【物理】2019届二轮复习运动的合成与分解 平抛运动学案
第5讲 运动的合成与分解 平抛运动
[考试要求和考情分析]
考试内容
选考要求
历次选考统计
命题角度
2016/04
2016/10
2017/04
2017/11
2018/04
2018/11
物理学史、动力学问题、多过程问题、超重与失重
曲线运动
b
8
运动的合成与分解
c
10
13
平抛运动
d
10
7
13
19
20
19
曲线运动的条件和特征
[要点总结]
1．曲线运动条件：物体受到的合外力与速度始终不共线。
2．曲线运动特征
(1)运动学特征：曲线运动一定为变速运动。
(2)动力学特征：物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在一条直线上，合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小。
(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合力的方向与速度的方向之间，合力的方向总指向曲线的凹侧。
[典例分析]
【例1】 (2018·浙江富阳选考模拟)
如图1，这是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是( )
图1
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
解析 质点做匀变速曲线运动，从B点到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以C点的速率比B点速率大，选项A错误，C正确；质点做匀变速曲线运动，则加速度大小和方向不变，所以质点经过C点时的加速度与A点的相同，选项B错误；若质点从A点运动到C点，质点运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度方向与加速度方向的夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向的夹角小于90°，选项D错误。
答案 C
[精典题组]
1．(2018·浙江嘉兴一模)如图2所示，高速摄像机记录了一名擅长飞牌、射牌的魔术师的发牌过程，虚线是飞出的扑克牌的轨迹。关于扑克牌所受合外力F与速度v关系正确的是( )
图2
解析 曲线运动的物体速度方向沿切线方向
，而受到的合力应该指向运动轨迹弯曲的内侧，由此可以判断选项B、C、D错误，A正确。
答案 A
2．(2018·浙江丽水学考模拟)一质量为m的物体在一组共点力F1、F2、F3作用下处于平衡状态，如图3所示，若撤去F3，关于物体的运动情况，下列说法不正确的是( )
图3
A．物体可能沿F3的反方向做匀加速直线运动
B．物体一定沿F3的反方向做匀加速直线运动
C．物体可能沿F3的方向做匀减速直线运动
D．物体可能做匀变速曲线运动
解析 当外力F3撤去后由平衡条件可知：物体所受的F2与F1的合力大小等于F3，方向与F3相反，因物体原来处于平衡状态，即可能静止，或匀速直线运动，其初速度及以后运动情况可能有下列几种：原来静止，物体将沿F3的反方向做匀加速直线运动；原来做匀速直线运动，v0方向与F3相同，将沿v0方向做匀减速直线运动；原来做匀速直线运动，v0方向与F3成一夹角，将做匀变速曲线运动。故只有选项B错误。
答案 B
运动的合成与分解
[要点总结]
合运动和分运动的关系
等时性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
[典例分析]
【例2】 在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用一长H＝50
m的悬索(重力可忽略不计)系住伤员B，直升机A和伤员B一起在水平方向上以v0＝10 m/s的速度匀速运动的同时，悬索在竖直方向上匀速上拉，如图4所示。在将伤员拉到直升机内的时间内，A、B之间的竖直距离以l＝50－5t(单位：m)的规律变化，则( )
图4
A．伤员经过5 s时间被拉到直升机内
B．伤员经过10 s时间被拉到直升机内
C．伤员的运动速度大小为5 m/s
D．伤员的运动速度大小为10 m/s
