山东省德州市夏津第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

山东省德州市夏津第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

数学试题 一、单项选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设函数，则（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. －1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据极限的运算法则，直接计算，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查极限的运算，属于基础题型.‎ ‎2.若，则（ ）‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据排列数的计算公式，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以有，‎ 即，解得：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列数的计算，熟记公式即可，属于基础题型.‎ ‎3.一物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是 ‎，则该物体在时的瞬时速度为（ ）‎ A. 3 B. ‎7 ‎C. 6 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出即可求出物体在时的瞬时速度.‎ ‎【详解】解：，当时，. 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数导数的求解.本题的关键是求出函数的导数.‎ ‎4.函数有（ ）‎ A. 极大值6，极小值2 B. 极大值2，极小值6‎ C 极小值－1，极大值2 D. 极小值2，极大值8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，令其为0，解出方程后则可判断函数及导数随自变量的变化情况，从而可求出极值.‎ ‎【详解】解：令，解得，则随的变化如下表 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，当时，函数有极大值；当时，函数有极小值为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数极值的求解.一般求函数的导数时，求出导数后，令导数为0，解出方程后，画表探究函数、导数随自变量的变化情况，从而可求出极值.‎ ‎5.已知函数与的图象如图所示，则不等式组的解集为（ ）‎ A. （1，2） B. （1，3） C. （1，2） D. （1，4）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数与函数的单调性关系结合图象得到实线为的图象，虚线为的图象，然后由求解.‎ ‎【详解】由导数与函数的单调性的关系可知：‎ 当时，函数递减；当时，函数递增；‎ 结合图象知：实线为的图象，虚线为的图象，‎ 由，可得.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性的关系的应用，还考查了数形结合的思想，属于基础题.‎ ‎6.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为（ ）‎ A. 420 B. ‎660 ‎C. 840 D. 880‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用间接法可得答案.‎ ‎【详解】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，‎ 共有种选法，‎ 其中不含女生有种选法，‎ 所以服务队中至少有1名女生的选法种数为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了有限制条件的排列组合综合题，使用间接法是解题关键，属于基础题.‎ ‎7.设，离散型随机变量的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 则当在内增大时（ ）‎ A. 增大 B. 减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方差公式计算出方差后，利用二次函数的单调性可得答案.‎ ‎【详解】，‎ 所以，‎ 所以在上增大，在上减小，即先增大后减小.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量的方差公式，以及二次函数的单调性，属于基础题.‎ ‎8.已知函数在R上为增函数，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数在R上为增函数,等价于对恒成立，然后分离变量，得，求出的最小值，就能确定m的取值范围.‎ ‎【详解】因为函数在R上为增函数，所以对恒成立，即对恒成立，又因为，所以．‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，分离变量是解决本题的关键.‎ 二、多项选择题：本题共4小题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.‎ ‎9.关于的说法，正确的是（ ）‎ A. 展开式中的二项式系数之和为2048‎ B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大 C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D. 展开式中第6项的系数最大 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项展开式的二项式系数的性质进行分析可知正确，不正确，正确，根据项的系数的符号可知不正确.‎ ‎【详解】的展开式中的二项式系数之和为，所以正确；‎ 因为为奇数，所以展开式中有项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以不正确，正确；‎ 展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以不正确.‎ 故选：AC ‎【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数的性质，考查了二项展开式中项的系数的最值问题，属于基础题.‎ ‎10.已知函数，则（ ）‎ A. 函数一定存在最值 B. ，‎ C. 若是的极值点，则 D. 若是的极小值点，则在区间单调递增 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据时，，当时，，可判断不正确；再结合图象的连续性可判断正确；根据可导函数在极值点处的导数值为零，可判断正确；根据三次函数的单调性可知，不正确.‎ ‎【详解】，，‎ 当时，，当时，，所以函数无最值，故不正确；‎ 又函数图象是连续不断的，所以函数图象与轴有交点，所以，使，所以正确；‎ 因为是的极值点，且函数是可导函数，所以，故正确；‎ 因为是的极小值点，则在区间上先递增，再递减，故不正确.