中考数学新定义问题

中考数学新定义问题

新定义问题 近年来的中考题中，涌现了大量的着重考查学生的创新意识、创新精神为目的的新型试题——新“定义”问题， 它们重在考查学生阅读、分析、仿练、归纳、内化等综合能力，培养学生自主学习、主动探究的品质． 【题型特点】 所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的 基本思路．这类试题的特点：源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、新的运算、新的 符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等. 在解决它们过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学 生创新意识．主要包括以下几种类型：（1）概念的“新定义”；（2）运算的“新定义”；（3）新规则的“新定 义” ；（4）实验操作的“新定义”；（5）几何图形的新定义． 例 1、小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数 y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1 是常数）与 y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2 是常数） 满足 a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”． 求函数 y＝－x2＋3x－2 的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由函数 y＝－x2＋3x－2 可知，a1＝－1，b1＝3，c1＝－2，根据 a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0， 求出 a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数 y＝－x2＋3x－2 的“旋转函数”； （2）若函数 与 y＝x2－2nx＋n 互为“旋转函数”，求（m＋n）2015 的值； （3）已知函数 的图象与 x 轴交于点 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A、B、C 关于原点的对称 点分布是 A1，B1，C1，试证明经过点 A1，B1，C1 的二次函数与函数 互为“旋转函数．” 练习 1：在直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y）和 Q（x，y’），给出如下定义：若 则称点 Q 为点 P 的“可控变点”.例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（－1，3）的“可控变点”为点（－1，－3）. （1）若点（－1，－2）是一次函数 y＝x＋3 的图像上点 M 的“可控变点”，则点 M 的坐标为___________ （2）若点 P 在函数 y＝－x2＋16（－5≤x≤a）的图像上，其“可控变点”Q 的纵坐标 y’的取值范围是－16≤y’≤16， 则实数 a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿ 中考要求 概念新定义 23 42 −+−= mxxy )4)(1(2 1 −+−= xxy )4)(1(2 1 −+−= xxy    <− ≥= )0( )0(' xy xyy 运算新定义 例 2. 定义：对于实数 a，符号[a]表示不大于 a 的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4． （1）如果[a]=-2，那么 a 的取值范围是 ． （2）如果[ ]=3，求满足条件的所有正整数 x． 练习 2：新定义：[a，b]为一次函数 y＝ax＋b(a≠0，a，b 为实数)的“关联数”． 若“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 ＋ ＝1 的解为____． 例 3、图 1，已知四边形 ABCD，点 P 为平面内一动点. 如果∠PAD=∠PBC，那么我们称点 P 为四边形 ABCD 关于 A、B 的等角点. 如图 2，以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，点 C 的横坐标为 6. （1）若 A、D 两点的坐标分别为 A（0，4）、D（6，4），当四边形 ABCD 关于 A、B 的等角点 P 在 DC 边上时， 则点 P 的坐标为＿＿＿＿＿＿； （2）若 A、D 两点的坐标分别为 A（2，4）、D（6，4），当四边形 ABCD 关于 A、B 的等角点 P 在 DC 边上时， 求点 P 的坐标； （3）若 A、D 两点的坐标分别为 A（2，4）、D（10，4），点 P（x，y）为四边形 ABCD 关于 A、B 的等角点， 其中 x＞2，y＞0，求 y 与 x 之间的关系式. 练习 3：定义：平面内的直线 与 相较于点 O，对于该平面内任意一点 M，点 M 到直线 ， 的距离分别为 a、b， 则称有序非负实数对（a,b）是点 M 的“距离坐标”。根据上述定义，距离坐标为（2,3）的点的个数是_______。 1 2 x + 1 1x − 1 m 规则新定义 1l 2l 1l 2l 操作新定义 例 4.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”． （1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”； （2）如图在 Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA= ，求证：△ABC 是“好玩三角形”； （3）如图 2，已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC=2β，点 P，Q 从点 A 同时出发， 以相同速度分别沿折线 AB-BC 和 AD-DC 向终点 C 运动，记点 P 经过的路程为 s． ①当 β=45°时，若△APQ 是“好玩三角形”，试求 的值； ②当 tanβ 的取值在什么范围内，点 P，Q 在运动过程中，有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”． 请直接写出 tanβ 的取值范围． 练习 4：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线， 这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形． （1）如图 1，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD 平分∠ABC． 求证：BD 是梯形 ABCD 的和谐线； （2）如图 2，在 12×16 的网格图上（每个小正方形的边长为 1）有一个扇形 BAC，点 A．B．C 均在格点上， 请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形的两条对角线 都是和谐线，并画出相应的和谐四边形； （3）四边形 ABCD 中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC 是四边形 ABCD 的和谐线，求∠BCD 的度数 例 5、如图，A、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与 A,B 重合），我们称∠APB 是⊙O 上关于 A、B 3 2 a s 几何新定义 的滑动角. （1）已知∠APB 是⊙O 上关于 A、B 的滑动角. ①若 AB 是⊙O 的直径，则∠APB＝＿＿＿＿； ②若⊙O 的半径是 1，AB= ，求∠APB 的度数. （2）已知 O2 是⊙O1 外一点，以 O2 为圆心做一个圆与⊙O1 相交于 A、B 两点，∠APB 是⊙O1 上关于 A、B 的滑动角， 直线 PA、PB 分别交⊙O2 于点 M、N（点 M 与点 A、点 N 与点 B 均不重合），连接 AN，试探索∠APB 与∠MAN、∠ ANB 之间的数量关系. 练习 5：阅读下面的情景对话，然后解答问题： （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？ （2）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且 b＞a，若 Rt△ABC 是奇异三角形，求 a：b：c. （3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（不与点 A、B 重合），D 是半圆 的中点， C、D 在直径 AB 的两侧，若在⊙O 内存在点 E，使得 AE＝AD，CB＝CE. ①求证：△ACE 是奇异三角形. ②当△ACE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数. 1.若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° BA 0 P 2 课堂练习 2.对于实数 x，我们规定[x]表示不大于 x 的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若[ ]=5，则 x 的取值可以 是（　　） A ．40 B．45 C．51 D．56 3.对平面上任意一点（a，b），定义 f，g 两种变换：f（a，b）=（a，-b）．如 f（1，2）=（1，-2）； g（a，b）=（b，a）．如 g（1，2）=（2，1）． 据此得 g（f（5，-9））=（　　） A．（5，-9） B．（-9，-5） C．（5，9） D．（9，5） 4.当三角形中一个内角 α 是另一个内角 β 的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中 α 称为“特征角”．如果一个“特 征三角形”的“特征角”为 100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ． 5.如图，△ABC 是正三角形，曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧 CD、弧 DE、弧 EF 的圆心依次是 A、B、 C，如果 AB=1，那么曲线 CDEF 的长是 ． 6.我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”． 如图 1，四边形 ABCD 即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C． （1）在图 1 所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形 ABCD 分割成 一 个 等 腰 梯 形 和 一 个 三 角 形 或 分 割 成 一 个 等 腰 三 角 形 和 一 个 梯 形 （ 画 出 一 种 示 意 图 即 可 ） ； （2）如图 2，在“准等腰梯形”ABCD 中∠B=∠C．E 为边 BC 上一点，若 AB∥DE，AE∥DC，求证： ； （3）在由不平行于 BC 的直线 AD 截△PBC 所得的四边形 ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点 E． 若 EB=EC，请问当点 E 在四边形 ABCD 内部时（即图 3 所示情形），四边形 ABCD 是不是“准等腰梯形”， 为什么？若点 E 不在四边形 ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由） 4 10 x + AB BE DC EC =