解析 伤员在竖直方向的位移为h＝H－l＝5t(m)，所以伤员的竖直分速度为v1＝5 m/s；由于竖直方向做匀速直线运动，所以伤员被拉到直升机内的时间为t＝＝ s＝10 s，故选项A错误，B正确；伤员在水平方向的分速度为v0＝10 m/s，所以伤员的速度大小为v＝＝ m/s＝5 m/s，故选项C、D均错误。
答案 B
[精典题组]
3．质量为2 kg的质点在x－y平面上运动，x方向的速度—时间图象和y方向的位移—时间图象分别如图5所示，则质点( )
图5
A．初速度大小为4 m/s
B．所受合外力大小为4 N
C．做匀变速直线运动
D．初速度的方向与合外力的方向垂直
解析 x轴方向初速度为vx＝4 m/s，y轴方向初速度vy＝3 m/s，质点的初速度大小为v0＝＝5 m/s，选项A错误；x轴方向的加速度a＝2 m/s2，y轴方向做匀速直线运动，质点所受合力大小F合＝ma＝4 N，选项B正确；x轴方向的合力恒定不变，y轴方向做匀速直线运动，合力为零，则质点的合力恒定不变，做匀变速曲线运动，选项C错误；合力沿x轴方向，而初速度方向既不沿x轴方向，也不沿y轴方向，质点初速度的方向与合外力方向不垂直，选项D错误。
答案 B
4．(2018·浙江江山选考模拟)如图6所示，一物体在水平恒力的作用下沿光滑水平面做曲线运动，当物体从M点运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则在物体从M点到N点运动过程中，物体的速度将( )
图6
A．不断增大 B．不断减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
解析 由曲线运动的轨迹夹在合外力与速度方向之间，对M、N点进行分析，在M点恒力可能如图甲，在N点恒力可能如图乙。综合分析知，恒力F只可能如图丙，即F与vm的反方向的夹角为α，则0°<α<90°，所以开始时恒力方向与速度方向的夹角为钝角，后来夹角为锐角，故速度先减小后增大，D项正确。
答案 D
平抛运动基本规律的应用
[要点总结]
1．飞行时间和水平射程
(1)飞行时间：由t＝可知，飞行时间只与h、g有关，与v0无关。
(2)水平射程：由x＝v0t＝v0可知，水平射程由v0、h、g共同决定。
2．落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角的正切tan α＝＝，所以落地速度与v0、g和h有关。
[典例分析]
图7
【例3】 (2018·浙江嘉兴一模)羽毛球运动员林丹曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，如图7是他表演时的羽毛球场地示意图。图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高。若林丹各次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则( )
A．击中甲、乙的两球初速度大小v甲＝v乙
B．击中甲、乙的两球初速度大小v乙＞v甲
C．假设某次发球能够击中甲鼓，用相同大小速度发球可能击中丁鼓
D．击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大
解析 球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，由于甲、乙高度相同，根据h＝gt2得t＝，可知林丹从发球到击中鼓用时相同，在水平方向上做匀速直线运动，甲的水平距离较远，根据v0＝可知，击中甲、乙的两球初速度大小v甲>v乙，选项A、B错误；因丁鼓比甲鼓低，水平距离大，若用相同大小速度发球可能击中丁鼓，选项C正确；因为x乙
t丙＝t丁，根据v0＝可知丁的初速度一定大于丙的初速度，选项D错误。
答案 C
[精典题组]
5．(2018·浙江奉化调研)某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平抛球，结果球划着一条弧线飞到小桶的前方，如图8所示。不计空气阻力，为了能把小球抛进小桶中，则下次再水平抛球时，可能做出的调整为( )
图8
A．增大初速度，增大抛出点高度
B．增大初速度，抛出点高度不变
C．初速度大小不变，降低抛出点高度
D．初速度大小不变，增大抛出点高度