‎ 故选：BC ‎【点睛】本题考查了三次函数的图象和性质，考查了函数的极值点，属于基础题.‎ ‎11.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 乙类水果的平均质量 B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正态分布的性质，逐一进行判断即可.‎ ‎【详解】由图象可知，甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称 所以，故A，C正确；‎ 因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；‎ 因为乙图象的最大值为，即，所以，故D错误；‎ 故选：ABC ‎【点睛】本题主要考查了正态分布的性质的应用，属于中档题.‎ ‎12.已知函数，则以下结论正确的是（ ）‎ A. 函数的单调减区间是 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，，且，若则 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A选项，对函数求导，解对应不等式，可判断A；‎ B选项，令，对其求导，研究单调性，根据零点存在定理，可判断B；‎ C选项，先由得到，令，用导数的方法判断其单调性，即可判定C；‎ D选项，令，则，令，对其求导，判定其单调性，得到，令，根据题中条件，即可判定出D.‎ ‎【详解】A选项，因为，所以，‎ 由得，；由得，，‎ 因此函数在上单调递减，在上单调递增；故A正确；‎ B选项，令，则显然恒成立；‎ 所以函数在上单调递减；‎ 又，，‎ 所以函数有且仅有一个零点；故B正确；‎ C选项，若，可得，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 由得；由得；‎ 所以函数上单调递增，在上单调递减；‎ 因此；所以恒成立，即函数在 上单调递减，‎ 所以函数无最小值；‎ 因此，不存在正实数，使得成立；故C错；‎ D选项，令，则，则；‎ 令，‎ 则，‎ 所以在上单调递减，则，即，‎ 令，由，得，则，‎ 当时，显然成立，‎ 所以对任意两个正实数，，且，若则.故D正确.‎ 故选：ABD.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的性质即可，属于常考题型.‎ 三、填空题：本题共4小题.‎ ‎13.曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线方程为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求处导数，再根据切线公式求切线方程.‎ ‎【详解】解析：，在点（1，1）处的切线斜率为，所以切线方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.‎ ‎14.用1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数的个数为 ‎______.（用数字作答）‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，能被5整除的四位数末位必为5，其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列即可.‎ ‎【详解】解：由题意知，能被5整除的四位数末位必为5，只有1种方法，其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列有，‎ 故答案为：24‎ ‎【点睛】本题考查了分步计数原理的应用，主要抓住能被5整除的整数的特征（末位数为0或5），本题末位数字只能是5，属于基础题．‎ ‎15.盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色相同外完全相同.从盒中一次随机取出4个球，设表示取出的三种颜色球的个数的最大数，则=______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意表示抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色，计算概率即可.‎ ‎【详解】当时，随机取出4个球中有3个红球、1个其他色，共有种取法，‎ 随机取出4个球中有3个黄球、1个其他色，共有种取法，‎ 所以当取出的三种颜色球的个数的最大数为3时，共有种取法，‎ 所以,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了组合的实际应用，古典概型，考查了推理运算能力，属于中档题.‎ ‎16.设函数（，，，）若不等式 对一切恒成立，则=______，的取值范围为______.‎ ‎【答案】 (1). 3 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，先求导，则不等式对一切恒成立，即为对一切恒成立，结合三次函数的性质则，然后再利用二次函数的性质求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因为不等式对一切恒成立，‎ 所以对一切恒成立，‎ 所以，‎ 解得或（舍去），‎ 所以对一切恒成立，‎ 当时，，成立，‎ 当时，或，不成立，‎ 当时， 则，解得，‎ 当时，，‎ 当时， ，‎ 综上：的取值范围为.‎ 故答案为：①3；②‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式恒成立，导数的应用以及函数性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ 四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.求下列函数的导数：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据积的导数运算法则及基本初等函数的导数公式计算即可；‎ ‎（2）先化简函数，根据商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式计算即可.‎ ‎【详解】（1） .‎ ‎（2）因为，‎ 则.‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本初等函数的导数公式和和差积商的求导法则，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎18.2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11∶13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.‎ ‎（1）完成列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；‎ 满意 不满意 总计 男生 ‎30‎ 女生 ‎15‎ 合计 ‎120‎ ‎（2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为，求出的分布列及期望值.