2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第四章第四讲 正、余弦定理及解三角形
第四讲 正、余弦定理及解三角形
1.[2019 全国卷Ⅰ,11,5 分][文]△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 asin A - bsin B=4csin
C,cos A= -
1
4,则푏
푐=( )
A.6 B.5
C.4 D.3
2.[2018 全国卷Ⅱ,7,5 分][文]在△ABC 中,cos
퐶
2 = 5
5 ,BC=1,AC=5,则 AB=( )
A.4 2 B. 30
C. 29 D.2 5
3.[2019 福建宁德联考]在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=18,b=24,A=45°,则此三角形
( )
A.无解 B.有一解
C.有两解 D.解的个数不确定
4.[改编题]下列说法正确的是(△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c)( )
①在△ABC 中,若 A>B,则必有 sin A>sin B;
②在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则△ABC 为锐角三角形;
③在△ABC 中,若 A=60°,a=4 3,b=4 2,则 B=45°或 B=135°;
④若满足条件 C=60°,AB= 3,BC=a 的△ABC 有两个,则实数 a 的取值范围是( 3,2);
⑤在△ABC 中,若 acos B=bcos A,则△ABC 是等腰三角形.
A.①③④⑤ B.①②③④
C.①④⑤ D.①③⑤
5.[2017 全国卷Ⅲ,15,5 分][文]△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 C=60°,b= 6,c=3,则
A= .
6.[2019 全国卷Ⅱ,15,5 分]△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b=6,a=2c,B=
π
3,则△ABC 的面
积为 .
7.[2019 浙 江 ,14,6 分 ] 在 △ABC 中 ,∠ABC=90°,AB=4,BC=3, 点 D 在 线 段 AC 上 . 若 ∠BDC=45°, 则
BD= ,cos∠ABD= .
8.[2018 江苏,13,5 分]在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交
AC 于点 D,且 BD=1,则 4a+c 的最小值为 .
9.[2019 江西名校高三质检]已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S △ABC 表示△ABC 的面
积,且有 b(asin A+bsin B)=
4sin B·S△ABC+bcsin C,若 c= 6,则△ABC 的外接圆半径为 .
10.[2015 湖北,15,5 分][文]如图 4 - 4 - 1,一辆汽车在一条水平的公
路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的
方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方向
上,仰角为 30°,则此山的高度 CD= m.
考法 1 利用正、余弦定理解三角形
1 在△ABC 中,C=
π
4,AB=2,AC= 6,则 cos B 的值为
A.
1
2 B. -
3
2
C.
1
2或 -
3
2 D.
1
2或 -
1
2
根据条件,两边和其中一边的对角→选用正弦定理求解
由题意知 C=
π
4,c=AB=2,b=AC= 6,(条件类型:两边和其中一边的对角)
由正弦定理 푏
sin퐵 = 푐
sin퐶,得 sin B=
6sin π
4
2 = 3
2 .(利用正弦定理求 sin B)
因为 b>c,所以 B>C=
π
4,(利用“大边对大角”确定角的范围)
又 0
0,则 b=
푡
푎.
代入上式可得 a2+
푡2
푎2 = 푡2
16 - t.
左边式子呈现出基本不等式的结构,故利用基本不等式可得 푡2
16 - t=a2+
푡2
푎2≥2 푎2 × 푡2
푎2=2t,即 푡2
16≥3t,解
得 t≥48,当且仅当 a=b=4 3时取等号,即 ab 的最小值为 48.
8 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 C=3B,则푐
푏的取值范围为
A.(0,3) B.(1,3) C.(0,3] D.(1,3]
由正弦定理可得푐
푏 = sin퐶
sin퐵 = sin3퐵
sin퐵 = sin2퐵cos퐵 + cos2퐵sin퐵
sin퐵 =2cos2B+cos 2B=4cos2B - 1.
∵A+B+C=180°,C=3B,∴0° 1
8,∴方案 2 好.
8. 如图 4 - 4 - 5, 经过村庄 A 有两条夹角为 60° 的公路
AB,AC, 根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂 P, 分别在两
条公路边上建两个仓库 M,N( 异于村庄 A), 要求 PM=PN=MN=2(单位:
千米).记∠AMN=θ.
(1)将 AN,AM 用含 θ 的关系式表示出来;
(2)如何设计(即 AN,AM 为多长时),可使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的
距离 AP 最大)?
2
1.A 由题意及正弦定理得,b2 - a2= - 4c2,则 cos A=푏2 + 푐2 - 푎2
2푏푐 = - 3푐2
2푏푐 = - 1
4,解得푏
푐=6.故选 A.
