高考数学专题复习：微积分基本定理
1.6微积分基本定理
一、选择题
1、f(x)是一次函数，且ʃf(x)dx＝5，ʃxf(x)dx＝，那么f(x)的解析式是( )
A．4x＋3 B．3x＋4
C．－4x＋2 D．－3x＋4
2、ʃdx等于( )
A．－2ln 2 B．2ln 2
C．－ln 2 D．ln 2
3、若m＝ʃexdx，n＝ʃdx，则m与n的大小关系是( )
A．m>n B．m
0，∴m>n.]
4、C [原式＝ʃ(－x－3)dx＋ʃ(x＋3)dx
＝|＋|＝5.]
5、B [2dx
＝ (1＋sin x)dx
＝＋(－cos x)|＝＋1.]
6、D [曲边梯形面积A＝ʃx3dx＝|＝.]
7、B
二、填空题
8、2(－1)
解析 dx
＝dx
＝|cos x－sin x|dx
＝ (cos x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx
＝(sin x＋cos x)|－(cos x＋sin x)|＝2(－1)．
9、ln 2
解析 ∵′＝，
∴ʃdx＝ln(1＋x2)|＝ln 2.
10、1
解析 ∵ʃ(2xk＋1)dx＝ʃ2xkdx＋ʃdx
＝2ʃxkdx＋x|＝|＋1
＝＋1＝2，∴＝1，
即k＝1.
三、解答题
11、解 ∵f(x)＝x3＋ax为奇函数，
∴ʃ(x3＋ax)dx＝0，
∴ʃ(x3＋ax＋3a－b)dx
＝ʃ(x3＋ax)dx＋ʃ(3a－b)dx
＝0＋(3a－b)[1－(－1)]＝6a－2b.
∴6a－2b＝2a＋6，
即2a－b＝3.①
又f(t)＝
＝＋＋(3a－b)t为偶函数，
∴3a－b＝0.②
由①②得a＝－3，b＝－9.
12、解 f(x)dx＝ (asin x＋bcos x)dx
＝(bsin x－acos x)|
＝b＋a＝4.
f(x)dx＝(bsin x－acos x)|
＝b－a＋a＝，
解得a＝3，b＝1.
所以f(x)＝3sin x＋cos x＝sin(x＋φ)，(其中tan φ＝)．
故f(x)的最大值为，最小值为－.
13、解 (1)∵f(x)＝sin5x＋x13，x∈[－5,5]是奇函数，
∴由定积分的几何意义知
ʃ(sin5x＋x13)dx＝－ʃ(sin5x＋x13)dx，
∴ʃ(sin5x＋x13)dx
＝ʃ(sin5x＋x13)dx＋ʃ(sin5x＋x13)dx＝0.
(2)∵f(x)＝cos2x＋8，x∈是偶函数，
∴ (cos2x＋8)dx＝2 (cos2x＋8)dx
＝2cos2xdx＋16dx
＝ (1＋cos 2x)dx＋16x|
＝|＋16x|＝π.
