局迅
速派出快艇 B 追赶．图中 LA，LB 分别表示两船相对于海岸的距离 s（海里）与追赶时间 t
（分）之间的关系．
（1）A，B 哪个速度快？
（2）B 能否追上 A？
12．小华准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有 62 元，从现在起每个月存 12
元，小华的同学小丽以前没有存过零用钱，听到小华在存零用钱，表示从现在起每个月
存 20 元，争取超过小华．
（1）试写出小华的存款总数 y1 与从现在开始的月数 x之间的函数关系式以及小丽存
款数 y2 与与月数 x 之间的函数关系式；
（2）从第几个月开始小丽的存款数可以超过小华？
B 卷：提高题
一、七彩题
1．（一题多解）已知一次函数 y=kx+b 中，k<0，则当 x1y2，求 a 的取值范围．
二、知识交叉题
3．（科内交叉题）已知│3a+6│+（a+b+2m）=0，则：
（1）当 b>0 时，求 m 的取值范围；
（2）当 b<0 时，求 m 的取值范围；
（3）当 b=0 时，求 m 的值．
4．（科外交叉题）两个物体 A，B 所受压强分别为 PA（帕）与 PB（帕）
（PA，PB 为常数）， 它们所受压力 F（牛）与受力面积 S（平方米）
的函数关系图象分别是射线 LA，LB，如图所示，则（ ）
A．PAPB D．PA≤PB
三、实际应用题
5．光华农机租赁公司共有 50 台联合收割机，其中甲型 20 台，乙型 30 台．现将这 50 台联
合收割机派往 A，B 两地区收割小麦，其中 30 台派往 A 地区，20 台派往 B 地区．
两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：
每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金
A 地区 1800 元 1600 元
B 地区 1600 元 1200 元
（1）设派往 A 地区 x 台乙型联合收割机，农机租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的
租金为 y（元），求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的租金总额不低于 79600 元，说
明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；
（3）如果要使这 50 台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出
一条合理建议．
四、经典中考题
6．（2008，沈阳，3 分）一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，当 y<0 时，x 的
取值范围是（ ）
A．x>0 B．x<0 C．x>2 D．x<2
7．（2007，福州，10 分）李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励
营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信
息：
营业员 小俐 小花
月销售件数（件） 200 150
月总收入（元） 1400 1250
假设月销售件数为 x 件，月总收入为 y 元，销售 1 件奖励 a 元，营业员月基本工资为 b
元．
（1）求 a，b 的值；
（2）若营业员小俐某月总收入不低于 1800 元，则小俐当月至少要卖服装多少件？
C 卷：课标新型题
1．（条件开放题）当 x 取______时，一次函数 y=－2x+7 的函数值为负数．（在横线上填上
一个你认为恰当的数即可）
2．（图象信息题）如图,某面粉加工企业急需汽车，但因资金问题无力购买，公司经理想租
一辆汽车．一国有公司的条件是每百千米租费 110 元；一个体出租车公司的条件是每月
付工资 1000 元，油钱 600 元，另外每百千米付 10 元，请问公司经理该根据自己的情况
怎样租汽车？
3．（最佳方案设计题）某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 1 万元，其原材料成本
价（含设备损耗）为 0.55 万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有 1 吨废渣产生，
为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫，脱氯等处理，现有两种方案可供选择．
方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理 1 吨废渣所用的原料费为 0.05 万元，
并且每月设备维护及损耗费为 20 万元；
方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理一吨废渣需付 0.1万元的
处理费．
问：（1）设工厂每月生产 x 件产品，每月利润为 y 万元，分别求出方案一和方案二
处理废渣时，y 与 x 之间的关系式（利润=总收入－总支出）；
（2）若你作为该厂负责人，如何根据月产量选择处理方案，既可达到环保要求又最
合算？
3.某学校需刻录一批光盘，若在电脑公司刻录每张需 8 元（包括空白光盘费）；若学校自制，
除租用刻录机需 120 元外，每张还需成本 4 元（包括空白光盘费）．问刻录这批电脑光
盘到电脑公司刻录费用省，还是自制费用省？请你说明理由．
参考答案
A 卷
一、1．B 点拨：由题意知－2x+8>0，2x<8，x<4．
2．C 点拨：由图象可知，当 y<2 时，x<3．
3．A 点拨：其图象过第一，三象限或第一，三，四象限．
4．B 点拨：由题意知 m+2>0，m>－2．
5．B
二、6．x>－ 7
4
点拨：由题意知 3x+2>－x－5，4x>－7，x>－ 7
4
．
7．－7 点拨：当 a+6<0，即 a<－6 时，一次函数 y=3x+a+6 与 y 轴的交点在 x 轴的下方，
此题答案不唯一．
8．a>－5 点拨：由题意知 a+5>0，a>－5
9．减小 点拨：由题意可知，直线 y=kx+2 与 x 轴相交于点（ 1
2
，0），代入表达式求得 k=
－4<0，y 随 x 的增大而减小，也可以通过作图判断．
三、10．解：由题意得点（2，0）在 y=2x－a 上，所以 0=4－a，
所以 a=4．当 a=4 时，2x－4≤0，所以 x≤2．
11．解：（1）因为直线 LA 过点（0，5），（10，7）两点，
设直线 LA 的解析式为 y=k1x+b，则
1
5 ,
7 10
b
k b
，
所以 1
1
5
5,
k
b
，所以 y= 1
5
x+5，
因为直线 LB 过点（0，0），（10，5）两点，
设直线 LB 的解析式为 y=k2x．
当 5=10k2，所以 k2= 1
2
，所以 y= 1
2
x．
因为 k162+12x，得 x>7．75，所以从第 8 个月开始，小丽的存款数可以超过小华．
B 卷
一、1．解法一：当 k<0 时，一次函数 y=kx+b 中 y 随 x 的增大而减小，
所以当 x1y2．
解法二：由题意可得 1 1
2 2 ,
y kx b
y kx b
，所以
1
1
2
2
y bx k
y bx k
，
由 x1y2－b，所以 y1>y2．
点拨：解法一是根据函数性质，判断 y1 与 y2 的大小，解法二是由方程组得到
1
1
2
2
y bx k
y bx k
，再由 x1y2－b，得 y1>y2．
2．解：由题意可知－2x+3<3x－5，－5x<－8，x> 8
5
．
（1）由题意可知－2x+3=3x－5，－5x=－8，x= 8
5
．
（2）由题意可知－2x+3>3x－5，－5x>－8，x< 8
5
．
（3）当 x=3 时，y1=－6+a，y2=9－5a，因为 y1>y2，
所以－6+a>9－5a，6a>15，a> 5
2
．
二、3．解：由题意得 3a+6=0，a+b+2m=0，由 3a+6=0，得 a=－2，所以－2+b+2m=0，即 b=2
－2m．
（1）当 b>0 时，2－2m>0，2m<2，m<1．
（2）当 b<0 时，2－2m<0，2m>2，m>1．
（3）当 b=0 时，2－2m=0，2m=2，m=1．
点拨：由非负数的性质可得到两个方程，由其中一个方程求出 a 的值，代入另一个主程，
从而得到一个含有 b 和 m 的方程，用含 m 的代数式表示 b，然后分别代入题目的一个条件
中，解不等式或方程即可．
4．A 点拨：在两图象上分别找一点 A（S，FA），B（S，FB），它们的横坐标相同．由题意
知 PA= AF
S
，PB= BF
S
，PA－PB= AF
S
－ BF
S
= A BF F
S
，因为 FA2，所以选 C．
7．解：（1）依题意，得 y=ax+b，所以 1400 200 ,
1250 150 ,
a b
a b
，解得 a=3，b=800．
（2）依题意，得 y≥1800，即 3x+800≥1800，解得 x≥333 1
3
．
答：小俐当月至少要卖服装 334 件．
点拨：列解方程组，求出 a，b 的值，得到 y 与 x 之间的函数关系式，令 y≥1800，得
关于 x 的一元一次不等式，解这个不等式，得 x 的取值范围，注意 x 取正整数．
C 卷
1．4 点拨：本题是条件开放题，答案不唯一．
2．解：从图象上可以看出：当 x<16 时，y 国有16 时，y 国有>y 个体．
所以若该公司每月业务量小于 16 百千米时，应选用国有公司的车；若每月业务量等于
16 百千米时，国有和个体的花费一样多；若每月的业务量大于 16 百千米时，应选个体出
租车．
点拨：数形结合的思想是解决本题的关键．验证结果正确与否，可通过列不等式求解．
3．解：（1）y1=x－0.55x－0.05x－20=0.4x－20；
y2=x－0.55x－0.1x=0.35x．
（2）若 y1>y2，0.4x－20>0.35，x>400；
若 y1=y2，0.4x－20=0.35x，x=400；
若 y1y2 时，即 4x+120>8x，解得 x<30；
（2）当 y1=y2 时，即 4x+120=8x，解得 x=30；
（3）当 y130．
所以，当刻录光盘小于 30 张时，到电脑公司刻录费用省；当刻录光盘等于 30 张时，两
个地方都行；当刻录光盘大于 30 张时，学校自刻费用省．
点拨：本题是经济决策问题，也是近几年中考试题的热点，涉及的知识有函数，不等式，
方程等．解决这类问题的关键是先找出相应的数学模型，然后进行抽象，推理，比较，从
而选择最佳的经济方案．
1.6 一元一次不等式组同步练习 1
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 4 分，共 32 分）
1、下列不等式组中，解集是 2＜x＜3 的不等式组是( )
A、
2
3
x
x B、
2
3
x
x C、
2
3
x
x D、
2
3
x
x
2、在数轴上从左至右的三个数为 a，1＋a，－a，则 a 的取值范围是（ ）
A、a＜ 1
2
B、a＜0 C、a＞0 D、a＜－ 1
2
3、（2007 年湘潭市）不等式组 1 0
2 3 5
x
x
≤ ，
的解集在数轴上表示为（ ）
1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x
A B C D
4、不等式组 3 1 0
2 5
x
x
的整数解的个数是（ ）
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
5、在平面直角坐标系内，P（2x－6,x－5）在第四象限，则 x 的取值范围为（ ）
A、3＜x＜5 B、－3＜x＜5 C、－5＜x＜3 D、－5＜x＜－3
6、（2007 年南昌市）已知不等式：① 1x ，② 4x ，③ 2x ，④ 2 1x ，从这四个
不等式中取两个，构成正整数解是 2 的不等式组是（ ）
A、①与② B、②与③ C、③与④ D、①与④
7、如果不等式组 x a
x b
无解，那么不等式组 2
2
x a
x b
的解集是（ ）
A.2－b＜x＜2－a B.b－2＜x＜a－2 C.2－a＜x＜2－b D.无解
8、方程组 4 3 2
8 3
x m
x y m
的解 x、y 满足 x＞y，则 m 的取值范围是（ ）
A. 9
10m B. 10
9m C. 19
10m D. 10
19m
二、填空题（每题 4 分，共 32 分）
9、若 y 同时满足 y＋1＞0 与 y－2＜0，则 y 的取值范围是______________.
10、（2007 年遵义市）不等式组 3 0
1 0
x
x
≥ 的解集是 ．
11、不等式组 2 0.5
3 2.5 2
x
x x
≥
≥ 的解集是 .
12、若不等式组
12
1
mx
mx 无解，则 m 的取值范围是 ．
13、不等式组
1
5
x
x
x
≥2 的解集是_________________
14、不等式组 2x
x a
的解集为 x＞2，则 a 的取值范围是_____________.
15、若不等式组 2 1
2 3
x a
x b
的解集为－1＜x＜1，那么（a＋1）（b－1）的值等于________.
16、若不等式组 4 0
5 0
a x
x a
无解，则 a 的取值范围是_______________.
三、解答题（每题 9 分，共 36 分）
17、解下列不等式组
（1） 3 2 8
2 1 2
x
x
（2）
（3）2x＜1－x≤x＋5 （4）
3(1 ) 2( 9)
3 4 140.5 0.2
x x
x x
≤
18、（2007 年滨州）解不等式组
3 (2 1) 42
1 3 2 1.2
x x
x x
≤ ，
把解集表示在数轴上，并求出不等式组
的整数解．
5 7 2 4
31 ( 1) 0.54
x x
x
≥
19、求同时满足不等式 6x－2≥3x－4 和 2 1 1 2 13 2
x x 的整数 x 的值.
20、若关于 x、y 的二元一次方程组 5
3 3
x y m
x y m
中，x 的值为负数，y 的值为正数，求 m
的取值范围.
参考答案
1、C 2、D 3、C 4、B 5、A 6、D 7、C 8、D 9、1＜y＜2 10、－1≤x＜3
11、－ 1
4
≤x≤4 12、m＞2 13、2≤x＜5 14、a＜2 15、－6 16、a≤1
17、（1） 3 10
2 3x （2）无解（3）－2＜x＜ 1
3
（4）x＞－3 18、2，1，0，－1
19、不等式组的解集是 2 7
3 10x ≤ ，所以整数 x 为 0
20、－2＜m＜0.5
1.6 一元一次不等式组同步练习 2
(总分：100 分 时间 45 分钟)
1、（10 分）我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如
果每间住 5 人，那么有 12 人安排不下；如果每间住 8 人，那么有一间房还余一些床位，
问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？
2、（10 分）一玩具厂生产甲、乙两种玩具，已知造一个甲种玩具需用金属 80 克，塑料 140
克，造一个乙种玩具需用金属 100 克，塑料 120 克.若工厂有金属 4600 克，塑料 6440 克，
计划用两种材料生产甲、乙两种玩具共 50 件，求甲种玩具件数的取值范围.
3、（10 分）现计划把甲种货物 1240 吨和乙种货物 880 吨用一列货车运往某地，已知这列货
车挂在 A、B 两种不同规格的货车厢共 40 节，使用 A 型车厢每节费用为 6000 元，使用 B
型车厢每节费用为 8000 元.
（1）设运送这批货物的总费用为 y 万元，这列货车挂 A 型车厢 x 节，试定出用车厢节
数 x 表示总费用 y 的公式.
（2）如果每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨，每节 B 型车厢最多
可装甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨，装货时按此要求安排 A、B 两种车厢的节数，那么共
有哪几种安排车厢的方案？
4、（10 分）为了保护环境，某企业决定购买 10 台污水处理设备，现有 A、B 两种型号的设
备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：
A 型 B 型
价 格（万元／台） 12 10
处理污水量（吨／月） 240 200
年消耗费（万元／台） 1 1
经预算，该企业购买设备的资金不高于 105 万元.
（1）请你设计该企业有几种购买方案；
（2）若企业每月产生的污水量为 2040 吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；
（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为 10 年，污水厂处理污水费为每
吨 10 元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10 年节约资
金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）
5、（15 分）某厂计划 2004 年生产一种新产品，下面是 2003 年底提供的信息，人事部：明
年生产工人不多于 800 人，每人每年可提供 2400 个工时；市场部：预测明年该产品的销
售量是 10000～12000 件；技术部：该产品平均每件需要 120 个工时，每件要 4 个某种主
要部件；供应部：2003 年低库存某种主要部件 6000 个.预测明年能采购到这种主要部件
60000 个.根据上述信息，明年产品至多能生产多少件？
6、（15 分）某宾馆底层客房比二楼少 5 间，某旅行团有 48 人.若全部住底层，每间 4 人，
房间不够；每间住 5 人，有房间没有住满 5 人.若全部安排在二楼，每间住 3 人，房间不
够；每间住 4 人，有房间没有住满 4 人.问该宾馆底层有客房多少间？
7、（15 分）（2007 年眉山市）某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分村镇
修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有 264 户村民，政府补
助村里 34 万元，不足部分由村民集资．修建 A 型、B 型沼气池共 20 个．两种型号沼气
池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表：
政府相关部门批给该村沼气池修建用地 708 平方米．设修建 A 型沼气池 x 个，修建两种
型号沼气池共需费用 y 万元．
（1）用含有 x 的代数式表示 y；
（2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有
几种；
（3）若平均每户村民集资 700 元，能否满足所需费用最少的修建方案？
沼气池 修建费用（万元/个）可供使用户数（户/个）占地面积（㎡/个)
A 型 3 20 48
B 型 2 3 6
8、（15 分）（2007 年常州市）学校举办“迎奥运”知识竞赛，设一、二、三等奖共 12 名，
奖品发放方案如下表：
一等奖 二等奖 三等奖
1 盒福娃和 1 枚徽章 1 盒福娃 1 枚徽章
用于购买奖品的总费用不少于 1000 元但不超过 1100 元，小明在购买“福娃”和微章
前，了解到如下信息：
（1）求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元？
（2）若本次活动设一等奖 2 名，则二等奖和三等奖应各设多少名？
参考答案
1、 解：设住房有 x 间，住宿的学生有（5x＋12）人，根据题意：
0＜（5x＋12）－8(x－1)＜8
4＜x＜ 26 3
∵x 为整数，∴x＝5，6
答：当有 5 间房的时候，住宿学生有 37 人；当有 6 间房的时候，住宿学生有 42 人.
2、解：设甲种玩具为 x 件，则甲种玩具为（50－x）件.根据题意得：
80 100(50 ) 4600
140 120(50 ) 6440
x x
x x
≤
≤
解得：20≤x≤22
答：甲种玩具不少于 20 个，不超过 22 个
3、（1）y＝32000－2000x
（2）共有三种方案，A、B 两种车厢的节数分别为 24 节、16 节或 25 节、15 节或 26 节、
14 节
4、（1）共有三种购买方案，A、B 两种型号的设备分别为 0 台、10 台或 1 台、9 台或 2 台、
8 台.（2）A、B 两种型号的设备分别 1 台、9 台；（3）10 年节约资金 42.8 万元
5、解：设明年可生产产品 x 件，根据题意得：
120 800 2400
10000 12000
4 6000 60000
x
x
x
≤
≤ ≤
≤
解得：10000≤x≤12000
答：明年产品至多能生产 12000 件.
6、解：设宾馆底层有客房 x 间，则二楼有客房（x+5）间.根据题意得：
48)5(4
48)5(3
485
484
x
x
x
x
解得：9.6＜x＜11
所以： x = 10
答：该宾馆底层有客房 10 间.
7、解：（1） 3 2(20 )y x x 40x
（2）由题意可得
20 3(20 ) 264
48 6(20 ) 708
x x
x x
≥ ①
≤ ②
解①得 x≥12
解②得 x≤14
∴不等式的解为 12≤x≤14
x 是正整数
∴x 的取值为 12，13，14
即有 3 种修建方案：①A 型 12 个，B 型 8 个；②A 型 13 个，B 型 7 个；③A 型 14 个，B
型 6 个
（3）∵y＝x＋40 中， y 随 x 的增加而增加，要使费用最少，则 x＝12
∴最少费用为 y＝x＋40＝52（万元）
村民每户集资 700 元与政府补助共计：700×264＋340000＝524800＞520000
∴每户集资 700 元能满足所需要费用最少的修建方案
8、解：（1）设一盒“福娃” x 元，一枚徽章 y 元，根据题意得
2 315
3 195
x y
x y
解得 150
15
x
y
答：一盒“福娃”150 元，一枚徽章 15 元．
（2）设二等奖 m 名，则三等奖（10—m）名，
2 165 150 15(10 ) 1000
2 165 150 15(10 ) 1100
m m
m m
≥
≤
解得104 124
27 27m≤ ≤ ．
m 是整数，∴m＝4，∴10－m＝6．
答：二等奖 4 名，三等奖 6 名．
1.6 一元一次不等式组同步练习 3
A 卷：基础题
一、选择题
1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． 2,
3
x
x
B． 1 0,
2 0
x
y
C． 3 2 0,
( 2)( 3) 0
x
x x
D．
3 2 0,
11
x
x x
2．下列说法正确的是（ ）
A．不等式组 3,
5
x
x
的解集是 52 B．x<3 C．2a2>a3，请将 x1，x2，
x3 按从大到小的顺序排列起来．
3．（科外交叉题）设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质
量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量
从小到大的顺序排列为（ ）
A．○□△ B．○△□ C．□○△ D．△□○
三、实际应用题
4．某宾馆底层客房比二楼少 5 间，某旅游团有 48 人，若全安排在底层，每间 4 人，则房间
不够；若每间 5 人，则有房间没有住满 5 人；若全安排在二楼，每间住 3 人，房间不够；
每间住 4 人，则有房间没有住满 4 人，求该宾馆底层有客房多少间？
四、经典中考题
5．（2007，厦门，3 分）小宝和爸爸，妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为 69千克，
坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸
爸的一端仍然着地．后来小宝借来一副质量为 6 千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，
结果爸爸被跷起，那么小宝的体重可能是（ ）
A．23.2 千克 B．23 千克 C．21.1 千克 D．19.9 千克
6．（2008，天津，3 分）不等式组 3 2 2( 1),
8 4 1
x x
x x
的解集为______．
7．（2007，青岛，8 分），某饮料厂开发了 A，B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每
瓶饮料中甲，乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各 2800 克进行试生产，计划
生产 A，B 两种饮料共 100 瓶．
甲 乙
A 20 克 40 克
B 30 克 20 克
设生产 A 种饮料 x 瓶，解答下列问题．
（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；
（2）如果 A 种饮料每瓶的成本为 2.60 元，B 种饮料每瓶的成本为 2.80 元，这两种饮
料成本总额为 y 元，请写出 y 与 x 之间的关系式，并说明 x 取何值会使成本总额最低．
C 卷：课标新型题
1．（结论开放题）有甲，乙，丙三个人在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该
不等式组的一个性质．
甲：它的所有解为非负数．
乙：其中一个不等式的解集为 x≤8．
丙：其中一个不等式在解的过程中需改变不等号的方向．
请试着写出符合上述条件的一个不等式组，并解答．
2．（阅读理解题）先阅读不等式 x2+5x－6<0 的解题过程，然后完成练习．
解：因为 x2+5x－6<0，所以（x－1）（x+6）<0．
因为两式相乘，异号得负．
所以 1 0,
6 0
x
x
或 1 0,
6 0
x
x
即 1,
6
x
x
（舍去）或 1,
6
x
x
所以不等式 x2+5x－6<0 的解集为－65，B，D 中不等式组的解集是空集．
3．B 点拨：不等式组的解集为－ 2
3
－3．所以原不等式组的解集
为－3m+1，所以 m>2．
正确解法：由题意得 2m－1≥m+1 时，因为原不等式组无解，所以 m≥2．
点拨：此题错误原因在于忽略了 m+1 与 2m－1 可以相等，即类似 ,x a
x a
的形式也是无
解的．
12．解：设学校每天计划用电量为 x 度，依题意，得 110( 2) 2530
110( 2)
x
x
≤2200 ，解得 210，即 a>1 时，
5
1
2
ax a
x
的解集为 x<2．
所以 5
1
a
a
≥2，所以 a≤7，所以 10，即 a>1 时，1a2>a3．
所以 x1－x2= 1
2
（a1+a3－a2）－ 1
2
（a1+a2－a3）=a3－a2<0，
所以 x1x3，所以 x3□，由第二个天平知□=2△，即□>△，
所以○>□>△．本题主要考查了数形结合的数学思想和观察识别图形的能力．
三、4．解：设该宾馆底层有客房 x 间，则二楼有客房（x+5）间，
根据题意得
48 48 ,5 4
48 485 ,4 3
x
x
，解得 48
5
－4；由②得：x<3，分别解完不等式后可以利用数轴或口诀
“比大的小，比小的大，中间找”得到最终结果．
此题考查利用数形结合解不等式组，是对学生基本运算方法、运算法则、基本性质的动
用能力的考查．
7．解：（1）设生产 A 种饮料 x 瓶，根据题意，得 20 30(100 ) 2800,
40 20(100 ) 2800.
x x
x x
≤
≤
解这个不等式组，得 20≤x≤40，因为其中正整数解共有 21 个，
所以符合题意的生产方案有 21 种．
（2）根据题意，得 y=2.6x+2.8（100－x），整理，得
y=－0.2x+280．因为 k=－0.2<0，所以 y 随 x 的增大而减小，
所以当 x=40 时成本总额最低．
C 卷
1． 解：可以写出不同的不等式组，如 3 3 2 5
2 2 1
x x
x x
≤ ①
②
，
不等式①的解集为 x≤8，不等式②的解集为 x>1，所以原不等式组的解集为 10，
所以 b－c=0，即 b=c．所以△ABC 为等腰三角形．
解法二：因为 b2+2ab=c2+2ac，所以 b2+2ab+a2=c2+2ac+a2，
所以（a+b）2=（a+c）2．因为 a，b，c 为三角形三边，所以 a+b=a+c．
所以 b=c．所以△ABC 为等腰三角形．
12．解：1792－212=（179+21）×（179－21）=200×158=31600（m2）．
点拨：本题是分解因式在实际问题中的应用，利用分解因式可使运算简化．
B 卷
一、1．解法一：a2+b2=（a+b）2－2ab．因为 a+b=1，ab=－1，
所以 a2+b2=12－2×（－1）=3．
解法二：因为 a+b=1，所以（a+b）2=1，即 a2+b2+2ab=1，
因为 ab=－1，所以 a2+b2=1－2ab=1－2×（－1）=3．
点拨：本题综合考查完全平方公式．
2．解：因为 9m2－12mn+8n2－4np+2p2－4p+4
=（9m2－12mn+4n2）+（4n2－4np+p2）+（p2－4p+4）
=（3m－2n）2+（2n－p）2+（p－2）2=0．
所以
3 2 0,
2 0,
2 0.
m n
n p
p
所以
2 ,3
1,
2.
m
n
p
所以 m+n+p= 2
3
+1+2=11
3
．
点拨：此题的巧妙之处是把 8n2 分成 4n2+4n2，把 2p2 分成 p2+p2，从而把原式左边
化成几个完全平方式和的形式，根据非负数和为零，各数均为零的性质可求 m，n，
p 的值．
二、3．解：（1012+25）2－（1012－25）2
=（1012+25+1012－25）·（1012+25－1012+25）=2×1012×50=1014=10n．
所以 n=14． 点拨：若底数相等，幂相等，则指数必相等．
4．103010 或 301010 或 101030
点拨：4x3－xy2=x（4x2－y2）=x（2x+y）（2x－y）．
当 x=10，y=10 时，2x+y=30，2x－y=10．
所以 x（2x+y）（2x－y） 103010，
（2x+y）（2x－y） 301010
（2x－y）x（2x+y） 101030． 答案不唯一，写出一个即可．
三、5．解：设大圆盘的半径为 Rcm，一个小圆盘的半径为 rcm，
根据题意，得： R2－4 r2=5 ，即（R+2r）（R－2r）=5．
因为 R，r 均为正整数，所以 R+2r，R－2r 也为正整数，所以：
2 5,
2 1
R r
R r
解得 3,
1
R
r
答：大圆盘的半径为 3cm，一个小圆盘的半径为 1cm．
点拨：本题利用因式分解法求不定方程的整数解，注意要把 5 分解质因数．
四、6．（x－3） 点拨：x2－9=x2－32=（x+3）（x－3）．
因为长为（x+3）米，所以宽为（x－3）米．
7．a（a+b）（a－b） 点拨：多项式 a3－ab2 只有两项，可以考虑两种方法，提公因式
法和平方差公式，观察题目可知此题这两种方法均要用到，即首先提取公因式，
然后再用平方差公式．所以 a3－ab2=a（a2－b2）=a（a+b）（a－b）．
C 卷
1．±4x 或 4x4 或－1 或－4x2
点拨：若添加±4x 和 4x4 成为一个多项式的平方；若添加－1 或－4x2，其结果成为一
个单项式的平方．
2．解：假设存在这样的正整数 m，由题意得 m+98=x2，①
m+121=y2，②．②－①得 y2－x2=23．所以（y+x）（y－x）=23×1．
只有当 x+y=23，y－x=1 时，成立，即 23,
1.