解析 为能把小球抛进桶中，须减小水平位移，由x＝v0t＝v0知，选项C正确。
答案 C
6．(2018·浙江名校协作体模拟)如图9所示是网球发球机，某次室内训练时将发球机放在距地面一定的高度，然后向竖直墙面发射网球。假定网球水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑网球在空中受到的阻力，则( )
图9
A．两次发射的初速度大小之比为 3∶1
B．碰到墙面前空中运动时间之比为1∶
C．下降高度之比为1 ∶
D．碰到墙面时动能之比为3∶1
解析 由题知，小球两次平抛运动的水平位移相同，设为x
，根据平抛运动规律有＝tan θ， y＝gt2，联立得t＝，当θ＝30°时t1＝，当θ＝60°时t2＝，故两次运动的时间之比为＝＝，根据x＝vt，得＝＝，根据y＝gt2，得＝＝，故第一次平抛的合速度大小为v1＝，第二次平抛的合速度大小为v2＝，故碰到墙面时动能之比＝＝，又v01＝＝， v02＝＝ , vy1＝gt1＝， vy2＝gt2＝，代入得＝1，选项A、C、D错误，B正确。
答案 B
平抛运动与斜面体结合问题
[要点总结]
1．两个模型
运动情景
求平抛物理量
总结
分解速度
vy＝gt，tan θ＝＝⇒t＝⇒x＝v0t＝，y＝gt2＝
分解速度，构建速度三角形，确定时间，进一步确定位移
分解位移
x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝⇒ t＝，vx＝v0，vy＝gt＝2v0tan θ
分解位移，构建位移三角形，确定时间，进一步确定速度
2.两个结论
从斜面开始平抛到落回斜面的过程：①
全过程位移的方向沿斜面方向，即竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切。②竖直速度与水平速度之比等于斜面倾角正切的两倍。
[典例分析]
【例4】 (2018·浙江温州市九校高一期末联考)如图10所示，倾角θ＝30°的斜面AB，在斜面顶端B向左水平抛出小球1、同时在底端A正上方某高度处水平向右拋出小球2，小球1、2同时落在P点，P点为斜边AB的中点，不计空气阻力，则( )
图10
A．小球2一定垂直撞在斜面上
B．小球1、2的初速度大小可以不相等
C．小球1落在P点时的速度方向与斜面的夹角为30°
D．改变小球1的初速度大小，小球1落在斜面上时的速度方向都平行
解析 两个小球同时做平抛运动，又同时落在P点，说明运动时间相同，水平位移大小相等，由x＝v0t，知初速度大小相等；小球1落在斜面上时，有tan θ＝＝，小球2落在斜面上时的速度方向与竖直方向的夹角正切tan α＝＝，故α≠θ，所以小球2没有垂直撞在斜面上，选项A、B错误；小球1落在P点时速度方向与水平方向的夹角正切tan β＝＝2tan θ＝<，则有β<60°，则小球1落在P点时的速度方向与斜面的夹角为β－θ<60°－30°＝30°，所以小球1落在P点时的速度方向与斜面的夹角小于30°，选项C错误；根据tan β＝2tan θ知，小球1落在斜面上的速度方向与水平方向的夹角相同，相互平行，选项D正确。
答案 D
[精典题组]
7．(2018·浙江嘉兴选考模拟)跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特点建造的一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在助滑路上获得高速后从A点水平飞出，从空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图11所示。已知可视为质点的运动员水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，则运动员(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
图11
A．在空中飞行的时间为4 s
B．在空中飞行的时间为3 s
C．在空中飞行的平均速度大小为20 m/s
D．在空中飞行的平均速度大小为50 m/s
解析 A、B间距离就是整个过程运动员的位移大小，则水平方向有x＝v0t，竖直方向有h＝gt2，两式结合有tan 37°＝＝＝，解得t＝3 s，选项A错误，B正确；x＝v0t＝20×3 m＝60 m，平均速度大小＝＝＝25 m/s，选项C、D错误。