‎ 参考公式：附：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎0.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10828‎ ‎【答案】（1）表格见解析，有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据男生与女生的人数之比为11∶13，以及总人数120，可求出男，女生总人数，即可完成列联表，并根据独立性检验的基本思想，求出的观测值，对照临界值表，即可判断是否有把握；‎ ‎（2）根据（1）可知，男生抽3人，女生抽5人，于是，离散型随机变量 的可能取值为，并且服从超几何分布，即可利用公式（‎ ‎），求出各概率，得到分布列，求出期望 ‎【详解】（1）因为男生人数为：，所以女生人数为，‎ 于是可完成列联表，如下：‎ 满意 不满意 总计 男生 ‎30‎ ‎25‎ ‎55‎ 女生 ‎50‎ ‎15‎ ‎65‎ 合计 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 根据列联表中的数据，得到的观测值 ‎，‎ 所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”.‎ ‎（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，‎ 依题可知的可能取值为，并且服从超几何分布，（），即 ‎，，‎ ‎，.‎ 可得分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查独立性检验基本思想的初步运用，以及超几何分布的应用，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属基础题．‎ ‎19.已知函数 ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），根据导数的正负得到函数单调性.‎ ‎（2），讨论和两种情况，根据函数的单调性得到极值情况，得到答案.‎ ‎【详解】（1）的定义域为，当时，，‎ 令得，令得，所以的增区间为，减区间为.‎ ‎（2）‎ ‎①当时，若，则，‎ 此时，在上单调递增 所以函数在处不可能取得极大值，不合题意.‎ ‎②当时，‎ 极大值 函数在处取得极大值.‎ 综上可知，的取值范围是 ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，根据极值点求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎20.某工厂生产某种型号的农机具零配件，为了预测今年7月份该型号农机具零配件的市场需求量，以合理安排生产，工厂对本年度1月份至6月份该型号农机具零配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价（单位：元）和销售量（单位：千件）之间的6组数据如下表所示：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售单价（元）‎ ‎11.1‎ ‎9.1‎ ‎9.4‎ ‎10.2‎ ‎8.8‎ ‎11.4‎ 销售量（千件）‎ ‎2.5‎ ‎3.1‎ ‎3‎ ‎2.8‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎（1）根据1至6月份的数据，求关于的线性回归方程（系数精确到0.01）；‎ ‎（2）结合（1）中的线性回归方程，假设该型号农机具零配件的生产成本为每件3元，那么工厂如何制定7月份的销售单价，才能使该月利润达到最大？（计算结果精确到0.1）‎ 参考公式：回归直线方程，‎ 参考数据：，‎ ‎【答案】（1）；（2）销售单价为11.3元时，该月利润才能达到最大 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出的平均数，利用最小二乘法即可得出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）由题意得出7月份的利润的关系式，结合二次函数的性质，即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）由条件知，，‎ 所以，‎ 故关于的线性回归方程为.‎ ‎（2）假设7月份的销售单价为元 则由（1）可知，7月份零配件销量为 故7月份的利润，‎ 其对称轴，故7月份销售单价为11.3元时，该月利润才能达到最大.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求线性回归方程以及用回归直线方程进行估计，属于中档题.‎ ‎21.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km,,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm．‎ ‎（I）按下列要求写出函数关系式：‎ ‎①设，将表示成的函数关系式；‎ ‎②设，将表示成的函数关系式．‎ ‎（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短．‎ ‎【答案】（I）①‎ ‎②‎ ‎（Ⅱ）选择函数模型①，P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，，‎ 则 故，又，所以 ‎．‎ ‎②，则，所以，‎ 所以所求的函数关系式为．‎ ‎（Ⅱ）选择函数模型①．‎ ‎．‎ 令得，又，所以．‎ 当时，，是的减函数；‎ 时，，是的增函数．‎ 所以当时．‎ 当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数在区间上无零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）减区间为，单调递增区间为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把代入到中求出，令求出的范围即为函数的增区间，令求出的范围即为函数的减区间；‎ ‎（2）时不可能恒成立，所以要使函数在上无零点，只需要对时恒成立，列出不等式解出大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函 数的增减性得到这个函数的最大值即可得到的取值范围；‎ ‎【详解】解：（1）当时，，定义域为，则，‎ 令，得，令，得，‎ ‎∴的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为.‎ ‎（2）∵函数在区间上无零点，‎ ‎∴在区间上，恒成立或恒成立，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎①当时，，‎ 在区间上，，‎ 记，‎ 则，‎ 在区间上，，‎ ‎∴在区间上，单调递减，∴，‎ 即，∴，‎ 即在区间上恒成立，满足题意；‎ ‎②当时，，，‎ ‎，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴在上有零点，即函数在区间上有零点，不符合题意.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，属于中档题．‎