2020-2021学年人教A版数学必修3习题：模块综合评估
模块综合评估
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(每小题 5分，共 60分)
1．一个年级有 12个班，每个班有学生 50名，并从 1至 50排学
号，为了交流学习经验，要求每班学号为 14的同学留下进行交流，
这里采用的是( D )
A．随机数法 B．抽签法 C．分层抽样 D．系统抽样
解析：“每班学号为 14的同学留下”，即抽取的样本号码之间
是等距的，所以为系统抽样．
2．某赛季甲、乙两名篮球运动员都参加了 10场比赛，他们每场
比赛得分情况的茎叶图如图所示，则甲、乙两名运动员得分的中位数
分别为( B )
A．19,13 B．18,12 C．20,18 D．18,20
解 析 ： 由 茎 叶 图 知 ， 甲 的 10 场 比 赛 的 得 分 是
6,8,9,15,17,19,23,24,26,32，中位数为
17＋19
2
＝18；乙的 10 场比赛的
得分是 5,7,8,11,11,13,20,22,30,31，中位数为
11＋13
2
＝12，故选 B.
3．某产品分一等品、二等品和三等品，在正常的生产情况下，
一等品的概率是 90%，二等品的概率是 7%，则随机抽检一件产品不
是一等品的概率是( A )
A．10% B．90% C．7% D．3%
解析：记抽检的产品是一等品、二等品、三等品的事件分别为 A，
B，C，则抽检的产品不是一等品的事件为 B∪C，P(A)＝90%，P(B)
＝7%.
方法 1：由题意知 P(C)＝1－P(A)－P(B)＝3%，又事件 B，C互
斥，故 P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝10%.
方法 2：记抽检的产品不是一等品的事件为 A ，则 A 与 A对立，
故 P( A )＝1－P(A)＝10%.
4．101110(2)转化为八进制数是( B )
A．46(8) B．56(8) C．67(8) D．78(8)
解析：∵101110(2)＝1×25＋1×23＋1×22＋1×2＝46,46＝8×5＋
6,5＝8×0＋5，∴46＝56(8)，故选 B.
5．在长为 12 cm的线段 AB上任取一点 C.现作一矩形，邻边长
分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为
( C )
A.1
6
B.1
3
C.2
3
D.4
5
解析：设 AC＝x cm，则 BC＝(12－x) cm(0
20，解得 23 C．x>5，s2<3 D．x>5，s2>3
解析：由平均数和方差的计算公式可得 x＝5，s2＝1
9
(3×8＋0)<3.
10．某单位为了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系，随机统
计了某 4天的用电量与当天气温的数据，并制作了对照表：
气温 x(℃) 18 13 10 －1
用电量 y(度) 24 34 38 64
由表中数据得线性回归方程y
^
＝－2x＋a
^
，预测当气温为－4℃
时，用电量的度数为( A )
A．68 B．79 C．65 D．80
解析：易得数据的样本中心为(10,40)，因为回归直线一定经过样
本中心，所以 40＝－2×10＋a
^
，所以a
^
＝60.于是当气温为－4℃时，
预测用电量的度数为y
^
＝－2×(－4)＋60＝68.
11.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的
边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆
术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值
3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，
则输出的 n为( B )
(参考数据： 3≈1.732，sin15°≈0.258 8，sin7.5°≈0.130 5)
A．12 B．24 C．36 D．48
解析：运行程序框图：①S＝1
2
×6× 3
2
＝
3 3
2
≈2.598，n＝12；
②S＝1
2
×12×sin30°＝3，n＝24；③S＝1
2
×24×sin15°≈3.105 6，
跳出循环．
12．丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙
相邻的概率为( A )
A.1
3
B.2
3
C.1
2
D.1
6
解析：4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有：(甲乙丙丁)、(甲
乙丁丙)、(丙甲乙丁)、(丁甲乙丙)、(丙丁甲乙)、(丁丙甲乙)、(乙甲
丁丙)、(乙甲丙丁)、(丙乙甲丁)、(丁乙甲丙)、(丙丁乙甲)、(丁丙乙
甲)，共计 12种，其中甲丙相邻的只有 4种，所以甲乙相邻，则甲丙
相邻的概率为 P＝ 4
12
＝
1
3
.