答案 B
8．(2018·浙江绍兴鲁迅中学模拟)如图12所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点，已知球拍与水平方向夹角θ＝60°。A、B两点高度差h＝1 m，忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则球刚要落到球拍上时速度大小为( )
图12
A．4 m/s B．2 m/s
C．2 m/s D. m/s
解析 根据h＝gt2得t＝＝ s，竖直分速度vy＝gt＝2 m/s。根据平行四边形定则知，刚要落到球拍上时速度大小v＝＝4 m/s，选项A正确。
答案 A
1.(2017·4月浙江选考)图13中给出了某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B点的正上方。竖直面内的半圆弧BCD的半径R＝2.0 m，直径BD水平且与轨道AB处在同一竖直面内，小孔P和圆心O连线与水平方向夹角为37°。游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔P就能进入下一关，为了能通关，弹射器离B点的高度和弹丸射出的初速度分别是(不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
图13
A．0.15 m，4 m/s B．1.50 m，4 m/s
C．0.15 m，2 m/s D．1.50 m，2 m/s
解析 根据题意可知，弹丸沿OP方向射入P点时，有
x＝MN＝BO＋OE＝R＋Rcos 37°＝3.6 m，y＝NP＝EP＋NE＝Rsin 37°＋h
又＝，则y＝·t＝v0t＝x。
即1.2＋h＝×3.6 m，解得h＝0.15 m，v0＝4 m/s，选项A正确。
答案 A
2．(2016·4月浙江学考)某卡车在公路上与路旁障碍物相撞。处理事故的警察在泥地中发现了一个小的金属物体，经判断，它是相撞瞬间车顶上一个松脱的零件被抛出而陷在泥里的。为了判断卡车是否超速，需要测量的量是( )
A．车的长度，车的重量
B．车的高度，车的重量
C．车的长度，零件脱落点与陷落点的水平距离
D．车的高度，零件脱落点与陷落点的水平距离
答案 D
3．(2016·10月浙江选考)一水平固定的水管，水从管口以不变的速度源源不断地喷出，水管距地面高h＝1.8 m，水落地的位置到管口的水平距离x＝1.2 m。不计空气及摩擦阻力，水从管口喷出的初速度大小是( )
A．1.2 m/s B．2.0 m/s
C．3.0 m/s D．4.0 m/s
解析 水平喷出的水做平抛运动，根据平抛运动规律h＝gt2可知，水在空中的时间t＝＝0.6 s，根据x＝v0t可知水平速度为v0＝2 m/s，因此选项B正确。
答案 B
4．(2018·4月浙江选考)如图14所示，一轨道为半径2 m的四分之一竖直圆弧轨道AB和长度可调的水平直轨道BC在B点平滑连接而成。现有一质量为0.2 kg的小球从A点无初速度释放，经过圆弧上B点时，传感器测得轨道所受压力大小为3.6 N，小球经过BC段所受的阻力为其重力的0.2倍，然后从C点水平飞离轨道，落到水平地面上的P点，P、C两点间的高度差为3.2 m。小球运动过程中可视为质点，且不计空气阻力。(g取10 m/s2)
图14
(1)求小球运动至B点时的速度大小；
(2)求小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功；
(3)为使小球落点P与B点的水平距离最大，求BC段的长度；
(4)小球落到P点后弹起，与地面多次碰撞后静止。假设小球每次碰撞机械能损失75%、碰撞前后速度方向与地面的夹角相等。求小球从C点飞出到最后静止所需时间。
解析 (1)由向心力公式和牛顿第三定律有
FN－mg＝m，
解得vB＝4 m/s。
(2)小球从A到B的过程，只有重力和摩擦力做功，设克服摩擦力所做的功为W克。
由动能定理得mgR－W克＝mv－0
解得W克＝2.4 J。
(3)分析运动发现，BC段长度会影响匀减速运动的时间，继而影响平抛运动的水平初速度以及水平位移。
设BC段小球的运动时间为t，加速度a＝＝2 m/s2
由运动学公式得vC＝vB－at＝4－2t①
