陕西省安康市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

陕西省安康市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

安康市2019~2020学年第一学期高一年级期中考试数学 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知全集，集合则下图中阴影部分所表示的集合为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据韦恩图知阴影部分表示的是A中的元素除去A与B的公共元素所剩下的元素，由此可得选项.‎ ‎【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示的是A中的元素除去A与B的交集的元素所剩下的元素．因为，所以阴影部分所表示的集合是．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查韦恩图和集合的交集基本运算,属于基础题．‎ ‎2.设函数 ,则（ ）‎ A. -2 B. ‎-1 ‎C. 0 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分段函数性质求解即可 ‎【详解】由题 故选B ‎【点睛】本题考查分段函数求值，是基础题 ‎3.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数f（x）的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出x的取值范围即可．‎ ‎【详解】∵f（x），‎ ‎∴；‎ 解得﹣1＜x＜0，或0＜x≤3，‎ ‎∴f（x）的定义域是（﹣1，0）∪（0，3]．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，求出函数的定义域，是基础题．‎ ‎4.已知函数且的图象恒过定点,点在幂函数的图象上，则（ ）‎ A. B. ‎9 ‎C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数y＝ax﹣2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，当x﹣2＝0时，y＝4，得定点P（2，4）；由于点P在幂函数f（x）的图象上，用待定系数法求得幂函数解析式，即可得 的值．‎ ‎【详解】∵函数y＝ax﹣2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，‎ ‎∴当x﹣2＝0时，y＝4，得定点P（2，4）；‎ ‎∵点P在幂函数f（x）的图象上，‎ 设f（x）＝xα，则f（2）＝2α＝4，∴α＝2；‎ ‎∴f（x）＝x2，‎ 故选A ‎【点睛】本题考查了指数函数过定点问题，幂函数的定义，待定系数法求函数解析式，求函数值问题等，属于综合题．‎ ‎5.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数性质以及特殊值即可判断．‎ ‎【详解】依据函数是偶函数，偶函数关于轴对称，排除A，D；‎ 又 且 知，选项C符合题意，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象及其性质．‎ ‎6.下列函数中与函数y=x相等的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 函数的定义域为 ，而函数的定义域为 故函数与函数不相等；‎ 函数 ，故函数与函数不相等；‎ 函数的定义域为，而函数的定义域为 故函数与函数不相等；‎ 函数的定义域为，且,故函数 与函数相等.‎ 选D ‎7.函数的零点所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连续函数f（x）＝1在（0，+∞）上单调递增且f（1）f（2）＜0，根据函数的零点的判定定理可求结果．‎ ‎【详解】∵函数f（x）＝1在定义域（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（1）＜0，f（2）＞0，f（3）>0，f（4）＞0，f（5）＞0，‎ ‎∴根据根的存在性定理得f（x）＝1的零点所在的一个区间是（1，2），‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题．‎ ‎8.下列函数是偶函数且在区间上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项判断函数的奇偶性和单调性即可．‎ ‎【详解】A．f（﹣x）＝≠f（x），则函数f（x）不是偶函数，不满足条件．‎ B．在（0，+∞）上为减函数，且f（x）为偶函数，满足条件．‎ C．f（﹣x）＝ln|﹣x|＝ln|x|＝f（x），则函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx为增函数，不满足条件．‎ D．f（﹣x）＝＝-f（x），则函数f（x）是奇函数，不满足条件．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键．‎ ‎9. （ ）‎ A. -10 B. ‎-8 ‎C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据指数与对数的运算法则进行化简即可．‎ ‎【详解】 ‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查对数式的化简和求值，根据对数的运算法则是解决本题的关键．‎ ‎10.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出再利用指数函数与函数单调性比较大小 ‎【详解】，， ‎ 又 ，故 故选A ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎11.已知是R上的偶函数，且在区间上单调递减,则满足的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由偶函数的性质及的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出的取值范围．‎ ‎【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减,‎ 则，解得或，‎ 则x的取值范围是.‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于常考题型．‎ ‎12.已知函数,若,则（ ）‎ A. -1 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用f（x）+及f（a）＝1得出f（﹣a）的值．‎ ‎【详解】；‎ ‎∴．故f（x）+，则 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的对称性以及对数的运算性质，推导出f（x）+是关键 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f（x）为R上的奇函数即可得出f（2）＝﹣f（﹣2），并且x<0时，f（x）＝﹣x，从而将x＝﹣2带入f（x）＝﹣x的解析式即可求出f（﹣2），从而求出f（2）．