中考数学三轮真题集训冲刺知识点30直角三角形勾股定理pdf含解析

中考数学三轮真题集训冲刺知识点30直角三角形勾股定理pdf含解析

1 / 11 一、选择题 1．(2019·广元)如图,△ABC 中,∠ABC＝90°,BA＝BC＝2,将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°得到 △DEC,连接 BD,则 BD2 的值是________ 【答案】8+4 3 【解析】连接 AD,过点 D 作 DM⊥BC 于点 M,DN⊥AC 于点 N,易得△ACD 是等边三角形,四边形 BNDM 是正方形,设 CM＝x,则 DM＝MB＝x+2,∵BC＝2,∴CD＝AC＝ 2 2 ,∴在 Rt△MCD 中,由勾股定理可求 得,x＝ 3 - 1,DM＝MB＝ 3 +1,∴在 Rt△BDM 中,BD2＝MD2+MB2＝8+4 3 . 2（2019·滨州）如图，在△OAB 和△OCD 中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°， 连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM．下列结论： ① AC＝BD； ② ∠AMB＝40°； ③ OM 平分∠BOC； ④ MO 平分∠BMC．其中正确的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】∵∠AOB=∠COD，∴ ∠AOC=∠BOD，又 ∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD， 知识点 30——直角三角形、勾股定理 2 / 11 故①正确；∵△AOC≌△BOD，∴∠MAO=∠MBO，如图，设 OA 与 BD 相交于 N，又∵∠ANM=∠BNO， ∴∠AM B=∠AOB=40°，故②正确；如图，过点 O 分别作 AC 和 BD 的垂线，垂足分别是 E，F，∵△ AOC≌△BOD，AC=BD，∴OE=OF，∴MO平分∠BMC，故④正 确 ；在 △AOC 中，∵OA＞OC，∴∠ACO ＞∠OAC，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠ACO＞∠OBM，在 △OCM 和△OBM 中，∠ACO ＞∠OBM，∠OMC=∠OM B，∴∠COM＜∠BOM，故③错误，所以①②④正确．故选 B． 3．(2019·广元)如图,在正方形 ABCD 的对角线 AC 上取一点 E.使得∠CDE＝15°,连接 BE 并延长 BE 到 F,使 CF＝CB,BF 与 CD 相交于点 H,若 AB＝1,有下列结论:①BE＝DE;②CE+DE＝EF;③S△DEC＝ 1 3 4 - 12 ,④ 231DH HC =-.则其中正确的结论有( ) A.①②③ B.①②③ ④ C.①②④ D.①③④ 【答案】A 【解析】①利用正方形的性质,易得△BEC≌△DEC,∴BE＝DE,①正确;②在 EF 上取一点 G,使 CG＝CE, ∵∠CEG＝∠CBE+∠BCE＝60°,∴△CEG 为等边三角形,易得△DEC≌△FGC,CE+DE＝EG+GF＝EF, ②正确;③过点 D 作 DM⊥AC 于点 M,S△DEC＝S△DMC－S△DME＝ 1 3 4 12- ,③正确;④tan∠HBC＝2－ 3 , ∴HC＝2－ 3 ,DH＝1－HC＝ 3 －1,∴ 3 +1DH HC = ,④错误.故选 A. 3 / 11 4．（2019·绍兴）如图 1，长、宽均为 3，高为 8 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水， 水 面高为 6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图 2 是此时的示意图，则图 2 中水面高度为 ( ) A. 5 24 B. 5 32 C. 17 3412 D. 17 3420 【答案】A 【解析】如图所示：设 DM＝x，则 CM＝8﹣x， 根据题意得： （8﹣x+8）×3×3＝3×3×5， 解得：x＝4，∴DM＝6， ∵∠D＝90°，由勾股定理得：BM＝ 2 2 2243BD DM+=+＝5， 过点 B 作 BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM +∠ABM＝90°， ∴∠HBA+＝∠ABM，所以 Rt△ABH∽△MBD， ∴ BH BD AB BM = ，即 3 85 BH = ，解得 BH＝ 5 24 ，即水面高度为 5 24 ． 5．（2019·益阳）已知 M、N 是线段 AB 上的两点，AM=MN=2，NB＝1，以点 A 为圆心，AN 长为半 径画弧；再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC、BC，则△ABC 一定是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】B 【解析】如图所示， ∵AM=MN=2，NB＝1， ∴AB=AM=MN+NB＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3， ∴ AB2 = 52 = 25 ， AC 2 = 42 =16 ， BC 2 = 32 = 9 , H M B A D C 4 / 11 ∴ AC 2 + BC 2 = AB2 ， ∴△ABC 是直角三角形. 6.（2019·湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线 平分该平行四边形的面积．如图是由 5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形．