x y
y x
解得 11
12.
x
y
所以 m=x2－98=112－98=121－98=23．
点拨：本题仍然是利用分解因式求不定方程的整数解，再求 m 的值．
3．解：（1－ 2
1
2
）（1－ 2
1
3
）…（1－ 2
1
n
）= 1
2
× 3
2
× 2
3
×…
× 1n
n
× 1n
n
= 1
2
× 1n
n
= 1
2
n
n
．
当 n=2007 时，上式= 2007 1 1004
2 2007 2007
．
4.解：－2a2b2+ab3+a3b=－ab（2ab－b2－a2）=ab（b2－2ab+a2）=ab（a－b）2．
当 a－b= 1
2
，ab= 1
8
时，原式=ab（a－b）2= 1
8
×（ 1
2
）2= 1
8
× 1 1
4 32
．
点拨：多项式求值时可根据已知条件，将多项式先分解因式，变为含 ab 或 a－b 的形
式，然后整体代入即可．
2. 3 运 用 公 式 法 同 步 练 习 3
1．填空：
（1）多项式 2 224 18m n n 各项的公因式是 _________ ；
（2）多项式 3 2 3 2 4 2 4 312 18 30x y z x y z x yz 各项的公因式是 _________ ；
（3）如果 2 6x x k 是一个完全平方式，那么 k 的值是 _________ ；
（4） 2(_____) 2 1 (______)ab ．
2．把下列各式分解因式：
（1） 3x x ； （2） 3 2 22a a b ab ； （3） 2 23 6a b ab ；
（4） 3 2 26 15 9a ab ac ；（5） ( )a x y x y ； （6） 2 24 4x y xy ；
（7） 2 ( ) 4( )x a b b a ； （8） 2 2 2( 4) 16x x ．
3．利用分解因式计算：
（1） 0.41 27.6 0.35 27.6 2.76 2.4 ； （2） 1 1001 0.1258
；
（3） 2101 101 ； （4） 23.95 3.95 3.94 ；
（5） 299 ； （6） 7 716.8 7.632 16
；
（7） 2 21.22 9 1.33 4 ； （8）5 998 10 ．
4．先分解因式，再求值：
（1） 4 3 2 24 4a a b a b ，其中 8a ， 2b ；
（2） 2 2 2 2 2( ) 4a b a b ，其中 3.5a ， 1.5b ．
5．对于任意自然数 n ， 2 2( 7) ( 5)n n 是否能被 24 整除？为什么？
参考答案
1．（1） 6n ；（2） 2 26x yz ；（3）9；（4） 2 2a b ， 1ab ．
2．（1） ( 1)( 1)x x x ；（2） 2( )a a b ；（3）3 ( 2 )ab a b ；（4） 2 2 23 (2 5 3 )a a b c ；
（5）( )( 1)x y a ；（6） 2( 2 )x y ；（7）( )( 2)( 2)a b x x ；（8） 2 2( 2) ( 2)x x ．
3．（1）27.6；（2）125；（3）10100；（4）0.0395；（5）9801；（6）7；（7）6.32；
（8）5000．
4．（1） 2 2( 2 )a a b ，当 8a ， 2b 时，原式＝9216；
（2） 2 2( ) ( )a b a b ，当 3.5a ， 1.5b 时，原式＝100．
5． 2 2( 7) ( 5) ( 7 5)( 7 5) (2 2) 12 24( 1)n n n n n n n n ，能被
24 整除．
第三章 分式
3.1 分式同步练习
1.下列说法正确的是（ ）
A.如果 A，B 是整式，那么
B
A 就叫做分式；
B.只要分式的分子为零，则分式的值就为零；
C.只要分式的分母为零，则分式必无意义；
D.因为
x
x 2
不是分式，而是整式.
2.在
x
1 ，
2
1 ，
2
12 x ，
xy3 ，a+
m
1 中,分式的个数有（ ）
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
3.使分式
1
2
a
aa 有意义的 a 取值应是（ ）
A. 任意实数 B. a 1 C. a 1 D. a 0 或 1
4.要使分式
1
1
2
2
a
a 有意义，则 a 取值应是（ ）
A．-1 B. 1 C. 1 D. 任意实数
5.当 x=2 时，下列各式的值为 0 的是（ ）
A.
23
2
2
xx
x B.
2
1
x
C.
9
42
x
x D.
1
2
x
x
6.对于分式
13
x
ax 中，当 x=-a 时，下列结论正确地是（ ）
A. 分式无意义 B. 分式值为 0
C. 当 a
3
1 时，分式的值为 0 D. 当 a
3
1 时，分式的值为 0
7.下列各式从左到右的变形不正确的是（ ）
A.
yy 3
2
3
2 B.
x
y
x
y
66
C.
y
x
y
x
4
3
4
3
D.
y
x
y
x
3
8
3
8
8.下列各个算式中正确的是（ ）
A． 2
2
a
b
a
b B. baba
ba
22
C. 2
2
y y
x y x y
D.
xy
yx
xy
yx 23
6
1
3
1
2
1
9.把分式 则分式的值倍都扩大中 ,2b,a2
ba
a
（ ）
A．扩大 4 倍 B.扩大 2 倍 C. 缩小 2 倍 D. 不变
10.下列等式成立的是（ ）
A． ba
ba
ba
22 B
ba
ba
ba
baba
2
22 2
C． abba
baba
22 2 D baab
ba
1
2
11.在-3x,
5
2,5
3,8,7,3
2, 22 ba
y
xxyyxy
x
中，是分式的是 .
12.要使分式
32
1
a
a 有意义，则 a 的值应是 ；要使分式
1
42
a
a 的值为零，则 a 的值
应为 .
13.分式
x
x
1
，当 时，其值为 0；当 时，分式无意义；当 时，分式的
值为正数.
14.化简
ab
bca
15
25 2
.
15.当 x=3 时，分式
44
4
2
2
xx
x 的值为 .
答案：
1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.C 7.D 8.D 9.D 10.B 11.
yy
x
5
3,
12. a
2
3 a=2 13.x=0 x= 1 -10 B. x<0 C.x 0 D. x 1
二、解答题
8. 2
2
4
42
bc
a
a
b ；
9.化简 22
2
2
10
5
22
yx
ab
ba
yx
；
10.化简 x
xx
xx
122
2
；
11.若 m 等于它的倒数，求分式
2
2
4
44 2
2
2
m
mm
m
mm 的值；
12.若分式
4
3
2
1
x
x
x
x 有意义，求 x 的取值范围；
13.计算- 4
425
mnm
n
n
m
；
14.计算 2
2
3
22
35
8
15
4
m
ab
m
ba ;
15.计算（xy-x2）
xy
yx .
答案：
1. C 2 .A 3.C 4.C 5.C 6.D 7.C
8.- 22c
a 9.
)(
4
yxa
b
10.
1
1
x
11. 1
12. 2, 3, 4 13. 1
n
14.- 7
6
a
m
15.- 2x y
3.3 分式的加减法同步练习
1.已知 x 0 ,则
xxx 3
1
2
11 等于（ ）
A.
x2
1 B.
x6
1 C.
x6
5 D.
x6
11
2.化简
xy
yx
zx
xz
yz
zy
6
49
3
32
2
32 可得到（ ）
A.零 B.零次多项式 C.一次多项式 D.不为零的分式
3.分式 35
,3,
x
a
bx
c
ax
b
的最简公分母是（ ）
A.5abx B.15ab 5x C.15abx D.15ab 3x
4.在分式① ;3
yx
x
② 22
2
ba
ab
；③ ;23
ba
a
④
))((
2
baba
ab
中分母相同的分式是（ ）
A.①③④ B.②③ C.②④ D.①③
5.下列算式中正确的是（ ）
A.
a
cb
a
c
a
b
2
B.
ac
db
d
c
a
b C.
ca
db
d
c
a
b
D.
ac
adbc
d
c
a
b
6.x 克盐溶解在 a 克水中，取这种盐水 m 克，其中含盐（ ）
A.
a
mx 克 B.
x
am 克 C.
ax
am
克 D.
ax
mx
克
7.
ba
2a
ab
b
ba
2ba ；
8.
1ba
baba ；
9.若 ab=2,a+b=-1,则
ba
11 的值为 ；
10.计算
abba 6
5
4
3
3
2
2 ；
11.化简分式
yx
xyyxyx
xyyx 44 的结果是 ；
12.计算：
（1）
3
2
9
12
2
mm
（2）
96
9
3
9
2
2
2
2
xx
x
xx
xx
13.化简
2
1
4
2
1 2
2
aa
aa
a
aa
14.先化简，再求值： ,2121
2
xxx
其中 x=-3.5.
15.先化简，再求值：
1
1
12
3
1
3
2
xxx
x
x
x ,其中 x= 2 +1.
答案：
1.D 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7.–1 8.
ba
ab
9.-
2
1 10.
ba
aab
2
2
12
1098
11.x2-y2
12.(1)原式=
)3(
2
)3)(3(
)3(2
)3)(3(
3212
mmm
m
mm
m ；
(2)原式= 23
62
)3(
)3(
)3(
)9(
)3(
)3)(3(
)3(
)9(
2
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx .
13.原式=
1)2(
1
)2(
)2)(2(
1
2
a
a
aaa
aa
a
a .
14.原式=
xx
x
x
x 1
2
2
2 ，当 x=-3.5 时，原式的值为-
7
2 .
15.原式= ,11
1
1
1
1
1
3
)1(
)1)(1(
3 2
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
当 x= 2 +1 时，原式的值为
2
22 .
3.4 分式方程同步练习
1.判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错误的打“×”.
（1）
3
1y =
5
1y 是关于 y 的分式方程. （ ）
（2）分式方程
5
3||
x
x =0 的解是 x=3. （ ）
（3）只要是分式方程，一定出现增根. （ ）
（4）方程
x
5 =
2
7
x
与方程 5（x-2）=7x 的解相同. （ ）
（5）方程
2
1
x
=
x
x
2
1 －３的两边都乘以（x-2），得 1=（x－1）－３. （ ）
（6）方程
2
1
x
=
x
x
2
1 －３无解. （ ）
（7）方程
xx
x
2 =
xx
x
2
2 的根为 x=0. （ ）
（8）方程
1
1
1
)1(
x
x
x
xx 变形得 x=1，而 x=1 是原方程的增根，故原方程无解.（ ）
2.若
2
52
x
x 的值为－１，则 x 等于 （ ）
A.－
3
5 Ｂ．
3
5 Ｃ．
3
7 Ｄ．－
3
7
3.老张师傅做 m 个零件用了一个小时，则他做 20 个零件需要的小时数是 （ ）
A.
20
m B.
m
20 C.20m D.20+m
4.一项工程，甲独做需 m 小时完成，若与乙合作 20 小时完成，则乙单独完成需要的时间是
（ ）
A.
20
20
m
m B.
20
20
m
m C.
m
m
20
20 D.
m
m
20
20
5.甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植 5 棵树，甲班植 80 棵树所用的
天数与乙班植 70 棵树所用的天数想等，若设甲班每天植树 x 棵，则根据题意列出的方程
是（ ）
Ａ．
5
80
x
＝
x
70 B.
5
7080
xx
C.
xx
70
5
80
D.
5
7080
xx
6.下列各式中，不是分式方程的是（ ）
A.
x
x
x
11 B. 1)1(1 xxx
C.
2
131
1
xx
D.
3
1 ·（ 3)12
1 x
7.分式方程
3
1
x
+
9
4
3
1
2
xx
的解是 （ ）
A.无解 B.x=2 C.x=－３ Ｄ．ｘ＝±３
8.若分式方程 ax
ax
1
无解，则 a 的值是 （ ）
A.－１ B. 1 C. ±1 D.-2
9.若分式方程
5
1
5
6
xkx
x （其中 k 为常数）产生增根，则增根是 （ ）
A.x=6 B.x=5 C.x=k D.无法确定
10.解关于 x 的方程
11
3
x
m
x
x 产生增根，则常数 m 的值等于 （ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
11.下列关于 x 的方程① 53
1 x ，②
1
41
xx
，③ xx
3
3 1，④
1
1
ba
x 中，是分
式方程的是 .（填序号）
12.如果
xx
x 1
3
1
2
，则 x= .
13.方程
xx
x
25
5152
的解是 .
14.甲做 90 个机器零件所用的时间与乙做 120 个机器零件所用的时间相等，又已知平均每小
时甲、乙两人一共做了 35 个零件，求甲、乙每小时各做多少个？
15.某校师生到距学校 20 千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45 分钟后，乙班师
生乘汽车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的 2.5 倍，求两种
车的速度各是多少?
答案：
1.（1）×；（2）×；（3）×;(4)√;
(5) × 提示：去分母时，漏掉了-3 这一项，应改为 1=（x-1）-3（x-2）；
（6）√;(7) ×;(8) ×.
2.C 3.B 4.A 5.D 6.D 7.B 8.C 9.C
10.A 11.② 12.-3
13.x=0
14.设甲每小时做 x 个，则乙每小时做（35-x）个，由题意可列方程为
xx
35
12090 .
解得 x=15，经检验 x=15 适合题意，故甲每小时做 15 个，乙每小时做 20 个.
15.设自行车速度为 x 千米/小时，则汽车速度为 2.5x 千米/小时，
由题意可列方程为
xx 5.2
20
60
4520 ，解得 x=16，经检验，x=16 适合题意，
故 2.5x=40，所以自行车速度为 16 千米/小时，汽车速度为 40 千米/小时.
第四章 相似图形
4.1 线段的比同步练习
一、请你填一填
1、如果
5
3
b
ba ,那么
b
a =________.
2、若 a= 2 ,b=3,c=3 3 ,则 a、b、c 的第四比例项 d 为________.
3、若
753
zyx ,则
zyx
zyx
=________.
4、在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是 3 cm,而两地的实际距离为 1500 m，那么
这张地图的比例尺为________.
二、认真选一选
1、已知
d
c
b
c ,则下列式子中正确的是（ ）
A. a∶b=c2∶d2 B. a∶d=c∶b
C. a∶b=（a+c）∶（b+d） D. a∶b=（a－d）∶（b－d）
2、如图 1，已知直角三角形的两条直角边长的比为 a∶b=1∶2,其斜边长为 4 5 cm，
那么这个三角形的面积是（ ）cm2.
A.32 B.16 C.8 D.4
图 1 图 2
3、若
875
cba ,且 3a－2b+c=3,则 2a+4b－3c 的值是（ ）
A.14 B.42 C.7 D.
3
14
4、如图 2，等腰梯形 ABCD 的周长是 104 cm，AD∥BC，且 AD∶AB∶BC=2∶3∶5，则这
个梯形的中位线的长是（ ）cm.
A.72.8 B.51 C.36.4 D.28
三、已知四条线段 a、b、c、d 的长度，试判断它们是否成比例？
1、a=16 cm ，b=8 cm ，c=5 cm ，d=10 cm
2、a=8 cm ，b=5 cm ，c=6 cm ，d=10 cm
四、画一画，算一算
1、若点 P 在线段 AB 上，点 Q 在线段 AB 的延长线上，AB=10，
2
3
BQ
ΑQ
BP
AP ，求线段 PQ
的长.
2、若
6
5
43
2 cba ,且 2a－b+3c=21.试求 a∶b∶c.
参考答案
一、1、
5
8 2、
2
69 3、5 4、1∶50000
二、1、C 2、B 3、D 4、D
三、1、
b
a =2
c
d =2 则
c
d
b
a 所以 a、b、d、c 成比例
2、由已知得：ab≠cd, ac≠bd, ad≠bc
所以 a、b、c、d 四条线段不成比例
四、1、设 AP=3x,BP=2x
∵AB=10
∴AB=AP+BP=3x+2x=5x,即 5x=10,
∴x=2 ∴AP=6,BP=4
∵
2
3
BQ
AQ ,∴可设 BQ=y,则 AQ=AB+BQ=10+y
∴
2
310
y
y ,解得：y=20,
∴PQ=PB+BQ=4+20=24
2、令
6
5
43
2 cba =m,则 a+2=3m,b=4m,c+5=6m
∴a=3m－2,b=4m,c=6m－5
∵2a－b+3c=21
∴2（3m－2）－4m+3（6m－5）=21,即 20m=40
解得 m=2
∴a=3m－2=4,b=4m=8,c=6m－5=7
∴a∶b∶c=4∶8∶7
4.2 黄金分割同步练习
◆基础训练
一、选择题
1．若 3a=4b，则（a-b）：（a+b）的值是（ ）．
A． 1
7
B． C．- 1
7
D．-7
2．已知 P 是线段 AB 上一点，且 AP：PB=2：5，则 AB：PB 等于（ ）．
A．7：5 B．5：2 C．2：7 D．5：7
3．已知线段 AB，点 P 是它的黄金分割点，AP>BP，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以
PB、AB 为边的矩形面积为 S2，则 S1 与 S2 的关系是（ ）．
A．S1>S2 B．S1BC，则 ______,AB BC
AC AB
=_______．
5．等边△ABC 中，AD⊥BC，AB=4，则高 AD 与边长 AB 的比是______．
三、解答题
6．求下列各式中的 x：
（1）7：4=11：x； （2）2：3=（5-x）：x．
7．已知 a
b
= 1 1 2,a c
c b a b c
求证: ．
◆能力提高
一、填空题
8．在线段 AB 上取一点 P，使 AP：PB=1：3，则 AP：AB=______，BC：PB=______．
9．如图，已知 3 , (1)
2
AB AC BC CE
AD AE DE AE
则: =______，（2）若 BD=10cm，则
AD=______；（3）若△ADE 的周长为 16cm，则
△ABC 的周长为_______．
二、解答题
10．已知两数 4 和 8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中
项，那么第三个数是多少？
11．在相同时刻的物高和影长成比例．已知上午 9 点时，高为 1.5m 的测杆的影长为 2.5m，
此时一古塔在地面的影长是 50m，求古塔的高．如果上午 10 点时，1.5m高的测杆的影
长为 2m，中午 12 点时，1.5m 高的测杆的影长为 1m，求古塔的影长是 20m 的时刻．
◆拓展训练
12．用厘米作为长度单位量一下几何作业本，求出长与宽的比．如果你来设计作业本的大
小，你能利用所学的知识设计一种既美观又实用的“黄金作业本”吗？
答案:
1．A 2．A 3．C 4． 5 1 3 5 44, 5. 3 : 2 6.(1)2 2 7
（2）x=3
7．由已知得 ac-ab=ab-bc，∴ac+bc=2ab，
∴ 2 1 1 2a b
ab c a b c
即 ．
8．1：4，4：3 9．（1） 5
2
（2）4cm （3）24cm
10．2 或 16 或±4 2 11．30m，中午 12 点 12．略.
4.1 线段的比-4.2 黄金分割同步练习
课堂练习
一、选择题
1.等边三角形的一边与这边上的高的比是( )
A. 3 ∶2 B. 3 ∶1 C.2∶ 3 D.1∶ 3
2.下列各组中的四条线段成比例的是( )
A.a= 2 ，b=3，c=2，d= 3 B.a=4，b=6，c=5，d=10
C.a=2，b= 5 ，c=2 3 ，d= 15 D.a=2，b=3，c=4，d=1
3.已知线段 a、b、c、d 满足 ab=cd，把它改写成比例式，错误的是( )
A.a∶d=c∶b B.a∶b=c∶d C.d∶a=b∶c D.a∶c=d∶b
4.若 ac=bd，则下列各式一定成立的是( )
A.
d
c
b
a B.
c
cb
d
da C.
c
d
b
a 2
2
D.
d
a
cd
ab
5.已知点 M 将线段 AB 黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )
A.AM∶BM=AB∶AM B.AM=
2
15 AB C.BM=
2
15 AB D.AM≈0.618AB
二、填空题
6.在 1∶500000 的地图上，A、B 两地的距离是 64 cm，则这两地间的实际距离是________.
7.正方形 ABCD 的一边与其对角线的比等于________.
8.若 2x－5y=0，则 y∶x=________，
x
yx =________.
9.若
5
3
b
ba ，则
b
a =________.
10.若
AE
AC
AD
AB ，且 AB=12，AC=3，AD=5，则 AE=________.
三、解答题
11.已知
3
4
2
x
yx ，求
y
x .
12.在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为 50 m，同时高为 1.5 m
的测杆的影长为 2.5 m，那么古塔的高是多少?
13.在△ABC 中，D 是 BC 上一点，若 AB=15 cm，AC=10 cm，且 BD∶DC=AB∶AC，BD－DC=2
cm，求 BC.
14.现有三个数 1， 2 ，2，请你再添上一个数写出一个比例式，这样的比例式唯一吗？
*15.如果一个矩形 ABCD(AB＜BC)中，
2
15
BC
AB ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩
形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF，得到一个小矩形 ABFE(如图
1)，请问矩形 ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.
图 1
参考答案
一、1.C 2.C 3.B 4.B 5.C
二、6.320 km 7.1∶ 2 8.2∶5
5
7 9.
5
8 10.
4
5
三、11.
5
3 12.30 m 13.10 cm
14.
2
2 ，1， 2 ，2 成比例；1 2 2 ，2 也成比例，比例式不惟一
15.矩形 ABFE 是黄金矩形 由于
2
15
BC
AB ，设 AB=( 5 －1)k，BC=2k，所以
FC=CD=AB，BF=BC－FC=BC－AB=2k－( 5 －1)k=(3－ 5 )k，
所以
2
15
)15(
)53(
k
k
AB
BF ，所以矩形 ABFE 是黄金矩形.
课外练习
一、请你填一填
（1）如图 1，若点 P 是 AB 的黄金分割点，则线段 AP、PB、AB 满足关系式________，
即 AP 是________与________的比例中项.
图 1
（2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到 0.001）.
（3）如果线段 d 是线段 a、b、c 的第四比例项，其中 a=2 cm,b=4 cm,c=5 cm,则
d=_____________cm.
（4）已知 O 点是正方形 ABCD 的两条对角线的交点，则 AO∶AB∶AC=________.
（5）若
d
c
b
a =3（b+d≠0），则
db
ca
=________.
二、认真选一选
（1）已知
yx
23 ,那么下列式子成立的是（ ）
A.3x=2y B.xy=6 C.
3
2
y
x D.
3
2
x
y
（2）把 ab=
2
1 cd 写成比例式，不正确的写法是（ ）
A.
b
d
c
a
2
B.
b
d
c
a
2
C.
b
d
c
a 2 D.
d
a
b
c 2
（3）已知线段 x,y 满足（x+y）∶（x－y）=3∶1,那么 x∶y 等于（ ）
A.3∶1 B.2∶3 C.2∶1 D.3∶2
（4）有以下命题:
①如果线段 d 是线段 a,b,c 的第四比例项，则有
d
c
b
a
②如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB、BC 的比例中项
③如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC>BC，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项
④如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC>BC，且 AB=2，则 AC= 5 －1
其中正确的判断有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
三、细心算一算
已知实数 a,b,c 满足
c
ba
b
ac
a
cb ,求
a
cb 的值.
四、好好想一想
以长为 2 的线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P，连结 PD，
在 BA 的延长线上取点 F，使 PF=PD，以 AF 为边作正方形 AMEF，点 M 在
AD 上，如图 2.
（1）求 AM、DM 的长.
（2）求证：AM2=AD·DM.
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
图 2
参考答案
一、（1）
AP
PB
AB
AP PB AB （2）0.618 （3）10 （4）
2
2 ∶1∶ 2 即 1∶ 2 ∶2 （5）
3
二、（1）D （2）B （3）C （4）C
三、解：设
c
ba
b
ac
a
cb =k
则 b+c=ak,c+a=bk,a+b=ck
∴2（a+b+c）=k（a+b+c）
当 a+b+c≠0 时，∴k=2,∴
a
cb =2
当 a+b+c=0 时,b=－（b+c）,
a
cb =－1
四、解：如图（见原题图）
（1）∵正方形 ABCD 的边长为 2，P 是 AB 中点
∴AB=AD=2，AP=1
在 Rt△APD 中，PD= 522 ADAP
∵PF=PD,
∴AF=PF－AP= 5 －1
∵AMEF 是正方形，
∴AM=AF= 5 －1，DM=AD－AM=2－（ 5 －1）=3－ 5
（2）由（1）得 AM2=（ 5 －1）2=6－2 5
AD·DM=2（3－ 5 ）=6－2 5
∴AM2=AD·DM
（3）图中点 M 是线段 AD 的黄金分割点.
4.3 形状相同的图形同步练习
一、请认真观察
下面各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形，哪些是形状不同的图形.
二、仔细辨认哟！
观察下面图形，指出（1）—（9）中的图形有没有与给出的图形（a）、（b）、（c）形状
相同的？
三、请你画一画，试着把下面的两个图形利用给出的格点放大
四、想一想
如图 1：已知 A（0，－2），B（－2，1），C（3，2）
图 1
（1）求线段 AB、BC、AC 的长.
（2）把 A、B、C 三点的横坐标、纵坐标都乘以 2，得到 A′、B′、C′的坐标,求 A B 、
B C 、 A C 的长.
（3）以上六条线段成比例吗？
（4）△ABC 与△ A B C 的形状相同吗？
参考答案
一、（3）、（5）组中的图形形状相同
（1）、（2）、（4）、（6）组中的图形形状不同
二、图形（4）、（8）与图形（a）形状相同；图形（6）与图形（b）形状相同；图形（5）
与图形（c）形状相同
三、略
四、解：如图（见原题图）A（0，－2），B（－2，1），C（3，2）
（1）由勾股定理得：
AB= 1323 22 ，BC= 2615 22 ，AC= 22 43 =5
（2）由已知得 A（0，－4）， B（－4，2）， C （6，4）
由勾股定理得：
A B = 13264 22 ， B C = 262210 22 ， A C = 22 86 =10
（3）∵
2
1 CA
AC
CB
BC
BA
AB ；∴这六条线段成比例
（4）△ABC 与△ A B C 的形状相同.
4.4 相似多边形同步练习 1
一、请你填一填
（1）以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角
形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形都相似.
其中正确的命题有_______.
（2）已知三个数 1，2， 3 ，请你再写一个数，使这四个数能成比例，那么这个数是
________（填写一个即可）.
（3）相同时刻的物高与影长成比例，如果有一根电线杆在地面上的影长是 50 米，同时
高为 1.5 米的标竿的影长为 2.5 米，那么这根电线杆的高为________米.
（4）在一张比例尺为 1∶50000 的地图上，量得 A、B 两地的图上距离为 2.5 厘米，那
么 A、B 两地的实际距离是________米.
二、
如图，图（1）是一个正六边形 ABCDEF，使线段 BC、FE 的长增加相等的数，得图（2），
将图（1）中的点 A、D 分别向两边拉长相等的量，得图（3）.
