专题04 导数的应用（高考押题）-2017年高考数学（文）考纲解读与热点难点突破
1．曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为( )
A．x－y－1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x＋y＋1＝0
【答案】 D
2．曲线f(x)＝x3＋x－2在p0处的切线平行于直线y＝4x－1，则p0点的坐标为( )
A．(1，0) B．(2，8)
C．(1，0)和(－1，－4) D．(2，8)和(－1，－4)
【答案】 C
【解析】 设p0(x0，y0)，则3x＋1＝4，所以x0＝±1，所以p0点的坐标为(1，0)和(－1，－4)．故选C.
3.如图，直线y＝2x与抛物线y＝3－x2所围成的阴影部分的面积是( )
A. B．2
C．2－ D.
【答案】 D
【解析】 S＝(3－x2－2x)dx＝，故选D.
4．设a＝ cos xdx，b＝ sin xdx，下列关系式成立的是( )
A．a>b B．a＋b<1
C．a
sin ＝，
又cos 1>cos ＝，∴－cos 1<－，b＝1－cos 1<1－＝，∴a>b，选A.
5．如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝
f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】 B 学科@网
【解析】 由题意可设f′(x)＝a(x－1)2＋(a>0)，即函数切线的斜率为k＝f′(x)＝a(x－1)2＋≥，即tan α≥，∴≤α<，选B.
6．设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为( )
A．1－ln 2 B.(1－ln 2)
C．1＋ln 2 D.(1＋ln 2)
【答案】 B
7．已知定义域为R的函数f(x)满足：f(4)＝－3，且对任意x∈R总有f′(x)<3，则不等式f(x)<3x－15的解集为( )
A．(－∞，4) B．(－∞，－4)
C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)
【答案】 D 学科@网
【解析】 记g(x)＝f(x)－3x＋15，则g′(x)＝f′(x)－3<0，可知g(x)在R上为减函数．又g(4)＝f(4)－3×4＋15＝0，所以f(x)<3x－15可化为f(x)－3x＋15<0，即g(x)4.
8．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x
＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个极小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，只需3m－≥
－9，解得m≥.
9．已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋＞0，若a＝f，b＝－2f(－2)，c＝f，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
【答案】 A
10．已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的图象是( )
【答案】 A
【解析】 因为f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，所以f′(x)＝x－sin x为奇函数，且f′<0，故选A.
11．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α
的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】 D
12．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是( )
【答案】：D
【解析】：由f(x)图象先降再升后趋于平稳知，f′(x)的函数值先为负，再为正，后为零．故选D.
13．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.e2 B．4e2
C．2e2 D．e2
【答案】：D 学科@网
【解析】：∵y′＝e，∴k＝e＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e
2，令y＝0，得x＝2，∴所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.
14．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(1)＝0，当x>0时，xf′(x)<2f(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
【答案】：D
15．若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为( )
A．2b－ B．b－
C．0 D．b2－b3
【答案】：A
【解析】：f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)，∵函数f(x)在区间－3,1]上不是单调函数，∴－30，得x2，由f′(x)<0，得b＝x＋，
设g(x)＝x＋(1≤x≤2)，g′(x)＝1－，∵1≤x≤2，∴g′(x)<0，
∴g(x)在1，2]上是减函数．
g(x)min＝g(2)＝，∴a>，
即实数a的取值范围是.
19．定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：
①f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；
②f′(x)是偶函数；
③f(x)的图象在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝4ln x－m，若存在x∈1，e]，使g(x)(4ln x－x2＋1)min.
设M(x)＝4ln x－x2＋1，x∈1，e]，
则M′(x)＝－2x＝，
令M′(x)＝0，又因为x∈1，e]，所以x＝.
当0，
则M(x)在1，]上为增函数，
所以M(x)在1，e]上有最大值．
又M(1)＝0，M(e)＝5－e2<0，
所以M(x)的最小值为5－e2.
所以m>5－e2.
故实数m的取值范围是(5－e2，＋∞)．
20．已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.
(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：>0.
21．已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)(a>0)，求函数f(x)的单调区间与极值点．
【解析】：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，对于二次方程g(x)＝0, 判别式Δ＝a2－8.
①当Δ＝a2－8<0，即00都有f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，无极值点．
②当Δ＝a2－8＝0，即a＝2时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上也是增函数，无极值点．
③当Δ＝a2－8>0，即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实数根x1＝，x2＝，0a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
23．已知函数f(x)＝xln x－(x－1)(ax－a＋1)(a∈R)．
(1)若a＝0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若x>1时，f(x)<0恒成立，求a的取值范围．
【解析】：(1)若a＝0，f(x)＝xln x－x＋1，f′(x)＝ln x.
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
(2)由题意知f(x)＝xln x－(x－1)(ax－a＋1)<0在(1，＋∞)上恒成立．
①若a＝0，则f(x)＝xln x－x＋1，f′(x)＝ln x>0在x∈(1，＋∞)上恒成立，∴f(x)为(1，＋∞)上的增函数，∴f(x)>f(1)＝0，即f(x)<0不成立．∴a＝0不合题意．
②若a≠0，∵x>1，∴只需＝ln x－<0在(1，＋∞)上恒成立．
记h(x)＝ln x－，x∈(1，＋∞)，
则h′(x)＝－＝－，x∈(1，＋∞)．
由h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝.
若a<0，则x2＝<1＝x1，
∴h′(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，故h(x)为增函数，
∴h(x)>h(1)＝0，不合题意．
若00，h(x)为增函数，
∴h(x)>h(1)＝0，不合题意，
若a≥，x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)为减函数，
∴h(x)1时，f(x)<0恒成立，则a≥.
24．已知函数f(x)＝.(a>0)
(1)若a＝1，证明：y＝f(x)在R上单调递减；
(2)当a>1时，讨论f(x)零点的个数．
①当a>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
又f(0)＝e－1>0，f<0，所以此时f(x)在上有一个零点．
②当a＝2时，f(x)＝ex－1，此时f(x)在(－∞，2)上没有零点．
③当10，
所以此时f(x)没有零点．
综上，当12时，f(x)有一个零点．
25．设函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)判断f(x)的单调性；
(2)当f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立时，求a的取值范围；
(3)证明：当x∈(0，＋∞)时，(1＋x) 在(0，＋∞)上恒成立，
设g(x)＝，则g′(x)＝，
当x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，
故当x＝e时，g(x)取得最大值，
所以a的取值范围是.
(3)证明：要证当x∈(0，＋∞)时，(1＋x) 0时，g′(x)>0；
当－1
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