P 是其中 4 个小正方形 的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点 P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等 的两部分，则剪痕的长度是（ ） A．2 2 B． 5 C． 35 2 D． 10 【答案】D． 【解析】如答图，取左下角的小正方形的中心 O，作直线 OP，得线段 AB，则沿折痕 AB 裁剪，即可将 该图形面积两等分．过点 A 作 AC⊥BD 于点 C，则∠ACB＝90°．由中心对称的性质可知，BD＝EF＝ AG，从而 BC＝1．又 AC＝3，故在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB＝ 2231+ ＝ 10 ．故选 D． 7. (2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图 1, 以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大正方 形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出（ ） A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】C 【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则 S 阴影＝c2－a2－b2+b(a+b－c),由勾股定理可 知,c2＝a2－b2,∴S 阴影＝c2－a2－b2+S 重叠＝S 重叠,即 S 阴影＝S 重叠,故选 C. 8.（2019·重庆 B 卷）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 与点 E， AE=1.连接 DE，将△AED 沿直线 AE 翻折至△ABC 所在的平面，得△AEF，连接 DF.过点 D 作 DG⊥DE 交 BE 于点 G.则四边形 DFEG 的周长为( ) 5 / 11 A.8 B. 42 C. 22 4+ D.32 2+ 【答案】D 【解析】∵∠ABC=45°，AD⊥BC， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AD=BD. ∵BE⊥AC，AD⊥BD， ∴∠DAC=∠DBH， ∴△DBH≌△DAC（ASA）. ∵DG⊥DE， ∴∠BDG=∠ADE， ∴△DBG≌△DAE（ASA）， ∴BG=AE，DG=DE， ∴△DGE 是等腰直角三角形， ∴∠DEC=45°. 在 Rt△ABE 中，BE= 223 1 22-= ， ∴GE= 221- ， ∴DE= 22 2- . ∵D，F 关于 AE 对称， ∴∠FEC=∠DEC=45°， ∴EF=DE=DG= 22 2- ， DF=GE= 221- ， ∴四边形 DFEG 的周长为 2（ 221- +2- 2 2 ）=3 2+2 .故选 D． F CB A D E G 6 / 11 二、填空题 1．（2019·苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造．可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方 魔板”图①是由边长为 10cm 的正方形薄板分为 7 块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的 一个“家”的图形该“七巧板”中 7 块图形之一的正方形边长为 cm（结果保留根号）. （图①） （图②） 【答案】 52 2 【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形①与等腰三角 形②全等，且它们的斜边长都为 1 2 ×10=5cm，设正方形阴影部分的边长为 xcm，则 5 x =sin45°= 2 2 ， 解得 x= 52 2 ，故答案为 52 2 . 第 1题答图 2．（2019·威海） 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥ CD，连接 AC，BD.若∠ ACB＝90°，AC＝BC,AB＝BD,则∠ ADC＝ ° 【答案】105° 【解析】过点 D 作 DE⊥ AB 于点 E， 过点 C 作 CF⊥ AB 垂足为 F，由∠ACB＝90°，AC＝BC,得△ ABC 是等腰直角三角形，由三线合一得 CF 为中线，从而推出 2CF＝ AB，由 AB∥CD 得 DE＝CF，由 7 / 11 AB＝BD 得 BD＝2DE，在 Rt△DEB 中利用三角函数可得∠ABD＝30°，再由 AB＝BD 得∠BAD＝∠ADB ＝75°，最后由 AB∥CD 得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ ADC＝105°. 3．（2019·苏州）如图，一块舍有 45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为 8 cm，三角板的外框 线 和与其平行的内框线之间的距离均为 2 cm，则图中阴影部分的面积为 cm：（结果保留根号）． （第 3 题） 【答案】10+12 2 第 3题答图 解析：如图，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2 cm，所以△ABC 与△DEF 有公共 内心 O，连接 AD、BE、FC 并延长相交于点 O，过 O 作 OG⊥AB 于 G，交 DE 于 H.则 GH= 2 ，S△ABC= 1 2 OG×（AB+AC+BC）= 1 2 AB×AC，∴OG= 88 8 42 8882 AB AC AB AC BC ××= = −+− ++ ，∴OH=8 52− ， ∵ ∵DE∥AB，∴△ODE∽△OAB，∴ OH DE OG AB = ∴ 8-5 2 88-4 2 DE= ，解得 DE=6- 22， S 阴影= S△ABC-S△DEF= ( )22118 6 2 2 10 12 222 ×− − =+ . 