中考数学新定义问题

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中考数学新定义问题

新定义问题 近年来的中考题中,涌现了大量的着重考查学生的创新意识、创新精神为目的的新型试题——新“定义”问题, 它们重在考查学生阅读、分析、仿练、归纳、内化等综合能力,培养学生自主学习、主动探究的品质. 【题型特点】 所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定,要求现学现用,“给什么,用什么”是应用新“定义”解题的 基本思路.这类试题的特点:源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、新的运算、新的 符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等. 在解决它们过程中又可产生了许多新方法、新观念,增强了学 生创新意识.主要包括以下几种类型:(1)概念的“新定义”;(2)运算的“新定义”;(3)新规则的“新定 义” ;(4)实验操作的“新定义”;(5)几何图形的新定义. 例 1、小明在课外学习时遇到这样一个问题: 定义:如果二次函数 y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1 是常数)与 y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2 是常数) 满足 a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”. 求函数 y=-x2+3x-2 的“旋转函数”. 小明是这样思考的:由函数 y=-x2+3x-2 可知,a1=-1,b1=3,c1=-2,根据 a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0, 求出 a2,b2,c2,就能确定这个函数的“旋转函数”. 请参考小明的方法解决下面问题: (1)写出函数 y=-x2+3x-2 的“旋转函数”; (2)若函数 与 y=x2-2nx+n 互为“旋转函数”,求(m+n)2015 的值; (3)已知函数 的图象与 x 轴交于点 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,点 A、B、C 关于原点的对称 点分布是 A1,B1,C1,试证明经过点 A1,B1,C1 的二次函数与函数 互为“旋转函数.” 练习 1:在直角坐标系 xOy 中,对于点 P(x,y)和 Q(x,y’),给出如下定义:若 则称点 Q 为点 P 的“可控变点”.例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(-1,3)的“可控变点”为点(-1,-3). (1)若点(-1,-2)是一次函数 y=x+3 的图像上点 M 的“可控变点”,则点 M 的坐标为___________ (2)若点 P 在函数 y=-x2+16(-5≤x≤a)的图像上,其“可控变点”Q 的纵坐标 y’的取值范围是-16≤y’≤16, 则实数 a 的取值范围是_______ 中考要求 概念新定义 23 42 −+−= mxxy )4)(1(2 1 −+−= xxy )4)(1(2 1 −+−= xxy    <− ≥= )0( )0(' xy xyy 运算新定义 例 2. 定义:对于实数 a,符号[a]表示不大于 a 的最大整数.例如:[5.7]=5,[5]=5,[-π]=-4. (1)如果[a]=-2,那么 a 的取值范围是 . (2)如果[ ]=3,求满足条件的所有正整数 x. 练习 2:新定义:[a,b]为一次函数 y=ax+b(a≠0,a,b 为实数)的“关联数”. 若“关联数”[1,m-2]的一次函数是正比例函数,则关于 x 的方程 + =1 的解为____. 例 3、图 1,已知四边形 ABCD,点 P 为平面内一动点. 如果∠PAD=∠PBC,那么我们称点 P 为四边形 ABCD 关于 A、B 的等角点. 如图 2,以点 B 为坐标原点,BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,点 C 的横坐标为 6. (1)若 A、D 两点的坐标分别为 A(0,4)、D(6,4),当四边形 ABCD 关于 A、B 的等角点 P 在 DC 边上时, 则点 P 的坐标为______; (2)若 A、D 两点的坐标分别为 A(2,4)、D(6,4),当四边形 ABCD 关于 A、B 的等角点 P 在 DC 边上时, 求点 P 的坐标; (3)若 A、D 两点的坐标分别为 A(2,4)、D(10,4),点 P(x,y)为四边形 ABCD 关于 A、B 的等角点, 其中 x>2,y>0,求 y 与 x 之间的关系式. 练习 3:定义:平面内的直线 与 相较于点 O,对于该平面内任意一点 M,点 M 到直线 , 的距离分别为 a、b, 则称有序非负实数对(a,b)是点 M 的“距离坐标”。根据上述定义,距离坐标为(2,3)的点的个数是_______。 1 2 x + 1 1x − 1 m 规则新定义 1l 2l 1l 2l 操作新定义 例 4.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”. (1)请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”; (2)如图在 Rt△ABC 中,∠C=90°,tanA= ,求证:△ABC 是“好玩三角形”; (3)如图 2,已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=2β,点 P,Q 从点 A 同时出发, 以相同速度分别沿折线 AB-BC 和 AD-DC 向终点 C 运动,记点 P 经过的路程为 s. ①当 β=45°时,若△APQ 是“好玩三角形”,试求 的值; ②当 tanβ 的取值在什么范围内,点 P,Q 在运动过程中,有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”. 