安徽省安庆市桐城中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题

安徽省安庆市桐城中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题

www.ks5u.com 安徽省桐城中学高一年级第一次月考数学试卷 一、单选题 ‎1.设集合，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由补集的概念，得，故选C．‎ ‎【考点】集合的补集运算 ‎【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．‎ ‎2.设集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ,选B.‎ ‎【考点】 集合的运算 ‎【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.‎ ‎3.2019年10月1日上午，喜悦的豪情在北京天安门广场倾情绽放，新中国以一场盛大阅兵庆祝70岁生日，同时文都桐城也以自己的方式庆祝祖国七十华诞，此时发生在桐城的下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）‎ A. 出租车车费与出租车行驶的里程 B. 商品房销售总价与商品房建筑面积 C. 铁块的体积与铁块的质量 D. 人的身高与体重 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的概念来进行判断即可.‎ ‎【详解】对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；‎ 对于B选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；‎ 对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；‎ 对于D选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，‎ 因人而异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系。‎ 故选：D。‎ ‎【点睛】本题考查函数概念的理解，充分理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式，考查学生对这些概念的理解，属于基础题。‎ ‎4.已知函数满足，且当时，，则＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，可以得到的表达式，根据当时，，求出的值.‎ ‎【详解】∵，且当时，，∴.选C.‎ ‎【点睛】本题考查了求函数值问题，根据所给式子进行合理的变形是解题的关键.‎ ‎5.已知函数则＝(　　)‎ A. － B. 2‎ C. 4 D. 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的值，然后求出的值.‎ ‎【详解】因为，所以.故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数求值问题，考查了数学运算能力.‎ ‎6.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由偶函数的定义得出定义域关于原点对称，可得出，由偶函数的性质，将不等式化为，再利用函数在上的单调性列出不等式组可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由于函数是定义在上的偶函数，则定义域关于原点对称，‎ ‎，得，所以，函数的定义域为，‎ 由于函数在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减，‎ 由于函数为偶函数，则，‎ 由，可得，则，解得.‎ 因此，不等式的解集为，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题时要充分利用函数的奇偶性与单调性求解，同时要将自变量置于定义域内，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.‎ ‎7.已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求得函数是以4为周期的周期函数，进而利用时，函数 的解析式和函数的奇偶性，即可求解上的最小值，得到答案．‎ ‎【详解】由题意知，即，‎ 则，‎ 所以函数是以4为周期的周期函数，‎ 又当时，，且是定义在上的奇函数，‎ ‎∴时，，‎ ‎∴当时，，‎ 所以当时，函数的最小值为.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数周期性的判定及应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数周期性的判定方法，得出函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎8.已知定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于是向左平移个单位得到,结合函数的图象可知当或，纵横坐标的积不大于, 即应选C.‎ 考点：函数的图象与单调性、奇偶性的运用．‎ ‎【易错点晴】本题考查的是抽象函数的图象、单调性、奇偶性等性质的问题,解答时充分借助题设中提供的条件信息,进行合理的推理和运算,找出符合题设条件的函数的零点,从而依据不等式所反映的问题的特征,数形结合、合情推证,最后写出所给不等式的解集.解答本题的关键是借助图形中所提供的信息确定函数的零点,再将不等式进行分类与合理转化,最后写出其解集使其获解.‎ ‎9.设函数，则的值域是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】当,即,时,或 ‎,   , 其最小值为  无最大值为, 因此这个区间的值域为:. 当时,,    其最小值为    其最大值为    因此这区间的值域为:. 综合得:函数值域为: ，故选D.‎ ‎10.已知定义在上的函数 和的图象如图 给出下列四个命题：‎ ‎①方程有且仅有个根；②方程有且仅有个根；‎ ‎③方程有且仅有个根；④方程有且仅有个根；‎ 其中正确命题的序号是( )‎ A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据图象可得 ， ①由于满足方程的有三个不同值，由于每个值对应了2个值， 故满足的值有6个，即方程有且仅有6个根，故①正确． ②由于满足方程的有2个不同的值，从图中可知， 一个的值在上，令一个的值在上． 