‎ ‎【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数，并且x<0时，f（x）＝﹣x；‎ ‎∴f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣[-1﹣（﹣2）]＝-1．‎ 故答案为-1．‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法，熟记奇函数性质是关键，是基础题 ‎14.定义集合运算:,设,，则集合的真子集的个数为________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据A⊗B的定义即可求出A⊗B＝{3， 2，4}，从而得出真子集的个数．‎ ‎【详解】∵A⊗B＝{3， 2，4}含有3 个元素 ‎∴集合A⊗B的真子集为个数为个．‎ 故答案为7．‎ ‎【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，真子集的定义及求法，理解A⊗B的定义．‎ ‎15.函数的零点个数为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在同一个坐标系画两个函数再研究通过观察即可得到所求零点个数．‎ ‎【详解】在同一个坐标系画两个函数，如图所示 则f（x）的零点个数为2．‎ 故答案为2．‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点个数的求法，注意运用数形结合思想方法，考查观察和判断能力，属于基础题．‎ ‎16.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令t（x）＝x2﹣ax+‎2a，则由题意可得t的对称轴x1，且 t（1）＝1+a＞0，由此求得a的取值范围．‎ ‎【详解】令t（x）＝x2﹣ax+‎2a，则函数f（x）＝log2t（x），又单调递增，则t（x）＝x2﹣ax+‎2a在区间单调递增 由题意可得函数t（x）的图象的对称轴 x1，且 t（1）＝1+a＞0，‎ 求得a≤2，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.设集合,.‎ ‎(1)若,求;‎ ‎(2)若,求的取值范围，‎ ‎【答案】(1)；(2) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求解指数不等式化简集合A，代入m=3求得B,再求并集和补集 ‎（2）对集合B分类讨论，当B为空集时满足题意，求出m的范围，当B≠∅时，由两集合端点值间的关系列不等式求解．‎ ‎【详解】（1），当时，，‎ ‎∴∴.‎ ‎（2）若，则，即，;‎ 若，即时，要使，则,解得,‎ 综上可得或.‎ ‎【点睛】本题考查子集与真子集，考查了集合的包含关系及其应用，训练了指数不等式的解法，是中档题．‎ ‎18.某粮油超市每月按出厂价30元/袋购进种大米，根据以往的统计数据,若零售价定为42元/袋,每月可销售320袋.现为了促销，经调查，若零售价每降低一元，则每月可多销售40袋.在每月的进货都销售完的前提下,零售价定为多少元/袋以及每月购进多少袋大米，超市可获得最大利润，并求出最大利润.‎ ‎【答案】零售价定为40元/袋，每月购进大米400袋，可获得最大利润4000元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设销售价为x元/袋，则由题意知当月销售量进而得出当月销售所得的利润，再根据二次函数的性质求得f（x）取得最大值时进货量即得答案．‎ ‎【详解】设零售价定为元/袋，利润为元，则购进大米的袋数为,‎ 故，‎ 当时，取最大值4000元，此时购进大米袋数为400袋,‎ 综上所述，零售价定为40元/袋，每月购进大米400袋，可获得最大利润4000元.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用、二次函数的性质等，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，‎ ‎19.已知函数的定义域是，且满足,当时,.‎ ‎(1)求的值:‎ ‎(2)判断并证明的单调性.‎ ‎【答案】(1)0；(2) 在上的是增函数，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件可令x＝y＝1，即可得到f（1）；‎ ‎（2），则,由x＞1时，f（x）＞0，则f＞0，则有即可判断；‎ ‎【详解】（1）令，则，解得.‎ ‎（2）在上是增函数，设，且，则,∴‎ ‎∴，即,‎ ‎∴在上的是增函数.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性及判断，考查运算能力，属于中档题和易错题．‎ ‎20.已知是定义在上的奇函数.‎ ‎(1)求实数的值:‎ ‎(2)若.求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，解可得m的值，验证即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，判断函数的单调性，可得函数f（x）在[﹣1，1]‎ 单调递增，据此原不等式变形可得有，解可得a的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】（1）根据题意可得，解得，‎ 当时，，为奇函数，符合题意.‎ ‎（2）易知函数在上单调递增，，‎ 则，解得.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及性质的应用，注意考虑函数的定义域，属于中档题．‎ ‎21.定义在R上的偶函数满足:当时,.‎ ‎(1)求时, 的解析式;‎ ‎(2)若函数在区间上的最大值为4,求的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 当时，，,再利用偶函数性质求解即可 ‎(2)讨论二次函数对称轴与区间的位置关系，求最大值即可求解 ‎【详解】（1）当时，，, ‎ ‎∵偶函数，∴.‎ ‎（2）当，即时，在上递减，∴,，不符合；‎ 当，即时，,，此时；‎ 当，即时，在上递增，∴.,，不符合，‎ 综上可得.‎ ‎【点睛】本题考查偶函数性质，考查二次函数最值，考查分类讨论思想，是中档题 ‎22.已知函数，且.‎ ‎(1)若,求的值:‎ ‎(2)若对任意的恒成立.求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简f（x）＝0，然后，针对x进行讨论解方程即可 ‎（2）问题转化为，构造二次函数，利用函数性质求解即可 ‎【详解】（1）当时，，‎ 当时,.‎ 故由得，.‎ ‎（2）∵，∴，，‎ ‎∵，∴令，则在上恒成立，故，解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，恒成立问题多需要转化，转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用，同时转化过程更提出了等价的意识和要求，是中档题．‎