那么图（1）与图（2）相似吗？图（1）与图（3）相似吗？图（2）与图（3）呢？为什
么？
三、
（1）如图 1 与图 2,等腰梯形 ABCD 与等腰梯形 A B C D 相似,∠ A=65°，A B =6 cm,
AB=8 cm, AD=5 cm,试求梯形 ABCD 的各角的度数与 A D 、 B C 的长.
图 1 图 2
（2）如图 3，有一个半径为 50 米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽 10 米的环
形跑道，那么：①草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？
②这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？它们有什么关系吗？
图 3
参考答案
一、（1）①④⑤ （2）2 3 或
2
3 或
3
32 （填写一个即可） （3）30 （4）1250
米
二、图（1）与图（2）不相似，图（1）与图（3）不相似，图（2）与图（3）也不相似.
理由略
三、（1）解：∵等腰梯形 ABCD 与 A B C D 相似，∠ A=65°
∴∠A=65°,∠B=65°
∠D=∠C=180°－65°=115°
又
AD
DA
AB
BA ,
∴
58
6 DA ,
∴ A D =
4
15 cm
∴ B C = A D =
4
15 cm
（2）解：①两个圆相似
②这两个圆的半径分别为 50 米，60 米
所以它们的半径之比为 5∶6，周长之比为（2π×50）∶（2π×60）即为 5∶6，所以这
两个圆的半径之比等于周长之比.
4.4 相似多边形同步练习 2
一、训练平台（第 1～5 小题各 6 分，第 6 小题 10 分，共 40 分）
1．两个多边形相似的条件是（ ）
A．对应角相等 B．对应边相等
C．对应角相等，对应边相等 D．对应角相等，对应边成比例
2．下列图形是相似多边形的是（ ）
A．所有的平行四边形； B．所有的矩形 C．所有的菱形； D．所有的正方形
3．找出两类永远相似的图形_________、_________．
4．在四边形 ABCD 与四边形 A B C D 中，∠A=∠ A，∠B=∠ B，∠C=∠C ，∠D=∠ D ，
且 2
' ' ' ' ' ' ' ' 3
AB BC CD DA
A B B C C D D A
，则四边形________∽四边形________，且它们的
相似比是________．
5．有一个角为 120°的菱形与有一个角为________的菱形相似．
6．把一个矩形剪去一个正方形，若剩余的矩形和原矩形相似，求原矩形的长与宽的比．
二、提高训练（第 1～3 小题各 6 分，第 4 小题 10 分，共 28 分）
1．下列命题正确的是（ ）
A．有一个角对应相等的平行四边形相似 B．对应边成比例的两个平行四边形相似
C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似；D．有一个角对应相等的两个菱形相似
2．下列说法中正确的是（ ）
A．相似形一定是全等形 B．不全等的图形不是相似形
C．全等形一定是相似形 D．不相似的图形可能是全等形
3．如图所示，有三个矩形，其中是相似形的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
丙
乙
甲
1.5
1
1.5
2.5
3
2
4．已知如图所示的两个梯形相似，求出未知的 x，y，z 的长和∠α，∠β的度数．
三、探索发现（每小题 12 分，共 24 分）
1．相片框（如图所示）中，外矩形的长和宽分别为 20cm、10cm，内矩形的长和宽分别为 16cm、
6cm ，内外两个矩形是否相似？
2．暑假时，康子帮母亲到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“竹笑鱼”，个个都长得非常相似，现
在根据大小有两种不同的价格，如图所示，鱼长 10cm 的每条 100 日元，鱼长 18cm 的每条
150 日元，康子不知道买哪条更好些，你看怎么办？
四、拓展创新（共 8 分）
如图所示，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之
比都等于相似比（a：b），设 S 甲，S 乙分别表示两个正方体的表面积，则
2
2
2
6 ( )6
S a a
S b b
甲
乙
，
又设 V 甲，V 乙分别表示这两个正方体的体积，则
3
3
3 ( )V a a
V b b
甲
乙
，下列几何体中，一定属于
相似体的是（ ）
A．两个球体 B．两个圆柱体 C．两个圆锥体 D．两个长方体
中考演练
（中考预测题）把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比为（ ）
A．2：1 B．4：1 C． 2 ：1 D． 3
2
：1
参考答案：
一、1．D 2．D 3．正方形 等边三角形
4．ABCD A B C D 2：3
5．60°或 120° 6．（ 5 -1）：2
二、1．D 2．C 3．B
4．x=3，y=3，z=6，∠α=70°，∠β=120°．
三、1．不相似． 2．买 18cm 长的鱼更合算．
四、A
※C
4.5 相似三角形同步练习 1
课内练习
一、选择题
1.△ABC∽△ A B C ，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C 的度数等于( )
A.55° B.100° C.25° D.30°
2.如图 1，△ADE∽△ACB，∠AED=∠B，那么下列比例式成立的是( )
A.
BC
DE
AB
AE
AC
AD B.
BC
DE
AC
AE
AB
AD
C.
BC
DE
AB
AC
AE
AD D.
BC
DE
EC
AE
AB
AD
3.如果△ABC∽△ A B C ，BC=3， B C =1.8，则△ A B C 与
△ABC 的相似比为( )
A.5∶3 B.3∶2 C.2∶3 D.3∶5 图 1
4.若△ABC∽△ A B C ，AB=2，BC=3， A B =1，则 B C 等于( )
A.1.5 B.3 C.2 D.1
5.△ABC 的三边长分别为 2 、 10 、2，△ A B C 的两边长分别为 1 和 5 ，如果△ABC
∽△ A B C ，那么△ A B C 的第三边的长应等于( )
A.
2
2 B.2 C. 2 D.2 2
二、填空题
6.如图 2，已知△ADE∽△ABC，且∠ADE=∠B，则对应角为________，对应边为________.
图 2
图 3
7.如图 3，已知 DE∥BC，△ADE∽△ABC，则
AB
AD =________=________.
8. 如果△ABC 和△ A B C 的相似比等于 1，则这两个三角形________.
9. 已知△ABC∽△ A B C ，A 和 A′，B 和 B′分别是对应点，若 AB=5 cm， A B =8 cm，
AC=4 cm， B C =6 cm，则△ A B C 与△ABC 的相似比为________， A C =________，
BC=________.
10.如果 Rt△ABC∽Rt△ A B C ，∠C=∠C′=90°，AB=3，BC=2，A B =12，则 A C =________.
三、解答题
11.判断下列两组三角形是否相似，并说明理由.
(1)△ABC 和△ A B C 都是等边三角形.
(2)△ABC 中，∠C=90°，AC=BC；△ A B C 中，∠C′=90°， A C = B C .
12.已知△ABC 中，AB=15 cm，BC=20 cm，AC=30 cm，另一个与它相似的△ A B C 的最长边
为 40 cm，求△ A B C 的其余两边的长.
13.已知：△ABC 三边的比为 1∶2∶3，△ A B C ∽△ABC，且△ A B C 的最大边长为 15 cm，
求
△ A B C 的周长.
*14.如图 4，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 CF∶BC=1∶4，你能说明
EC
AD
EF
AE 吗？
图 4
参考答案
一、1.C 2.A 3.D 4.A 5.C
二、6.∠A 与∠A ∠AED 与∠C AD 与 AB，AE 与 AC，DE 与 BC 7.
AC
AE
BC
DE
8.全等 9.
5
8 6.4 cm 3.75 cm 10.4 5
三、11.(1)相似 (2)相似
12. A B =20 cm， B C =26
3
2 cm
13.30 cm 14.略
课外练习
一、请你填一填
（1）如果两个三角形的相似比为 1，那么这两个三角形________.
（2）若△ABC 与△ A B C 相似，一组对应边的长为 AB=3 cm， A B =4 cm，那么△ A B C
与△ABC 的相似比是________.
（3）若△ABC 的三条边长的比为 3∶5∶6,与其相似的另一个△ A B C 的最小边长为 12 cm，
那么△ A B C 的最大边长是________.
（4）已知△ABC 的三条边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,△ABC∽△ A B C ，那么△ A B C 的
形状是______，又知△ A B C 的最大边长为 20 cm，那么△ A B C 的面积为________.
二、认真选一选
（1）下列命题错误的是（ ）
A.两个全等的三角形一定相似
B.两个直角三角形一定相似
C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D.相似的两个三角形不一定全等
（2）若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为 6 cm 和 8 cm，那么下式中一定成立的是（ ）
A.3AB=4DE B.4AC=3DE C.3∠A=4∠D D.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）
（3）若△ABC 与△ A B C 相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C′的度数是（ ）
A.55° B.100° C.25° D.不能确定
（4）把△ABC 的各边分别扩大为原来的 3 倍，得到△ A B C ，下列结论不能成立的是
（ ）
A.△ABC∽△ A B C B.△ABC 与△ A B C 的各对应角相等
C.△ABC 与△ A B C 的相似比为
4
1 D.△ABC 与△ A B C 的相似比为
3
1
三、△ABC 中，AB=12 cm，BC=18 cm，AC=24 cm，若△ A B C ∽△ABC，且△ A B C 的周
长为 81 cm，求△ A B C 各边的长.
四、好好想一想
如图 5：分别取等边三角形 ABC 各边的中点 D、E、F，得△DEF.若△ABC 的边长为 a.
（1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？
（2）分别求出这两个三角形的面积.
（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？
图 5
参考答案
一、（1）全等 （2）3∶４ （3）24cm （4）直角三角形 96cm2
二、（1）B （2）D （3）C （4）C
三、解法 1：设△ A B C 与△ABC 的相似比为 x，根据题意得：
BC
CB
AC
CA
AB
BA =x
将 AB=12，BC=18，AC=24 代入上式可得：
A B =12x, B C =18x, A C =24x
∵△ A B C 的周长为 81 cm
∴12x+18x+24x=81,解得：x=
2
3
∴ A B =12x=18（cm）, B C =18x=27（cm）， A C =24x=36（cm）
解法 2：由已知得△ABC 的周长为 12+18+24=54（cm）
所以△ A B C 与△ABC 的相似比等于 81∶54 即 3∶2
则
2
3
AC
CA
BC
CB
AB
BA ，
∴
2
3
241812
CACBBA
∴ A B =18（cm）, B C =27（cm）, A C =36（cm）
四、（1）根据三角形中位线定理得 DE=
2
1 a,EF=DF=
2
1 a
所以△DEF 是等边三角形，△DEF 与△ABC 相似，相似比为
2
1
（2）△ABC 的面积为
2
1 AB·AE=
2
1 a· 222
4
3)2
1( aaa
△DEF 的面积为
2
1 ·
2
1 a·
16
3)4
1()2
1( 22 aa a2
（3）S△DEF∶S△ABC=
16
3 a2∶
4
3 a2=
4
1 ∶1=1∶4
这两个三角形的面积比等于边长之比的平方.
4.5 相似三角形同步练习 2
一、选择题
1．如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是高，EF∥BC，则图中与△ADC 相似的三角形共有
（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．多于 3 个
2．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如
图 2 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下宽为 1cm 的矩形纸条 1a 、
2a 、 3a …若使裁得的矩形纸条的长都不小于 5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸
条的总数是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
图 1 图 2 图 3
图 4
二、填空题
3．如图 3，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，则 AD∶________＝________∶BC＝________∶
AB．
4．如图 4，D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点，则图中与△ABC 相似的三角形共
有________个，它们是_______________．
5．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下 2.7m 宽的亮区，已知亮区到窗下的墙脚最远距离
是 8.7m，窗口高 1.8m，那么窗口底边离地面的高等于________．
三、解答题
6．如图 5，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是中线，P 是 AD 上一点，过 C 作 CF∥AB，延长 BP 交
AC 于 E，交 CF 于 F．求证： 2BP PE PF ．
图 5
7．已知：如图 6，等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE 是△ABC 的外角平分线，BF 是
∠ABC 的平分线，BF 的延长线交 AE 于 E．
求证：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．
图 6
8．四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在边 BA 的延长线上，CE 交 AD 于 F，∠ECA＝∠D．求证：
AC·BE＝AD·CE．
参考答案
1．C 2．C
3．AC，ED，AE 4．4，△ADF、△DBE、△FEC、△EFD 5.4m
6．连结 PC，先证明△ABP≌△ACP，∴PB＝PC，再证明△PCF∽△PEC，∴PC∶PE＝PF∶PC．∴
PFPEPC 2 ，∴ PFPEPB 2
7．(1)由已知可求得∠ABF＝∠BAC＝36°，∠C＝∠BFC＝72°，∴BC＝BF＝AF
(2)∵△EAF、△BCF 都是底角为 72°的等腰三角形，∴△EAF∽△BCF，∴EF∶BF＝AF∶CF，
又 AF＝BC，∴EF∶BF＝BC∶FC
8．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，又
∵∠E＝∠E，∴△ECA∽△EBC，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC∶AD＝CE∶BE，∴AC·BE＝AD·CE
4.6 探索三角形相似的条件同步练习 1
一、请说一说什么是相似三角形
答：_____________.
通过探索和学习，你知道怎样判定两个三角形相似？那么请把你的判定方法写在下面吧.
（1）_____________.
（2）_____________.
（3）_____________.
二、请你填一填
（1）如图 1，在△ABC 中，DE∥BC，AD=3 cm，BD=2 cm,△ADE 与△ABC 是否相似________，
若相似，相似比是________.
图 1 图 2
（2）如图 2，D、E 分别为△ABC 中 AB、AC 边上的点，请你添加一个条件，使△ADE 与△ABC
相似，你添加的条件是_____________（只需填上你认为正确的一种情况即可）.
（3）如图 3，测量小玻璃管口径的量具 ABC 中，AB 的长是 10 毫米，AC 被分成 60 等份.如
果小管口 DE 正好对着量具上 30 份处（DE∥AB），那么小管口径 DE 的长是_____________毫
米.
图 3
（4）如图 4，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，作 CD⊥AB 于点 D，则图中相似的三角形有________
对，它们分别是_____________.
图 4
三、认真选一选
（1）下列各组图形中有可能不相似的是（ ）
A.各有一个角是 45°的两个等腰三角形
B.各有一个角是 60°的两个等腰三角形
C.各有一个角是 105°的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形
（2）△ABC 和△ A B C 符合下列条件，其中使△ABC 和△ A B C 不相似的是（ ）
A.∠A=∠A′=45°， ∠B=26°，∠B′=109°
B.AB=1，AC=1.5 ，BC=2 ， A B =4 ， A C =2， B C =3
C.∠A=∠B′，AB=2，AC=2.4 ， A B =3.6 ， B C =3
D.AB=3 ，AC=5 ，BC=7 ， A B = 3 ， A C = 5 ， B C = 7
（3）如图 5，AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 O，那么在下列比例式中，正确的是（ ）
A.
AD
OA
CD
AB B.
BC
OB
OD
OA C.
OC
OB
CD
AB D.
OD
OB
AD
BC
图 5 图 6
（4）如图 6，D 为△ABC 的边 AB 上一点，且∠ABC=∠ACD，AD=3 cm, AB=4 cm，则 AC 的长
为（ ）
A.2 cm B. 3 cm C.12 cm D.2 3 cm
四、用数学眼光看世界
如图 7，长梯 AB 斜靠在墙壁上，梯脚 B 距墙 80 cm，梯上点 D 距墙 70 cm，量得 BD 长
55 cm，求梯子的长.
图 7
参考答案
一、答：对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形
判定两个三角形相似的方法详见课本，略.
二、（1）相似 3∶5 （2）∠C=∠ADE（或∠B=∠AED 等）
（3）5 （4）三 △ACD∽△ABC △BCD∽△BAC △ACD∽△CBD
三、（1）A （2）D （3）C （4）D
四、解：设梯子的长 AB 为 x cm（如图）
由 Rt△ADE∽Rt△ABC 得：
AB
AD
BC
DE
∴
x
x 55
80
70
解得：x=440
答：梯子的长是 440 cm.
4.6 探索三角形相似的条件同步练习 2
一、请你填一填
（1）如图 1，在△ABC 中，AC 是 BC、DC 的比例中项，则△ABC∽________,理由是________.
图 1 图 2
（2）如图 2，D、E、F 分别是△ABC 各边的中点，则△DEF∽________,理由是________.
（3）如图 3，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AB=2AD，若 BC=3 cm,则 DE=________cm.
图 3 图 4
（4）如图 4，正方形 ABCD 的边长为 2，AE=EB，MN=1，线段 MN 的两端分别在 CB、CD 上滑动，
那么当 CM=________时，△ADE 与△MNC 相似.
二、认真选一选
（1）如图 5，下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）
A.
AB
AC
AD
AE B.∠B=∠ADE C.
BC
DE
AC
AE D.∠C=∠AED
图 5 图 6
（2）在□ABCD 中，E 在 BC 边上，AE 交 BD 于 F，若 BE∶EC=4∶5，则 BF∶FD 等于（ ）
A.4∶5 B.5∶4 C.5∶9 D.4∶9
（3）如图 6，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，CD=2，BD=1，则 AD 的长是（ ）
A.1 B. 2 C.2 D.4
三、开动脑筋哟
如图 7，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角
形，并加以证明.
图 7
四、用数学眼光看世界
如图 8，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点 A，再在河的这一边选定点 B
和点 C，使得 AB⊥BC，然后选定点 E，使 EC⊥BC，确定 BC 与 AE 的交点 D，若测得 BD=180
米，DC=60 米，EC=50 米，你能知道小河的宽是多少吗？
图 8
参考答案
一、（1）△DAC 这两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，这两个三角形相似
（2）△ABC 这两个三角形的三边对应成比例，这两个三角形相似
（3）1.5 （4）
5
52 或
5
5
二、（1）C （2）D （3）D
三、（1）△AOB∽△DOC （2）△AOD∽△BOC
证明：（1）∵∠ABD=∠ACD，∠AOB=∠DOC（对顶角相等）
∴△AOB∽△DOC
（2）由（1）知△AOB∽△DOC
∴
OC
OB
OD
OA ，
∴
OC
OD
OB
OA
又∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD∽△BOC
四、解：∵由已知得∠ABD=∠DCE=90°,∠ADB=∠CDE
∴△ABD∽△ECD ∴
DC
BD
EC
AB
将 EC=50，BD=180，DC=60 代入上式得：
60
180
50
AB ，∴AB=150
即：小河的宽是 150 米.
4.7 测量旗杆的高度同步练习
一、请你填一填
（1）某建筑物在地面上的影长为 36 米，同时高为 1.2 米的测杆影长为 2 米，那么该建筑物
的高为________米.
（2）垂直于地面的竹竿的影长为 12 米，其顶端到其影子顶端的距离为 13 米，如果此时测
得某小树的影长为 6 米，则树高________米.
（3）如图 1，若 OA∶OD=OB∶OC=n，则 x=________（用 a,b,n 表示）.
图 1 图 2 图 3
二、认真选一选
（1）如图 2，铁道口的栏道木短臂长 1 米，长臂长 16 米，当短臂下降 0.5 米时，长臂的端
点升高（ ）米
A.11.25 B.6.6 C.8 D.10.5
（2）一个地图上标准比例尺是 1∶300000,图上有一条形区域，其面积约为 24 cm2，则这块
区域的实际面积约为（ ）平方千米
A.2160 B.216 C.72 D.10.72
（3）如图 3，将△ADE 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90°得△ABF，连结 EF 交 AB 于 H，
则下列结论错误的是（ ）
A.AE⊥AF B.EF∶AF= 2 ∶1 C.AF2=FH·FE D.FB∶FC=HB∶EC
三、用数学眼光看世界
如图 4，要测一个小湖上相对两点 A、B 的距离，要求在 AB 所在直线同一侧岸上测.小
明采取了以下三种方法，如图 5，图 6，图 7.
图 4
（1）请你说明他各种测量方法的依据.
（2）根据所给条件求 AB 的长.
方 法一 ：已 知 AB BC ，BC=50 米 ，AC=130 米 ，则 AB=________ 米 ，其 依据 是
___________________________________ .
图 5
方 法 二 ： 已 知 AO ∶ OD=OB ∶ OC=3 ∶ 1,CD=40 米 ， 则 AB=________ 米 ， 其 依 据 是
___________________________________ .
图 6
方法三 ：已知 E、F 分别为 AC、BC 的中点，EF=60 米，则 AB=________米，其依据是
___________________________________ .
图 7
参考答案
一、（1）21.6 （2）2.5 （3）
2
nba
二、（1）C （2）B （3）C
三、方法一：AB=120 米，△ABC 为直角三角形，根据勾股定理可得 AB 长.
方法二：AB=120 米，△AOB∽△DOC 则对应边成比例.
方法三：AB=120 米，EF 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得 EF=
2
1 AB.
4.8 相似多边形的性质同步练习 1
一、选择题
1.△ABC∽△ A B C ，相似比是 2∶3，那么△ A B C 与△ABC 面积的比是 ( )
A.4∶9 B.9∶4 C.2∶3 D.3∶2
2.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的 9 倍，那么周长扩大为原来
的 ( )
A.9 倍 B.3 倍 C.81 倍 D.18 倍
3.在△ABC 中，DE∥BC，交 AB 于 D，交 AC 于 E，且 AD∶DB=1∶2，则下列结论正确的是( )
A.
BC
DE =
2
1 B.
BC
DE =
3
1 C.
的周长
的周长
ABC
ADE
=
2
1 D.
ABC
ADE
S
S
=
3
1
4.如图 1，□ABCD 中，AE∶ED=1∶2，S△AEF=6 cm2，则 S△CBF 等于( )
图 1
A.12 cm2 B.24 cm2 C.54 cm2 D.15 cm2
5.下列说法中正确的是( )
A.位似图形可以通过平移而相互得到 B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不只有一个 D.位似中心到对应点的距离之比都相等
二、填空题
6.△ABC∽△ A B C ，相似比是 3∶4，△ABC 的周长是 27 cm，则△ A B C 的周长为________.
7.两个相似多边形对应边的比为 3∶2，小多边形的面积为 32 cm2，那么大多边形的面积为
________.
8.若两个三角形相似，且它们的最大边分别为 6 cm 和 8 cm，它们的周长之和为 35 cm，则
较小的三角形的周长为________.
9.在矩形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、CD 的中点，如果矩形 ABCD∽矩形 BCFE，那么 AD∶
AB=________，相似比是________，面积比是________.
10.已知，如图 2， A B ∥AB， B C ∥BC，且OA ∶ A A =4∶3，则△ABC 与________是位
似图形，位似比为________；△OAB 与________是位似图形，位似比为________.
图 2
三、解答题
11.在比例尺为 1∶50000 的地图上，一块多边形地区的周长是 72 cm，多边形的两个顶点 A、
B 之间的距离是 25 cm，求这个地区的实际边界长和 A、B 两地之间的实际距离.
12.如图 3，梯形 ABCD 中，AB∥CD，AC、BD 交于 E，若 S△DCE∶S△DCB=1∶3，求 S△DCE∶S△ABD.
图 3
13.已知：△ABC∽△ A B C ，它们的周长之差为 20，面积比为 4∶1，求△ABC 和△ A B C
的周长.
14.选取一个你喜欢的图形，然后将此图形放大，使放大后的图形的面积是原图形面积的 4
倍.
参考答案
一、1.B 2.B 3.B 4.C 5.D
二、6.36 cm 7.72 cm2 8.15 cm 9. 2 ∶2 2 ∶1 2∶1 10.△ A B C 7∶4
△OA B 7∶4
三、11.36 千米 12.5 千米 12.1∶6 13.40 20 14.略
4.8 相似多边形的性质同步练习 2
相似多边形的周长比和面积比
一、请你填一填
（1）若△ABC∽△ A B C ，AB=4，BC=5，AC=6，△ A B C 的最大边长为 15，那么它们的
相似比是________,△ A B C 的周长是________.
图 1
（2）两个相似三角形的相似比为 2∶3，它们周长的差是 25，那么较大三角形的周长是
________.
（3）如图 1，在□ABCD 中，延长 AB 到 E，使 BE=
2
1 AB，延长 CD 到 F，使 DF=DC，EF 交 BC
于 G，交 AD 于 H，则△BEG 与△CFG 的面积之比是________.
（4）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的
2
1 倍，那么边长应缩
小到原来的________倍.
二、认真选一选
(1)如图 2，把一个矩形纸片 ABCD 沿 AD 和 BC 的中点连线 EF 对折，要使矩形 AEFB 与原矩形
相似，则原矩形长与宽的比为（ ）
A.2∶1 B. 3 ∶1 C. 2 ∶1 D.4∶1
图 2 图 3
(2)如图 3，在△ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，△ADE 和四边形 BCED 的面积分别记
为 S1、S2，那么
2
1
S
S 的值为（ ）
A.
2
1 B.
4
1 C.
3
1 D.
3
2
图 4
(3)如图 4，在 Rt△ABC 中，AD 为斜边 BC 上的高，若 S△CAD=3S△ABD，则 AB∶AC 等于（ ）
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶ 3 D.1∶2
(4)顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（ ）
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶ 2 D.1∶2
三、灵机一动
某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为 1∶200
和 1∶500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸上的面积比.
四、用数学眼光看世界
如图 5，△ABC 是一块锐角三角形余料，其中 BC=12 cm，高 AD=8 cm，现在要把它裁剪
成一个正方形材料备用，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，问这个
正方形材料的边长是多少？
图 5
参 考 答 案
一、（1）2∶5 37.5 (2)75 (3)1∶16 (4)
2
2
二、（1）C (2)C (3)C (4)D
三、解：设这块矩形绿地的面积为 S，在甲、乙两张规划图上的面积分别为 S1、S2
则
S
S1 =（
200
1 ）2，
S
S 2 =（
500
1 ）2
∴S1=
40000
S ，S2=
250000
S
∴S1∶S2=
40000
S ∶
250000
S =
4
1 ∶
25
1 =25∶4
即：这块草地在甲、乙两张图上的面积比为 25∶4
四、解：设这个正方形材料的边长为 x cm
则△PAN 的边 PN 上的高为（8－x） cm
∵由已知得：△APN∽△ABC
∴
BC
PN =
AD
x8 ，即
12
x =
8
8 x 解得：x=4.8
答：这个正方形材料的边长为 4.8 cm.
4.9 图形的放大与缩小同步练习
一、请你填一填
（1）如果 a∶b=3∶2,则（a+b）∶b=________.
（2）如果一张地图的比例尺为 1∶3000000,在地图上量得长春到大连的距离为 25 cm，长春
到大连的实际距离为________千米.
（3）如果梯形的中位线长是 12 cm，一条对角线与中位线所成两条线段的比是 2∶1，则梯
形两底的长分别为________.
（4）如图 1，火焰的光线穿过小孔 O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度 BD=2 cm，
OA=60 cm, OB=15 cm，则火焰的长度为________.
图 1 图 2
（5）如图 2，五边形 ABCDE 与五边形 A B C D E 是位似图形，且位似比为
2
1 .若五边形 ABCDE
的面积为 17 cm2，周长为 20 cm，那么五边形 A B C D E 的面积为________，周长为________.
二、认真选一选
（1）如图 3，AD 是△ABC 的中线，AE=EF=FC，则下列关系式：
①
AD
AG =
2
1 ②
BE
GE =
3
1 ③
BE
BC =
4
3 ,其中正确的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
图 4
图 3
（2）若
zy
x
=
zx
y
=
yx
z
=k,则 k=（ ）
A.0 B.