请直接写出 tanβ 的取值范围. 练习 4:若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线, 这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形. (1)如图 1,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD 平分∠ABC. 求证:BD 是梯形 ABCD 的和谐线; (2)如图 2,在 12×16 的网格图上(每个小正方形的边长为 1)有一个扇形 BAC,点 A.B.C 均在格点上, 请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点 D,使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形的两条对角线 都是和谐线,并画出相应的和谐四边形; (3)四边形 ABCD 中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC 是四边形 ABCD 的和谐线,求∠BCD 的度数 例 5、如图,A、B 是⊙O 上的两个定点,P 是⊙O 上的动点(P 不与 A,B 重合),我们称∠APB 是⊙O 上关于 A、B 3 2 a s 几何新定义 的滑动角. (1)已知∠APB 是⊙O 上关于 A、B 的滑动角. ①若 AB 是⊙O 的直径,则∠APB=____; ②若⊙O 的半径是 1,AB= ,求∠APB 的度数. (2)已知 O2 是⊙O1 外一点,以 O2 为圆心做一个圆与⊙O1 相交于 A、B 两点,∠APB 是⊙O1 上关于 A、B 的滑动角, 直线 PA、PB 分别交⊙O2 于点 M、N(点 M 与点 A、点 N 与点 B 均不重合),连接 AN,试探索∠APB 与∠MAN、∠ ANB 之间的数量关系. 练习 5:阅读下面的情景对话,然后解答问题: (1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题? (2)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且 b>a,若 Rt△ABC 是奇异三角形,求 a:b:c. (3)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点(不与点 A、B 重合),D 是半圆 的中点, C、D 在直径 AB 的两侧,若在⊙O 内存在点 E,使得 AE=AD,CB=CE. ①求证:△ACE 是奇异三角形. ②当△ACE 是直角三角形时,求∠AOC 的度数. 1.若圆锥的轴截图为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥,则正圆锥的侧面展开图的圆心角是(  ) A.90° B.120° C.150° D.180° BA 0 P 2 课堂练习 2.对于实数 x,我们规定[x]表示不大于 x 的最大整数,例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3,若[ ]=5,则 x 的取值可以 是(  ) A .40 B.45 C.51 D.56 3.对平面上任意一点(a,b),定义 f,g 两种变换:f(a,b)=(a,-b).如 f(1,2)=(1,-2); g(a,b)=(b,a).如 g(1,2)=(2,1). 据此得 g(f(5,-9))=(  ) A.(5,-9) B.(-9,-5) C.(5,9) D.(9,5) 4.当三角形中一个内角 α 是另一个内角 β 的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中 α 称为“特征角”.如果一个“特 征三角形”的“特征角”为 100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 . 5.如图,△ABC 是正三角形,曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线,其中弧 CD、弧 DE、弧 EF 的圆心依次是 A、B、 C,如果 AB=1,那么曲线 CDEF 的长是 . 6.我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”. 如图 1,四边形 ABCD 即为“准等腰梯形”.其中∠B=∠C. (1)在图 1 所示的“准等腰梯形”ABCD 中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形 ABCD 分割成 一 个 等 腰 梯 形 和 一 个 三 角 形 或 分 割 成 一 个 等 腰 三 角 形 和 一 个 梯 形 ( 画 出 一 种 示 意 图 即 可 ) ; (2)如图 2,在“准等腰梯形”ABCD 中∠B=∠C.E 为边 BC 上一点,若 AB∥DE,AE∥DC,求证: ; (3)在由不平行于 BC 的直线 AD 截△PBC 所得的四边形 ABCD 中,∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点 E. 若 EB=EC,请问当点 E 在四边形 ABCD 内部时(即图 3 所示情形),四边形 ABCD 是不是“准等腰梯形”, 为什么?若点 E 不在四边形 ABCD 内部时,情况又将如何?写出你的结论.(不必说明理由) 4 10 x + AB BE DC EC =
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