xBC＝vBt－at2＝4t－t2②
其中，0v0。
答案 (1)20 m/s (2)见解析
10．如图8所示，质量m＝6.0 kg的物块(可视为质点)从斜面上的A点由静止开始下滑，滑到斜面底端B后沿水平桌面再滑行一段距离从C点飞出，最后落在水平面上的E点。已知物块与斜面、水平桌面间的动摩擦因数都为μ＝0.50，斜坡的倾角θ＝37°，CD高h＝0.45 m, BC长L＝2.0 m，DE长s＝1.2 m。假设斜坡与水平桌面间是平滑连接的，整个运动过程中空气阻力忽略不计。试求：
图8
(1)物块经过C点的速度大小；
(2)物块在B点的速度大小；
(3)物块在斜面上滑行的时间。
解析 (1)物块从C到E的过程做平抛运动
竖直方向做自由落体运动 h＝gt2
即0.45＝10×t2
解得t＝0.3 s
水平方向做匀速直线运动 s＝vCt
即1.2＝vC×0.3
得 vC＝4 m/s
即物块经过C点的速度大小为4 m/s。
(2)物块从B到C的过程做匀减速运动，设加速度为a1
f1＝－μmg＝ma1
a1＝－μg＝－5 m/s2
由 2a1L＝v－v
即 vB＝6 m/s
即物块在B点的速度大小为6 m/s。
(3)设物块在斜坡上时的加速度为a2，根据牛顿第二定律，有
mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma2
a2＝2 m/s2
斜面上匀加速运动vB＝a2t
解得t＝3 s
即物块在斜面上滑行的时间为3 s。
答案 (1) 4m/s (2)6 m/s (3)3 s
11．(2018·浙江诸暨选考模拟)如图9所示为一同学制作的研究平抛运动的装置，其中水平台AO长s＝0.70 m，长方体薄壁槽紧贴O点竖直放置，槽宽d＝0.10 m，高h＝1.25 m。现有一弹性小球从平台上A点水平射出，已知小球与平台间的阻力为其重力的0.1倍，重力加速度g取＝10 m/s2。
图9
(1)若小球不碰撞槽壁且恰好落到槽底上的P点，求小球平抛的初速度；
(2)若小球不碰槽壁且恰好落到槽底上的P点，求小球在平台上运动的时间；
(3)若小球碰壁后能立即原速率反弹，为使小球能击中O点正下方槽壁上的B点，B点和O点的距离hB＝0.8 m，求小球从O点射出速度的所有可能值。
解析 (1)小球恰好落到P点，设小球在O点抛出时的速度为v0，做平抛运动的时间为t1，则水平方向有d＝v0t1
竖直方向有h＝gt
解得v0＝0.2 m/s。
(2)设小球在平台上运动时加速度大小为a，则0.1mg＝ma
解得a＝1 m/s2
设小球在A点射出时的速度为vA，在平台上运动的时间为t2，则从A到O，由运动学公式得
v－v＝－2as，v0＝vA－at2
解得t2＝1 s。
(3)水平方向有2nd＝v0t (n＝1，2，3…)
竖直方向有hB＝gt2
解得v0＝0.5n m/s (n＝1，2，3…)。
答案 (1)0.2 m/s (2)1 s (3)0.5n m/s (n＝1，2，3…)
12．(2018·浙江宁波期末)如图10所示，民俗运动会中有一种掷飞镖游戏比赛项目，比赛中某选手站在靶的正前方手持飞镖将其水平掷出，飞镖出手瞬间的位置高出靶心O点h＝0.2 m，离靶面水平距离L＝2 m，若将飞镖在空中的运动看成平抛运动，并且刚好击中靶心，飞镖可视为质点，求：
(1)飞镖的初速度大小；
(2)飞镖击中靶心前瞬间的速度大小和方向(用与水平方向所成的夹角θ的正切值来表示)；
(3)若飞镖击中以靶心O为圆心、半径R＝10 cm的圆形范围内为有效成绩并得分，设飞镖每次水平掷点位置不变，且飞镖只在与靶面垂直的竖直面内运动，则飞镖水平掷出的初速度大小在什么范围内时才可以得分？
图10
解析 (1)由平抛运动竖直方向h＝gt2，得到t＝0.2 s
水平方向L＝v0t，得到v0＝10 m/s。
(2)竖直速度vy＝gt＝2 m/s
合速度大小v＝＝ m/s
方向tan θ＝＝0.2。
(3)水平方向L＝v0t
落在最上端，竖直方向y1＝h－0.1 m＝0.1 m，
又因为y1＝gt2
得到t1＝ s
初速度v1＝10 m/s
落在最下端，竖直方向y2＝h＋0.1＝0.3 m，得到t2＝ s
初速度v2＝ m/s
故速度范围为 m/s
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