2019-2020学年四川省泸县第五中学高一下学期第二次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省泸县第五中学高一下学期第二次月考数学试题（解析版）

2019-2020 学年四川省泸县第五中学高一下学期第二次月考 数学试题 一、单选题 1．sin34 sin 26 cos34 cos26    的值是（ ） A． 1 2 B． 3 2 C． 1 2  D． 3 2  【答案】C 【解析】分析：先根据两角和余弦公式化简，再根据特殊角余弦值求结果. 详解：因为sin34 sin26 cos34 cos26    0 0 0 1cos(34 26 ) cos60 2        , 所以选 C. 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分， 从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通 分”等 2．如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是（ ） A． AB DC  B． AD AB AC    C． AB AD BD    D． 0AD CB    【答案】C 【解析】根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可. 【详解】 在平行四边形 ABCD 中,显然有 AB DC  , 0AD CB    ,故 A,D 正确; 根据向量的平行四边形法则,可知 AD AB AC    ,故 B 正确; 根据向量的三角形法, AB AD DB    ,故 C 错误; 故选:C. 【点睛】 本题考查平面向量的基本定义和运算法则,属于基础题. 3．已知角 的终边经过点 ( 1,2)P  ，则sin  （ ） A． 5 5  B． 2 5 5 C．-2 D． 1 2  【答案】B 【解析】按三角函数的定义，有 2 2 5sin 51 4     . 4． ,a b  为非零向量,且 a b a b     ,则( ) A． / /a b  ,且 a 与b 方向相同 B． ,a b  是共线向量 C． a b   D． ,a b  无论什么关系均可 【答案】A 【解析】根据向量模长的三角不等式判断即可. 【详解】 如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则有, 当 ,a b   不共线时,根据三角形两边之和大于第三边有| | | | | |a b a b      . 当 ,a b   同向时有| | | | | |a b a b      . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了对向量加法的模长理解,属于基础题型. 5．已知 tan 3  ，则 2 22sin 4sin cos 9cos     的值为（ ） A． 1 30 B． 1 3 C． 21 10 D． 3 【答案】C 【解析】利用同角三角函数的基本关系把原式的分母“1”变为 sin2α+cos2α，然后给分子 分母求除以 cos2α，把原式化为关于 tanα的关系式，把 tanα的值代入即可求出值． 【详解】 因为 tanα＝3， 所以 2 2 2 2 2 2 2 4 92 4 9 sin sin cos cossin sin cos cos sin cos               2 2 2 4 9 21 1 10 tan tan tan       ． 故选 C． 【点睛】 本题是一道基础题，考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值的能力，做 题的突破点是“1”的灵活变形． 6．已知向量 (1, 3), ( 2,2 3)a b   ，则 a 与b 的夹角是（ ） A． 6  B． 4  C． 3  D． 2  【答案】C 【解析】利用 cos | || | a b a b       即可求出。 【详解】 设 a  与b  的夹角为 (0 )  „ „ ，则 (1, 3) ( 2,2 3) 1cos 2 4 2| || | a b a b           ，得 3   . 【点睛】 本题考查向量夹角的求解，是基础题。 7．若 4cos 2 5        ，且 ,2      ，则 sin( 2 )   ( ) A． 24 25 B． 12 25 C． 12 25  D． 24 25  【答案】D 【解析】由诱导公式和同角三角函数关系即可求得sin ,cos  ，再由诱导公式和二倍 角的正弦公式整理所求式子，代值计算即可. 【详解】 因为 4cos sin2 5           ，所以 4sin 5  = 又 ,2      ，即 2 2 4 3cos 1 sin 1 5 5              则 4 3 24sin( 2 ) sin 2 2sin cos 2 5 5 25                  故选：D 【点睛】 本题考查由诱导公式、同角三角函数关系以及二倍角的正弦公式化简求值，属于基础题. 8．已知 ,a b  是两个非零向量，且 a b a b     ，则下列说法正确的是（ ） A． 0a b   B． a b  C． a 与b 共线反向 D．存在正实数  ， 使 a b   【答案】D 【解析】由已知得，向量 a  与b  为同向向量，即存在正实数 ，使 λa b=  ，故 选 D. 9．函数  sin 2y x x   在 ， 的图象大致为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据函数的奇偶性和三角函数的性质判断即可． 【详解】 函数 y=|x|sin2x 在[﹣π，π]是奇函数，故排除 B， x＞0 时，y=xsin2x， x∈（0， 2  ）时，y＞0，x∈（ 2  ，π）时，y＜0，结合对称性， 故选 C． 