2.A 因为 cos C=2cos2퐶
2 - 1=2×1
5 - 1= - 3
5,所以由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2 - 2AC×BCcos C=25+1 -
2×5×1×( - 3
5)=32,所以 AB=4 2,故选 A.
3.C ∵bsin A=12 2B,则 a>b, 푎
2푅 > 푏
2푅(R 为△ABC 的外接圆的半径),即 sin A>sin B,①正
确;
对于②,在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则 A 是锐角,但△ABC 不一定是锐角三角形,②错误;
对于③,由 푎
sin퐴 = 푏
sin퐵得 sin B=푏
푎sin A=4 2
4 3 × 3
2 = 2
2 ,因为 a>b,所以 B0,c>0, 所 以 1
푎 + 1
푐=1, 则 4a+c=(4a+c)(1
푎 +
1
푐)=5+푐
푎 + 4푎
푐 ≥5+2 푐
푎·4푎
푐 =9,当且仅当 c=2a 时取等号,故 4a+c 的最小值为 9.
9. 3 因为 b(asin A+bsin B)=4sin B·S△ABC+bcsin C,
故 absin A+b2sin B=4sin B·S△ABC+bcsin C,
即 a2sin B+b2sin B=4sin B·S△ABC+c2sin B,即 a2+b2 - c2=4S△ABC,故 abcos C=absin C,故 C=π
4,
则△ABC 的外接圆半径为 푐
2sin퐶 = 6
2 = 3.
10.100 6 由 题 意 , 得 ∠BAC=30°,∠ABC=105°. 在 △ABC 中 , 因 为 ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°, 所 以
∠ACB=45°.
因 为 AB=600 m, 由 正 弦 定 理 可 得 600
sin 45° = 퐵퐶
sin 30°, 即 BC=300 2 m. 在 Rt△BCD 中 , 因 为
∠CBD=30°,BC=300 2 m,所以 tan 30°=퐶퐷
퐵퐶 = 퐶퐷
300 2,所以 CD=100 6 m.
1.(1)D 因为△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,2asin A - bsin B=2csin C,利用正弦定理将角
化为边可得 2a2 - b2=2c2 ①,
由①及余弦定理可得 cos A=푏2 + 푐2 - 푎2
2푏푐 = 푏
4푐 = 1
4,化简得푏
푐=1,即sin퐵
sin퐶=1,故选 D.
(2)C 因为3sin2퐶
cos퐶 =2sin Asin B,所以 3푐2
cos퐶=2ab,即 cos C=3푐2
2푎푏.
由余弦定理得 cos C=푎2 + 푏2 - 푐2
2푎푏 ,所以3푐2
2푎푏 = 푎2 + 푏2 - 푐2
2푎푏 ,所以 a2+36=4c2 ①.
在△ABC 中,A=π
3,b=6,
因为 a2=b2+c2 - 2bccos A,所以 a2=36+c2 - 6c ②.由①②解得 c=4 或 c= - 6(不合题意,舍去).因此 c=4.故选 C.
【解后反思】 求解该题时易出现的问题是不能把“A=π
3”利用余弦定理转化为边之间的关系,而
是直接代入已知等式导致无法求解.显然,求边就应该把已知条件向边的方向转化.
(3)A 由已知及正弦定理得 2sin Bcos C - 2sin Ccos B=sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以
sin Bcos C=3sin Ccos B,又 B=2C,所以 sin 2Ccos C=3sin Ccos 2C,所以 2cos 2C=3(cos2C - sin2C),所以
tan2C=1
3.因为 B=2C,所以 C 为锐角,所以 tan C=
3
3 ,C=π
6,B=π
3,A=π
2,故选 A.
2.A 已知푐
푏0,于是有 cos B<0,即 B 为钝角,所以
△ABC 是钝角三角形.故选 A.
3.(1)C 根据题意及三角形的面积公式知1
2absin C=푎2 + 푏2 - 푐2
4 ,所以 sin C= 푎2 + 푏2 - 푐2
2푎푏 =cos C,所以在
△ABC 中,C=π
4.
(2)15 7 由 4sin B=5sin C,得 4sin(π - A - C)=5sin C,即 4sin(A+C)=5sin C,即 4(sin Acos C+cos Asin
C)=5sin C.
又 A=2C,所以 4(sin 2Ccos C+cos 2Csin C)=5sin C,即 4[2sin Ccos2C+(2cos2C - 1)sin C]=5sin C.
因为 A=2C,所以 0
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