2
1 C.－1 D.
2
1 或－1
（3）某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如
图 4，在 Rt△ABC 中，∠C=90°,AC=30 cm，AB=50 cm，依次裁下宽为 1 cm 的矩形彩条 a1、
a2、a3…….若使裁得的矩形纸条的长都不小于 5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形
纸条总数是（ ）
A.24 B.25 C.26
D.27
三、举一反三
（1）将有一个锐角为 30°的直角三角形放大，使放大后的三角形的边是原三角形对应边的
3 倍，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值.
（2）一三角形三顶点的坐标分别是 A（0，0），B（2，2），C（3，1），试将△ABC 放大，使
放大后的△DEF 与△ABC 对应边的比为 2∶1.并求出放大后的三角形各顶点坐标.
参 考 答 案
一、（1）5∶2 （2）750 （3）8 cm、16 cm
（4）8 cm （5）
4
17 cm2 10 cm
二、(1)B (2)D (3)B
三、(1)1∶3 1∶3
(2)位似中心取点不同,所得 D、E、F 各点坐标不同，即答案不惟一.
第五章 数据的收集与处理
5.1 每周干家务活的时间同步练习
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1.下列统计中，能用“全面调查”的是（ ）
A.某厂生产的电灯使用寿命 B.全国初中生的视力情况
C.某校七年级学生的身高情况 D.“娃哈哈”产品的合格率
2.下列调查中，用全面调查方式收集数据的是（ ）．
①为了了解全校学生对任课教师的意见，学校向全校学生进行问卷调查
②为了了解初中生上网情况，某市团委对 10 所初中的部分学生进行调查
③某班学生拟组织一次春游活动，为了确定春游的地点，向同学进行调查
④了解全班同学的作业完成情况，对学号为奇数的学生进行调查
A.①③ B.①② C.②④ D.②③
3.今年我市有 9 万名初中毕业生参加升学考试，为了了解 9 万名考生的数学成绩，从中抽取
2000 名考生数学成绩进行统计分析．在这个问题中总体是（ ）
A.9 万名考生 B.2000 名考生
C.9 万名考生的数学成绩 D.2000 名考生的数学成绩
4.下列调查方式，合适的是（ ）
A.要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式
B.要了解淮安电视台“有事报道”栏目的收视率，采用普查方式
C.要保证“神舟六号”载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用抽查方式
D.要了解外地游客对“淮扬菜美食文化节”的满意度，采用抽查方式
5.为了了解一批冰箱的功能，从中抽取 10 台进行检查试验，这个问题中，数目 10 是（ ）
A.总体 B.个体 C.样本 D.样本容量
6.某市社会调查队对城区内一个社区居民的家庭经济状况进行调查. 调查的结果是, 该社
区共有 500 户, 高收入.中等收入和低收入家庭分别有 125 户.280 户和 95 户. 已知该市
有 100 万户家庭下列表述正确的是 ( )
A.该市高收入家庭约 25 万户
B.该市中等收入家庭约 56 万户
C.该市低收入家庭业 19 万户
D.因城市社区家庭经济状况好，所以不能据此估计全市所有家庭经济状况
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7.总体是__________,样本是_________. 样本的容量是________, 个体是__________.
8.①为了了解你们班同学的视力情况，对全班同学进行调查.②为了了解你们学校学生对某
本书的喜爱情况，对所有学号是 9 的倍数的学生进行调查.在调查过程中，①采取了
_____________调查方式.②采取了________调查方式
9.为了全校 800 名八年级学生的身高，抽查某一班 50 名学生测量身高.在这个问题中，
_______________是总体，_______________是个体，_______________是样本.
10.为了了解某八年级学生的营养状况，可通过抽区学生的血样进行血色素检测。在这个问
题中是以普查还是以抽样调查好？答_____________.
11.某班 50 名学生右眼视力的检查结果如下表：
视力 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5
人数 1 1 3 4 3 4 4 6 8 10 6
（1）视力为 1.5 的有_____人，视力为 1.0 的有______人，视力小于 1.0 的有______人.
（2）视力在 1.0 以上（包括 1.0）的为正常，则视力正常的有_____人，视力正常的人数
占全班人数的___________；
（3）该班学生视力情况________（选填“好”“一般”“差”）
12.某移动公司为了调查手机发送短信的情况，在本区域的 1000 位用户中抽取了 10 位用户
来统计他们某月份发送短信息的条数，结果如下表所示：
手机用户序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
发送短信息条数 85 78 83 79 84 85 86 88 80 85
则本次调查中抽取的样本容量是________，由此估计这 1000 位用户这个月共发送短信
________条.
三、解答题:（每题 10 分，共 40 分）
13.下列调查中，分别采用了哪种调查方式：
（1）为了了解你们班同学的年龄，对全班同学进行了调查.__________________。
（2）为了考察一个学校的学生参加课外体育活动情况，调查了其中 20 名学生每天参加课
外体育活动时间.___________________。
14 某农户承包了荒山种了 44 棵苹果树，现已进入第三年收获期。收获时，先随意摘了 5 颗
树上的苹果，称得每棵摘得的苹果重量如下（单位：千克）：35，35，34，39，37。
（1）在这个问题中总体，个体，样本各是什么？
（2）试根据样品平均数去估计总体情况，你认为该农户可收获苹果大约多少千克？
（3）若市场上苹果的售价为每千克 5 元，该农户的苹果收入将达多少元。
15.李娟同学为考察学校的用水情况,她在 4 月份一周内同一时刻连续记录了水表的示数,
记录结果如下表:
星期 一 二 三 四 五 六 日
水表示数(吨) 217 220 224 229 235 226 245
李娟估计学校 4 月份的用水量是多少吨？
16.为了考察一批树苗的高度，从中抽出 10 株，量得结果如下（单位：cm）：11，12，11，
13，12，14，11，13，11，14
（1）在这个问题中，总体，个体，样本各是什么？
（2）在这个样本中其众数，中位数，平均数各是什么？
（3）试估计这一批树苗的平均高度。
四.拓展探究（不计入总分）
17.查阅动物百科全书可以知道：喜鹊体长 41～52cm，营巢于高大乔木的中上层，每次产卵
5～8 枚；丹顶鹤体长约 140cm，营巢于周围环水的浅滩或深草丛中，每次产卵 2 枚；绿
孔雀体长 100～230cm，营巢于灌木丛.竹丛间的地面，每次产卵 4～8 枚；鸳鸯体长 38～
44cm，营巢于树洞中，每次产卵 7～12 枚，请用一张统计表简洁地表示上述信息，并谈
谈你从这些信息中发现了什么？
参考答案
1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.D 7.全体七年级女同学的身高情况 抽测的 100 名女同
学的身高情况 100 每个女同学的身高情况 8.（1）普查；（2）抽样 9.800 名八年级
学生的身高 每个学生的身高 50 名学生的身高 10.抽样调查好
11.（1）6 8 26 （2）24 48％ （3）一般 12.10 83300
13.全面调查 抽样调查 14.（1）44 棵苹果树上的苹果重量是总体，每棵树上的苹果重量
是个体，样本是抽取 5 棵树上的苹果重量；
（2）由 35 35 34 39 37 44 15845
千克；（3）1584×5=7920 元
15.6840 吨 16.（1）略；（2）众数，中位数，平均数分别为 11，12，12.2；
（3）这批树苗的平均高度为 12.2cm.
17.统计表如下
鸟 名 喜鹊 丹顶鹤 绿孔雀 鸳鸯
营巢环境 大乔木 浅滩.深草丛 灌木丛.竹丛间 树洞
体长（cm） 41～52cm 约 140cm 100～230 cm 38～44cm
产卵枚数 5～8 2 4～8 7～12
从统计表可以看出：（1）丹顶鹤和其他三种鸟相比，它的营巢环境要求比较高，而产卵
数量比较少，这些可能是丹顶鹤被列为国家一级保护动物的部分原因；（2）鸟类的体长与产
卵数量没有明显的关系，等等.
5.2 数据的收集同步练习
(总分：50 分 时间 30 分钟)
一、选择题（每题 4 分，共 12 分）
1.下列方法属于“划记法”的是（ ）
A.我国古代的象形文字 B.鲁滨孙漂流时为了记日期而在船上刻的线
C.古罗马数字 D.阿拉伯数字
2.下列说法正确的是（ ）
A．有通过普查才能够获取总体的特征 B．抽样调查是获取数据的唯一途径
C．普查比抽样调查方便得多 D．抽样调查时的样本应具有随机性
3.为了了解某县 20-30 岁青年的文化水平（学历来反映），采取了抽样调查方式获得结果。
下面所采取的抽样方式合理的是（ ）
A.抽查了该县 20-30 岁的在职干部
B.抽查了该县城关地区 20-30 岁的青年
C.随机抽查了该县所有 20-30 岁青年共 500 名
D.抽查了该县农村某镇的所有 20-30 岁的青年
二、填空题（每题 4 分，共 8 分）
4.为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率，应采用适合的调查方式为_________（选填
“全面调查”或“抽样调查”）.
5.抽样调查为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的_______和________.
三、解答题（每题 6 分，共 30 分）
6.2003 年 5 月，一场抗击非典肺炎的“战争”在全国各地进行着，为了获得每天感染非典
患者，疑似病例患者的数据，需要对十二亿多人进行普查吗？你认为采取什么调查方式更
适合？请结合实际情况谈谈你的想法。
7.为了完成下列任务，你认为采用什么调查方式更合适？
（1）了解你们班同学周末时间是如何安排的.
（2）了解一批圆珠笔芯的使用寿命.
（3）了解我国八年级学生的视力情况.
8.姚明作为我国最优秀的篮球运动员转会至美国 NBA，一方面推动我国篮球事业的快速发
展，同时也给他所加入的 NBA 俱乐部带来更大的商机，它将拥有来自世界人口最多的国家
的广大球迷爱好者和姚明的崇拜者，使得凡是姚明所参加的每一场 NBA 球赛能获得更多的
观众收视率。如果要对姚明最近一场球赛的收视率在国内进行调查，是否每个看电视的人
都要被问到？仅对六十岁以上的老年同志的调查结果能否作为该场比赛的国内收视率？
你认为应该怎样调查更合适些？
9.《红楼梦》是我国最经典的名著之一，为了了解我国阅读过，《红楼梦》的读者，你认为
采用什么方式调查更合适些？你认为对不同地区，不同年龄，不同文化背景的人所做的调
查结果会一样吗？
10.为了保护环境，某校环保小组成员小明收集废电池，第一天收集 1 号电池 4 节，5 号电
池 5 节。总重量为 450 克，第二天收集 1 号电池 2 节，5 号电池 3 节，总重量为 240 克。
求 1 号电池和 5 号电池每节分别重多少？
学校环保小组为估算四月份收集废电池的总重量，他们随意抽取了该月某 5 天每天收集
废电池的数量，如下表：
1 号废电池（单位：节） 29 30 32 28 31
5 号废电池（单位：节） 51 53 47 49 50
分别计算两种废电池的样本平均数；并由此估算该月（30 天）环保小组收集废电池的总
重量是多少千克？
试说明上述表格中数据的获取方法。你认为这种方法合理吗？
四、拓展探究（不计入总分）
11.社会的信息化程度越来越高，计算机网络已进人普通百姓家，某市电信局对计算机拨号
上网用户提供三种付费方式供用户选择（每个用户只能选择其中一种付费方式）：甲种方
式是按实际用时付费，每小时付信息费 4 元，另加付电话话费每小时 1 元 2 角；乙种方
式是包月制，每月付信息费 100 元，同样另加付电话话费每小时 1 元 2 角；丙种方式也
是包月制，每月付信息费 150 元，但不必另付电话费．某用户为选择合适的付费方式，
连续记录了 7 天中每天上网所花的时间（单位：分）：
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
上网时间 62 40 35 74 27 60 80
根据上述情况，该用户选择哪种付费方式比较合适，请你帮助选择，并说明理由（每个
月按 30 天计）
参考答案
1.B 2.D 3.C 4.抽样调查 5.代表性 广泛性
6.可采用重点地区重点调查方法 7.普查：（1）；抽样调查：（2）（3） 8.略
9.可采用对不同地区，不同年龄，不同文化背景的人群中抽样调查即可，不一样
10.（1）设每节 1 号电池重 x 克，每节 5 号电池为 y 克。
依题意可列方程组为 4 5 450
2 3 240
x y
x y
解得 x=75（克），y=30（克），即 1 号电池每节 75 克，5 号电池每节 30 克；
（2） 1x ＝ 29 30 32 28 31
5
＝30（节）， 5
51 53 47 49 50 505x （节）.
故每天可收集的废电池总重量是为 30×75+50×30=3750（克）
因而环保小组本月可收集 3750×30＝112500 克＝112.5 千克；
（3）上述表格中数据是抽样调查的结果，且由于抽样的“随意”性知，这种抽样调查方法
是合理的。
11.该用户一个月总上网时间约为：
62 40 35 74 27 60 80 30 607
＝27（小时）
选甲每月付：5.2×27＝140.4（元），
选乙每月付：100＋1.2×27＝132.4（元），
选丙每月付 150 元，
所以选乙种付费方式比较恰当.
5.3 频数与频率同步练习 1
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1.下列四个统计图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是（ ）
2.在对 n 个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数与频率之和分别等于（ ）
A.n，1 B.n，n C.1，n D.1，1
3.某地上半年每月的平均气温是 5℃，8℃，12℃，18℃，24℃，30℃，为了表示出气温变
化的情况可以把它绘制成（ ）
A.扇形统计图 B.折线统计图 C.条形统计图 D.以上都可以
4.下表是某一地区在一年中不同季节对同一商品的需求情况的统计表（单位：件），如果你
是工商局的统计员，要为厂家提供关于这种商品的直观统计图，则应选择的统计图为
（ ）
季 度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
某商品需求量 3300 1500 2700 4000
A.条形统计图 B.折线统计图 C.扇形统计图 D.前面三种都可以
5.如图是某中学七年级学生参加课外活动人数的扇形统计图，若参加舞蹈类的学生有42人，
则参加球类活动的学生人数有（ ）
A.145 人 B.147 人 C.149 人 D.151 人
球类
其它
35%
40%
15%
美术
类
舞蹈
类
6.如图是两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户教育支出占全年总
支出的百分比作出的判断中，正确的是（ ）
A.甲户比乙户大 B.乙户比甲户大 C.甲.乙两户一样大 D.无法确定哪一户大
7.甲.乙二人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最近五次训练成绩绘制成如图所示的
折线图，下面的结论错误的是（ ）
A.乙的第二次成绩与第五次成绩相同 B.第三次测试甲的成绩与乙的成绩相同
C.第四次测试甲的成绩比乙的成绩多 2 分 D.由表可以看出，甲的成绩稳定
543210
10
11
12
13
14
15
16
得分 甲：
乙：
次序
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
8.某中学一位同学调查了八年级 60 名学生观看自己最喜爱的电视节目的情况，其中有 10
人爱看动画片，15 人爱看连续剧，23 人爱看体育节目，12 人爱看新闻节目.在上面问题
中，__________________________分别为各节目出现的频数，其中爱看动画片的频率约为
__________________________.
9.中国历届奥运会奖牌可用折线图表示，第______届奥运会比它的上一届奖牌增加的最多.
第
23
届
第
24
届
第
25
届
第
26
届
第
27
届
0
35
70
奖牌数
10.在扇形统计图中，其中有一个扇形的圆心角为 108°，那么这个扇形所表示的部分占总
体的百分比是___________.
11.如图是某晚报社“百姓热线”一周内接到的热线电话的统计图，其中有关环境保护的问
题最多，共 60 个电话，请观察统计图，回答下列问题：（1）本周“百姓热线”共接到热
线电话________个，（2）有关交通电话有_________个.
5%
15%
15%
10%
20%
35%
万闻轶事
其他投诉
道路交通
环境保护
房产建筑
表扬建议
12.已知样本容量为 30，在以下样本频率分布直方图中，各小长方形的高之比 AE∶BF∶CG∶
DH＝2∶4∶3∶1，则第 2 组的频率和频数分别为_________.__________.
A B C D
H
G
F
E
频率
组距
三、解答题（每题 10 分，共 40 分）
13.某市有 5 类学校，各类学校占总校数的百分比如下：
学校 幼儿园 小学 中学 特殊教育 高等院校
百分比 36％ 32％ 22％ 4％ 6％
（1）计算各类学校对应的扇形圆心角度数；
（2）画扇形统计图来表示上面的信息；
（3）哪两类学校较多？各占百分比是多少？
（4）若高等院校有 42 所，则该市共有学校多少所？中学有多少所？
14.某中学团委会为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样的方法，从阅读.运动.娱乐.
其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完
整的统计图（如图），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？
（2）“其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度？
（3）补全频数分布折线图．
15.下图是 A.B 两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品情况的统计图：
(1)从图中你能否看出哪所学校收到的水粉画作品的数量多？为什么?
(2)已知 A 学校收到的剪纸作品比 B 学校的多 20 件，收到的书法作品比 B 学校的少 100
件，请问这两所学校收到艺木作品的总数分别是多少件？
其它娱乐
40%
运动
20% 阅读
阅读 运动 娱乐 其它 项目
10
20
30
40
50
人数
O
书法
40％
剪纸
10％
其他
28％
水粉画
22％
书法
50％
水粉画
20％
其他
25％
剪
纸
5％
A 学校 B 学校
16.某市对当年初中升高中数学考试成绩进行抽样分析，试题满分 100 分，将所得成绩（均
为整数）整理后，绘制了如图所示的统计图，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
（1）共抽取了多少名学生的数学成绩进行分析？
（2）如果 80 分以上（包括 80 分）为优生，估计该年的优生率为多少？
（3）该年全市共有 22000 人参加初中升高中数学考试，请你估计及格（60 分及 60 分以
上）人数大约为多少？
四、拓展探究（不计入总分）
17.（2007 年武汉）某区七年级有 3000 名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动.为了了解
本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了 200 名学生的得分(得分取正整数，满分为 100
分)进行统计.
分组 频数 频率
49.5～59.5 10
59.5～69.5 16 0.08
69.5～79.5 0.20
79.5～89.5 62
20
10
30
40
50
60
70
80
16
62
72
频数
成绩(分)
49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 100.5
89.5～100.5 72 0.36
请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)若将得分转化为等级，规定得分低于 59.5 分评为“D”，59.5～69.5 分评为“C”，69.5～
89.5 分评为“B”，89.5～100.5 分评为“A”.这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生
参赛成绩被评为“D”？如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为
“A”.“B”.“C”.“D”哪一个等级的可能性大？请说明理由.
参考答案
1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.D 7.D
8.15.23.12 0.17 9.25 10.30％ 11.300 105 12.0.4 12
13.（1）
学 校 幼儿园 小学 中学 特殊教育 高等院校
圆心角 129.6° 115.2° 79.2° 14.4° 21.6°
（2）图略
（3）幼儿园和小学较多，分别占 36％.32％
（4）若高等院校有 40 所，则该市共有学校 700 所，中学有 154 所.
14.（1）100 名 （2）36°
（3）
阅读 运动 娱乐 其它 项目
10
20
30
40
50
人数
O
15.（1）不能，因为扇形统计图只能看出水粉画所占的比例，而得不到具体数据的多少.
（2）A 学校收到艺术作品总数为 500 件，B 学校收到艺术作品为 600 件.
16.（1）共抽取了 300 名学生的数学成绩进行分析.
（2）如果 80 分以上（包括 80 分）为优生，估计该年的优生率为 35％.
（3）该年全市共有 22000 人参加初中升高中数学考试，请你估计及格（60 分及 60 分以
上）人数大约为 15400 人.
17.（1）图略
（2）由表知：评“D”的频率是 10 1
200 20
，
由此估计全区七年级参加竞赛的学生约 1
20
×3000＝150（人）被评为“D”
∵P（A）＝0.36，P（B）＝0.51，P（C）＝0.08，P（D）＝0.05,
∴P（A）＞P（B）＞P（C）＞P（D），
∴随机抽查一名参赛学生的成绩等级“B”的可能性大.
5.3 频数与频率同步练习 2
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1.一个扇形统计图中，扇形 A、B、C、D 的面积之比为 2∶1∶4∶5，则最大扇形的圆心角为
（ ）
A.80° B.100° C.120° D.150°
2.某校为了了解九年级全体男生的身体发育情况，对20名男
生的身高进行了测量（测量结果均为整数，单位：厘米）.
将所得的数据整理后，列出频率分布表，如右表所示：
则下列结论中：（1）这次抽样分析的样本是20名学生；（2）
频率分布表中的数据a＝0.30；（3）身高167cm（包括167cm）
的男生有9人，正确的有（ ）
A.（1）（2）（3） B.（1）（2） C.(1)(3) D.（2）（3）
3.如图，是一个正在绘制的扇形统计图，整个圆表示某班参加体育活动的总人
数，那么表示参加立定跳远训练的人数占总人数的 35%的扇形是（ ）
A.M B.N C.P D.Q
4.如图为 1995～2000 年我国国内生产总值年增长率的变化情况，从图上看，下
列结论中不正确的是（ ）
A.1995～1999 年，国内生产总值的年增长率逐
年减少
B.2000 年国内生产总值的年增长率开始回升
C.这 7 年中，每年的国内生产总值不断增长
D.这 7 年中，每年的国内生产总值有增有减
5.某校公布了该校反映各年级学生体育达标情
况的两张统计图，该校七.八.九三个年级共有学生 800 人.甲、乙、丙三个同学看了这两张统
计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高.”乙说：“八年级共有学生 264 人.”丙说：“九年
级的体育达标率最高.”甲.乙.丙三个同学中，说法正确的是（ ）
A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.甲和乙及丙
6.“长三角”16 个城市中浙江省有 7 个城市.下图分别表示 2004 年这 7 个城市 GDP（国民生
产总值）的总量和增长速度.则下列对嘉兴经济的评价，错误．．的是（ ）
A.GDP 总量列第五位 B.GDP 总量超过平均值
分 组 频数 频率
151.5～156.5 3 0.15
156.5～161.5 2 0.10
156.5～166.5 6 a
166.5～171.5 5 0.25
171.5～176.5 4 0.20
Ｐ
Ｑ
Ｍ
Ｎ
年2000199919981997199619951994
百分比
12
10
8
6
4
2
0
C.经济增长速度列第二位 D.经济增长速度超过平均值
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7.一个样本含有下面 10 个数据：52，51，49，50，47，48，50，51，48，53，则最大的值
是_________，最小的值是_________，如果组距为 1.5，则应分成________组.
8.在数据 55，66，23，33，22，65，84，87，23，24，88 中，大于等于 50 而小于等于 70
的数共有_________个
9.在扇形统计图中，有两个扇形的圆心角度数之比为 3∶4，且较小扇形表示 24 本课本书，
则较大扇形表示________本课本书.
10.一组数据共 50 个，分别落在 5 个小组内 ，第一、二、三、四组的数据分别为 2，8，15，
20，则第五小组的频数和频率分别为________，_________.
11.已知样本 25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，
25，26，28.若取组距为 2，那么应分为______组，在 24.5～26.5 这一组的频数是_______.
12.小亮调查本班同学的身高后，将数据绘制成如右图所示的
频数分布直方图（每小组数据包含最小值，但不包含最大
值．比如，第二小组数据 x 满足：145≤x＜150，其它小组
的数据类似）．设班上学生身高的平均数为 x ，则 x 的取值
范围是_______________．
三、解答题（每题 10 分，共 40 分）
13.甲.乙两人在某公司做见习推销员，推销“小天鹅”洗衣机，
他们在 1～8 月份的销售情况如下表所示：
月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月
140145150155160165170175
3
6
9
16
9
5
2
5
10
15
20
学生人数
身高 / cmx
甲的销售量（单位：台） 7 8 6 7 6 6 7 7
乙的销售量（单位：台） 5 6 5 6 7 7 8 9
（1）在右边给出的坐标系中，绘制甲、乙两人这 8 个月的月销售量
的折线图：（甲用实线；乙用虚线）
（2）请根据（1）中的折线图，写出 2 条关于甲、乙两人在这 8 个月
中的销售状况的信息. ① ；
② .
14.为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，
其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少?”，共有 4 个选项：
A．1．5 小时以上 B．1～1．5 小时 C．0．5—1 小时 D．0．5 小时以下
图 1、图 2 是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，
解答以下问题：
(1)本次一共调查了多少名学生?
(2)在图 1 中将选项 B 的部分补充完整；
(3)若该校有 3000 名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间
在 0．5 小时以下．
图 1 图 2
月份
销售量（台）
0
1
1
15.下图表示的是某班同学衣服上口袋的数目：
（1）从图中是否能够得出以下信息？
①只有 4 个人的衣服上有 4 个口袋；②只有 1 个人的衣服上有 8 个口袋；
③只有 3 个人的衣服上有 5 个口袋；
（2）根据上图填写下面的频数分布表，并绘制频数分布直方图.
口袋数目 1≤x＜3 3≤x＜5 5≤x＜7 7≤x＜9 x≥9
频数记录
频 数
16.某校为了了解九年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试
成绩整理后作出如下统计图．甲同学计算出前两组的频率和是 0.12，乙同学计算出跳绳
次数不少于 100 次的同学占 96％，丙同学计算出从左至右第二.三.四组的频数比为 4∶
17∶15．结合统计图回答下列问题：
（1）这次共抽调了多少人?
（2）若跳绳次数不少于 130 次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少?
四、拓展探究（不计入总分）
17.人们常用人均教育经费来反映一个地区对教育投入的情况，我国 30 个城市 2001 年人均
教育经费的统计数据如下.（单位：元）
北京 731 南宁 100 长春 101 重庆 102 乌鲁木齐 171
青岛 425 深圳 584 合肥 192 武汉 184 上海 790
兰州 170 呼和浩特 206 广州 483 天津 440 郑州 197
南京 292 福州 349 洛阳 127 南昌 117 贵阳 166
吉林 76 海口 183 济南 205 昆明 234 西安 126
成都 160 哈尔滨 249 石家庄 228 长沙 155 沈阳 237
（1）将以上数据进行如下分组，并填写表格：
人均教育经费 0≤x＜160 160≤x＜320 320≤x＜480 480≤x＜640 640≤x＜800
城市数（频数）
（2）画出分布直方图和折线图.
参考答案
1.D 2.B 3.C 4.D 5.A 6.B 7.53 47 4 8.3 9.32
10.5 0.1 11.5 8 12.154.5 159.5x ≤
13.（1）略（2）①乙的月销售量总体上呈上升趋势；
②甲的月销售量总体上呈平稳态势；等等.
14.（1）解:200 名 （2）略 （3）3000×5％＝150 人
15.（1）能得到①③；
（2）
口袋数目 1≤x＜3 3≤x＜5 5≤x＜7 7≤x＜9 x≥9
频数记录
频 数 4 7 6 1 2
16.（1）这次共抽调 150 人；（2）26.67%；
17.（1）
人均教育经费 0≤x＜160 160≤x＜320 320≤x＜480 480≤x＜640 640≤x＜800
城市数（频数） 8 15 3 2 2
（2）图略.