【点睛】 函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函 数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从 函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 10．在 ABC 中， 3AB  ， 3C  ，O 为 ABC 的外接圆的圆心，则CO  （ ） A． 3 B． 2 3 C． 3 D． 6 【答案】A 【解析】利用正弦定理可求出 ABC 的外接圆半径 CO . 【详解】 由正弦定理可得 32 2 3sin 3 2 ABCO C    ，因此， 3CO  ，故选 A. 【点睛】 本题考查利用正弦定理求三角形外接圆的半径，考查计算能力，属于基础题. 11．设函数 2( ) 2 1f x x x   ,若 1,m n  且 ( ) ( )f m f n ,则 mn 的取值范围为 A． 3,3 2 2 B．3,3 2 2  C． 1,3 D． 1,3 【答案】A 【解析】 设这个函数  f x 在 (1, )x  的图象与 x 轴的交点分别为 1 2 1 2, ( )x x x x ， 那么  1 2 ,x x x f x  有最大值在 1x  时取得  1 2f  ， 解方程 2 2 1 2x x   ，解得 3x  或 1x   （舍去）， 因为 1m n  ，且    f a f b ，此时 2 22 1 0, 2 1 0n n m m    ， 那么有 2 22 1 ( 2 1)n n m m      ，即 2 2 2 2 2 0m n m n     ， 即 2 2( 1) ( 1) 4m n    ，设 1 2cos , 1 2sin , (0, )4m n        ， 所以 (1 2cos )(1 2sin ) 1 2(cos sin ) 4sin cosmn             ， 设 sin cost    ，则 22sin cos 1t    ， 且 sin cos 2 sin( ) (1, 2)4t        ， 所以 22 2 1mn t t   ，当 1t  时， mn 有最小值，此时最小值为3 ， 当 2t  时， mn 有最大值，此时最大值为3 2 2 ， 所以 mn 的取值范围是 (3,3 2 2) ，故选 A. 12．已知函数 2( ) logf x x ， ( ) 2g x x a  ，若存在 1 2 1, ,22x x      ，使得    1 2f x g x ，则 a 的取值范围是（ ） A．[ 5,0] B． ( , 5] [0, )   C． ( 5,0) D． ( , 5) (0, )    【答案】A 【解析】根据条件求出两个函数的值域，结合若存在 1 2 1 22x x， ，     ，使得 f（x1）＝g （x2），等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可． 【详解】 当 1 2  x≤2 时，log2 1 2  f（x）≤log22，即﹣1≤f（x）≤1，则 f（x）的值域为[﹣1，1]， 当 1 2  x≤2 时，2 1 2   a≤g（x）≤4+a，即 1+a≤g（x）≤4+a，则 g（x）的值域为[1+a， 4+a]， 若存在 1 2 1 22x x， ，     ，使得 f（x1）＝g（x2）， 则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅ ， 若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅ ， 则 1+a＞1 或 4+a＜﹣1， 得 a＞0 或 a＜﹣5， 则当[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅ 时，﹣5≤a≤0， 即实数 a 的取值范围是[﹣5，0]， 故选 A． 【点睛】 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进 行求解是解决本题的关键． 二、填空题 13．已知向量 AB  与 AC  的夹角为120 ，且 3 2AB AC  ， ，若 AP AB AC    ， 且 AP BC  则实数  的值为__________． 【答案】 7 12 【解析】∵ ⊥ ，∴ · ＝(λ ＋ )·( － )＝－λ 2＋ 2＋(λ－1) · ＝0，即 －λ×9＋4＋(λ－1)×3×2× ＝0，解得λ＝ . 点睛：平面向量数量积的类型及求法 (1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式 a·b＝x1x2 ＋y1y2；三是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式 进行化简. 14．不等式 3sin 2x  的解集为 ____________________． 【答案】 22 2 ,3 3x k x k k Z           【解析】 2 3 3 3 2sin sin   ，∴结合正弦函数的图象及正弦函数的性质可得 不等式 3 2sinx  的解集为 2{ | 2 2 }3 3x k x k k Z      ， 15．在 中，内角 所对的边分别为 ．若 ， ，且 的面积等于 ，则 ________． 【答案】 【解析】由 ， ，且 的面积等于 3，分别利用正弦定 理、余弦定理、三角形面积公式列方程，解方程即可得出结果. 【详解】 因为 ， 的面积等于 ， 由 ，根据正弦定理可得， ① 由余弦定理可得， ② 由三角形面积公式得 ③ 由①②③得， ， ， . 故答案为 【点睛】 本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式，即可求 解，属于常考题型. 16．