2018-2019学年福建省厦门市湖滨中学高一3月月考数学试题 解析版

2018-2019学年福建省厦门市湖滨中学高一3月月考数学试题 解析版

‎ ‎ ‎2018-2019学年福建省厦门市湖滨中学高一3月月考数学试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．在中，，则等于（　　）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎2．在中，，，分别是三个内角、、的对边，，，，则（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎3．已知等差数列的前项和为，若，，则该数列的公差为( )‎ A．-2 B．2 C．-3 D．3‎ ‎4．已知数列的通项，则其前项和取得最大值时的值为（ ）‎ A．1 B．7或8 C．8 D．7‎ ‎5．若三个实数a，b，c成等比数列，其中，，则b＝（　　）‎ A．2 B．－2 C．±2 D．4‎ ‎6．数列的前项和为，且，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在中，，，，则　　‎ A．4 B．2 C．4或2 D．‎ ‎8．如图，一座建筑物AB的高为 (30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ‎．在它们之间的地面上点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为 () ‎ A．30 m B．60 m C．30m D．40m ‎9．在等差数列中，，则数列的前9项和等于　　‎ A．126 B．130 C．147 D．210‎ ‎10．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则( )‎ A．23 B．32 C．35 D．38‎ ‎11．若一个等差数列的第二项为5，最后4项的和为48，且所有项的和为63，则这个数列有（ ）‎ A．5项 B．6项 C．7项 D．8项 ‎12．在中，角的对边分别为，.则的最大值为( )‎ A．1 B．2 C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．若的三边长为2，3，4，则的最大角的余弦值为______．‎ ‎14．在等差数列中，已知，则______.‎ ‎15．中，角所对的边分别为，已知，则_____．‎ ‎16．在数列中，，，则数列的通项______‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17（10分）．在中，角所对的边分别为.已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎18（12分）．已知等差数列满足．‎ ‎（1） 求的通项公式；‎ ‎（2） 设等比数列满足 ,求的前项和．‎ ‎19（12分）．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知．‎ ‎（1）求角C的大小 ‎（2）若，的面积为，求的周长．‎ ‎20（12分）．已知数列是等比数列，公比，若，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎21（12分）．如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：‎ ‎(1)A处与D处的距离；‎ ‎(2)灯塔C与D处的距离．‎ ‎22（12分）．数列的前项和为，满足，等比数列满足. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ 湖滨中学高一月考数学参考答案 ‎1．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，利用正弦定理列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，即，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.题目是已知两角以及其中一角的对边，常用的是利用正弦定理来解三角形.如果已知条件是两边以及它们的夹角，则考虑用余弦定理来解三角形.如果已知条件是三边，则考虑用余弦定理来解三角形.如果已知两边以及一边的对角，则考虑用正弦定理来解三角形，此时要注意解的个数.‎ ‎2．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理列方程，解方程求得的值，根据特殊角的三角函数值求得的大小.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，解得，故或，所以选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎3．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：5d＝25，‎ 解得d＝2．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出使的的最大值即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由得，解得，又，‎ ‎∴时，当时，；‎ 则前项和取得最大值时.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的单调性，还考查了转化思想，属于基础题。‎ ‎5．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由实数a，b，c成等比数列，得,从而得解.‎ ‎【详解】‎ 由实数a，b，c成等比数列，得.‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的基本性质，属于基础题.‎ ‎6．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件得到数列是等比数列，并且得到首项和公比，根据等比数列前项和公式求得.‎ ‎【详解】‎ 由可知数列为等比数列，且公比为，首项为，故.所以选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前项和公式，属于基础题.‎ ‎7．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理，建立等式，解方程，计算长度，即可。‎ ‎【详解】‎ 利用余弦定理可知，而，代入可得，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 考查了余弦定理，关键利用余弦定理，建立方程，计算，即可，难度中等。‎ ‎8．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合直角三角形的性质和正弦定理求解塔的高度即可.‎ ‎【详解】‎ 作AE⊥CD，垂足为E，则：‎ 在△AMC中，AM==20，∠AMC=105°，∠ACM=30°，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC=60+20，‎ ‎∴CD=30-10+AC=60m.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 解三角形应用题的一般步骤：‎ ‎(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．‎ ‎(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．‎ ‎(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．‎ ‎(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.‎ ‎9．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合等差数列的性质和等差数列前n项和公式求解S9即可.