5.4 数据的波动同步练习 1
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1.若一组数据 1，2，3，x 的极差为 6，则 x 的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．7 或－3
2.已知甲.乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差 2s 甲 ＝0.055，乙组数据的方差 2s 乙
＝0.105，则（ ）
A．甲组数据比乙组数据波动大 B．乙组数据比甲组数据波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大 D．甲、乙两组数据的数据波动不能比较
3.一组数据 13，14，15，16，17 的标准差是（ ）
A.0 B.10 C. 2 D.2
4.在方差的计算公式 s 2 =
10
1 [（x 1 -20） 2 +（x 2 -20） 2 +……+（x 10 -20） 2 ]中，数字 10
和 20 分别表示的意义可以是 （ ）
A.数据的个数和方差 B.平均数和数据的个数
C.数据的个数和平均数 D.数据组的方差和平均数
5.已知一组数据的方差为 34
5
，数据为：－1，0，3，5，x，那么 x 等于（ ）
A.－2 或 5.5 B.2 或－5.5 C.4 或 11 D.－4 或－11
6.如果将所给定的数据组中的每个数都减去一个非零常数，那么该数组的 （ ）
A.平均数改变，方差不变 B.平均数改变，方差改变
C.平均输不变，方差改变 D.平均数不变，方差不变
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7.数据 100，99，99，100，102，100 的方差 2S =_________．
8.已知一组数据-3，-2，1，3，6，x 的中位数为 1，则其方差为 .
9.已知数据：1，2，1，0，－1，－2，0，－1，这组数据的方差为__________.
10.已知一个样本的方差 2 2 2 2
1 2
1 [( 6) ( 6) ( 6) ]11 nS x x x ，则这个样本的容量
是____________，样本的平均数是_____________.
11.若 40 个数据的平方和是 56，平均数是 2
2
，则这组数据的方差是_________
12.体育老师对甲.乙两名同学分别进行了 5 次立定跳远测试，经计算这两名同学成绩的平均
数相同，甲同学成绩的方差是 0.03，乙同学的成绩(单位：m)如下：2.3 2.2 2.5 2.1 2.4，
那么这两名同学立定跳远成绩比较稳定的是____同学.
三、解答题（每题 10 分，共 40 分）
13.甲.乙两位同学五次数学测验成绩如下表：
测验(次) 1 2 3 4 5 平均数 方差
甲(分) 75 90 96 83 81
乙(分) 86 70 90 95 84
请你在表中的空白处填上适当的数，用学到的统计知识对两位同学的成绩进行分析，并
写出一条合理化建议．
14.一次期中考试中，A.B.C.D.E 五位同学的数学.英语成绩等有关信息如下表所示：（单位：
分）
A B C D E 平均分 标准差
数学 71 72 69 68 70 2
英语 88 82 94 85 76 85
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计
算公式是：标准分＝（个人成绩－平均成绩）÷成绩标准差。
从标准分看，标准分大的考试成绩更好。请问 A 同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考
得更好？
15.为了配合“八荣八耻”宣传教育，针对闯红灯的现象时有发生的实际情况，八年级某班
开展一次题为“红灯与绿灯”的课题学习活动，它们将全班学生分成 8 个小组，其中第①～
⑥组分别负责早.中.晚三个时段闯红灯违章现象的调查，第⑦小组负责查阅有关红绿灯的
交通法规，第⑧小组负责收集有关的交通标志. 数据汇总如下：
部分时段车流量情况调查表
时间 负责组
别
车流总
量
每分钟车
流量
早晨上学 6：30～
7：00
①② 2747 92
中午放学 11：20～
11：50
③④ 1449 48
下午放学 5：00～
5：30
⑤⑥ 3669 122
回答下列问题：
（1）请你写出 2 条交通法规：① .
② .
（2）画出 2 枚交通标志并说明标志的含义.
标志含义: 标志含义:
（3）早晨、中午、晚上三个时段每分钟车流量的极差是 ，这三个时段的车
流总量的中位数是 .
（4）观察表中的数据及条形统计图，写出你发现的一个现象并分析其产生的原因.
（5）通过分析写一条合理化建议.
16.为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A.B 两位同学在学校实习基地现场进行加
工直径为 20mm 的零件的测试，他俩各加工的 10 个零件的相关数据依次如下图表所示（单
位：mm）
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
⑴ 考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为 _______ 的成绩好些；
⑵ 计算出 SB
2 的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
⑶ 考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过 10 个的实际情况，你认为派谁去
参赛较合适？说明你的理由。
A
B
一
20.1
19.8
五 六 八 十三
20.3
20.0
19.9
19.7
四 七 九二
·
20.2
零件直径：mm
件数
四、拓展探究（不计入总分）
17.在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，通过计算可知两组的方差为
2S甲＝172 ， 2 256S乙＝ 。下列说法：①两组的平均数相同；②甲组学生成绩比乙组学生成
绩稳定；③甲组成绩的众数＞乙组成绩的众数；④两组成绩的中位数均为 80，但成绩≥
平均数 方差 完全符合
要求个数
A 20 0.026 2
B 20 SB
2
80 的人数甲组比乙组多，从中位数来看，甲组成绩总体比乙组好；⑤成绩高于或等于 90
分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好。其中正确的共有（ ）.
分数 50 60 70 80 90 100
人
数
甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
A．2 种 B．3 种 C．4 种 D．5 种
参考答案
1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.A
7.1 8.9 9.1.5 10.11 6 11.0.9 12.乙
13.解：
平均分 方差
甲 85 53．2
乙 85 70．4
从上述数据可以看出，两人的成绩的平均分相等，乙同学的数学成绩不够稳定，波动较
大，希望乙同学在学习上补缺补漏，稳定自己的成绩
14.（1）数学平均分为 70 分，英语标准差为 6
（2）数学：（71－70）÷ 2 ＝ 2
2
，英语（88－85）÷6＝0.5
∵ 2
2
＞0.5，∴数学成绩考得更好些
15.（1）如：红灯停.绿灯行；过马路要走人行横道线；不可酒后驾车等.
（2）略；（3）74 2747；
（4）现象：如行人违章率最高，汽车违章率低，原因是汽车驾驶员是经过专门培训过的，
行人存在图方便的心理等.
16.（1）B (2)B（3）B 呈现上升趋势 17.D.
5.4 数据的波动同步练习 2
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 6 分，共 36 分）
1.如图是甲、乙两位同学 5 次数学考试成绩的折线统计图，你认为成绩较稳定的是（ ）
A.甲 B.乙 C.甲.乙的成绩一样稳定 D.无法确定
2.某工厂为了选拔 1 名车工参加加工直径为 10mm 的精密零件的技术比赛，随机抽取甲.乙两
名车工加工的5个零件，现测得的结果如下表，请你用计算器比较S 2
甲.S 2
乙的大小（ ）
A．S 2
甲＞S 2
乙 B．S 2
甲＝S 2
乙 C．S 2
甲＜S 2
乙 D．S 2
甲≤S 2
3.人数相等的甲.乙两班学生参加了同一次数学测验，班级平均分和方差如下： 甲x =80，
乙x =80，s 2
甲 =240，s 2
乙 =180，则成绩较为稳定的班级为 （ ）
A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定
4.下列统计量中，能反映一名同学在 7～9 年级学段的学习成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5.某车间 6 月上旬生产零件的次品数如下（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2，3，1，2
则在这 10 天中该车间生产零件的次品数的（ ）
A．众数是 4 B．中位数是 1.5 C．平均数是 2 D．方差是 1.25
6.在甲.乙两块试验田内，对生长的禾苗高度进行测量，分析数据得：甲试验田内禾苗高度
数据的方差比乙实验田的方差小，则（ ）
A.甲试验田禾苗平均高度较高 B．甲试验田禾苗长得较整齐
C.乙试验田禾苗平均高度较高 D．乙试验田禾苗长得较整齐
二、填空题（每题 6 分，共 36 分）
7.5 名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm）：0，2，－2，－1，1，
则这组数据的极差为__________cm．
8.五个数 1，2，4，5，a 的平均数是 3，则 a= ，这五个数的方差为 .
9.已知一组数据 1，2，1，0，－1，－2，0，－1，则这组数据的平均数为 ，中位数
为 ，方差为 .
甲 10.05 10.02 9.97 9.96 10
乙 10 10.01 10.02 9.97 10
10.某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环）如下：8，6，10，
7，9，则这五次射击的平均成绩是____环，中位数_____环，方差是______环 2 .
11.今天 5 月甲.乙两种股票连续 10 天开盘价格如下：（单位：元）
甲 5.23 5.28 5.35 5.3 5.28 5.2 5.08 5.31 5.44 5.46
乙 6.3 6.5 6.7 6.52 6.66 6.8 6.9 6.83 6.58 6.55
则在 10 天中，甲.乙两种股票波动较大的是 .
12.已知数据 a，b，c 的方差是 1，则 4a，4b，4c 的方差是 .
三、解答题（共 28 分）
13.（8 分）某学生在一学年的 6 次测验中语文.数学成绩分别为（单位：分）：
语文：80，84，88，76，79，85
数学：80，75，90，64，88，95
试估计该学生是数学成绩稳定还是语文成绩稳定？
14.（10 分）在某次体育活动中，统计甲.乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况
如下表：
班 级 参加人数 平均次数 中 位 数 方 差
甲 班 55 135 149 190
乙 班 55 135 151 110
下面有三种说法：（1）甲班学生的平均成绩高于乙班的学生的平均成绩；（2）甲班学生
成绩的波动比乙班成绩的波动大；（3）甲班学生成绩优秀的人数比乙班学生成绩优秀的人数
（跳绳次数≥150 次为优秀）少，试判断上述三个说法是否正确？请说明理由.
15.（10 分）某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛，在最近的五次选
拔测试中，他俩的成绩分别如下表：
根据上表解答下列问题：
（1）完成下表：（5 分）
姓名 极差（分） 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
小王 40 80 75 75 190
小李
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将 80 分以上（含 80 分）的成绩视
为优秀，则小王.小李在这五次测试中的优秀率各是多少？
（3）历届比赛表明，成绩达到 80 分以上（含 80 分）就很可能获奖，成绩达到 90 分以
上（含 90 分）就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理由.
参考答案
1.A 2.A 3.B 4.D 5.D 6.B
7.4 8.3 2 9.0 0
2
3 10.8 8 2 11.乙 12.16
13.语文平均分为 82 分，数学的平均分为 82 分，语文的极差为 12 分，数学的极差为 31 分，
从极差上看，该同学语文成绩相对稳定些，当然也可通过求方差来判别.
14.从表中可以看出，甲班学生平均成绩为 135，乙班学生平均成绩也是 135，因而甲.乙两
班平均成绩相同，所以（1）的说法是错误的；因 s 2
甲 =190> s 2
乙 =110，，故甲的波动比乙
大，所以（2）的说法是正确的；从中位数上看，甲班学生跳绳次数有 27 人少于 149 次，
27 人大于 149 次，而乙班学生跳绳次数 151 次的必有 27 人，故必有至少 28 人跳绳次数
高于 150 次，因而甲班学生成绩的优秀人数比乙班少，从而知（3）是正确的.
15.（1）极差：90－70＝20
平均成绩：（70＋90＋80＋80＋80）÷5＝80
中位数：将这组数据按从小到大的顺序排列：70.80.80.80.90，就会得到中位数是 80.
众数：在这组数据中 80 出现了 3 次，出现次数最多，因此这组数据的众数是 80
方差： 2 2 2 2 2 21[(70 80) (90 80) (80 80) (80 80) (80 80) ]5s ＝40
（2）在这五次考试中，成绩比较稳定的是小李，小王的优秀率为 40%，小李的优秀率为
80%
（3）方案一：我选小李去参加比赛，因为小李的优秀率高，有 4 次得 80 分，成绩比较
稳定，获奖机会大
方案二：我选小王去参加比赛，因为小王的成绩获得一等奖的机率较高，有 2 次 90
分以上（含 90 分）因此有可能获得一等奖.
第六章 证明（一）
6.1 你能肯定吗同步练习 1
(总分：100 分 时间 45 分钟)
一、选择题（每题 6 分，共 30 分）
1、下列结论，你能肯定的是 ( )
A．今天天晴，明天必然还是晴天.
B．三个连续整数的积一定能被 6 整除.
C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖.
D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
2、骑自行车的速度是每小时 15 千米，骑摩托车的速度每小时 40 千米，则下列结论中你能
肯定的是（ ）
A．从 A 地到 B 地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达
B．从 A 地到 B 地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达
C．从 A 地到 B 地，骑自行车和骑摩托车的不可能同时到达
D．从 A 地到 B 地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达
3、下列推理正确的是（ ）
A．弟弟今年 13 岁，哥哥比弟弟大 6 岁，到了明年，哥哥比弟弟只大 5 岁了，因为弟弟的
明年比今年长大了 1 岁
B．如果 a＞b，b＞c，则 a＞c
C．∠A 与∠B 相等，原因是它们看起来大小也差不多
D．因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶角
4、下列说法正确的是（ ）
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C．对于自然数 n，n2+n+37 一定是质数
D．有 10 个苹果，将它放进 9 个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于 2 个
5、如图，∠1＝60º，∠2＝60º，∠3＝57º，则∠4＝57º，下面是 A，B，C，D 四个同
学的推理过程，你认为推理正确的是（ ）
A．因为∠1＝60º＝∠2，所以 a∥b，所以∠４＝∠3＝57º
B．因为∠4＝57º＝∠3，所以 a∥b，故∠1＝∠2＝60º
C．因为∠2＝∠5，又∠1＝60º，∠2＝60º，故∠1＝∠5＝60º，所以 a∥b， 所以∠4＝∠
3＝57º
D．因为∠1＝60º，∠2＝60º，∠3＝57º，所以∠1＝∠3＝∠2－∠4＝60º－57º＝3º，故∠
4＝57º
二、解答题（每题 10 分，共 70 分）
6、如图 A、B、C、D、E、F 六个人坐在圆桌的周围，已知 E 与 C 间间隔 1 人且此人在 C 的左
边，D 坐在 A 的对面，B 与 F 相隔 1 人，且此人在 F 的左边，F 与 A 不相邻。试问 A、B、
C、D、E、F 各坐在什么位置？
F
7、你写出两个判断，让其他同学判断一下是否正确.并且试着说明理由.
8、顺次连接等腰梯形四边中点，得到一个四边形。度量四边形的四条边，你能有什么结论？
再换一个等腰梯形还有同样的结论吗？你能肯定这个结论对所有的等腰梯形都成立吗？
9、小洁、琳琳、晓彤、奇奇和聪聪 5 位同学身体都不怎么舒服，他们分别在医院的牙科、
眼科、皮肤科、外科、耳鼻喉科就诊。请根据他们的对话猜一猜，他们分别去了哪一科
看病？
小洁、琳琳、晓彤说：我们是在牙科、眼科和皮肤科各自接受治疗的。
奇奇说：我没有去耳鼻喉科和皮肤科。
晓彤说：我最近夜里牙老疼。
小洁说：我的皮肤好得很，我没有必要去皮肤科。
10、在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，连接 AD，试问 AD 与 BC 有怎样的位置关系？请说明
理由.
11、平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，AD 中点，连接 AE，CF，试问四边形 AECF 是什么
四边形？你能肯定吗？请说明理由.
12、观察下列各式，： 2
1
×2= 2
1
+2； 3
2
×3= 3
2
+3； 4
3
×4= 4
3
+4； 5
4
×5= 5
4
+5；……
想一想：什么样的两个数之积等于这两个数的和？设 n 表示正整数，用关于 n 的代数式表
示这个规律为： _____ × _____ = _____ + _____ .你能说明吗？
四、拓展探究（不计入总分）
13、如图，在平行四边形中，DF⊥AC 于 F，BE⊥AC 于 E，试问 DF 与 BE 的位置关系和数量关
系如何？你能肯定吗？请说明理由.
参考答案
1、B 2、D 3、B 4、D 5、C
6、从 F 点按照顺时针的顺序依次是 F、D、B、C、A、E
7、略
8、得到的四边形的四条边都相等；换一个等腰梯形仍有相同的结论；不能
9、晓彤去了牙科，琳琳去了皮肤科，小洁去了眼科，聪聪去了耳鼻喉科，奇奇去了外科。
10、AD⊥BC，由题意知，在△ABD 与△ACD 中，AB=AC，BD=CD（中点定义），AD=AD，
故△ABD≌△ACD，因此有∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180º（平角定义），
故∠ADB=∠ADC=90º，即 AD⊥BC.
11、四边形 AECF 是平行四边形.
理由：因为 E，F 分别为 BC，AD 中点，故 EC= 1
2
BC，AF= 1
2
AD，
又因为平行四边形 ABCD，故 BC∥AD，因而有 AF∥EC，且 AF=EC，
从而四边形 AECF 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
12、 1 ( 1)n nn
＝ 1 ( 1)n nn
，
理由： 1 ( 1)n nn
＝ 1n
n
+ ( 1)n n
n
＝
2 2 1n n
n
＝
2( 1)n
n
＝ 1 ( 1)n nn
13、DF∥BE，DF=BE，理由：由 DF⊥AC，BE⊥AC，可知∠DFC=∠BEA=90º，故 DF∥BE，又平
行四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，由 AB∥CD 得∠DCF=∠BAE，因而在△DCF 和△BAE
中，DC=BA，∠DCF=∠BAE，∠CFD=∠AEB=90º。所以△DCF≌△BAE，所以 DF=BE.
6.1 你能肯定吗同步练习 2
一、训练平台（每小题 12 分，共 36 分）
1．如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E，F，M，N 分别为 AD，AB，BC，CD 的中点，
连接 EF，FM，MN，EN，你能肯定四边形 EFMN 是平行四边形吗？为什么？若将梯形 ABCD
改变成等腰梯形，其他条件不变，你又会得到 EFMN 是什么四边形呢？为什么？
2．用火柴棒按如图所示的方式拼图形．
（1）你知道第 6 个图形需要多少根火柴棒吗？
（2）第 n 个图形需要多少根火柴棒呢？
（3）你能肯定（2）中猜想是正确的吗？请验证一下当 n=4 时的情形．
3．在手工制作课上，小明和小华各自用铁丝制作楼梯模型，如图所示，他们制作模型所用
的铁丝是一样长吗？请通过计算说明．
二、提高训练（每小题 12 分，共 36 分）
1．如图所示，若已知 C，D 是线段 AB 上两点，且 AC=DB，E 是 AB 中点，那么点 E的位置有
什么特点？你能说明原因吗？
2．如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是菱形吗？为什么？若已
知纸条宽为 1，又量得∠ABC=60°，则四边形 ABCD 的面积是多少？若∠ABC=90°呢？
若∠ABC=120°呢？由此你得到关于四边形 ABCD 的面积的什么结论？
3．如图所示，△DEF 是将△ABC 沿 BC 边平移而得到的，且 DE 经过 AC 边的中点 O，问 O 一
定是 DE 边的中点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
三、探索发现（共 14 分）
易知：等腰三角形三边分别为 4，4，5；5，5，6；6，6，7 时，其周长分别为 4+4+5=13，
5+5+6=16，6+6+7=19，那么，等腰三角形的两条边分别为 3 和 8 时，其周长一定是 14，这
一结论对吗？
四、拓展创新（共 14 分）
问题：你能很快算出 21995 吗？
为了解决这个问题，我们考察个位上的数为 5 时自然数的平方，任意一个个位数为 5
的自然数都可写成：10n+5，即求（10n+5）的值（n 为自然数）．请你试分别 n=1，n=2，n=3…
这些简单情况，从中探索其规律，并归纳，猜想得出结论．
（1）通过计算，探索规律：
152=225，可写成 100×1×（1+1）+25；
252=625，可写成 100×2×（2+1）+25；
352=1225，可写成 100×3×（3+1）+25；
452=2025，可写成 100×4×（4+1）+25；
752=5625，可写成____________；
852=7225，可写成____________；
（2）从第（1）题结果归纳，猜想得：（10n+5）2=________；
（3）根据上面的归纳，猜想，请计算 19952=________．
中考演练
（2005·长春）如图所示，在等边△ABC 中，D，E 分别在边 BC，AC 上，DC=AE，AD，BE
交于点 F，请你量一量∠BFD 的度数，并证明你的结论．
参考答案
一、1．四边形 EFMN 是平行四边形，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（这里用到三角形中位线定理）．
证明：∵E，F，M，N 分别是各边中点，
∴EN // 1
2
AC，FM // 1
2
AC，∴EN // FM．
∴四边形 EFMN是平行四边形．
当梯形为等腰梯形时，四边形 EFMN 是菱形．
因为有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．（1）32 根 （2）7+5（n-1） （3）当 n=4 时，共有 7+5（4-1）=22．
3．一样长，说明略．
二、1．解：点 E 也是线段 CD 的中点，原因如下：
∵E 是线段 AB 中点，∴AE=BE，
又 AE-AC=BE-DB，∴CE=DE，即 E 是 CD 的中点．
2．解：是菱形，因为四边形 ABCD 四边相等且对边平行．
当∠ABC=60°时，AB= 2 3
3
，∴S= 2 3
3
．
当∠ABC=90°，AB=1，∴S=1．
当∠ABC=120°，AB= 2 3
3
，∴S= 2 3
3
．
当两张纸条垂直放置时，四边形 ABCD 的面积最小．
3．提示：是，可证△AOD≌△COE，∴DO=OE．
三、解：不对，因为 3+3<8，所以另一边不能为 3，只能为 8，此时周长为 3+8+8=19．
四、（1）100×7×（7+1）+25 100×8×（8+1）+25
（2）100×n×（n+1）+25 （3）100×199×（199+1）+25=3980025
※∠BFD=60°
证明：在等边三角形 ABC 中，AB=AC，∠BAE=∠C=60°，AE=CD，
∴△ABE≌△CDA．∴∠AEB=∠ADC，
又∠DAC+∠ADC=120°，
∴∠AEB+∠DAC=120°，∴∠AFE=∠BFD=60°．
6.2 定义与命题同步练习 1
一、选择题：
1.下列句子中,不是命题的是( )
A.三角形的内角和等于 180 度. B.对顶角相等.
C.过一点作已知直线的平行线. D.两点确定一条直线.
2.下列句子中,是命题的是( )
A.今天的天气好吗? B.作线段 AB∥CD. C.连接 A、B 两点. D.正数大于负数.
3.下列命题是真命题的是( )
A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角. B.两互补的角一定是邻补角.
C.如果 a2=b2,那么 a=b. D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等.
4.下列命题是假命题的是( )
A.如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c. B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于 60°.
C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等. D.矩形的对角线相等且互相平分.
5.下列叙述错误的是( )
A.所有的命题都有条件和结论. B.所有的命题都是定理.
C.所有的定理都是命题. D.所有的公理都是真命题.
6.下列命题中,真命题有( )
①如果△A1B1C1∽△A2B2C2,△A2B2C2∽△A3B3C3,那么△A1B1C1∽△A3B3C3 ；②直线外一点到这条
直线的垂线段,叫做这个点到这条直线的距离；③如果
2 4
2
x
x
=0,那么 x=±2； ④如果
a=b,那么 a3=b3
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
二、计算题:
1.写出下列命题的条件和结论:
(1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补；
(2)如果两个三角形全等,那么它们对应边上的高也相等.
2.判断下列命题的真假:
(1)一个三角形如果有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形；
(2)如果│a│=│b│,那么 a3=b3.
3.举出反例说明“如果 AB=BC,那么点 C 是 AB 的中点”是个假命题.
三、指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题,请举出反例.
如果等腰三角形的两条边长为 5 和 7,那么这个等腰三角形的周长为 17.
四、在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时,甲认为:这不是命题,因为这句话是错误
的.乙认为:这是命题,因为它作出了判断,只不过这一判断是错误的,所以它是假命题,你
认为谁的说法是正确的?
五、把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式.
同角或等角的余角相等.
六、我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,如果我们把一个命题的条件变结论,
结论变条件,那么所得的是不是一个命题?试举例说明.
参考答案
一、1.C 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C
二、1.(1)条件:两条直线被第三条直线所截结论:同旁内角互补
(2)条件:两个三角形全等
结论:对应边上的高相等
2.(1)真命题 (2)假命题
3.当 A、B、C 三点不在同一条直线上时
三、条件:等腰三角形的两条边长为 5 和 7
结论:等腰三角形的周长为 17
是假命题;反例:当腰长为 7,底边长为 5 时,周长为 19
四、乙的说法正确
五、如果两个角是同一个角或相等角的余角,那么这两个角相等.
六、是一个命题,例如“对顶角相等”条件结论互换就变为“相等的角是对顶角”.
6.2 定义与命题同步练习 2
基础巩固
一、训练平台（每小题 6 分，共 24 分）
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行.
B．两直线平行，同旁内角相等.
C．两个角相等，这两个角一定是对顶角.
D．相等的两个角是平行线所得的内错角
2．下列语句中不是命题的是（ ）
A．延长线段 AB. B．自然数也是整数.
C．两个锐角的和一定是直角. D．同角的余角相等.
3．下列语句中是命题的是（ ）
A．这个问题 B．这只笔是黑色的. C．一定相等. D．画一条线段.
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．互补的两个角不能都是锐角. B．若 a⊥b，a⊥c，则 b⊥c.
C．乘积是 1 的两个数互为倒数. D．全等三角形的对应角相等.
二、提高训练（第 1～4 小题各 6 分，第 5～6 小题各 12 分，共 48 分）
1．（2003·上海）下列命题中正确的是（ ）
A．有限小数是有理数； B．无限小数是无理数；
C．数轴上的点与有理数一一对应； D．数轴上的点与实数一一对应.
