高中数学：第一章《计数原理》测试（2）（新人教A版选修2-3）

高中数学：第一章《计数原理》测试（2）（新人教A版选修2-3）

第一章 计数原理单元测试题 时间:120 分钟,满分 150 分 本套题难度适中,主要考查学生的基本知识、基本方法、基本能力,如 1—9 题和 13 题都是这一部分的 基本题目类型,对排列、组合和二项式定理的基本知识考查比较全面,且在考查基本知识的同时,也注重学生 数学思想的考查,如 10、12、18 题考查了学生分类讨论的思想方法,11,14,17,21,22 考查了学生转化与化 归的思想方法,这些题目需要大家有较高的分析能力和运算能力,以及综合应用能力. 一、选择题（本大题共 12 小题，每 小题 5 分，共 60 分） 1．5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方 法共有（ ） A．10 种 B．20 种 C．25 种 D．32 种 2．甲、乙、丙 3 位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不 同的选修方案共有 A．36 种 B．48 种 C．96 种 D．192 种 3.记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在 两端，不同的排法共有（　　） A．1440 种 B．960 种 C．720 种 D．480 种 4. 某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成，其中 4 个数字互不相同的牌 照号码共有（　　） Ａ． 个 Ｂ． 个 Ｃ． 个 Ｄ． 个 5. 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求 星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有 A 40 种 B 60 种 C 100 种 D 120 种 6. 由数字 0，1 ，2，3，4，5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) A.72　　　　 B.60　　 　　 C.48　　　　 D.52 7.用 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字 12340 应是第（　 ）个数. A.6　　　 B.9　　 C.10　 　　D.8 8.AB 和 CD 为平面内两条相交直线，AB 上有 m 个点，CD 上有 n 个点，且两直线上各有一个 与交点重合，则以这 m+n-1 个点为顶点的三角形的个数是( ) A . B. C. D. 9.设 ,则 的值为( ) A.0　　　　 B.- 1　　　　 C.1　　　　　 D. ( )21 4 26 10C A 2 4 26 10A A ( )21 4 26 10C 2 4 2610A 2121 mnnm CCCC + 21 1 21 mnnm CCCC −+ 2121 1 mnnm CCCC +− 2 1 1 1 21 1 −−− + mnnm CCCC ( ) 10 10 2 210 10 2 xaxaxaax +⋅⋅⋅+++=− ( ) ( )2 921 2 1020 aaaaaa +⋅⋅⋅++−+⋅⋅⋅++ 10. 2006 年世界杯参赛球队共 32 支,现分成 8 个小组进行单循环赛,决出 16 强(各组的前 2 名小组出线),这 16 个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出 8 强,再决出 4 强,直到决出冠、亚 军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( ) A.64 B.72 C.60 D.56 11.用二项式定理计算 9.985，精确到 1 的近似值为( ) A.99000　 B.99002　　 C.99004　　　 D.99005 12. 从不同号码的五双靴中任取 4 只，其中恰好有一双的取法种数为 （ ） A.1 20 B.240 C.360 D.72 二、 填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13. 今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列 有　　种不同的方法（用数字作答）. 14. 用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字 1，2 相邻的偶数有　　　 个（用数字作答）． 15. 若(2x3+ )n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数 n 等于 . 16. 从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、 乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．如图，电路中共有 7 个电阻与一个电灯 A，若灯 A 不亮，分析因电阻断路的可能性共 有多少种情况。 18．从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： 　　①能组成多少个没有重复数字的七位数？ 　　②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？ 　　③在①中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ 　　④在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？ x 1 ○A R R R R R R R 19．把 1、2、3、4、5 这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排 列成一个数列. （1） 43251 是这个数列的第几项？ （2） 这个数列的第 96 项是多少？ （3） 求这个数列的各项和. 20.（本小题满分 12 分）求证： 能被 25 整除。 21. （本小题满分 14 分）已知 的展开式的各项系数之和等于 展开式中的常数项，求 展开式中含 的项的二项式系数. n a a       − 33 5 3 5 14       − b b n a a       − 33 22. （本小题满分 14 分）若某一等差数列的首项为 ,公差为 展开式中的常数项,其中 m 是 除以 19 的余数，则此数列前多少项的和最大？并求 出这个最大值. 22 311 211 5 − − − − n n n n PC m xx      − 3 2 5 2 2 5 157777 − 单元测试卷参考答案 一、选择题：（每题 5 分，共 60 分） 1、D　解析：5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同 的报名方法共有 25=32 种，选 D 2、C　解析．甲、乙、丙 3 位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案共有 种，选 C 3、解析：5 名志愿者先排成一排，有 种方法，2 位老人作一组插入其中，且两位老人有 左右顺序，共有 =960 种不同的排法，选 B 4、A　解析：某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成，其中 4 个数字互不 相同的牌照号码共有 个，选 A 5、B 解析：从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一 天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有 种，选 B 6、B 解析:只考虑奇偶相间,则有 种不同的排法,其中 0 在首位的有 种不符合 题意,所以共有 种. 7、C　　解析: 比 12340 小的分三类:第一类是千位比 2 小为 0,有 个; 第二类是千位 为 2 ,百位比 3 小为 0,有 个; 第三类是十位比 4 小为 0,有 1 个.共有 6+2+1=9 个,所以 12340 是第 10 个数. 8、D　　解析:在一条线上取 2 个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点. 9、C 解析: 由 可得: 当 时, 当 时, . 2 3 3 4 4 4 96C C C⋅ ⋅ = 5 5A 5 52 4 A⋅ ⋅ ( )21 4 26 10C A 2 2 5 3 60C A = 3 3 3 32 AA 3 3 2 2 AA 3 3 3 32 AA 603 3 2 2 =− AA 63 3 =A 22 2 =A ( ) 10 10 2 210 10 2 xaxaxaax +⋅⋅⋅+++=− 1=x ( ) 10 10 2 210 10 11112 aaaa +⋅⋅⋅+++=− 10210 aaaa +⋅⋅⋅+++= 1−=x ( ) 103210 10 12 aaaaa +⋅⋅⋅+−+−=+ 10210 aaaa +⋅⋅⋅++−= ( ) ( )2 921 2 1020 aaaaaa +⋅⋅⋅++−+⋅⋅⋅++∴ ( )10210 aaaa +⋅⋅⋅+++= ( )103210 aaaaa +⋅⋅⋅+−+− ( ) ( ) ( )( )[ ] 112121212 101010 =+−=+−= 10、A 解析:先进行单循环赛,有 场,在进行第一轮淘汰赛,16 个队打 8 场,在决出 4 强,打 4 场,再分别举行 2 场决出胜负,两胜者打 1 场决出冠、亚军,两负者打 1 场决出三、 四名,共举行:48+8+4+2+1+1=64 场. 11、C　　解析: . 12、A 解析:先取出一双有 种取法,再从剩下的 4 双鞋中取出 2 双,而后从每双中各取 一只,有 种不同的取法,共有 种不同的取法. 二、 填空题(每小题 4 分，共 16 分） 13、1260　　解析：　由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有 14、24　解析：可以分情况讨论：① 若末位数字为 0，则 1，2，为一组，且可以交换位置， 3，4，各为 1 个数字，共可以组成 个五位数；②若末位数字为 2，则 1 与它相邻， 其余 3 个数字排列，且 0 不是首位数字，则有 个五位数；③ 若末位数字为 4，则 1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为 1 个数字，且 0 不是首位数字，则有 =8 个五位数，所以全部合理的五位数共有 24 个 15、7　解析：若(2x3+ )n 的展开式中含有常数项， 为常数项， 即 =0，当 n=7，r=6 时成立，最小的正整数 n 等于 7. 16、36 种　　解析．从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与 体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余 3 人中选出 1 人担任文娱委员，再 从 4 人中选 2 人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有 种 三、解答题（共六个小题，满分 74 分） 17.解：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线 a、 b、c，支线 a，b 中至少有一个电阻断路情况都有 22―1=3 种；………………………4 分 支线 c 中至少有一个电阻断路的情况有 22―1=7 种，…………………………………6 分 每条支线至少有一个电阻断路，灯 A 就不亮， 因此灯 A 不亮的情况 共有 3×3×7=63 种情况.………………………………………10 分 18. 