当的值在上时，原方程有一个解；当的值在上时，原方程有3个解．故满足方程的值有4个，故②不正确． ③由于满足方程 的有3个不同的值，从图中可知，一个等于0， 一个，一个． 而当 时对应3个不同的x值；当时，只对应一个值； 当时，也只对应一个值． 故满足方程的值共有5个，故③正确． ④由于满足方程的值有2个，而结合图象可得，每个值对应2个不同的值， 故满足方程 的值有4个，即方程有且仅有4个根，故④正确． 故选 D．‎ ‎11.已知函数的定义域为，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵ 函数 ‎∴函数是开口向上，对称轴为的抛物线 ‎∵函数的定义域为 ‎∴当时，，当时，‎ ‎∵函数在定义域内函数的最大值与最小值之和为-5‎ ‎∴当时，或 ‎∴‎ 故选B ‎12.已知定义在上的函数为增函数，且，则等于（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设f（1）=t，由题意知t≠0，令x=1，代入f（x）•f[f（x）+]=1，得f（t+1）=，令x=t+1代入f（x）•f[f（x）+]=1，得f（+）=t=f（1），由在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，得t2﹣t﹣1=0，由此能求出f（1）．‎ ‎【详解】设f（1）=t，由题意知t≠0，‎ 令x=1，代入f（x）•f[f（x）+]=1，得f（1）f[f（1）+1]=1，‎ 即f（t+1）=，‎ 令x=t+1代入f（x）•f[f（x）+]=1得，f（t+1）f[f（t+1）+]=1，‎ ‎∴f（+）=t=f（1），‎ ‎∵在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，‎ ‎∴+=1，化简得t2﹣t﹣1=0，‎ 解得，t=或t=．‎ ‎∵定义在（0，+∞）上的函数f（x）为增函数，且f（x）•f（f（x）+）=1，‎ ‎∴f（1）=．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数的单调性、换元法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ 二、填空题 ‎13.已知函数，则的解析式为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法求解析式即可 ‎【详解】令，则 ‎ 故 故答案为 ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点 ‎14.若函数在上为增函数，则取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数在上为增函数，则需，‎ 解得，故填.‎ ‎15.已知函数的定义域为，则可求的函数的定义域为,求实数m的取值范围__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数的定义域为，，令,则，由题意知，当时，，作出函数 的图象，‎ 如图所示，由图可得，当或时，，当时，，时，实数的取值范围是，故答案为.‎ ‎16.给出下列说法：‎ ‎①集合与集合是相等集合；‎ ‎②不存在实数,使奇函数；‎ ‎③若，且f(1)=2,则；‎ ‎④对于函数 在同一直角坐标系中，若，则函数的图象关于直线对称；‎ ‎⑤对于函数 在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；其中正确说法是____________.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用集合与集合都是奇数集判断①；由的图象是轴对称图形判断②；推导出，求出可判断③；令，有,则可判断④；根据函数与的图象可以由与的图象向右移了一个单位而得到判断⑤.‎ ‎【详解】在①中，集合与集合 都是奇数集，是相等集合，故①正确.‎ 在②中，由二次函数的图象与性质可知的图象是轴对称图形，所以不存在实数,使为奇函数，故②正确.‎ 在③中，若，且，令可得，，故③正确.‎ 在④中，对于函数 在同一直角坐标系中，若，令，有,则函数的图象关于直线对称，故④错误.‎ 在⑤中，对于函数 ，在同一直角坐标系中，与的图象关于直线对称，函数与的图象可以由与的图象分别向右移了一个单位而得到，从而可得函数与的图象关于直线对称，故⑤错误，故答案为①②③.‎ ‎【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查集合相等、函数的奇偶性、函数图象的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ 三、解答题 ‎17. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．‎ ‎(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；‎ ‎(3)当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）(－∞，3] （2）254 （3）(－∞，2)∪(4，＋∞)‎ ‎【解析】‎ 解：(1)因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＋1>2m－1，则m<2；‎ 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得，解得2≤m≤3.‎ 综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3]．‎ ‎(2)当x∈Z时，A＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254‎ ‎(3)当B＝∅时，由(1)知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，‎ 可得，‎ 或，解得m>4.‎ 综上可得，实数m取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）若f(－1）＝f(1)，求a，并直接写出函数的单调增区间；‎ ‎（2）当a≥时，是否存在实数x，使得＝一？若存在，试确定这样的实数x的个数；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1），单调增区间为，；（2）2个.