2．（2003·黑龙江）现有下列命题，其中真命题的个数是（ ）
①（-5）2 的平方根是-5；②近似数 3.14×103 有 3 个有效数字；
③单项式 3x2y 与单项式-2xy2 是同类项；④正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2003·四川）下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形；
B．有一个角是直角的四边形是矩形；
C．四个角相等的菱形是正方形；
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．某工程队，在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明
这样做能缩短路程（ ）
A．直线的公理； B．直线的公理或线段最短公理
C．线段最短公理； D．平行公理
5．证明：两条平行线被第三条直线所截，则它们的一对同位角的平分线互相平行．（要求画
图，写出已知、求证、证明）
6．在一次数学竞赛中，A，B，C，D，E 五位同学分别得到了前五名（没有并列同一名次的）．关
于各人的名次大家作出了下面的猜测：
A 说：“第二名是 D，第三名是 B.” B 说：“第二名是 C，第四名是 E．”
C 说：“第一名是 E，第五名是 A．” D 说：“第三名是 C，第四名是 A．”
E 说：“第二名是 B，第五名是 D．”
结果每人都只猜对了一半，请判断他们的名次如何．
三、探索发现（共 14 分）
在四边形 ABCD 中，给出下列论断：①AB∥DC；②AD=BC；③∠A=∠C．以其中两个作为
条件，另外一个作为结论，用“如果……那么……”的形式，写出一个你认为正确的命题．
四、拓展创新（共 14 分）
如图所示，ABCD 中，AQ，BN，CN，DQ 分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA 的平分
线，AQ 与 BN 交于 P，CN 与 DQ 交于 M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件
推出的结论，并给出证明过程．（推理过程中用到平行四边形和角平分线这两个条件）
中考演练
（2004·天津）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是菱形；
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
C．对角线互相垂直的四边形是菱形；
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
参考答案
一、1．A 2．A 3．B 4．B
二、1．AD 2．B 3．C 4．C
5．如图所示，已知 a∥b，AB，CD 分别是∠EAC 和∠FCG 的平分线，求证 AB∥CD．证明略．
6．E，C，B，A，D．
三、如图所示，在四边形 ABCD 中，如果 AB∥CD，∠A=∠C，那么 AD=BC，证明略．
四、可得出△APB 是直角三角形，△ABP≌△CDM，四边形 PQMN 是矩形，等等，证明略．
6.3 它们为什么平行同步练习 1
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1、如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（ ）
A、AD∥BC B、AB∥CD C、AD∥EF D、EF∥BC
A D
FE
B C
2
1
l3
l4
l1 l2
1 52
4
3
l1
l2
l5
l4l3
1
5
23
4
A E
F
B
H
G
C D
（第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） （第 4 题）
2、如图，下列说法错误的是（ ）
A、∵∠1＝∠2，∴ 3l ∥ 4l B、∵∠3＝∠4，∴ 3l ∥ 4l
C、∵∠1＝∠3，∴ 3l ∥ 4l D、∵∠2＝∠3，∴ 1l ∥ 2l
3、如图所示，若∠1 与∠2 互补，∠2 与∠4 互补，则（ ）
A、 3l ∥ 4l B、 2l ∥ 5l C、 1l ∥ 5l D、 1l ∥ 2l
4、如图，以下条件能判定 GE∥CH 的是（ ）
A、∠FEB＝∠ECD B、∠AEG＝∠DCH C、∠GEC＝∠HCF D、∠HCE＝∠AEG
5、如图所示，已知直线 BF、CD 相交于点 O，∠D＝40°，下面判定两条直线平行正确的是
（ ）
A、当∠C＝40°时，AB∥CD B、当∠A＝40°时，AC∥DE
C、当∠E＝120°时，CD∥EF D、当∠BOC＝140°时，BF∥DE
A
B
C
D E
FO
l1
l2
1 2
5
4 3
A
B E
FD
C
12
3 4
12
43
A
B C
D
（第 5 题） （第 6 题） （第 7 题） （第 8 题）
6、已知：如图，下列条件中，不能判断直线 1l ∥ 2l 的是（ ）
A、∠1＝∠3 B、∠2＝∠3 C、∠2＝∠4 D、∠4＋∠5＝180°
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7、（8 分）如图：
（1）如果∠1＝∠B，那么_______∥_______，根据是___________________________。
1
A
D
F
E
CB
（2）如果∠3＝∠D，那么_______∥_______，根据是___________________________。
（3）如果要使 BE∥DF，必须∠1＝∠_______，根据是___________________________。
8、（6 分）如图，
（1）如果 AB∥CD，必须具备条件∠______＝∠________，根据是____________________。
（2）要使 AD∥BC，必须具备条件∠______＝∠________，根据是____________________。
9、（5 分）一条公路两次转弯后又回到原来的方向（即 AB∥CD，如图），如果第一次转弯时
的∠B＝140°，那么，∠C 应是____________。
A B
C D
140°
E
A
B C
D
F
O
（第 9 题） （第 10 题） （第 11 题）
10、（5 分）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是____________。
11、（6 分）观察图形，回答问题：若使 AD∥BC，需添加什么条件？（要求：至少找出 4 个
条件）
答：①______________________；②______________________；
③______________________；④______________________.
12、已知直线 a、b、c,若 a∥b，b∥c，则 a_____c，若 a⊥b，b⊥c，则 a_____c，若 a∥b，
b⊥c，则 a______c。
三、解答题（每题 10 分，共 40 分）
13、如图，已知∠ADE＝60°，DF 平分∠ADE，∠1＝30°，求证：DF∥BE
证明：∵DF 平分∠ADE（已知）
∴__________＝ 1
2
∠ADE（ ）
∵∠ADE＝60°（已知）
∴_________________＝30°（ ）
∵∠1＝30°（已知）
∴____________________（ ）
∴____________________（ ）
14、如图，点 B 在 DC 上，BE 平分∠ABD，∠DBE＝∠A，则 BE∥AC，请说明理由。
AE
B CD
15、如图，AB⊥EF 于 B，CD⊥EF 于 D，∠1＝∠2
（1）请说明 AB∥CD 的理由；
（2）试问 BM 与 DN 是否平行？为什么？
16、如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC。
（1）计算：∠DAB＋∠B
（2）AB 与 CD 平行吗？AD 与 BC 平行吗？
四、拓展探究（不计入总分）
1
A
B C
D
A CM N
B D FE
21
17、如图，∠1 与∠3 互余，∠2 与∠3 的余角互补，判断直线 1l 、 2l 是否平行。
l2
l1
l3l4
1
32
参考答案
1、C 2、C 3、C 4、C 5、D 6、B
7、（1）AB CD 同位角相等，两直线平行 （2）BE DF 内错角相等，两直线平行
（3）∠D 同位角相等，两直线平行
8、（1）2 4 内错角相等，两直线平行 （2）1 3 内错角相等，两直线平行
9、140° 10、同位角相等，两直线平行
11、①∠DAC＝∠ACB；②∠ADB＝∠DBC；③∠EAD＝∠EBC；④∠FDA＝∠FCB。
12、∥ ∥ ⊥
13、∠FDE 角平分线的定义 ∠FDE 等量代换 ∠1＝∠FDE
等量代换 DF∥BE 内错角相等，两直线平行
14、∵BE 平分∠ABD（已知）∴∠EBA＝∠EBD（角平分线的定义），
∵∠DBE＝∠A，∴∠EBA＝∠A（等量代换）∴BE∥AC（内错角相等，两直线平行）
15、（1）∵AB⊥EF，CD⊥EF（已知），∴∠ABE＝∠CDE＝90°（垂直的定义），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
（2）∵∠1＝∠2，∠ABE＝∠CDE＝90°，∴∠MBE＝∠NDE（等式性质）
∴BM∥DN（同位角相等，两直线平行）
16、（1）180°（2）AD∥BC，AB 与 CD 不平行
17、答： 1l ∥ 2l ，（提示：证明∠1＋∠2＝180°）
6.3 为什么它们平行同步练习 2
一、选择题
1.下列关于两直线平行的叙述不正确的是( )
A.同位角相等,两直线平行； B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角不互补,两直线不平行； D.如果 a∥b,b⊥c,那么 a∥c
2.如图 1,下列推论及所注理由正确的是( )
A.∵∠1=∠B,∴DE∥BC(两直线平行,同位角相等)
B.∵∠2=∠C,∴DE∥BC(两直线平行,同位角相等)
C.∵∠2+∠3+∠B=180°,∴DE∥BC(同旁内角互补,两直线平行)
D.∵∠4=∠1,∴DE∥BC(对顶角相等)
4
3
2
1
E
F
D
C
B
A
5
4
3
2
1
D
C
B
A
5
4
3
2
1
D
C
B
A
图 1 图 2 图 3
3.如图 2,当∠1 等于( )时,AB∥CD
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
4.如图 3,当∠1 等于( )时,AB 不平行于 CD(∠1≠90°)
A.∠2 B.∠3 C.∠4 的同位角 D.∠5
5.如图 4,要使 DE∥BC,可根据( )对角的关系得出
A.1 B.2 C.3 D.4
E
D
C
B
A
c
b
a
2
1
b
a
2
1
图 4 图 5 图 6
6.如图 5,已知直线 a、b 被直线 c 所截,∠1=∠2,你有( )种证明 a∥b 的方法
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题
1._____________互补,两直线平行.
2.内错角_________或同位角________,两直线平行.
3.如图 6,∠1=60°,当∠2=________时,直线 a∥b.
4.根据图 7 及上下文的含义推理并填空:
(1)∵∠DAC=________(已知)
∴AD∥BC( )
(2)∵∠B+_________=180°(已知)
∴AD∥BC( )
D
C
B
A
2
1
D
C
B
A
b
a
4
3
2
1
图 7 图 8 图 9
5.如图 8,已知∠ABC=∠ADC,∠1=∠2,则 AB 与 CD 的关系是___________.
6.如图 9,∠1=∠2,∠3=120°,则∠4=_______.
三、计算题：
1.如图,AC 平分∠BAD,∠1=∠2.求证:DC∥AB.
3
2
1
D
C
B
A
2.如图,已知:AB⊥EF,垂足为 E,CD⊥EF,垂足为 F.求证:AB∥CD.
3.已知:如图,∠3 与∠1 互余,∠3 与∠2 互余.求证:AB∥CD.
四、如图,已知∠ECD=∠BDC,∠B+∠ECD=180°,求证:AB∥CD.
H
G
3
2
1
E
F
D
C
B
A
G
E
F
D
C
B
A
E
D
C
B
A
五、如图,直线 EF 交 AB 于 E,交 CD 于 F,EG 平分∠AEF,FG 平分∠EFC,它们相交于 G,若∠
EGF=90°,求证:AB∥CD.
G
4
3
2
1
E
F
D
C
B
A
六、小明创造了利用圆规和直尺作平行线的方法:①任意画一个∠AOB,②以 O 为圆心,任意长
为半径画弧,交 OA、OB 于 C、D.③以 O 为圆心,取大于 OC的长为半径画弧,交 OA、OB 于 E、
F,连接 CD、EF.则 CD∥EF.如图,你能解释为什么 CD∥EF 吗?
E
F
O
D
C
B
A
七、如图,直线 a、b 相交于点 O,以 O 为圆心的圆分别交 a、b 于 A、B 和 C、D,则 AD和 BC
有怎样的位置关系?
b
a
O
D
C
B
A
参考答案
一、1.D 2.C 3.A 4.D 5.D 6.D
二、1.同旁内角互补 2.相等；相等 3.120°
4.(1)∠BCA；内错角相等,两直线平行
(2)∠BAD；同旁内角互补,两直线平行
5.平行 6.120°
三、1.证明:∵AC 平分∠BAD
∴∠1=∠3
又∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴DC∥AB
2.证明:∵AB⊥EF CD⊥EF
∴∠AEF=∠CFG=90°
∴AB∥CD
3.∵∠3 与∠2 互余,∠3 与∠1 互余
∴∠1=∠2
∴AB∥CD
四、∵∠ECD=∠BDC ∠B+∠ECD=180°
∴∠B+∠BDC=180°
∴AB∥CD
五、∵EG 平分∠AEF,FG 平分∠EFC
∴∠1=∠2 ∠3=∠4
∴∠AEF=2∠2 ∠EFC=2∠3
又∵∠EGF=90°
∴∠2+∠3=90°
∴∠AEF+∠EFC=2∠2+2∠3=2(∠2+∠3)=2×90°=180°
∴AB∥CD
六、∵OC=OD,OE=OF
∴∠OCD=∠ODC ∠OEF=∠OFE
又∵∠OCD+∠ODC+∠O=∠OEF+∠OFE+∠O=180°
∴2∠OCD=2∠OEF
∴∠OCD=∠OEF
∴CD∥EF
七、平行；∵OA=OD OC=OB
∴∠OAD=∠ODA,∠OCB=∠OBC
又∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=∠OCB+∠OBC+∠BOC,∠AOD=∠BOC
∴2∠OAD=2∠OBC
∴∠OAD=∠OBC
∴AD∥BC.
6.4 如果两条直线平行同步练习 1
一、选择题：
1.下列命题的结论不成立的是( )
A.两直线平行,同位角相等； B.两直线平行,内错角相等
C.两直线平行,同旁内角互补； D.两直线平行,同旁内角相等
E
F
D
C
B
A
2.如图 1,直线 a∥b,∠1=60°,则∠2=( )
A.60° B.120° C.150° D.100°
c
b
a
2
1
E
D
C
B
A
2
1
E
D
C
B
A
P
D
C
B
A
图 1 图 2 图 3 图 4
3.如图 2,在△ABC 中,DE∥BC,∠A=55°,∠B=70°,则∠AED=( )
A.55° B.70° C.125° D.50°
4.如图 3,已知 AE∥BC,∠1=∠2 则下列结论不成立的是( )
A.∠B=∠C B.∠1+∠2=∠B+∠C； C.∠1=∠BAC D.∠1=∠2=∠B=∠C
5.一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角( )
A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不能确定
6.如图 4,AB∥CD,∠B=135°,∠D=150°,则∠P=( )
A.45° B.30° C.75° D.80°
二、填空题:
1. 如图 5 所示,a∥b,截线 c⊥a,则 c 与 b 的位置关系是________.
c
b
a
2
1
P
D
C
B
A
E
D
C
B
A
b
a
2
1
图 5 图 6 图 7 图 8
2.如图 6,AB∥CD,AP、CP 分别平分∠BAC 和∠ACD,则∠1+∠2=________,AP 和 CP 的位置关系
是________.
3.如果直线 a∥b,b∥c,那么直线 a 与 c 的位置关系是________.
4. 如 图 7, 在 △ABC 中 ,DE∥BC,∠EDC=40°,∠ECD=45°, 则
∠ACB=________.
5.如图 8,直线 a∥b,则∠1+∠2=________.
6.如图,AD∥EF∥BC,∠BDC=∠DFE=75°,则∠DBC=_______.
三、计算题:
1. 如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 ,AD∥BC,∠D=120°,∠DCA=20°, 求
∠BCA 和∠DAC 的度数.
D
C
B
A
2. 如图,已知∠1=∠2,求证:∠3+∠4=180°.
b
a
5
4
3
2
1
3. 如图,AD∥BC,∠A=135°,∠C=65°,求:∠B+∠D 的度数.
D
C
B
A
四、如图,一条公路经过两条拐变和原来方向相同,第一次拐的角∠A=135°,那么第二拐的角
∠B 是多少度?请说明理由?
B
A
五、如图,已知:AB∥CD,甲、乙两人分别沿着 BC 与 AB、CD的夹角的平分线运动,小明认为
甲、乙两人运动的路线 BE、CF 平行.你认为正确吗?请说明理由.
E
F
D
C
B
A
六、如图,小亮把两张三角形纸片按如图方式摆放,你能否帮助他找出∠B、∠F 和∠BCE 之
间的关系来?
E
D
C
B
A
七、如图,AB∥CE,并探寻∠A、∠B、∠ACB 的和等于多少度?
E
D
C
B
A
参考答案
一、1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C
二、1.互相垂直 2.90°;垂直 3.平行 4.85° 5.180° 6.30°
三、1.∵AD∥BC
∴∠D+∠DCB=180°,∠BCA=∠DAC
∴∠DCB=180°-∠D=180°-120°=60°
又∵∠DCA=20°
∴∠BCA=∠DCB-∠DCA=60°-20°=40°
∴∠DAC=∠BCA=40°
2.∵∠1=∠5 ∠1=∠2
∴∠5=∠2
∴a∥b
∴∠3+∠4=180°
3.∵AD∥BC
∴∠B+∠A=180° ∠D+∠C=180°
又∵∠A=135° ∠C=65°
∴∠B=45° ∠D=115°
∴∠B+∠D=45°+115°=160°
另解:ABCD 为四边形
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°
∴∠B+∠D=360°-∠A-∠C=360°-135°-65°=160°
四、135°;理由是两直线平行,内错角相等
五、∵AB∥CD
∴∠ABC=∠DCB
又∵BE、CF 分别平分∠ABC 和∠DCB
∴∠EBC= 1
2
∠ABC ∠FCB= 1
2
∠DCB
∴∠EBC=∠FCB
∴BE∥CF
六、过点 C 作 CF∥AB,则∠BCF=∠B
∵∠A+∠D=90°+90°=180°
∴AB∥DE
∴CF∥DE
∴∠FCE=∠E
∴∠BCF+∠FCE=∠B+∠E
即∠BCE=∠B+∠E
七、∠A+∠B+∠ACB=180°.
6.4 如果两条直线平行同步练习 2
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1、若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）
A、一对同位角的平分线互相平行 B、一对内错角的平分线互相平行
C、一对同旁内角的平分线互相平行 D、一对同旁内角的平分线互相垂直
2、如图 1,直线 AB∥CD，EF⊥AB 于 E，交 CD 于 F，直线 MN 交 AB 于 M，CD 于 N，EF 于 O，
则直线 AB 和 CD 之间的距离是哪个线段的长（ ）
A、MN B、EF C、OE D、OF
M
O
E
FN
A B
C D
A B
C D
α120°
25°
A B
O
C D
O P S T
RQ
31
2
图 1 图 2 图 3 图 4
3、如图 2，AB∥CD，∠α＝（ ）
A、50° B、80° C、85° D、95°
4、已知∠A＝50°，∠A 的两边分别平行于∠B 的两边，则∠B＝（ ）
A、50° B、130° C、100° D、50°或 130°
5、如图 3，AB∥CD，AD、BC 相交于 O，∠BAD＝35°，∠BOD＝76°，则∠C 的度数是（ ）
A、31° B、35° C、41° D、76°
6、如图 4，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是（ ）
A、∠1＋∠2－∠3＝90° B、∠2＋∠3－∠1＝180°
C、∠1－∠2＋∠3＝180° D、∠1＋∠2＋∠3＝180°
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7、如图 5，AB∥CD，∠B＝42°，∠2＝35°，则∠1＝_____，∠A＝______，∠ACB＝______，
∠BCD＝______.
8、如图 6，AB∥CD，∠EGD＝50°，∠AEM＝30°，则∠1＝_________°.
9、如图 7，若 AB∥DE，BC∥FE，∠E＋∠B＝__________°.
A
B C
D
E
1
2
M
N
DC
A BE
G
1
EF
CB
A D
图 5 图 6 图 7
10、如图 8，DH∥EG∥BC，DC∥EF，那么与∠1 相等的角共有______个.
A
B F C
E
D H
G
1
A
E FO
B C A
B
图 8 图 9 图 10
11、如图 9，∠ABC 和∠ACB 的平分线 BO 与 CO 相交于点 O，EF 过点 O，且 EF∥BC，若∠BOC
＝130°，∠ABC∶∠ACB＝3∶2，则∠AEF＝ _______，∠EFC＝_______.
12、如图 10，A、B 之间是一座山，一条铁路要通过 A、B 两地，在 A 地测得铁路的走向是北
偏东
68°20′，如果 A、B 两地同时开工，那么在 B 地按_________方向施工，才能使铁路在
山腹中
准确接通.
三、解答题（每题 10 分，共 40 分）
13、如图，已知∠B＝∠C，AE∥BC，说明 AE 平分∠CAD.
D
A
B C
E
14、如图，已知 DE∥BC，CD 是∠ACB 的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC 和
∠BDC 的度数.
A
B C
D E
15、如图，直线 AD 与 AB、CD 相交于 A、D 两点，EC、BF 与 AB、CD 相交于 E、C、B、F，如
果∠1＝∠2，∠B＝∠C.说明∠A＝∠D.
1
2
DFC
A E B
H
G
16、如图，已知 AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB、∠PCD 的关系，并从所
得的四个关系中任选一个加以说明，证明所探究的结论的正确性.
A B
C D
P
A B
C D
P A B
C D
P A B
C D
P
结论（1）____________________________；（2）____________________________；
（3）____________________________；（4）____________________________；
选择结论________，说明理由是什么.
四、拓展探究（不计入总分）
17、如图，AB∥CD，EF⊥AB 于 O ，∠2＝135°，求∠1 的度数．
下面提供三个思路：（1）过 F 作 FH∥AB，（2）延长 EF 交 CD 于 I；（3）延长 GF 交 AB 于
K．请你利用三个思路中的两个思路，求∠1 的度数．
E
D
C
B
A
参考答案
1、C 2、B 3、C 4、D 5、C 6、B 7、42° 35° 103° 138° 8、100
9、180 4、5 10、60° 40° 11、南偏西 68°20′
13、∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C，∠DAE＝∠B，
∵∠B＝∠C，∴∠DAE＝∠EAC，∴AE 平分∠CAD
14、∠EDC＝25°，∠BDC＝85°
15、∵∠2＝∠AGB，∠1＝∠2，∴∠1＝∠AGB，∴CE∥BF，
∴∠B＝∠AEC，∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠AEC，∴AB∥CD，∴∠A＝∠D
16、结论：（1）∠P＋∠A＋∠C＝180°；（2）∠P＝∠A＋∠C；
（3）∠C－∠A＝∠P；（4）∠A－∠C＝∠P
理由：提示过点 P 作 AB 的平行线
17、135°
6.5 三角形内角和定理的证明同步练习 1
一、选择题
1.如图所示,BC⊥AD,垂足是 C,∠B=∠D,则∠AED 与∠BED 的关系是( )
A.∠AED>∠BED
B.∠AED<∠BED；
C.∠AED=∠BED
D.无法确定
2.关于三角形内角的叙述错误的是( )
A.三角形三个内角的和是 180°； B.三角形两个内角的和一定大于 60°
C.三角形中至少有一个角不小于 60°； D.一个三角形中最大的角所对的边最长
3.下列叙述正确的是( )
A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和；
B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角；
C.三角形中至少有两个锐角；
D.三角形中至少有一个锐角.
4.△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠C=∠A,则△ABC 是( )
A.钝角三角形 B.等腰直角三角形； C.直角三角形 D.等边三角形
D
C
B
A
5.在△ABC 中,∠A-∠B=35°,∠C=55°,则∠B 等于( )
A.50° B.55° C.45° D.40°
6.三角形中最大的内角一定是( )
A.钝角 B.直角； C.大于 60°的角 D.大于等于 60°的角
二、填空题
1.直角三角形的两个锐角___________.
2.在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC 是________三角形.
3.在△ABC 中,∠A=∠B= 1
10
∠C,则∠C=_______.
4.在△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠A-∠B+∠C=120°,则∠A=_______,∠B=______.
5.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D,则∠B=∠________,∠C=∠________.
6.在一个三角形中,最多有______个钝角,至少有______个锐角.
三、计算题
1.如图,已知:∠A=∠C.
求证:∠ADB=∠CEB.
2.如图,在△ABC 中,∠B=30°,∠C=65°,AE⊥BC 于 E,AD 平分∠BAC,求∠DAE 的度数.
E
D
C
B
A
3.如图,在正方形 ABCD 中,已知∠AEF=30°,∠BCF=28°,求∠EFC 的度数.
E
F
D
C
B
A
四、如图,一块梯形玻璃的下底及两腰的一部分被摔碎,量得∠A=120°,∠D=105°,你能否
求出两腰的夹角∠P 的度数.
E
D
C
B
A
P
D
C
B
A
五、小明在证明“三角形内角和等于 180°”时用了如图所示的辅助线的方法,即延长 BC 到
D,延长 AC 到 E,过点 C 作 CF∥AB,你能接着他的辅助线的做法证明出来吗?
E
F
D
C
B
A
六、请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于 360°”.四边形 ABCD 如图
所示.
D
C
B
A
七、我们已经证明了“三角形的内角等于 180°”,易证“四边形的内角和等于 360°=2×180°,
五边形的内角和等于 540°=3×180°……”试猜想一下十边形的内角等于多少度?n
边形的内角和等于多少度?
参考答案
一、1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D
二、1.互余 2.直角 3.150° 4.90°,30° 5.∠DAC;∠BAD 6.1;2
三、1.∵∠A+∠B+∠ADB=∠C+∠B+∠CEB
又∵∠A=∠C,∠B=∠B
∴∠ADB=∠CEB
2.∵∠B+∠C+∠BAC=180°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-66°=84°
又∵AD 平分∠BAC
∴∠DAC= 1
2
∠BAC= 1
2
×84°=42°
∵AE⊥BC
∴∠EAC=90°-∠C=90°-66°=24°
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=42°-24°=18°
3.∵四边形 ABCD 是正方形
∴∠A=∠B=90°
∴∠AFE=90°-∠AEF=90°-30°=60°
∠BFC=90°-∠BCF=90°-28°=62°
∴∠EFC=180°-∠AFE-∠BFC=180°-60°-62°=58°
四、∵∠PAD+∠BAD=180° ∠PDA+∠ADC=180°
∴∠PAD=180°-∠BAD=180°-120°=60°
∠PDA=180°-∠ADC=180°-105°=75°
又∵∠P+∠PAD+∠PDA=180°
∴∠P=180°-∠PAD-∠PDA=180°-60°-75°=45°
五、∵AB∥CF
∴∠A=∠ACF ∠B=∠FCD
又∵∠ACB=∠DCE
∴∠A+∠B+∠C=∠ACF+∠FCD+∠DCE=180°
六、连接 AC ∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°
∠D+∠DAC+∠ACD=180°
∴(∠B+∠BAC+∠ACB)+(∠D+∠DAC+∠ACD)=180°+180°
∴∠B+∠D+(∠BAC+∠DAC)+(∠ACB+∠ACD)=360°
∴∠B+∠C+∠BAD+∠BCD=360°
即四边形 ABCD 的内角和等于 360°.
七、十边形的内角和:(10-2)×180°=1440°
n 边形的内角和:(n-2)×180°.
6.6 关注三角形的外角同步练习 1
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
1.以下命题中正确的是（ ）
A.三角形的三个内角与三个外角的和为 540°
B.三角形的外角大于它的内角
C.三角形的外角都比锐角大
D.三角形中的内角中没有小于 60°的
2.如果一个三角形的一个外角等于等于它相邻的内角，这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
3.下列说法正确的有（ ）
①三角形的外角大于它的内角；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；③
三角形的外角中至少有两个钝角；④三角形的外角都是钝角.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
4.三角形的三个外角之比为 2∶2∶3，则此三角形为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
5.如果一个三角形的一个内角大于相邻的外角，这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
6.如图，∠x 的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x 为（ ）
A.α－β B.β－α C.180°－α＋β D.180°－α－β
β
α
x
（第 6 题图）
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
7.直接根据图示填空：
（1）∠α＝_________ （2）∠α＝_________ （3）∠α＝_________;
（4）∠α＝_________ （5）∠α＝_________ （6）∠α＝_________.
α38°
62° 20°α°
30° 25° 150°α
（1） （2） （3）
70°α°
70°
60° 20°α 20° 135°45°
α
（4） （5） （6）
（第 7 题图）
8.如图△ABC 中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF＝________.
A
B CD
F
E
1
2
3
A
B C
D E 1
2
B
C
A
E
D
（第 8 题图） （第 10 题图） （第 11 题图） （第 12 题图）
9.在△ABC 中，∠A 等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于等于∠B 的两倍，那么
∠A＝______，∠B＝_______，∠C＝_______.
10.如图，∠1，∠2，∠3 是△ABC 的不同的三个外角，则∠1＋∠2＋∠3＝________.
11.如图，比较∠A，∠BEC，∠BDC 的大小关系为_______________________.
12.如图，把△ABC 的纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCED 内部时，则∠A 与∠1、∠2
之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这个规律为___________________.
三.解答题（每题 10 分，共 40 分）
13.如图，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°
14.D 为△ABC 的边 AB 上一点，且∠ADC＝∠ACD.求证：∠ACB＞∠B
A
B C
F
D E
A
D CB
15.如图，D 在 BC 延长线上一点，∠ABC，∠ACD 平分线交于 E.求证：∠E＝ 1
2
∠A
16.如图，D 为 AC 上一点，E 是 BC 延长线上一点，连 BD，DE.求证：∠ADB＞∠CDE.
