【数学】2020届江苏一轮复习通用版2-6函数模型及其应用作业

【数学】2020届江苏一轮复习通用版2-6函数模型及其应用作业

‎2.6　函数模型及其应用 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 函数模型及函数的综合应用 函数模型建模求解以及函数的综合应用 ‎2015江苏,17‎ 函数的最值及应用 ‎★★☆‎ 分析解读　　考查应用题特别是函数应用题是江苏高考数学的一大特色和亮点.高考应用题一般都是给出一个图形及函数自变量,要求考生根据图形和文字说明,建立函数关系,运用求常见函数最值的方法,求出函数的最值;或通过建立不等式模型,将一个实际问题转化为不等式问题等.解决此类问题一要认真审题,正确地理解题意,二要将一个与图形有关的实际问题转化为与函数(二次函数、指数函数、三次函数、指数或对数函数等、三角函数)有关的数学问题,三要正确地解决数学问题,四将数学问题还原到实际问题中去.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　几种常见的函数模型 ‎1.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到　　　　只. ‎ 答案　200‎ ‎2.(2019届江苏木渎中学检测)某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是　　　　. ‎ 答案　43万元 ‎3.(2019届江苏江安中学检测)某旅游景点预计2019年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位:万人)与x的关系近似地满足p(x)=‎1‎‎2‎x(x+1)(39-2x)(x∈N*,且x≤12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位:元)与x的近似关系是q(x)=‎‎35-2x(x∈N‎*‎,且1≤x≤6),‎‎160‎x‎(x∈N‎*‎,且7≤x≤12).‎ ‎(1)写出2019年第x个月的旅游人数f(x)(单位:人)与x的函数关系式;‎ ‎(2)试问2019年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元?‎ 解析　(1)当x=1时, f(1)=p(1)=37,‎ 当2≤x≤12,且x∈N*时,‎ f(x)=p(x)-p(x-1)=‎1‎‎2‎x(x+1)(39-2x)-‎1‎‎2‎(x-1)x(41-2x)=-3x2+40x,‎ 验证x=1也满足此式,‎ 所以f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且1≤x≤12).‎ ‎(2)第x个月旅游消费总额为 g(x)=‎‎(-3x‎2‎+40x)(35-2x)(x∈N‎*‎,且1≤x≤6),‎‎(-3x‎2‎+40x)·‎160‎x(x∈N‎*‎,且7≤x≤12),‎ 即g(x)=‎‎6x‎3‎-185x‎2‎+1 400x(x∈N‎*‎,且1≤x≤6),‎‎-480x+6 400(x∈N‎*‎,且7≤x≤12).‎ ‎①当1≤x≤6,且x∈N*时,g'(x)=18x2-370x+1 400,‎ 令g'(x)=0,解得x=5或x=‎140‎‎9‎(舍去).‎ 当1≤x<5时,g'(x)>0,当50,‎ 所以y1=(10-m)x-20为增函数,又0≤x≤200,x∈N,‎ 所以x=200时,生产A产品有最大年利润,为(10-m)×200-20=(1 980-200m)万美元.‎ 又y2=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120,x∈N,‎ 所以x=100时,生产B产品有最大年利润,为460万美元.‎ 现在我们研究生产哪种产品年利润最大,(y1)max-(y2)max=(1 980-200m)-460=1 520-200m.‎ 令1 520-200m>0得6≤m<7.6;‎ 令1 520-200m<0得7.615.‎ 模拟函数2:y=14-23-x是单调递增函数,当x=12时,y<15,所以应该选用模拟函数2:y=14-23-x.‎ 当x=6时,y=14-23-6=13.875.‎ 所以预测6月份的产量为13.875万件.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·江苏卷题组 ‎　(2015江苏,17,14分,0.562)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=ax‎2‎‎+b(其中a,b为常数)模型.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.‎ ‎①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;‎ ‎②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.‎ 解析　(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).‎ 将其分别代入y=ax‎2‎‎+b,得a‎25+b‎=40,‎a‎400+b‎=2.5,‎ 解得a=1 000,‎b=0.‎ ‎(2)①由(1)知,y=‎1 000‎x‎2‎(5≤x≤20),则点P的坐标为t,‎‎1 000‎t‎2‎.‎ 设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y'=-‎2 000‎x‎3‎,‎ 则l的方程为y-‎1 000‎t‎2‎=-‎2 000‎t‎3‎(x-t),由此得A‎3t‎2‎‎,0‎,B‎0,‎‎3 000‎t‎2‎.‎ 故f(t)=‎3t‎2‎‎2‎‎+‎‎3 000‎t‎2‎‎2‎=‎3‎‎2‎t‎2‎‎+‎‎4×1‎‎0‎‎6‎t‎4‎,t∈[5,20].