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据题中所给的函数解析式，利用，得到所满足的等量关系式，求得的值，从而得到函数的解析式，进而求得函数的单调增区间；‎ ‎（2）根据条件，结合函数解析式，分类讨论，分析性质，‎ ‎【详解】（1）由，得，解得．‎ 此时，函数 所以函数的单调增区间为，．‎ ‎（2）显然，不满足；‎ 若，则，由，得，‎ 化简，得，无解：‎ 若，则，由，得，‎ 化简，得．‎ 令，．‎ 当时，；‎ 下面证明函数在上是单调增函数．‎ 任取，且，‎ 则 由于 ‎，‎ 所以，即，故在上是单调增函数。‎ 因为，，‎ 所以，又函数的图象不间断，所以函数在上有且只有一个零点．‎ 即当时，有且只有一个实数x满足．‎ 因为当满足时，实数也一定满足，即满足的根成对出现（互为相反数）；‎ 所以，所有满足的实数x的个数为2．‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数解析式中参数的确定，分段函数的单调区间的求解，是否存在类问题的求解思路，分类讨论思想的应用，属于较难题目.‎ ‎19.定义在上的函数满足：对任意的，都有．‎ ‎（）求的值；‎ ‎（）若当时，有，求证：在上是单调递减函数；‎ ‎（）在（）的条件下解不等式：．‎ ‎【答案】（）；（）证明见解析；（）．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）令，根据函数的性质可得．（2）先证明函数是奇函数，然后再根据函数单调性的定义证明在上是单调递减函数．（3）将原不等式化为化为，根据函数的单调性和定义域得到关于的不等式组，解不等式组即可．‎ ‎【详解】（）令，‎ 则，‎ ‎∴．‎ ‎（）令，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴是奇函数．‎ 设，且，‎ 则．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ 在上是单调递减函数．‎ ‎（）不等式可化为．‎ ‎∵ 在上是减函数，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎【点睛】（1）解答抽象函数问题时，一是要注意赋值法的运用，二是要灵活运用所给的函数的性质求解．‎ ‎（2）在根据函数的单调性去掉不等式中的函数符号时，往往忽视定义域，解题时一定要注意这一点，避免出现错误．‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）若在区间上的最小值为，求的值；‎ ‎（2）若存在实数，使得在区间上单调且值域为，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二次函数单调性讨论即可解决。‎ ‎（2）分两种情况讨论，分别讨论单调递增和单调递减的情况即可解决。‎ ‎【详解】（1）若，即时，，‎ 解得：，‎ 若，即时，，‎ 解得：（舍去）.‎ ‎（2）（ⅰ）若在上单调递增，则，‎ 则，‎ 即是方程的两个不同解，所以，即，‎ 且当时，要有，‎ 即，可得，‎ 所以；‎ ‎（ⅱ）若在上单调递减，则，‎ 则，‎ 两式相减得：，‎ 将代入（2）式，得，‎ 即是方程的两个不同解，‎ 所以，即，‎ 且当时要有，‎ 即，可得，‎ 所以，‎ ‎（iii）若对称轴在上，则不单调，舍弃。‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，在解决二次函数问题时需要关注的是单调性、对称轴、最值、开口、等属于中等偏上的题。‎ ‎21.设，其中．‎ ‎1当时，分别求及的值域；‎ ‎2记，，若，求实数t值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或或或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1当时，求出函数和的解析式，结合二次函数的性质进行求解即可 ‎2根据，得到两个集合的值域相同，求出两个函数对应的最值建立方程即可 ‎【详解】1当时，由，‎ 当且仅当时，取等号，即的值域为．‎ 设，则，‎ 则，‎ 当且仅当，即时，取等号，‎ 故的值域为．‎ ‎2，，即此时函数的值域为，‎ ‎，‎ ‎，得或，‎ 当时，即或，‎ ‎，即，‎ 即，则，得或成立．‎ 当时，即时，‎ ‎，‎ 即，即，‎ 即或或，‎ 或满足条件，‎ 综上或或或成立．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合复合函数值域关系求出的最值是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度．‎ ‎22.已知实数，函数.‎ ‎（1）当时，求的最小值;‎ ‎（2）当时,判断的单调性,并说明理由；‎ ‎（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.‎ ‎【答案】（1）2；（2）递增；（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)研究函数问题，一般先研究函数的性质，如奇偶性，单调性，周期性等等，如本题中函数是偶函数，因此其最小值我们只要在时求得即可；（2）时，可化简为，下面我们只要按照单调性的定义就可证明在上函数是单调递增的，当然在上是递减的；（3）处理此问题，首先通过换元法把问题简化，设 ‎，则函数变为，问题变为求实数的范围，使得在区间上，恒有．对于函数，我们知道，它在上递减，在上递增，故我们要讨论它在区间上的最大（小）值，就必须分类讨论，分类标准显然是，，，在时还要讨论最大值在区间的哪个端点取得，也即共分成四类．‎ 试题解析：易知的定义域为，且为偶函数.‎ ‎（1）时,2分 时最小值为2. 4分 ‎（2）时,‎ 时，递增；时，递减； 6分 为偶函数.所以只对时，说明递增.‎ 设，所以，得 所以时，递增； 10分 ‎（3），，‎ 从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，‎ 恒有. 11分 ‎①当时，在上单调递增，‎ 由得，‎ 从而； 12分 ‎②当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ 由得，从而； 13分 ‎③当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ 由得，从而； 14分 ‎④当时，在上单调递减，‎ 由得，从而； 15分 综上，. 16分 考点：（1）函数的最值；（2）函数的单调性的证明；（3）分类讨论与函数的最值．‎