四.拓展探究（不计入总分）
17.如图，P 是△ABC 内一点，请用量角器量出∠ABP，∠ACP，∠A 和∠BPC 的大小，再计算
一下，∠ABP＋∠ACP＋∠A 是多少度？这三个角的和与∠BPC 有什么关系？你能用学到的
知识来解释其中的道理吗？你能判断∠BPC 和∠A 的大小吗？把你的想法与同伴交流，看
谁说得更有道理．
A
B C D
E
参考答案
1.A 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B
7.（1）100°（2）35°（3）60°（4）70°（5）30°（6）70°
8.68° 9.36° 72° 72° 10.360° 11.∠A＜∠BEC＜∠BDC
12.2∠A＝∠1＋∠2
13.提示：连接 BC，证明∠FBC＋∠FCB＝∠D＋∠E
14.∠ACB＝∠ADC＞∠B
15.提示：∠E＝∠ECD－∠EBC＝ 1
2
（∠ACD－∠ABC）＝ 1
2
∠A
16.因为∠ADB＞∠2，而∠2＞∠CDE,所以∠ADB＞∠CDE
17.∠ABP＋∠ACP＋∠A＝∠BPC（点拨：用外角来证明）
6.6 关注三角形的外角同步练习 2
一、选择题：
1.三角形的一个外角等于和它相邻的内角,则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形； C.直角三角形 D.等腰直角三角形
2.下列叙述正确的是( )
A.三角形的外角等于两个内角的和
B.三角形的外角大于内角
C.三角形任何两个内角的和都等于第三个角的外角
D.三角形每一个内角都只有一个外角
3.下列说法正确的是( )
A.三角形的每一个外角都大于和它相邻的一个内角
B.三角形的一个外角可以等于和它相邻的一个内角
C.三角形的外角和等于 180°
D.三角形中至少有一个外角小于和它相邻的内角
4.在△ABC 中,∠A、∠B 的外角分别是 120°、150°,则∠C=( )
A.120° B.150° C.60° D.90°
5.如图 1,∠1=∠2.∠3=∠4,则∠5 是∠1 的( )
A.2 倍 B.3 倍 C.4 倍 D.6 倍
5
4
3
2
1
80
30
1
E
D
C
B
A
图 1 图 2 图 3
6.三角形的外角都大于和它相邻的内角,则这个三角形是( )三角形.
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定
二、填空题
1.在△ABC 中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C 的外角等于________.
2.如图 2,∠1=________.
3.五角形的五个内角的和是________.
4.由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的________.
5.如图 3,∠BAC_______∠BEC.
6.在△ABC,∠A:∠B:∠C=∠1:∠2:∠3,则它们外角的比是_______.
三、计算题
1. 如图,△ABC 中,∠B=∠C,外角∠DAC=100°,求∠B、∠C 的度数.
2. 如图,△ABC 中,∠ABC=∠C=72°,BD 平分∠ABC,求∠ADB 的度数.
D
C
B
A
D
C
B
A
3.如图,△ABC 中,∠A=80°,∠B、∠C 的角平分线相交于点 O,∠ACD=30°,求∠DOB 的度数.
四、如图,△ABC 中,∠A=90°,∠C 的平分线交 AB 于 D,已知∠DCB=2∠B.求∠ADC 的度数.
五、如图,P 是△ABC 内的一点,连接 PB、PC,求证:∠BPC>∠A.
六、如图,E 是 BC 延长线上的点,∠1=∠2.求证:∠BAC>∠B
O
D
C
B
A
D
C
B
A
P
C
B
A
2
1
E
D
C
B
A
七、如图,△ABC 的两外角平分线交于点 P,易证∠P=90°- 1
2
∠A；△ABC两内角的平分线交
于点 Q,易证∠BQC=90°+ 1
2
∠A；那么△ABC 的内角平分线 BM 与外角平分 CM的夹角∠
M=_____∠A.
参考答案
一、1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.A
二、1.120° 2.130° 3.180° 4.推论 5.< 6.5:4:3
三、1.∵∠DAC=∠B+∠C ∠B=∠C
∴∠DAC=2∠B=2∠C
∴∠B=∠C= 1
2
∠DAC= 1
2
×100°=50°
2.∵BD 平分∠ABC
∴∠DBC= 1
2
∠ABC= 1
2
×72°=36°
∴∠ADB=∠DBC+∠C=36°+72°=108°
3.∵BO、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB
∴∠ABO=∠CBO ∠BCD=∠ACD=30°
又∵∠A=80°
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACD-∠BCD=180°-80°-30°-30°=40°
∴∠CBO = 1
2
∠ABC= 1
2
×40°=20°
∴∠DOB=∠CBO+∠BCD=20°+30°=50°
四、∵CD 平分∠ACB
∴∠ACD=∠DCB=2∠B
又∵∠A=90°
∴∠B+∠ACB=90°
M
Q
P
C
B
A
∴∠B+∠ACD+∠DCB=90°
∴∠B+2∠B+2∠B=90°
∴∠B=18°
∴∠ADC=∠B+∠DCB=∠B+2∠B=3∠B=3×18°=54°
五、延长 BP 到 D
∵∠PDC>∠A ∠BPC>∠PDC
∴∠BPC>∠A
六、∵∠2=∠B+∠D
∴∠B=∠2-∠D
又∵∠BAC=∠1+∠D ∠1=∠2
∴∠BAC>∠B
七、 1
2
.
6.5 三角形内角和定理的证明--6.6 关注三角形的外角
同步练习
基础巩固
一、训练平台（第 1～4 小题各 5 分，第 5～6 小题各 10 分，共 40 分）
1．如图 1 所示，在△ABC 中，AD 和 CD 分别平分∠BAC 和∠BCA，如果∠B=40°，
那么∠ADC=________．
图 1 图 2 图 3
2．如图 2 所示，如果∠ADC=100°，那么∠A，∠B，∠C 三个角的和是_____．
3．如图 3 所示，△ABC 中，AB=AC，BD 是∠ABC 的平分线，若∠ADB=93°，则∠A=_________．
4．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的外角度数的比是 4：3：2，则∠A=_______．
5．如图所示，DE∥AB，FG∥BC，HM∥CA，求∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M 的度数．
6．如图所示，∠BAC=∠CAE=∠EAD，试问△ABC 中哪个角最大？哪个角最小？说明你的理由．
二、提高训练（第 1～5 小题各 5 分，第 6 小题 9 分，共 34 分）
1．如图 4 所示，D 是△ABC 的 BC 边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°，则∠
B=________，∠C=________．
图 4 图 5 图 6
2．三角形的三个外角中，最多有______个锐角．
3．如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形一定是______三角形．
4．如图 5 所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_______．
5．如图 6 所示，用“>”连接∠1，∠2，∠3，∠4 为____________．
6．如图所示，在△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点 D，请比较∠D 与
∠A 的大小关系．
三、探索发现（共 10 分）
如图所示，已知△ABC 是等边三角形，且∠1=∠2=∠3，问△DEF 是等边三角形吗？为什
么？
四、拓展创新（共 16 分）
如图所示．
（1）图甲是一个五角形 ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的大小吗？
（2）如图乙，如果点 B 向右移动到 AC 上时，还能算出∠A+∠EBD+∠C+∠D+∠E的大小
吗？
（3）如图丙，点 B 向右移动到 AC 的另一侧时，（1）的结论成立吗？为什么？
（4）如图丁，点 B，E 移动到∠CAD 的内部时，结论又如何？
中考演练
如图所示，在△ABC 中 D 是 AC 延长线上的一点，∠BCD 等于（ ）
A．72° B．82°
C．98° D．124°
参考答案
一、1．110° 2．100° 3．56° 4．20° 5．360°
6．∠ACB 最大，∠B 最小，理由略．
二、1．40° 70° 2．1 3．钝角 4．180°
5．∠3>∠1>∠2∠4 6．2∠D=∠A．
三、△DEF 是等边三角形，原因略．
四、（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
（2）（3）（4）略
※C
八年级下册数学课堂同步练习
16.1 分式
基础能力题
一、选择题(每小题 3 分 ，共 18 分)
1.代数式- ,2
3 x ,1,8
7,1,,4 2
a
xyxyx
中是分式的有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.使分式
2x
x 有意义的是（ ）
A. 2x B. 2x C. 2x D. 2x 或 2x
3. 下列各式中，可能取值为零的是（ ）
A．
2
2
1
1
m
m
B．
2 1
1
m
m
C． 2
1
1
m
m
D．
2 1
1
m
m
4. 分式 4 3
4
y x
a
，
2
4
1
1
x
x
，
2 2x xy y
x y
，
2
2
2
2
a ab
ab b
中是最简分式的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5. 分式
3 1
x a
x
中，当 x=-a 时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零； B．分式无意义
C．若 a≠- 1
3
时，分式的值为零； D．若 a≠ 1
3
时，分式的值为零
6.如果把分式
yx
yx
2 中的 yx, 都扩大 2 倍，则分式的值（ ）
A.扩大 2 倍 B.缩小 2 倍 C.是原来的
3
2 D.不变
二、填空题(每小题 3 分 ，共 18 分)
7. 分式 2 4
x
x
，当 x 时，分式有意义.
8.当 x 时，分式
3
3
x
x 的值为 0.
9.在下列各式中， ),(3
2,,1,2,2,1 22
2
bax
xyx
baa
分式有 .
10. 不改变分式的值，使分式
1 1
5 10
1 1
3 9
x y
x y
的各项系数化为整数，分子、分母应乘以
11. 计算
2
2 2
a ab
a b
= ． 12.
22 yxyx
yx
.
三、解答题（每大题 8 分，共 24 分）
13. 约分：
（1） 2
2
6 9
9
x x
x
； （2） 2
2
3 2m m
m m
．
14. 通分：
（1）
26
x
ab
，
29
y
a bc
； （2）
2
1
2 1
a
a a
，
2
6
1a
．
15.若 ,532 zyx 求
x
zyx
2
32 的值.
拓展创新题
一、选择题（每小题 2 分，共 8 分）
1.如果把分式
n
m
2
中的字母 m 扩大为原来的 2 倍，而 n 缩小原来的一半，则分式的值（ ）
A.不变 B.是原来的 2 倍 C.是原来的 4 倍 D.是原来的一半
2. 不改变分式 2
3
2 3
5 2 3
x x
x x
的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ ）
A． 2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
B．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
C． 2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
D．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
3.一项工程，甲单独干，完成需要 a 天，乙单独干，完成需要b 天，若甲、乙合作，完成这
项工程所需的天数是（ ）
A.
ba
ab
B.
b
a 1
1
C.
ab
ba D. )( baab
4.如果 ,0432
zyx 那么
zyx
zyx
的值是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
二、填空题（每小题 2 分，共 8 分）
5. 李丽从家到学校的路程为 s，无风时她以平均 a 米/秒的速度骑车，便能按时到达，当
风速为 b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前 出发．
6. 当 m= 时，分式 2
( 1)( 3)
3 2
m m
m m
的值为零．
7.已知 2+ ,,15
4415
44,8
338
33,3
223
2 222 若 10+ bab
a
b
a ,(102 为正整
数）则 a ， b .
8. 若一个分式含有字母 m ，且当 5m 时，它的值为 12，则这个分式可以是 ．
（写出一个．．即可）
三、解答题（每大题 8 分，共 24 分）
9. 已知 1
x
- 1
y
=3，求 5 3 5
2
x xy y
x xy y
的值．
10.先能明白（1）小题的解答过程，再解答第（2）小题，
（1）已知 ,0132 aa 求 2
2 1
a
a 的值，
解，由 0132 aa 知 ,0a 31,013
aaaa 即
∴ 72)1(1 2
2
2
aa
a
a ；
（2）已知： ,0132 yy 求
13 48
4
yy
y 的值.
11. 已知 a2-4a+9b2+6b+5=0，求 1
a
- 1
b
的值．
16．2 分式的运算(1)
基础能力题
1．计算下列各题：
（1） 3
2
× 1
6
=______；（2） 3
5
÷ 4
5
=_______；（3）3a·16ab=________；
（4）（a+b）·4ab2=________；（5）（2a+3b）（a-b）=_________．
2．把下列各式化为最简分式：
（1）
2
2
16
8 16
a
a a
=_________； （2）
2 2
2 2
( )
( )
x y z
x y z
=_________．
3．分数的乘法法则为_____________________________________________________；
分数的除法法则为_____________________________________________________．
4．分式的乘法法则为____________________________________________________；
分式的除法法则为____________________________________________________．
题型 1：分式的乘法运算
5．
2
2
3
4
xy
z
·（-
28z
y
）等于（ ） A．6xyz B．- 2 33 8
4
xy z
yz
C．-6xyz D．6x2yz
6．计算： 2
3
x
x
·
2
2
6 9
4
x x
x
．
题型 2：分式的除法运算
7．（技能题）
2
2
ab
cd
÷ 3
4
ax
cd
等于（ ）
A．
22
3
b
x
B． 3
2
b2x C．-
22
3
b
x
D．-
2 2
2 2
3
8
a b x
c d
8．（技能题）计算： 2
3
a
a
÷
2
2
4
6 9
a
a a
．
9．（- 3a
b
）÷6ab 的结果是（ ）
A．-8a2 B．-
2
a
b
C．- 2
18a
b
D．- 2
1
2b
10．-3xy÷
22
3
y
x
的值等于（ ）
A．-
29
2
x
y
B．-2y2 C．- 2
2
9
y
x
D．-2x2y2
11．若 x 等于它的倒数，则
2 6
3
x x
x
÷ 2
3
5 6
x
x x
的值是（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
12．计算：（xy-x2）· xy
x y
=________．
13．将分式
2
2
x
x x
化简得
1
x
x
，则 x 应满足的条件是________．
14．下列公式中是最简分式的是（ ）
A． 2
12
27
b
a
B．
22( )a b
b a
C．
2 2x y
x y
D．
2 2x y
x y
15．计算 ( 1)( 2)
( 1)( 2)
a a
a a
·5（a+1）2 的结果是（ ）
A．5a2-1 B．5a2-5 C．5a2+10a+5 D．a2+2a+1
16．计算
2
2
1
2 1
a
a a
÷
2
1
a a
a
．
17．已知 1
m
+ 1
n
= 1
m n
，则 n
m
+ m
n
等于（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
拓展创新题
18．（巧解题）已知 x2-5x-1 997=0，则代数式
3 2( 2) ( 1) 1
2
x x
x
的值是（ ）
A．1 999 B．2 000 C．2 001 D．2 002
19．（学科综合题）使代数式 3
3
x
x
÷ 2
4
x
x
有意义的 x 的值是（ ）
A．x≠3 且 x≠-2 B．x≠3 且 x≠4
C．x≠3 且 x≠-3 D．x≠-2 且 x≠3 且 x≠4
20．（数学与生活）王强到超市买了 a 千克香蕉，用了 m 元钱，又买了 b 千克鲜橙，也用了
m 元钱，若他要买 3 千克香蕉 2 千克鲜橙，共需多少钱？（列代数式表示）．
16．2 分式的运算(2)
基础能力题
1．计算下列各题：
（1）2
a
·4
a
； （2）2
a
÷ 4
a
； （3） 2
2
5 6
1
x x
x
÷
2
3x
x x
； （4） 2 2
2
2x xy y
xy y
· 2 2
2
2x xy y
xy y
．
2．55=____×____×_____×_____×5=_______;an=_______．（ 1
2
）2=____×______=____;
（ b
a
）3=_____·______·_____=
3
3
b
a
．
3．分数的乘除混合运算法则是____ ____．
题型 1：分式的乘除混合运算
4．计算：
2
2
2
3
x y
mn
·
2
2
5
4
m n
xy
÷ 5
3
xym
n
． 5．计算：
2
2
16
16 8
m
m m
÷ 4
2 8
m
m
· 2
2
m
m
．
题型 2：分式的乘方运算
6．计算：（-
22
3
a b
c
）3． 7．（-
2b
a
）2n 的值是（ ）
A．
2 2
2
n
n
b
a
B．-
2 2
2
n
n
b
a
C．
4
2
n
n
b
a
D．-
4
2
n
n
b
a
题型 3：分式的乘方、乘除混合运算
8．计算：（
2
b
a
）2÷（ b
a
）·（- 3
4
b
a
）3．9．计算（
2x
y
）2·（
2y
x
）3÷（- y
x
）4 得（ ）
A．x5 B．x5y C．y5 D．x15
10．计算（
2x
y
）·（ y
x
）÷（- y
x
）的结果是（ ）
A．
2x
y
B．-
2x
y
C． x
y
D．- x
y
11．（-
2b
m
）2n+1 的值是（ ）
A．
2 3
2 1
n
n
b
m
B．-
2 3
2 1
n
n
b
m
C．
4 2
2 1
n
n
b
m
D．-
4 2
2 1
n
n
b
m
12．化简：（
3x y
z
）2·（ xz
y
）·（ 2
yz
x
）3 等于（ ）
A．
2 3
2
y z
x
B．xy4z2 C．xy4z4 D．y5z
13．计算：（1）
2
2 6
4 4
x
x x
÷（x+3）· 2 6
3
x x
x
； （2） 2
2
6 9
6
x x
x x
÷ 2
2
9
3 10
x
x x
· 3
2 10
x
x
．
拓展创新题
14．如果（
3
2
a
b
）2÷（ 3
a
b
）2=3，那么 a8b4 等于（ ）
A．6 B．9 C．12 D．81
15．已知│3a-b+1│+（3a- 3
2
b）2=0．
求 2b
a b
÷[（ b
a b
）·（ ab
a b
）]的值．
16．先化简，再求值：
2
3 2
2 8
2
x x
x x x
÷（ 2x
x
· 4
1
x
x
）．其中 x=- 4
5
．
17．一箱苹果 a 千克，售价 b 元；一箱梨子 b 千克，售价 a 元，试问苹果的单价是梨子单
价的多少倍？（用 a、b 的代数式表示）
18．有这样一道题：“计算
2
2
2 1
1
x x
x
÷ 2
1x
x x
-x 的值，其中 x=2 004”甲同学把“x=2 004”
错抄成“x=2 040”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？
6.3 分式方程
基础能力题
一、选择题（每小题 3 分，共 18 分）
1.在下列方程中，关于 x 的分式方程的个数有（ ）
① 043
2
2
1 2 xx ②. 4
a
x ③. ;4
x
a ④. ;13
92
x
x ⑤ ;62
1 x
⑥ 211
a
x
a
x .
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
2. 关于 x 的方程
4
332
xa
ax 的根为 x=1，则 a 应取值( )
A.1 B.3 C.－1 D.－3
3.方程
xxx 1
3
1
5
1
1
2
的根是（ ）
A. x =1 B. x =-1 C. x =
8
3 D. x =2
4. ,0441 2
xx
那么
x
2 的值是（ ）
A.2 B.1 C.-2 D.-1
5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ）
A. 11
2
1
1
x
x
x
去分母得， 1)2)(1(1 xxx ；B. 125
5
52
xx
x ，去分母得， 525 xx ；
C.
24
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x ，去分母得， )2(2)2( 2 xxxx ；D. ,1
1
3
2
xx
去分母得，2 3)1( xx ；
6. .赵强同学借了一本书，共 280 页，要在两周借期内读完.当他读了一半时，发现平均每天
要多读 21 页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平
均每天读 x 页，则下面所列方程中，正确的是( )
A.
21
140140
xx
=14 B.
21
280280
xx
=14 C.
21
140140
xx
=14 D.
21
1010
xx
=1
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
7. 满足方程：
2
2
1
1
xx
的 x 的值是________.
8. 当 x=________时，分式
x
x
5
1 的值等于
2
1 .
9.分式方程 02
22
x
xx 的增根是 .
10. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶 v1 千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶 v2 千米，
那么可提前到达________小时.
11. 农机厂职工到距工厂 15 千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走 40 分钟后，其余
人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的 3 倍，若设自行车的速度
为 x 千米/时，则所列方程为 .
12.已知 ,5
4
y
x 则
22
22
yx
yx .
三、解答题（每题 8 分，共 24 分）
13. .解下列方程
(1)
x
x
x
3
423
1 (2)
2
1
2
3
4
4
2
x
x
x
x
x
14. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期 3 天
完成；现在先由甲、乙两队合做 2 天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完
成，问规定日期多少天？
15.在一次军事演习中，红方装甲部队按原计划从 A 处向距离 150 km 的 B 地的蓝方一支部队
直接发起进攻，但为了迷惑蓝方，红方先向蓝方另一支部队所在的 C 地前进，当蓝方在 B 地
的部队向 C 地增援后，红方在到达 D 地后突然转向 B 地进发。一举拿下了 B 地，这样红方
比原计划多行进 90 km ，而且实际进度每小时比原计划增加 10 km ，正好比原计划晚 1 小时
达到 B 地，试求红方装甲部队的实际行进速度.（由于实际地形条件的限制，速度不能超过
每小时 50 km ）
16.3 分式方程
拓展创新题
一、选择题（每小题 2 分，共 8 分）
1.若关于 x 的方程 011
1
x
x
x
m ，有增根，则 m 的值是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.-1
2.若方程 ,)4)(3(
12
43
xx
x
x
B
x
A 那么 A、B 的值为（ ）
A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1
3.如果 ,0,1 bb
ax 那么
ba
ba （ ）
A.1-
x
1 B.
1
1
x
x C.
xx 1 D.
1
1
xx
4.使分式
4
4
2 x
与
65
2
6
3
22
xxxx
的值相等的 x 等于（ ）
A.-4 B.-3 C.1 D.10
二、填空题（每小题 2 分，共 8 分）
5. a 时，关于 x 的方程
5
32
2
1
a
a
x
x 的解为零.
6.飞机从 A 到 B 的速度是 ,1v ，返回的速度是 2v ，往返一次的平均速度是 .
7.当 m 时，关于 x 的方程
3
1
3
2
92
xxx
m 有增根.
8. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长 2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交
通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8 小时完成任务．求原计
划 每 小 时 修 路 的 长 度 ． 若 设 原 计 划 每 小 时 修 路 x m ， 则 根 据 题 意 可 得 方
程 .
三、解答题（每题 8 分，共 24 分）
9. 解方程 2
112 4
x
x x
．
10. 在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校．公司经过调查了解：
甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的
1.5 倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要 72 天．
（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
（2）在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要
补助 100 元．若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为 0.8 万元．现公司选择了乙工程队，
要求其施工总费用不能超过甲工程队，则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？
温馨提示：
总费用 平均每天的费用天数 补助费
11.关 于 x 的 方程 ：
ccxx 11 的 解为 ： ;1, 21 cxcx
ccxx 11 （ 可变 形 为
ccxx 11 ） 的 解 为 ： ;1, 21 cxcx
ccxx 22 的 解 为 ：
;2, 21 cxcx
ccxx 33 的解为： ;3, 21 cxcx …
（1）请你根据上述方程与解的特征，比较关于 x 的方程
c
mcx
mx （ )0m 与它们的
关于，猜想它的解是什么？
（2）请总结上面的结论，并求出方程
1
2
1
2
aayy 的解.
17.1 反比例函数
基础能力题
一、选择题
1.下列表达式中，表示 y 是 x 的反比例函数的是（ ）
①
3
1xy ②. xy 63 ③
xy 2 ④ mmy (3 是常数， )0m
A.①②④ B.①③④ C.②③ D.①③
2.下列函数关系中是反比例函数的是（ ）
A.等边三角形面积 S 与边长 a 的关系 B.直角三角形两锐角 A 与 B 的关系
C.长方形面积一定时，长 y 与宽 x 的关系 D.等腰三角形顶角 A 与底角 B 的关系
3.若反比例函数 ky x
的图象经过点 ( 3 )m m， ，其中 0m ，则此反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
4.函数
x
ky 的图象经过点（-4，6），则下列个点中在
x
ky 图象上的是（ ）
A.（3，8 ） B.（-3，8） C.（-8，-3） D.（-4，-6）
5. 在下图中，反比例函数
x
ky 12 的图象大致是（ ）D
6. 已知反比例函数
x
ky 的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点 A( 72 ，y1)、B(5，
y2)，则 y1 与 y2 的大小关系为（ ）。
A、y1＞y2 B、y1＝y2 C、y1＜y2 D、无法确定
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
7. 写出一个图象在第一、三象限的反比例函数的解析式 ．
8. 已知反比例函数的图象经过点（3，2）和（m，－2），则 m 的值是＿＿．
9. 在 ABC△ 的 三 个 顶 点 (2 3) ( 4 5) ( 3 2)A B C ， ， ， ， ， 中 ， 可 能 在 反 比 例 函 数
( 0)ky kx
的图象上的点是 ．
10. 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I（A）与可变电阻 R（Ω）之间的函
数关系如图所示，当用电器的电流为 10A 时，用电器的
可变电阻为_______Ω。
11. 反比例函数
x
ky 的图象如图所示，点 M 是该函数图象
上一点，MN 垂直于 x 轴，垂足是点 N，如果 S△MON＝2，则 k 的值为 .
12. 小明家离学校1.5km ，小明步行上学需 minx ，那么小明步行速度 (m / min)y 可以表
示为 1500y x
；水平地面上重1500N 的物体，与地面的接触面积为 2mx ，那么该物体对
地面压强 2( / m )y N 可以表示为 1500y x
；，函数关系式 1500y x
还可以表示许多不同
情境中变量之间的关系，请你再列举 1．例．： ．
三、解答题（本大题 24 分）
13.甲、乙两地相距 100 km ，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间 )(ht 表
示为汽车速度 )/( hkmv 的函数，并画出函数图象.
第 10 题图
第 11 题
14. 已知一次函数 的图象与反比例函数 的图
象相交，其中一个交点的纵坐标为 6。
（1）求两个函数的解析式；
（2）结合图象求出 时，x 的取值范围。
15. 如图，一次函数 y kx b 的图象与反比例函数 my x
的图象交于 ( 21) (1 )A B n ，， ， 两
点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求 AOB△ 的面积．
17.1 反比例函数
拓展创新题
一、选择题
O
y
x
B
A
第 15 题图
CB
A
-第 7 题图
y
x
O
1. 如图， 是双曲线上的三点，过这三点分别作 y 轴的垂线，得到三个三角
形 ，设它们的面积分别是 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2. 反比例函数 ky x
与正比例函数 2y x 图像的一个交点的横坐标为 1，则反比例函数的
图像大致为（ ）
3. 函数 y x m 与 ( 0)my mx
在同一坐标系内的图象可以是（ ）
4. 如图，反比例函数
xy 5 的图象与直线 )0( kkxy 相交于 B 两点，
AC∥ y 轴，BC∥ x 轴，则△ABC 的面积等于 个面积单位. 10
A.4 B.5 C.10 D.20
二、填空题
第 1 题图
x
y
O
A．
x
y
O
B．
x
y
O
C．
x
y
O
D．
5. 函数 22
)1( mxmy 是反比例函数，则 m .
6.如果反比例函数
x
ky 3 的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数 k 的值是
.
7.已知（ 11, yx ）、（ 22 , yx ）为反比例函数
x
ky 图象上的点，当 2121 ,0 yyxx 时，
则 k 的一个值为 （只符合条件的一个即可）.