设函数 2 2 2 , 2( ) 3 2 , 2, x a xf x x ax a x        若函数 ( )f x 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值 范围是__________． 【答案】[1,2) [4, )  【解析】 2 , 2,0 2 4x xy x    , 0 4a   时， 2 0x a  有一个解， 0a  或 4a  时， 2 0x a  无解； 2 23 2 ( )( 2x ax a x a x a     ）  当 (0,1)a  时，方程 2 23 2 0x ax a   在[1, ) 上无解； [1,2)a 时，方程 2 23 2 0x ax a   在[1, ) 上有且仅有一解； [2, )a  时，方程 2 23 2 0x ax a   在[1, ) 上有且仅有两解； 综上所述，函数  f x 恰有 2 个零点则1 2a  或 4a  . 故填1 2a  或 4a  . 三、解答题 17．已知向量 ，向量 分别为与向量 同向的单位向量. （Ⅰ）求向量 与 的夹角 ； （Ⅱ）求向量 的坐标. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【解析】试题分析： （Ⅰ）运用向量的数量积求解即可．（Ⅱ）先根据单位向量的概念求得 ，再求 的坐标． 试题解析： （Ⅰ）因为向量 ， 所以 ， ， 所以 ， 又因为 ， 所以 . 即向量 与 的夹角为 ． （Ⅱ）由题意得 ， ， 所以 ． 即向量 的坐标为 ． 18．已知 5cos 5   ， 10sin( ) 10    ，且 , 0, 2       ，求  的值. 【答案】 4  【解析】先由题意，得到 0 2     ，计算出sin ，cos( )  ，再由 cos cos[ ( )]      ，根据两角差的余弦公式，即可求出结果. 【详解】 ∵ , 0, 2       ，∴ ,2 2          ， ∵ 10sin( ) 010     ，∴ 0 2     ， 又∵ 5cos 5   ， ∴ 2 2 5sin 1 cos 5     ， 2 3 10cos( ) 1 sin ( ) 10         ， ∴ cos cos[ ( )]      cos cos( ) sin sin( )         5 3 10 2 5 10 2 5 10 5 10 2      ， ∵ 0, 2      ，∴ 4   . 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换给值求角的问题，熟记两角差的余弦公式，以及同角三角函 数基本关系即可，属于常考题型. 19．已知函数   sin 2 cos 2 2sin cos3 6f x x x x x               . （Ⅰ）求函数  f x 图象的对称轴方程； （Ⅱ）将函数  y f x 的图象向右平移 12  个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸 长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数  y g x 的图象，求  y g x 在 ,23       上 的值域． 【答案】（Ⅰ）函数  f x 图象的对称轴方程： 2 12 kx    ， k Z （Ⅱ） 1,2 【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得   sin 2 3f x x      ， 令 2 3 2x k    ， k Z ，解得函数  f x 图象的对称轴方程；（Ⅱ）利用函数  siny A ωx φ  的图象变换规律可求得   2sin 2 6 xg x      ，由 ,23x      ，得 到 2 6 x  的范围，结合正弦函数的图象可求得值域． 【详解】 （Ⅰ）   sin 2 cos 2 2sin cos3 6f x x x x x               sin 2 cos cos2 sin cos2 cos sin 2 sin 2sin cos3 3 6 6x x x x x x        1 3 3 1sin 2 cos2 cos2 sin 2 sin 2 3 cos2 sin 22 2 2 2x x x x x x x       2sin 2 3x      令 2 3 2x k    ，k Z ，解得函数  f x 图象的对称轴方程： 2 12 kx    ，k Z （Ⅱ）向右平移 12  个单位得： 2sin 2 2sin 212 3 6y x x                   横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变得：   2sin 2 6 xy g x       ,23x       7,2 6 3 6 x          1sin ,12 6 2 x               2sin 1,22 6 x         g x 的值域为： 1,2 【点睛】 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象平移变换和伸缩变换，正弦型 函数值域的求解，考查了转化思想，关键是能够熟练掌握函数  siny A ωx φ  的图 象变换规律，利用整体对应的方式，结合正弦函数图象求得结果． 20．已知函数 22( ) cos(2 ) 2cos3f x x x k    的最小值为 3 （1）求常数 k 的值; （2）若 0 7( ) 5f x   ， 0 0, 4x      ，求 0cos2x 的值. 【答案】（1） 3k   （2） 4 3 3 10  【解析】试题分析： (1)由余弦的差角公式角及降幂公式原函数可化为   3 1 1 cos2xf x sin2x cos2x 2 k2 2 2      = 3 1 πsin2x cos2x 1 k sin 2x 1 k2 2 6           ,所以 f(x)min=-1+1+k=-3,可 解.