4．（2019·江西）在平面直角坐标系中，A，B，C 三点的坐标分别为(4，0)、(4，4)，(0，4)，点 P 在 x 轴上，点 D 在直线 AB 上，若 DA＝1，CP⊥DP 于点 P，则点 P 的坐标为 . 8 / 11 【答案】（ 4 2322216 +++ ，0）或（ 4 2322216 +−+ ，0） 【解析】设点 P 的坐标为（x，0）， （1）当点 D 在线段 AB 上时，如图所示： ∵DA=1，∴点 D 的坐标为（ 2 24 − ， 2 2 ）. ∴ 222 )2 24()]2 24(4[ −+−−=CD 22 )2 2(2416)2 2( +−+= 2417 −= ， 222 )2 2()]2 24([ +−−= xPD 222 )2 2()2 24()2 24(2 +−+−−= xx 2417)28(2 −+−−= xx ， 222 4)4( +−= xPC 3282 +−= xx . ∵CP⊥DP 于点 P，∴ 222 CDPDPC =+ ， ∴ 2417)28(2 −+−− xx 3282 +−+ xx 2417 −= ， 即 032)216(2 2 =+−− xx ， ∵△= 3224)]216([ 2 ××−−− = 2322 − ＜0， ∴原方程无解，即符合要求的点 P 不存在. （2）当点 D 在线段 BA 的延长线上，如图所示： 9 / 11 ∵DA=1，∴点 D 的坐标为（ 2 24 + ， 2 2− ）. ∴ 222 )]2 2(4[)]2 24(4[ −−++−=CD 22 )2 24()2 2( ++−= 2417 += ， 222 )2 2()]2 24([ −++−= xPD 222 )2 2()2 24()2 24(2 ++++−= xx 2417)28(2 +++−= xx ， 222 4)4( +−= xPC 3282 +−= xx . ∵CP⊥DP 于点 P，∴ 222 CDPDPC =+ ， ∴ 2417)28(2 +++− xx 3282 +−+ xx 2417 += ， 即 032)216(2 2 =++− xx ， ∵△= 3224)]216([ 2 ××−+− = 2322 + ＞0， ∴ 22 2322216 × +±+=x 4 2322216 +±+= ， ∴点 P 的坐标为（ 4 2322216 +++ ，0）或（ 4 2322216 +−+ ，0）. 5．（2019·株洲）如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CM 是斜边 AB 上的中线，E、F 分别 为 MB、BC 的中点，若 EF＝1，则 AB＝ ． 10 / 11 【答案】4 【解析】因为 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CM 是斜边 AB 上的中线，所以 AB=2CM,又因为 E、F 分别为 MB、 BC 的中点，所以 EF 为中位线，所以 CM=2EF,从而 AB=4EF=4。 6. (2019·枣庄)把两个同样大小含 45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与 另一个三角尺的直角顶点重合于点 A,且另外三个锐角顶点 B,C,D 在同一直线上,若 AB＝2,则 CD＝ ________. 【答案】 6 － 2 【解析】在等腰直角△ABC 中,∵AB＝2,∴BC＝ 22,过点 A 作 AM⊥BD 于点 M,则 AM＝MC＝ 1 2 BC＝ 2 ,在 Rt△AMD 中,AD＝BC＝ 22,AM＝ 2 ,∴MD＝ 6 ,∴CD＝MD－MC＝ 6 － 2 . 7. (2019·巴中)如图,等边三角形 ABC 内有一点 P,分别连接 AP,BP,CP,若 AP＝6,BP＝8,CP＝10,则 S△ABP+S △BPC＝________. 11 / 11 【答案】16 3 +24 【解析】将△ABP 绕点 B 顺时针旋转 60°到△CBP',连接 PP',所以 BP＝BP',∠PBP'＝60°,所以△BPP' 是等边三角形,其边长 BP 为 8,所以 S△BPP'＝16 3 ,因为 PP'＝8,P'C＝PA＝6,PC＝10,所以 PP'2+P'C2＝PC2, 所以△PP'C 是直角三角形,S△PP'C＝24,所以 S△ABP+S△BPC＝S△BPP'+S△PP'C＝16 3 +24. 三、解答题 1.(2019·巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点 C 在直线 m 上,分别过点 A,B 作 AE⊥直线 m 于 点 E,BD⊥直线 m 与点 D. （1）求证:EC＝BD; （2）若设△AEC 三边分别为 a,b,c,利用此图证明勾股定理. 证明：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴∠ACB＝90°,AC＝BC, ∴∠ACE+∠BCD＝90°, ∵AE⊥EC, ∴∠EAC+∠ACE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE, ∵BD⊥CD, ∴∠AEC＝∠CDB＝90°, ∴△AEC≌△CDB(AAS), ∴EC＝BD. （2）∵△AEC≌△CDB,△AEC 三边分别为 a，b，c,， ∴BD＝EC＝a,CD＝AE＝b,BC＝AC＝c, ∴S 梯形＝ 1 2 (AE+BD)ED＝ 1 2 (a+b)(a+b), S 梯形＝ 1 2 ab+ 1 2 c2+ 1 2 ab， ∴ 1 2 (a+b)(a+b)＝ 1 2 ab+ 1 2 c2+ 1 2 ab, 整理可得 a2+b2＝c2,故勾股定理得证.