8. 近视眼镜的度数 y （度）与镜片焦距 x （米）成反比例，已知 400 度近视眼镜镜片的焦
距为 0.25 米，则眼镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数关系式为 ．
三、解答题
9. 已知函数 y = y1－y2，y1 与 x 成反比例，y2 与 x－2 成正比例，且当 x = 1 时，y =－1；当
x = 3 时，y = 5.求当 x＝5 时 y 的值。
10. 某气球内充满了一定质量的气球,当温度不变时,气球内气球的压力 p(千帕)是气球的
体积 V(米 2)的反比例函数,其图象如图所示(千帕是一种压强单位)
(1)写出这个函数的解析式:
(2)当气球的体积为 0.8 立方米时,气球内的气压是多少千帕
(3) 当气球内的气压大于 144 千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少
立方米。
11. 如图，已知直线 1
2y x 与双曲线 ( 0)ky kx
交于 A B， 两点，且点 A 的横坐标为 4 ．
（1）求 k 的值；
（2）若双曲线 ( 0)ky kx
上一点C 的纵坐标为 8，
求 AOC△ 的面积；
（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线 ( 0)ky kx
于
两点（ P 点在第一象限），若由点 A B P Q， ， ， 为顶点组成的四
边形面积为 24 ，求点 P 的坐标．
17.2 实际问题与反比例函数
基础能力题
1.某种汽车可装油 400L，若汽车每小时的用油量为 x （L）.（1）用油量 )(hy 与每小时的用
油量 x （L）的函数关系式为 ；（2）若每小时的用油量为 20L，则这些油可
用的时间为 ；（3）若要使汽车继续行驶 40 h 不需供油，则每小时用油量的
范围是 .
2.甲、乙两地相距 250 千米，如果把汽车从甲地到乙地所用的时间 y （小时），表示为汽车
的平均速度为 x （千米/小时）的函数，则此函数的图象大致是（ ）.
3.如果等腰三角形的底边长为 x 。底边上的高为 y ，则它的面积为定植 S 时，则 x 与 y 的函
数关系式为（ ）
A.
x
Sy B.
x
Sy 2
C.
x
Sy 2 D.
S
xy 2
4. 用电器的输出功率 P 与通过的电流 I 、用电器的电阻 R 之间的关系是 2P I R ，下面说
法正确的是（ ）
A． P 为定值， I 与 R 成反比例 B． P 为定值， 2I 与 R 成反比例
C． P 为定值， I 与 R 成正比例 D． P 为定值， 2I 与 R 成正比例
5.一定质量的二氧化碳，其体积 V（ )3m 是密度 )/( 3mkg 的反比例函数，
请你根据图中的已知条件，下出反比例函数的关系式 ，
当 V=1.9 3m 时， = .
6 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：
一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 y （ )m 四面条的粗细
（横截面积）S（ )2mm 的反比例函数，其图象如图所示.
（1）写出 y 与 S 的函数关系式；
第 5 题图
第 6 题图
（2）求当面条粗 1.6 2mm 时，面条的总长度是多少米？
7.蓄电池的电压为定植，使用此电源时，电流 I（ A ）和电阻 R（ ) 成反比例函数关系，且
当 I=4A，R=5 .
（1）蓄电池的电压是多少？请你写出这一函数的表达式.
（2）当电流喂 A 时，电阻是多少？
（3）当电阻是 10 .时，电流是多少？
（4）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不超过 10A，那么用电器的可变电阻应该控
制在什么范围内？
.
拓展创新题
2. 正在新建中的饿某会议厅的地面约 500 2m ，现要铺贴地板砖.
（3） 所需地板砖的块数 n 与每块地板砖的面积 S 有怎样的函数关系？
（4） 为了使地面装饰美观，决定使用蓝、白两种颜色的地板砖组合成蓝白相间的图案，
每块地板砖的规格为 80×80 2cm ，蓝、白两种地板砖数相等，则需这两种地板砖各多少块？
2.正比例函数 xky 11 和反比例函数
x
ky 2
2 交于 A、B 两点。若 A 点的坐标为（1，2）则
B 点的坐标为 .
3. 已知点 P 在函数 2y x
（x＞0）的图象上，PA⊥x 轴、
PB⊥y 轴，垂足分别为 A、B，则长方形 OAPB 的面积为__________.
4.两个反比例函数
xyxy 6,3 在第一象限内的图象如图所示，
第 3 题图
点 P1，P2，P3，……P2005 在反比例函数
xy 6 图象上，它们的
横坐标分别是 ,,, 321 xxx ， ,2005x 纵坐标分别为 1，3，5，……；
共 2005 个连续奇数，过点 P1，P2，P3，……，P2005 分别作 y 轴的
平行线，与
xy 3 的图象交点依次是 Q1（ ), 11 yx ，Q2（ ), 22 yx ，Q3（ ), 33 yx ，
……，Q2005（ ),, 20082005 yx 则 2005y .
5. 某服装厂承揽一项生产夏凉小衫 1600 件的任务，计划用 t 天完成．
（1）写出每天生产夏凉小衫 w（件）与生产时间 t（天）（t＞4）之间的函数关系式;
（2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前 4 天交货，那么服装
厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？
6. 如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点 O 左侧固
定位置 B 处悬挂重物 A，在中点 O 右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点 O 的距离 x
（cm），观察弹簧秤的示数 y（N）的变化情况。实验数据记录如下：
x（cm） … 10 15 20 25 30 …
y（N） … 30 20 15 12 10 …
（1）把上表中 x，y 的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中
描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，
猜测 y（N）与 x（cm）之间的函数关系，并求出函数关系式； （第 6 题图）
（2）当弹簧秤的示数为 24N 时，弹簧秤与 O 点的距离是多少 cm？
随着弹簧秤与 O 点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？
y(N)
x(cm)O 5 10 15 20 25 30 35
35
30
25
20
15
10
5
7.某商场出售一批进价为 2 元的贺卡，在市场营销中发现商品的日销售单价 x 元与日销售量
y 个之间有如下关系：
x （元） 3 4 5 6
y （个） 20 15 12 10
（1）根据表中数据，在直角坐标系描出实数对（ yx, ）的对应点
（2）猜测并确定 y 与 x 之间的函数关系式，并画出图象；
（3）设经营此贺卡的销售利润为 W 元，试求出 W 与 x 之间的函数关系式，若物价居规定
此贺卡的售价最高不能超过 10 元/个，请你求出当日销售单价 x 定为多少元时，才能获得最
大日销售利润？
18.1 勾股定理
1. 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1，则 AB 222 ACBC 的值是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
2. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一
条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设 2 步为 1 米），却踩伤了花草．
3. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为_______．
4. 如图所示，一根旗杆于离地面 12 m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离
旗杆地步 16 m ，旗杆在断裂之前高 m .
5. 如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树
杆底部 4 米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.
6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方 4000 米处,过了 20 秒,飞
“路”
4m
3m
第 2 题图 第 5 题图
第 7 题图 第 8 题图
机距离这个男孩头顶 5000 米,求飞机每小时飞行多少千米?
7. 如图所示，无盖玻璃容器，高 18 cm ，底面周长为 60 cm ，在外侧距下底 1 cm 的点 C 处
有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口 1 cm 的 F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇
充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.
8. 一个零件的形状如图所示，已知 AC=3cm ，AB=4 cm ，BD=12 cm .求 CD 的长.
9. 如图所示，在四边形 ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，
求 AB 的长.
10. 如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km
处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是
多少？
11 如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m,长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯,已知地毯
平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
第 9 题图
5m13m
第 11 题图
12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们
用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米．早晨 8：00 甲先出发，他以 6 千米/
时的速度向东行走，1 小时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进，上午 10：00，甲、
乙二人相距多远？还能保持联系吗？
18.2 勾股定理的逆定理
二、选择题
1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A.9，12，15 B.
4
3,1,4
5 C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9
2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三个内角比为 1∶2∶1 B.三边之比为 1∶2∶ 5
C.三边之比为 3 ∶2∶ 5 D. 三个内角比为 1∶2∶3
3.已知三角形两边长为 2 和 6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A. 2 B. 102 C. 10224 或 D.以上都不对
4. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中
正确的是（ ）
7 15
2425 20
7 15
20
24
25
15
7
25 20
24
25
7 20
24 15
(A) (B) (C) (D)
A B C D
二、填空题
5. △ABC 的三边分别是 7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .
6.三边为 9、12、15 的三角形，其面积为 .
7.已知三角形 ABC 的三边长为 cba ,, 满足 18,10 abba ， 8c ，则此三角形为
三角形.
8.在三角形 ABC 中，AB=12 cm ，AC=5 cm ，BC=13 cm ，则 BC 边上的高为 AD= cm .
三、解答题
9. 如图，已知四边形 ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，
求四边形 ABCD 的面积.
第 9 题图
10. 如图，E、F 分别是正方形 ABCD 中 BC 和 CD 边上的点，且 AB=4，CE= 4
1
BC，F 为 CD
的中点，连接 AF、AE，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.
11. 如图，AB 为一棵大树，在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的
C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处，
利用拉在 A 处的滑绳 AC，滑到 C 处，另一只猴子从 D 处
滑到地面 B，再由 B 跑到 C，已知两猴子所经路程都是 15m，
求树高 AB.
12. 观察下列勾股数：
第一组：3=2×1＋1， 4=2×1×（1+1）， 5=2×1×（1+1）+1；
第二组：5=2×2＋1， 12=2×2×（2+1）， 13=2×2×（2+1）+1；
第三组：7=2×3＋1， 24=2×3×（3+1）， 25=2×3×（3+1）+1；
第三组：9=2×4＋1， 40=2×4×（4+1）， 41=2×4×（4+1）+1；
……
观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的 cba ,, 各应是多少吗？第 n 组呢？
19.1 平行四边形
19.1．1 平行四边形的性质（1）
一、选择题
F
E
A
CB
D
第 10 题图
B
A
C
D.
第 11 题图
1.平行四边形的两邻角的角平分线相交所成的角为（ ）
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不能确定
2.平行四边形的周长为 24 cm ，相邻两边的差为 2 cm ，则平行四边形的各边长为（ ）
A.4 cm ，4 cm ，8 cm ，8 cm B.5 cm ，5 cm ，7 cm ，7 cm
C.5.5 cm ，5.5cm ，6.5cm ，6.5cm D.3 cm ，3 cm ，9 cm ，9 cm
3. 如图所示,四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°
.则∠ABC、∠CAB 的度数分别为（ ）
A.28°，120° B.120°，28° C.32°，120° D.120°，32°
4. 在□ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的值可以是（ ）D
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1
5 下面的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A.对角互补 B.邻角互补 C.对角相等 D.对边相等.
6.在□ABCD 中，∠A 的平分线交 DC 于 E，若∠DEA=30°，则∠B=（ ）
A100° B.120° C.135° D.150°
二、填空题
7. .如图所示，A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，图中有 个平行四边形
8. 已知：平行四边形一边 AB=12 cm,它的长是周长的
6
1 ，则 BC=______ cm,CD=______ cm.
9.平行四边形的一组对角度数之和为 200°，则平行四边形中较大的角为 .
10.. ABCD 中，若∠A∶∠B=1∶3,那么∠A=________，∠B=________，
∠C=________，∠D=________.
11. 如图所示,,在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，图中全等三角形共有________
对
12.如图所示，在 ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F，CD 至E，连结EF，则∠E+∠F=
三、解答题
13. 在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝∠C，求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
14. 在□ABCD 中, ∠A+∠C=160°, ,
求∠A,∠C,∠B,∠D 的度数
15. .如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，BD⊥AD，求 BC，CD 及 OB 的长.
第 3 题图
第 7 题图
第 11 题图 第 12 题图 第 14 题图
第 15 题图
16. 如图，在□ABCD 中，E、F 分别是 BC、AD 上的点，且 AE∥CF，AE 与 CF 相等吗？
说明理由.
19.1．1 平行四边形的性质（2）
1. 如图所示，如果该平行四边形的一条边长是 8，一条对角线长为 6，那么它的另一条对角
线长 x 的取值范围是________.
2.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点 O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形 BCEF 的周
长为（ ） A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6
3. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，MN 是过 O 点的直线，交 BC 于 M，
交 AD 于 N，BM=2，AN=2.8，求 BC 和 AD 的长.
4.平行四边形的周长为 25 cm ，对边的距离分别为 2 cm 、3 cm ，则这个平行四边形的面积
为（ ）
第 16 题
第 1 题图 第 2 题图
第 3 题图
A.15 cm 2 B.25cm 2 C.30 cm 2 D.50 cm 2
5. 如图所示，已知 ABCD 的对角线交于 O，过 O 作直线交 AB、CD 的反向延长线于 E、F，
求证：OE=OF.
6. 如图所示，在□ABCD 中，O 是对角线 AC、BD 的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别
为 E、F.那么 OE 与 OF 是否相等？为什么？
7.已知 O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，△AOB 的面积为 1，则平行四边形的面积为
（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.平行四边形的对角线分别为 yx, ，一边长为 12，则 yx, 的值可能是下列各组数中的（ ）
A.8 与 14 B.10 与 14 C.18 与 20 D.10 与 28
9. □ABCD 中，若 ,6,10,30 cmABcmBCB 则□ABCD 的面积是 .
10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，
∠EAF=45°，且 AE+AF= 2 2 ，则平行四边形 ABCD 的周长
是 ．
11.如图所示，已知 D 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的一点，点 E，F 分别在 AC,AB 上，且
DE∥AB，DF∥AC
求证：DE+DF=AB
第 5 题
第 6 题
第 10 题图
第 6 题
第 7 题
12. 如图，□ABCD O 为 D 的对角线 AC 的中点，过点 O 作一条直线分别与 AB、CD 交于点 M、
N，点 E、F 在直线 MN 上，且 OE=OF．
（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；
（2）求证：∠MAE=∠NCF．
19.1．2 平行四边形的判定（1）
一、选择题
1.下列条件中不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是（ ）
A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD，AB=CD C.AB=CD ，AD∥BC D. AB∥CD，AD∥BC
2.已知：四边形 ABCD 中，AD∥BC，分别添加下列条件之一：①AB∥CD；② AB=CD, ③
AD=BC，④∠A=∠C，⑤∠B=∠D，能使四边形 ABCD 成为平行四边形的条件的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
3.把两个全等的非等腰三角形拼成平行四边形，可拼成的不同平行四边形的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4. 在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判
定四边形 ABCD 为平行四边形，给出以下六个说法中，正确的说法有（ ）
（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形；
（2）如果再加上条件“AB=CD”，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形；
（3）如果再加上条件“∠DAB=∠DCB”那么四边形 ABCD 一定是平行四边形；
（4）如果再加上“BC=AD”，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形；
（5）如果再加上条件“AO=CO”，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形；
（6）如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形.
A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个
二、填空题
5.已知：四边形 ABCD 中，AD∥BC，要使四边形 ABCD 为平行四边形，
需要增加条件 .（只需填上一个你认为正确的即可）.
6.如图所示， ABCD 中，BE⊥CD,BF⊥AD,垂足分别为
E、F，∠EBF=60°AF=3 cm ，CE=4.5 cm ，则∠C= ，
AB= cm ，BC= cm .
7.如图所示，在 ABCD 中，E,F 分别是对角线 BD 上的两点，
且 BE=DF，要证明四边形 AECF 是平行四边形，最简单的方法
是根据 来证明.
第 11 题图
8. 将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为
______.
三、解答题
9.已知：如图所示，在 ABCD 中，E、F 分别为 AB、CD 的中点，求证四边形 AECF 是平
行四边形.
10. 如图所示，BD 是 ABCD 的对角线，AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F，求证：四边形 AECF
为平行四边形.
11. 如图所示，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,E、F 是直线 AC 上的两点，
并且 AE=CF,求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
12. 如图， E F， 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点，
CE AF ．请你猜想： BE 与 DF 有怎样的位置．．关系和数量．．关系？
并对你的猜想加以证明：
19.1．2 平行四边形的判定（2）
1.如图所示，D、E、F 为△ABC 的三边中点，则图中平行四边形有（ ）
A.1 个 B2 个 C 3 个 D.4 个
2. D、E、F 为△ABC 的三边中点，L、M、N 分别是△DEF 三边的中点，若△ABC 的周长
第 9 题图
第 10 题图
第 11 题图
A
B C
D
E
F
第 12 题图
第 1 题图
为 20 cm ，则△LMN 的周长是（ ）
A.15 cm B.12 cm C.10 cm D.5 cm
3.已知等腰三角形的两条中位线长分别为 3 和 5，则此等腰三角形的周长为 .
4.□ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 分别是 OB、OD 的中点，四边形 AECF
是_______.
5. 如图，DE∥BC，AE=EC，延长 DE 到 F，使 EF=DE，连结 AF、FC、CD，则图中四边
形 ADCF 是______.
6. 如图，在□ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，BE 的延长线与 CD 的延长线相交于点 F
(1)求证：△ABE≌△DFE；
(2)试连结 BD、AF，判断四边形 ABDF 的形状，并证明你的结论．
7. 如图所示，某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，EF=FC，
甲、乙两人同时从 B 站乘车到 F 站，甲乘 1 路车，路线是 B→A→E→F，乙乘 2 路，路线是
B→D→C→F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达 F 站，请说明理由.
8. 如图所示，已知 AD 与 BC 相交于 E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB 于
H，CH 交 AD 于 F．
(1)求证：CD∥AB；
(2)求证：△BDE≌△ACE；
(3)若 O 为 AB 中点，求证：OF= 1
2 BE．
第 5 题图第 6 题图
第 7 题
第 8 题
9.. 已知如图：在 ABCD 中，延长 AB 到 E，延长 CD 到 F，使 BE=DF，则线段 AC 与 EF
是否互相平分？说明理由.
10. 如图所示，□ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O，EF 过点 O 交 AD 于 E，交 BC 于 F，G
是 OA 的中点，H 是 OC 的中点，四边形 EGFH 是平行四边形，说明理由.
11.如图所示，平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 AD、BC 的中点，连结 AN、DN、BM、
CM，且 AN、BM 交于点 P，CM、DN 交于点 Q.四边形 MGNP 是平行四边形吗？为什么？
第 9 题
第 10 题
第 11 题图
19.2 特殊的平行四边形
19.2.1 矩形
1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对边相等 B.对角相等 C.对角互补 D.对角线平分
2.直角三角形中，两直角边长分别为 12 和 5，则斜边中线长是（ ）
A.26 B.13 C.8.5 D.6.5
3.矩形 ABCD 对角线 AC、BD 交于点 O，AB=5 ,12, cmBCcm 则△ABO 的周长为等
于 .
4. 如图所示，四边形 ABCD 为矩形纸片．把纸片 ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD 边的中
点 E 处，折痕为 AF．若 CD＝6，则 AF 等于 （ ）
A. 34 B. 33 C. 24 D.８
5. 如图所示，矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O ，过点 O 的直线分别交 AD 和
BC 于点 E、F， 2 3AB BC ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
6.已知矩形的周长为 40 cm ，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长
的差为 8 cm ，则较大的边长为 .
7. 如图，矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于 O 点， BE AC 于 E， CF BD 于 F。
求证 BE=CF。
8. 如图所示，E 为□ABCD 外，AE⊥CE,BE⊥DE，
求证：□ABCD 为矩形
A
B C
D
E
F
第 4 题图
A
B C
DE
F
O
第 5 题图 第 7 题图
第 8 题图
9.已知矩形 ABCD 和点 P，当点 P 在图 1 中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD 理由：
过点 P 作 EF 垂直 BC，分别交 AD、BC 于 E、F 两点．
∵ S△PBC+S△PAD=1
2
BC·PF+1
2
AD·PE=1
2
BC（PF+PE）=1
2
BC·EF=1
2
S 矩形 ABCD
又∵ S△PAC+S△PCD+S△PAD=
1
2
S 矩形 ABCD ∴ S△PBC+S△PAD= S△PAC+S△PCD+S△PAD．∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD．
请你参考上述信息，当点 P 分别在图 2、图 3 中的位置时，S△PBC、S△PAC、SPCD 又有怎样的
数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．
10. 如图所示，△ABC 中，点 O 是 AC 边上一个动点，过点 O 作直线 MN∥BC，设 MN
交∠BCA 的平分线于 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F.
(1)求证：EO=FO
(2)当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论.
19.2.2 菱形
1. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 为 BC 的
中点，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．AC=2OE B．BC=2OE C．AD=OE D．OB=OE
2. 如图，在菱形 ABCD 中，不一定成立的（ ）
第 10 题图
A
B
C
D
第 2 题
图
图 1 图 2
A. ABCD 是平行四边形 B. AC⊥BD C. △ABD 是等边三角形 D.∠CAB＝∠CAD
3. 如图，如果要使.□ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，
那么你添加的条件是 ．
4. 菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则菱形的边长为 。
5.□ABCD 的对角线相交于点 O，分别添加下列条件：①AC⊥BD；
②AB=BC;③AC 平分∠BAD；④AO=DO，使得□ABCD 是菱形的条件有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
6.菱形的周长为 20 cm ，一条对角线长为 8cm ，则菱形的面积为 .
7. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，从(1)AB=CD；(2)AB∥CD；(3)OA=OC；
(4)OB=OD；(5)AC⊥BD；(6)AC 平分∠BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形 ABCD
是菱形。如(1)(2)(5) ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个：________ ABCD 是菱形；
________ ABCD 是菱形。
8. 如图所示，AD 是△ABC 的角平分线.DE∥AC 交 AB 于 E，DF∥AB 交 AC 于 F.四边形 AEDF
是菱形吗？说明你的理由.
9..□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F，四边形 AFCE 是否是
菱形？为什么？
10.. 已知：如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AG∥
DB 交 CB 的延长线于 G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
A D
CB
第 3 题
第 10 题
图
第 8 题
图
第 9 题
图
19.2.3 正方形
1. 四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B.AB∥CD，AC=BD
C.AD∥BC，∠A=∠C D.OA=OC，OB=OD，AB=BC
2. 在正方形 ABCD 中，AB=12 cm，对角线 AC、BD 相交于 O，则△ABO 的周长是（ ）
A.12+12 2 B.12+6 2 C.12+ 2 D.24+6 2
3. 已知四边形 ABCD 是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的
一个条件即可).
4. 下列命题中的假命题是( )．
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边相等的矩形是正方形
c 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
5. 正方形的一条边长是 3，那么它的对角线长是_______.
6. 如图，依次连结一个边长为 1 的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连结第
二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去， 则第六个正方形的面积
是 ．
7. 如图，四边形 ABCD 为正方形，△ADE 为等边三角形，AC 为正方形 ABCD 的对角线，
则∠EAC＝___度．
8. 已知如下图，正方形 ABCD 中，E 是 CD 边上的一点，F 为 BC 延长线上一点，CE=CF.
(1)求证：△BEC≌△DFC；
(2)若∠BEC=60°，求∠EFD 的度数.
9 如图所示，.四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想 AE 与 CG 之间的位置关系，
并证明你的猜想．
第6题
A
第 7 题图
B C
D
E
第 8 题
第 9 题
10. 把正方形 ABCD 绕着点 A ，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG ，边 FG 与 BC 交于
点 H （如图）．试问线段 HG 与线段 HB 相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
11.如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上运动，AC 与 BE 交于点 F．
（1）如图 1，当点 E 运动到 DC 的中点时，求△ABF 与四边形 ADEF 的面积之比；
（2）如图 2，当点 E 运动到 CE：ED=2：1 时，求△ABF 与四边形 ADEF 的面积之比．
（3）当点 E 运动到 CE：ED=3：1 时，写出△ABF 与四边形 ADEF 的面积之比；当点 E
运动到 CE：ED=n：1（n 是正整数）时，猜想△ABF 与四边形 ADEF 的面积之比（只写结果，
不要求写出计算过程）；
（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题（根据提出的问题给附加分，最多 4
分，计入总分，但总分不超过 120 分）．
19.3 梯形
一、选择题
1.等腰梯形上、下底差等于一腰的长，那么腰长与下底的夹角是（ ）.
A.5° B.60° C.45° D.30°
2.等腰梯形的高是腰长的一半,则底角为（ ）.A.30° B.45° C.60° D.90°
3.下列命题中，真命题是（ ）.
D C
A B
G
H
F
E
第 10 题
图
A.有一组对边平行，另一组对边相等的梯形是等腰梯形,B.有一组对角互补的梯形是等腰梯
形,C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形,D.有两组邻角分别相等的四边形是等腰梯形.
4.如图 1,在等腰梯形 ABCD 中,AD=6cm,BD=9cm,AB=8cm,E、F、G、H 分别是 AD、BD、
BC、AC 的中点，那么四边形 EFGH 的周长是（ ）.
A.14cm B.15cm C.16cm D.17cm
图 1 图 2 图 3
5.如图 2,等腰梯形 ABCD,周长为 40,∠BAD=60°,BD 平分∠ABC,则 CD 的长为（ ）.
A.4 B.5 C.8 D.10
6.下列四边形中，两条对角线一定不相等．．．的是（ ）.
A.正方形 B.矩形 C.等腰梯形 D.直角梯形
7．如图 3,等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形 ABCD 的积
是（ ）. A. 1516 B. 516 C. 1532 D. 1716
8.在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又
能拼成三角形和梯形的是 （ ）.
A B C D
9.在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB>CD ，如果∠D>∠C，那么 AD 和 BC 的关系是（ ）
A.AD>BC B.AD=BC C.ADS2 乙 B．S2 甲乙组成绩的众数；④两
组成绩的中位数均为 80，但成绩≥80 的人数
甲组比乙组多，从中位数来看，甲组成绩总体比乙组好；⑤成绩高于或等于 90 分的人数
乙组比甲组多，高分段乙组比甲组好，其中正确的共有（ ）．
A．2 种 B．3 种 C．4 种 D．5 种
11．为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知
识进行了 10 次测验，成绩如下：（单位：分）
甲成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
（1） 请填写下表
平均数 中位数 众数 方差 85 分以上的频率
甲 84 84 14.4 0.3
乙 84 84 90
（2）利用以上信息，请从三个不同的角度对甲、乙两个同学的成绩进行分析．
12．阅读下列材料：
为了在甲、乙两名学生中选拔一人参加数学竞赛，在相同条件下，对他们进行了 10 次测验，
成绩如下：（单位：分）
甲成绩 76 84 90 86 81 87 86 82 85 83
乙成绩 82 84 85 89 79 80 91 89 74 79
回答下列问题：
（1）甲学生成绩的众数是_______（分），乙学生成绩的中位数是_______（分）．（2）若
甲学生成绩的平均数是 x 甲，乙学生成绩的平均数是 x 乙，则 x 甲与 x 乙的大小关系是：_____．
（3）经计算知：S2 甲=13.2，S2 乙=26.36，这表明__________（用简明的文字语言表述）
（4）若测验分数在 85 分（含 85 分）以上为优秀，则甲的优秀率为____；乙的优秀率为____．
三、创新题
13．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B 两位同学在校实习基地现场进行加
分 数 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
工直径为 20mm 的零件的测试，他俩加工的 10个零件的相关数据依次如下图表所示（单
位：mm）．
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
（1）考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为________的成绩好些．
（2）计算出 S2B 的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些．
（3）考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过 10 个的实际情况，你认为派谁去
参赛较合适？说明你的理由．
平均数 方差 完全符合要求的个数
A 20 0.026 2
B 20 S2B 5