(2)  0 0 π 7 f x sin 2x 26 5         ，即 0 π 3sin 2x 6 5      .由 0 π x 0 4 ，     ， ∴ 0 π π 2π2x 6 6 3       ， 又 3 1 ,15 2      ,所以 2 0 0 π πcos 2x 1 sin 2x6 6              = 4 5 ， 0 0 π πcos2x cos 2x 6 6          展开即得. 试题解析：（1）   3 1 1 cos2xf x sin2x cos2x 2 k2 2 2      = 3 1 πsin2x cos2x 1 k sin 2x 1 k2 2 6           ， ∴f(x)min=-1+1+k=-3，解得 k = -3． （2）∵   πf x sin 2x 26       ． ∴  0 0 π 7f x sin 2x 26 5         ，即 0 π 3sin 2x 6 5      . ∵ 0 πx 0 4      ， ，∴ 0 π π 2π2x 6 6 3       ， ． ∵ 若 0 π π π2x 6 6 2       ， ，则 0 π 1sin 2x ,16 2            ， 若 0 π π 2π2x 6 2 3       ， ，则 0 π 3sin 2x ,16 2           ， 显然 3 1 ,15 2      ，且 3 3 ,15 2       ，∴ 0 π π π2x 6 6 2       ， ． ∴ 2 0 0 π πcos 2x 1 sin 2x6 6              = 4 5 ， ∴ 0 0 π πcos2x cos 2x 6 6           0 0 π π π πcos 2x cos sin 2x sin6 6 6 6             = 4 5 × 3 2 + 3 5 × 1 2 = 4 3 3 10  ． 21．在 ABC 中， D 是 BC 边上的点， 3cos 5BAD  ， 5cos 5ADC   . （1）求sin B 的值； （2）若 2 2BD DC  ，求 AC 的长. 【答案】（1） 2 5sin = 5B （2） 2 2AC  【解析】（1）已知 ADC 就量已知 ADB ， ABD 中已知两内角的余弦，再求出正 弦后由两角和的正弦公式及诱导公式可得sin B ； （2）在 ADB 中先求出 AD ，然后在 ADC 中由余弦定理可得 AC ． 【详解】 解：（1） 5cos cos( ) cos 5ADB ADC ADC        ，  0,ADB   ， 2 5sin 5ADB   3cos 5BAD  ， (0, )BAD   ， 4sin 5BAD   . sin sin[ ( )] sin( )B BAD ADB BAD ADB          ， 4 5 3 2 5 2 5sin cos cos sin 5 5 5 5 5BAD ADB BAD ADB           （2）在 ABD△ 中，由正弦定理得： sin sin AD BD B BAD   ，即 2 42 5 55 AD  ， 5AD  . 在 ADC 中，由余弦定理得 2 2 2 52 cos 5 1 2 5 1 85AC AD DC AD DC ADC             ， 2 2AC  【点睛】 本题考查两角和与差的正弦公式，同角间的三角函数关系，考查正弦定理和余弦定理．在 三角恒等变形时，研究未知角和已知角的关系很重要，本题第一小题如果用外角和定理， 只要用两角差的正弦公式即可求解，可避免用诱导公式． 22．如图，已知 OPQ 是半径为 5 ，圆心角为 3  的扇形，C 是该扇形弧上的动点，ABCD 是形的内接矩形，其中 D 在线段 OQ 上，A、B 在线段 OP 上，记∠BOC 为θ． （1）若 Rt△CBO 的周长为  5 30 5 5  ，求 cos2θ的值； （2）求 OA•AB 的最大值，并求此时θ的值． 【答案】（1）± 2 6 5 （2）θ= 6  时，OA•AB 取得最大值 5 6 【解析】（1）由题意可得 BC= sinθ，OB= cosθ，由条件可得 sinθ+cosθ= 30 5 ，0 ＜θ＜ 3  ，两边平方，结合二倍角的正弦公式和两角平方关系可得所求值； （2）分别求得 OA，AB，结合二倍角的正弦公式和余弦公式，以及辅助角公式和正弦 函数的值域，可得最大值以及相应的角． 【详解】 （1）∠BOC 为θ，可得 BC=OCsinθ= 5 sinθ， OB=OCcosθ= 5 cosθ， 由题意可得 5 + 5 sinθ+ 5 sinθ=  5 30 5 5  ， 化为 sinθ+cosθ= 30 5 ，0＜θ＜ 3  ， 两边平方可得 2sinθcosθ= 1 5 ＞0， 即 sin2θ= 1 5 ，cos2θ=± 11 25  =± 2 6 5 ； （2）在直角三角形 OBC 中，BC= 5 sinθ， 即有 AD= 5 sinθ， OA=ADtan 6  = 15 3 sinθ， 由 AB=OB-OA= 5 cosθ- 15 3 sinθ， 则 OA•AB= 5 3 3 sinθcosθ- 5 3 sin2θ = 5 3 6 sin2θ- 5 6 （1-cos2θ） = 5 3 （ 3 2 sin2θ+ 1 2 cos2θ）- 5 6 ， = 5 3 sin（2θ+ 6  ）- 5 6 ， 当 2θ+ 6  = 2  ，即θ= 6  时，OA•AB 取得最大值 5 6 ． 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查正弦函数的值域的运用，解答中熟练应用 三角恒等变换的公式化简，及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推 理与运算能力，属于中档试题。