二、填空题(每小题 5分，共 20分)
13．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把 24个城市分成
甲、乙、丙三组，对应城市数分别为 4、12、8.若用分层抽样方法抽
取 6个城市，则甲组中应抽取的城市数为 1.
解析：甲组中应抽取的城市数为
6
24
×4＝1(个)．
14．执行如图所示的程序框图，输出的 a值为－
1
3
.
解析：由程序框图可知，第一次循环 a＝－2，i＝2；第二次循环
a＝－
1
3
，i＝3；第三次循环 a＝1
2
，i＝4；第四次循环 a＝3，i＝5；第
五次循环 a＝－2，i＝6，所以周期为 4，当 i＝11时，循环结束，输
出 a的值为－
1
3
.
15．为了解某省的城市中农民工的收入，甲、乙、丙三名同学利
用暑假时间分别对该省的三个城市进行了“农民工月收入”的调
查．他们将各自调查所得到的 1 000个数据分别绘制成频率分布直方
图(如图所示)，若把月收入在 2 500元以上的称为达到中等收入，则
随机在该省城市农民工中抽取一人，他达到中等收入的概率约为
1
3
.
解析：由频率分布直方图可得这 3 000名农民工中达到中等收入
的频率为
0.4×1 000＋0.3×1 000＋0.3×1 000
3 000
＝
1
3
，由此估计所求概率
为
1
3
.
16．变量 y与 x有线性回归方程y
^
＝b
^
x＋a
^
，现在将y
^
的单位
由 cm变为 m，x的单位由 ms(1 ms＝1.0×10－3 s)变为 s，则在新的回
归方程y
^
＝b*x＋a*中 a*＝0.01a
^
.(用含有a
^
，b
^
的代数式表示)
解析：由错误!且y
^
的值变为原来的 10－2，x的值变为原来的 10－3
可得 a*的值应为原来的 10－2.
三、解答题(本题共 6小题，共 70分．解答应写出必要的文字说
明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题 10分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的
抽样调查中，随机抽取了 100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目 新闻节目 总计
20至 40岁 40 18 58
大于 40岁 15 27 42
总计 55 45 100
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有
关？
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5名，则大
于 40岁的观众应该抽取几名？
(3)在上述抽取的 5名观众中任取 2名，求恰有 1名观众的年龄在
20至 40岁的概率．
解：(1)由于大于 40 岁的 42 人中有 27 人收看新闻节目，而 20
至 40岁的 58人中，只有 18人收看新闻节目，故收看新闻节目的观
众与年龄有关．
(2)27× 5
45
＝3(名)，∴大于 40岁的观众应抽取 3名．
(3)由题意设抽取的 5名观众中，年龄在 20至 40岁的为 a1，a2，
大于 40岁的为 b1，b2，b3，从中随机取 2名，基本事件有(a1，a2)，
(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，
(b1，b3)，(b2，b3)，共 10个，设恰有 1名观众年龄在 20至 40岁为事
件 A，则 A中含有基本事件 6个：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，
b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，∴P(A)＝ 6
10
＝
3
5
.
18．(本小题 12分)甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种
零件，现在从中各抽测 10个，它们的尺寸分别为(单位：mm)
甲：10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1
乙：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10
分别计算上面两个样本的平均数与方差．如果图纸上的设计尺寸
为 10 mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适？
解：由题中数据计算得 x
甲＝
1
10
(10.2＋10.1＋10.9＋…＋10.1)＝
10，
x
乙＝
1
10
(10.3＋10.4＋9.6＋…＋10)＝10，
s2甲＝
1
10
[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋…＋(10.1－10)2]＝0.228，
s2乙＝
1
10
[(10.3－10)2＋(10.4－10)2＋…＋(10－10)2]＝0.06，所以 x
甲＝ x
乙＝10，s2甲>s2乙，
所以乙比甲稳定，用乙较合适．
19．(本小题 12 分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4
的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出 1个球，每个小球被取出的
可能性相等．
(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率．
(2)求取出的两个球上标号之和能被 3整除的概率．
解：设从甲、乙两个盒子中各取出 1个球，编号分别为 x，y.用(x，
y)表示抽取结果，结果有以下 16种：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，
(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(1)取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下 6 种：(1,2)，
(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，故所求概率为
6
16
＝
3
8
，
即取出的两个球上标号为相邻整数的概率是
3
8
.