解：①分步完成：第一步在 4 个偶数中取 3 个，可有 种情况； 488 2 4 =C ( )559.98 10 0.02= − ( )25 1 4 2 3 5 510 10 0.02 10 0.02C C= − × × + × × ( ) ⋅⋅⋅+××+ 323 5 02.010C 9900406.041010 35 ≈⋅⋅⋅+−+−= 1 5C 1 2 1 2 2 4 CCC 1 5C 1201 2 1 2 2 4 =CCC 4 2 3 9 5 3 1260C C C =  3 32 12A⋅ = 2 22 4A⋅ = 2 22 (2 )A⋅ ⋅ x 1 3 1 1(2 ) ( )n r n r r r nT C x x − − + = ⋅ 73 2 rn − 1 2 3 4 3 4 3 36C A⋅ = × × = 3 4C 第二步在 5 个奇数中取 4 个，可有 种情况； 第三步 3 个偶数，4 个奇数进行排列，可有 种情况， 所以符合题意的七位数有 个．………3 分 　　 ②上述七位数中，三个偶数排在一起的有个． ……6 分 ③上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一起的有 个．……………………………………………9 分 ④上述七位数中，偶数都不相邻，可先把 4 个奇数排好，再将 3 个偶数分别插入 5 个空档，共有 个.…………………………………12 分 19.解：⑴先考虑大于 43251 的数，分为以下三类 第一类：以 5 打头的有： =24 第二类：以 45 打头的有： =6 第三类：以 435 打头的有： =2………………………………2 分 故不大于 43251 的五位数有： （个） 即 43251 是第 88 项.…………………………………………………………………4 分 ⑵数列共有 A=120 项，96 项以后还有 120-96=24 项， 即比 96 项所表示的五位数大的五位数有 24 个， 所以小于以 5 打头的五位数中最大的一个就是该数列的第 96 项.即为 45321.…8 分 ⑶因为 1，2，3，4，5 各在万位上时都有 A 个五位数，所以万位上数字的和为： （1+2+3+4+5）·A·10000……………………………………………………………10 分 同理它们在千位、十位、个位上也都有 A 个五位数，所以这个数列各项和为： （1+2+3+4+5）·A·（1+10+100+1000+10000） =15×24×11111=3999960……………………………………………………………12 分 20.证明:因 ………………3 分 ……………………8 分 ……………………………………10 分 显然 能被 25 整除,25n 能被 25 整除, 所以 能被 25 整除.…………………………………………………12 分 4 5C 7 7A 3 4C 4 5C 1008007 7 =A 3 4C 144003 3 5 5 4 5 =AAC 3 4C 57602 2 2 4 3 3 5 5 4 5 =AAACC 288003 5 3 4 4 5 =ACA 4 4A 3 3A 2 2A ( ) 882 2 3 3 4 4 5 5 =++− AAAA 4532 2 −+⋅+ nnn 4564 −+⋅= nn ( ) 45154 −++⋅= nn ( ) 45155555.4 1222211 −++++⋅⋅⋅+++= −−−− nCCCC n n n n n n n n n ( ) nCCC n n n n n n n 255555.4 222211 ++⋅⋅⋅+++= −−− ( )222211 5555 −−− +⋅⋅⋅+++ n n n n n n n CCC 4532 2 −+⋅+ nnn 21. 设 的展开式的通项为 .………………………………6 分 若它为常数项,则 ,代入上式 . 即常数项是 27，从而可得 中 n=7，…………………10 分 同理 由二项展开式的通项公式知，含 的项是第 4 项， 其二项式系数是 35.…………………………………………………………14 分 22. 由已知得： ,又 ,………………………………2 分 所以首项 .……………………………………………………………………4 分 ,所以 除以 19 的余数是 5,即 ………6 分 的展开式的通项 , 若它为常数项,则 ,代入上式 . 从而等差数列的通项公式是： ，……………………………………10 分 设其前 k 项之和最大，则 ，解得 k=25 或 k=26， 故 此 数 列 的 前 25 项 之 和 与 前 26 项 之 和 相 等 且 最 大 ， .………………………………………14 分 5 3 5 14       − b b ( ) r rr r b bCT      −= − + 5 14 53 51 ( )5,4,3,2,1,0,4 5 1 6 510 5 5 =⋅⋅     −= − − rbC r rr r 2,06 510 =∴=− rr 7 3 2=∴T n a a       − 33 7 33       − a a    −≤− ≤− nn nn 31122 5211 2, =∴∈ nNn 2 5 3 10 2 5 7 10 22 311 211 5 PCPCPC n n n n −=−=−∴ − − − 1004523 8910 =×−× ××= 1001 =a ( ) 151761577 7777 −+=− 151767676 1 77 761 77 77 −+⋅+⋅⋅⋅+⋅+= CC ( )∗∈−= NMM ,1476 157777 − 5=m m xx      − 3 2 5 2 2 5 rr r r xxCT     −    = − + 3 2 5 51 5 2 2 5 ( ) ( )5,4,3,2,1,0,2 51 53 525 5 =    −= −− rxC rr rr 3,053 5 =∴=− rr dT =−=∴ 44 nan 4104 −= ( )   <+− ≥− 014104 04104 k n 1300252 254104100 2625 =××−+== SS