‎ ‎②设g(t)=t2+‎4×1‎‎0‎‎6‎t‎4‎,则g'(t)=2t-‎16×1‎‎0‎‎6‎t‎5‎.令g'(t)=0,解得t=10‎2‎.‎ 当t∈(5,10‎2‎)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;‎ 当t∈(10‎2‎,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数.‎ 从而,当t=10‎2‎时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15‎3‎.‎ 答:当t=10‎2‎时,公路l的长度最短,最短长度为15‎3‎千米.‎ 思路分析　(1)将已知点代入函数关系式可得结果.‎ ‎(2)①先设在点P处的切线l交x轴,y轴分别于A,B两点,求出l的方程,进而得A,B的坐标,可求得结果.②构造函数,利用函数的单调性求解.‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点　函数模型及其应用 ‎1.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则x+y+z=100,‎‎5x+3y+‎1‎‎3‎z=100,‎当z=81时,x=　　　　,y=　　　　. ‎ 答案　8;11‎ ‎2.(2014湖南改编,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为　　　　　　　　. ‎ 答案　‎(p+1)(q+1)‎-1‎ ‎3.(2016四川改编,7,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是　　　　年. (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)‎ 答案　2019‎ ‎4.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是　　　　小时. ‎ 答案　24‎ ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共50分)‎ ‎1.(2019届江苏海门中学检测)某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是　　　　. ‎ 答案　108元 ‎2.(2019届江苏如皋石庄中学检测)某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工时,可以生产最低档产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是　　　　. ‎ 答案　第9档次 ‎3.(2019届江苏通州金沙中学检测)由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断下降,若每隔5年计算机的价格降低‎1‎‎3‎,则现在价格为8 100元的计算机经过15年后价格应降为　　　　. ‎ 答案　2 400元 ‎4.(2019届江苏如皋搬经中学检测)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=‎1‎‎2‎x2+2x+20(万元).一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为　　　　. ‎ 答案　18万件 ‎5.(2019届江苏启东汇龙中学检测)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为　　　　元. ‎ 答案　4.24‎ ‎6.(2019届江苏启东一中检测)一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案,他分别以A,B,C,D为圆心,以b‎05.‎ g(x)=‎‎13k+10,5k5时,方案①的价格都比方案②的价格低,理由如下:‎ 当x∈(5k,5k+3](k∈N+)时,‎ f(x)-g(x)=13+2.5(x-5)-(13k+10)=2.5x-13k-9.5.‎ 因为x≤5k+3,‎ 所以 f(x)-g(x)≤12.5k+7.5-13k-9.5=-0.5k-2<0;‎ 当x∈(5k+3,5k+5](k∈N+)时, f(x)-g(x)=13+2.5(x-5)-[13k+10+1.5(x-5k-3)]=x-5.5k-5.‎ 因为x≤5k+5,所以f(x)-g(x)≤-0.5k<0.‎ ‎12.(2018江苏苏州高三期中调研)如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是等腰梯形,其中AB为2米,梯形的高为1米,CD为3米,上部CmD是个半圆,固定点E为CD的中点.MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计),且滑动过程中始终保持和CD平行.当MN位于CD下方和上方时,通风窗的形状均为矩形MNGH(阴影部分均不通风).‎ ‎(1)设MN与AB之间的距离为x‎0≤x<‎5‎‎2‎且x≠1‎米,试将通风窗的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数y=S(x);‎ ‎(2)当MN与AB之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积S取得最大值?‎ 解析　(1)当0≤x<1时,过A作AK⊥CD于K,如图,‎ 则AK=1,DK=CD-AB‎2‎=‎1‎‎2‎,HM=1-x.‎ 由AKDK=MHDH=2,得DH=HM‎2‎=‎1-x‎2‎,所以HG=3-2DH=2+x,‎ 所以S(x)=HM·HG=(1-x)(2+x)=-x2-x+2;‎ 当12,所以S(x)的最大值为‎9‎‎4‎.‎ 答:当MN与AB之间的距离为‎3‎‎2‎‎4‎‎+1‎米时,通风窗的通风面积S取得最大值.‎