(2)取出的两个球上标号之和能被 3 整除的结果为(1,2)，(2,1)，
(2,4)，(3,3)，(4,2)，共 5种，故所求概率为
5
16
，
即取出的两个球上标号之和能被 3整除的概率为
5
16
.
20．(本小题 12分)某城市理论预测 2016年到 2020年人口总数(单
位：十万)与年份的关系如下表所示：
年份 2016＋x 0 1 2 3 4
人口总数 y 5 7 8 11 19
(1)请画出上表数据的散点图．
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y关于 x的回归方
程y
^
＝b
^
x＋a
^
.
(3)据此估计 2021年该城市人口总数．
(参考数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22
＋32＋42＝30)
解析：
(1)根据题中数表画出数据的散点图如图所示．
(2)由题中数表，知 x ＝1
5
(0＋1＋2＋3＋4)＝2， y ＝1
5
(5＋7＋8＋
11＋19)＝10.
所以b
^
＝错误!＝3.2，a
^
＝ y －b
^ x ＝3.6.所以回归方程为y
^
＝
3.2x＋3.6.
(3)当 x＝5时，y
^
＝3.2×5＋3.6＝19.6(十万)＝196(万)．
答：估计 2021年该城市人口总数约为 196万．
21．(本小题 12分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在
[25,55]岁的人群中随机抽取 n人进行了一次生活习惯是否符合低碳
生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为
“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：
组数 分组 “低碳族”的人数 占本组的频率
第一组 [25,30) 120 0.6
第二组 [30,35) 195 p
第三组 [35,40) 100 0.5
第四组 [40,45) a 0.4
第五组 [45,50) 30 0.3
第六组 [50,55] 15 0.3
(1)补全频率分布直方图，并求 n，a，p的值；
(2)从年龄在[40,50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取
6人参加户外低碳体验活动，其中选取 2人作为领队，求选取的 2名
领队中恰有 1人年龄在[40,45)岁的概率．
解：(1)第二组的频率为 1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝
0.3，所以
频率
组距
＝
0.3
5
＝0.06.
频率分布直方图如下：
第一组的人数为
120
0.6
＝200，频率为 0.04×5＝0.2，所以 n＝200
0.2
＝
1 000.
因为第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为 1 000×0.3＝300，
所以 p＝195
300
＝0.65.
第四组的频率为 0.03×5＝ 0.15，所以第四组的人数为 1
000×0.15＝150，所以 a＝150×0.4＝60.
(2)因为年龄在[40,45)岁的“低碳族”与[45,50)岁的“低碳族”
的人数的比为 60∶30＝2∶1，所以采用分层抽样法抽取 6人，[40,45)
中有 4人，[45,50)中有 2人．设[40,45)中的 4人为 a，b，c，d，[45,50)
中的 2人为 m，n，则选取 2人作为领队的情况有(a，b)，(a，c)，(a，
d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，
m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共 15种，其中恰有 1人年龄
在[40,45)岁的情况有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，
n)，(d，m)，(d，n)，共 8种，所以选取的 2名领队中恰有 1人年龄
在[40,45)岁的概率 P＝ 8
15
.
22．(本小题 12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出 1
到 5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以 A表示和为 6的事件，求 P(A)；
(2)现连玩三次，若以 B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至
少赢两次的事件，试问 B与 C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解：(1)∵基本事件总数为 25，事件 A包含的基本事件数共 5个：
(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，∴P(A)＝ 5
25
＝
1
5
.
(2)B与 C不是互斥事件．
∵事件 B与 C可以同时发生，例如甲赢一次，乙赢两次．
(3)这种游戏规则不公平．
由(1)知和为偶数的基本事件为 13个，∴甲嬴的概率为
13
25
，乙嬴
的概率为
12
25
.∴这种游戏规则不公平．