‎ ‎【详解】‎ 在等差数列中， ，‎ ‎，‎ 解得，‎ 数列的前9项和：‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质，等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得儿子的岁数成等差数列，其中公差，，根据等差数列的前 项和公式即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为，其中公差，，‎ 即，解得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎11．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设该等差数列为{an}，前n项和为Sn，由题意可得a2=5，an+an-1+an-2+ an-3=48，结合等差数列的性质可得Sn= an+an-1+an-2+ an-3+ a3+a2+a1=63，进而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设该等差数列为{an}，前n项和为Sn，‎ 由题意可得a2=5，an+an-1+an-2+ an-3=48，∵ a1+a3=2a2=10, ∴a1+a3+a2=15 ‎ ‎∴Sn= a1+a2+ a3+……+an= an+an-1+an-2+ an-3+ a3+a2+a1=48+15=63 ，当n=7时满足题意，故选C ‎【点睛】‎ 解决等差数列问题时，一般要先对已知条件进行分析，通过等差数列的性质进行转化，结合定义和公式，进而求解。‎ ‎12．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题干得到B=，原式，根据角A的范围得到最值即可.‎ ‎【详解】‎ 角的对边分别为，，变形为：‎ 根据余弦定理，故角B=.‎ ‎, ‎ 因为 ‎ 故最大值为：1.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用三角形的三边关系式和余弦定理求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：根据大边对大角得到：‎ 设，，，‎ 所以：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：三角形的三边关系式及余弦定理的应用．‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 整理得： ，利用即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎ ，又 ‎ 。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，属于基础题。‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用切化弦和正弦定理化为整理即可求解.‎ ‎【详解】‎ 原式可化为：，‎ 去分母移项得：，‎ 所以，‎ 因为不为0，所以，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角恒等变换，正弦定理，熟记切化弦和正弦定理，准确计算是关键，是基础题.‎ ‎16．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推公式，结合累加法，可求得通项公式。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：‎ 利用累加法得：，‎ 又，于是：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了递推公式与累加法的应用，属于基础题。‎ ‎17．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；‎ ‎（2）利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ，由余弦定理可得 ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎18．（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组可求得的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，根据基本元的思想，，将其转化为的形式，由此求得的值，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设的公差为，则由得,‎ 故的通项公式，即．‎ ‎（2）由（1）得．‎ 设的公比为，则，从而，‎ 故的前项和．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.‎ ‎19．（Ⅰ）．（Ⅱ）. ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式可得值，结合范围，即可得解的值．‎ ‎（Ⅱ）利用正弦定理及面积公式可得，再利用余弦定理化简可得值，联立得从而解得周长．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理，得 ‎，‎ 在中，因为，所以 故， ‎ 又因为0＜C＜，所以． ‎ ‎（Ⅱ）由已知，得.‎ 又，所以. ‎ 由已知及余弦定理，得， ‎ 所以，从而.即 ‎ 又，所以的周长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．‎ ‎20．（1） ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件建立方程组，求出数列的首项和公比，进一步求出数列的通项公式．‎ ‎（2）利用（1）的结论，进一步利用等差数列的前n项和公式求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得 ‎ 则或（舍去）.‎ 所以 .‎ ‎（2）因为.‎ 所以数列是首项为2，公差为-1的等差数列.‎ 设数列的前项和为 ,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．‎ ‎21．(1) , (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合等比中项性质和等差数列的性质，代入，计算首项，计算通项，即可。（2）分类讨论，计算的和，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意成等比数列可知：‎ 从而，且 解得 所以 ‎ ‎（2）由，知：‎ 当时；‎ 当时；‎ 当时 ‎ 所以：当时， ‎ 当时，‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了等差数列通项公式，考查了等差数列前n项和公式，关键求和分类讨论，难度中等。‎ ‎22．(1)；(2).‎ ‎【解析】分析：（1）由题意可得，，则；‎ ‎（2）由题意可得 ，由正弦定理有 ，记，结合三角函数的性质可得时，取最大，最短，则此时.‎ 详解：（1）由图得： ∴，‎ 又 ∴ ∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由图得：且 ，‎ ‎∴ ，‎ 在中，由正弦定理可得: ，‎ ‎∴ ，‎ 记 ‎，‎ 又 ，∴ ，‎ ‎∴时，取最大，最短，则此时.‎ 点睛：解三角形应用题的一般步骤 ‎(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．‎ ‎(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．‎ ‎(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．‎ ‎(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.‎