2019届二轮（理科数学） 函数的单调性与导数课件（30张）（全国通用）
第2节 函数的单调性与导数
内容简介
本节主要包含以下三方面的知识点
:
(1)
判定或证明函数的单调性
;
(2)
已知函数的单调性求参数的范围
;
(3)
单调性的应用
.
考试说明要求
:
了解函数单调性和导数的关系
,
能用导数求函数的单调区间
.
知识梳理
例题精讲
课前检测
知识梳理
1.
函数的单调性
设
f(x)
的定义域为
D,
区间
I⊆D,
若对于∀
x
1
,x
2
∈I,x
1
f(x
2
),
则称
f(x)
在
I
上单调递减
,I
称为单调递减区间
.
2.
导数与单调区间的联系
(1)
函数
f(x)
在
(a,b)
可导
,
那么
f(x)
在
(a,b)
上单调递增⇒
;
(2)
函数
f(x)
在
(a,b)
可导
,
则
f(x)
在
(a,b)
上单调递减⇒
.
∀
x∈(a,b),f′(x)≥0
∀
x∈(a,b),f′(x)≤0
3.
利用导数求函数单调区间的步骤
(1)
确定函数的定义域
;
(2)
求出
f(x)
的导函数
f′(x);
(3)
令
f′(x)>0(
或
<0),
求出
x
的解集
,
即为
f(x)
的单调增
(
或减
)
区间
;
(4)
列出表格
,
表示函数相应单调区间
.
4.
求单调区间的一些技巧
(1)
强调先求定义域
,
一方面定义域对单调区间有限制作用
(
单调区间为定义域的子集
).
另一方面通过定义域对
x
取值的限制
,
对解不等式有时会起到简化的作用
,
方便单调区间的求解
;
(2)
在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式
,
以简化不等式
;
(3)
一般可令
f′(x)>0,
这样解出的解集就是单调增区间
(
方便记忆
),
若
f(x)
不存在常值函数部分
,
那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可
(
简化求解的步骤
);
(4)
若
f′(x)>0
的解集为定义域
,
那么说明
f(x)
是定义域上的增函数
,
若
f′(x)>0
的解集为
,
那么说明没有一个点切线斜率大于零
,
那么
f(x)
是定义域上的减函数
;
(5)
导数只是求单调区间的一个有力工具
,
并不是唯一方法
,
以前学过的一些单调性判断方法也依然好用
,
例如
:
增
+
增→增
,
减
+
减→减
,(-1)×
增→减
,
复合函数单调性同增异减等
.
如果能够通过结论直接判断
,
那么就无需用导数来判定
.
课前检测
1.
函数
f(x)=x-sin x
是
(
)
(A)
奇函数且单调递增
(B)
奇函数且单调递减
(C)
偶函数且单调递增
(D)
偶函数且单调递减
解析
:
因为
f′(x)=1-cos x≥0
对一切
x∈
R
都成立
,
所以
f(x)
是
R
上的增函数
,
又
f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sin x=-f(x),
所以
f(x)
是
R
上的奇函数
.
A
2.
函数
y=e
x
-x
的单调递增区间为
(
)
(A)(-∞,1] (B)[1,+∞)
(C)(-∞,0] (D)(0,+∞)
解析
:
因为
y′=e
x
-1,
由
y′>0
得
x>0,
由
y′<0
得
x<0,
所以函数的单调递增区间为
(0,+∞).
D
3.
已知函数
f(x)(x∈
R
)
满足
f′(x)>f(x),
则
(
)
(A)f(2)e
2
f(0)
D
答案
:
(1,2]
例题精讲
考点一
利用导数研究函数的单调性
规律方法
(1)
确定函数单调区间的
4
个步骤
:
①
确定函数
f(x)
的定义域
;
②
求
f′(x);
③
解不等式
f′(x)>0,
解集在定义域内的部分为单调递增区间
;
④
解不等式
f′(x)<0,
解集在定义域内的部分为单调递减区间
.
(2)
研究含参数函数的单调性时
,
需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论
.
考点二
由函数的单调性确定参数的取值范围
规律方法
根据函数单调性求参数的一般思路:
(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;
(2)转化为不等式恒成立问题,即
“
若函数单调递增,则f′(x)≥0;若函数单调递减,则f′(x)≤0
”
来求解,当然,在转化过程中要注意所给区间的开闭及不等式中等号有无等细节;
(3)要注意区分
“
函数在区间(a,b)上单调
”
与
“
函数的单调区间为(a,b)
”
.
考点三
单调性的应用
【
例
3】
(2015
·
全国
Ⅱ
卷
)
设函数
f′(x)
是奇函数
f(x)(x∈
R
)
的导函数
f(-1)=
0,
当
x>0
时
,xf′(x)-f(x)<0,
则使得
f(x)>0
成立的
x
的取值范围是
(
)
(A)(-∞,-1)∪(0,1) (B)(-1,0)∪(1,+∞)
(C)(-∞,-1)∪(-1,0) (D)(0,1)∪(1,+∞)
规律方法
解该类题型
,
一定要能直接或间接判断函数的单调性
.
因此联系导数的四则运算和复合运算法则
,
构造符合题意的一个抽象函数或具体函数
,
利用函数的单调性解之
.
一般遇到条件是相减的可以考虑通过两个函数相除来构造
,
若条件是相加的可以考虑通过两个函数相乘来构造
,
本质是逆用求导法则
.
也可以掌握两个基本模型的导数
:
(1)[f(x)e
αx
]′=f′(x)e
αx
+αf(x)e
αx
;
(2)[f(x)x
α
]′=f′(x)x
α
+αf(x)x
α-1
.
在具体题目中将
α
用符合题意的具体的数值代入即可
.
变式
2:
设
f(x)
是定义在
R
上的函数
,
对任意
x∈
R
,
均有
f(x)+f(-x)=x
2
,
当
x>0
时
,f′(x)>x,
解不等式
f(2-a)-f(a)≥2-2a.
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