- 2021-04-14 发布 |
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文档介绍
专题9-1 直线的方程(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)
【考纲解读】 内 容 要 求 备注 A B C 平面解析几何初步 直线的斜率和倾斜角 √ 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.掌握确定直线位置的几何要素. 3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系. 直线方程 √ 【直击考点】 题组一 常识题 1. 已知直线l经过A(-cos θ,sin2θ),B(0,1)不同的两点,直线l的斜率为____________,倾斜角的取值范围是____________. 2. 直线l的倾斜角α=60°,且过点(,1),则直线l的方程为____________. 【解析】因为α=60°,所以k=tan α=.又直线l过点(,1),所以直线l的方程为y-1=(x-),即y=x-2. 3. 直线的斜率为2,在x轴上的截距为-1,则直线的斜截式方程为__________________. 【解析】直线过点(-1,0),斜率为2,由点斜式方程得y-0=2(x+1),即y=2x+2. 题组二 常错题 4.当a=3时,直线ax+(a-3)y-1=0的倾斜角为____________. 【解析】当a=3时,直线ax+(a-3)y-1=0可化为3x-1=0,其倾斜角为90°. 5.直线l经过点(5,10),且原点到直线l的距离是5,则直线l的方程为__________________. 【解析】当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=5;当直线l的斜率存在时,设其为k,则直线l的方程为y-10=k(x-5),由点到直线的距离公式可得k=,故直线l的方程为3x-4y+25=0. 6.过点P(-1,2)且在两轴上的截距相等的直线方程为____________________. 题组三 常考题 7.过A(1,2),B(2,1)两点的直线的斜率为______________. 【解析】kAB==-1. 8.过原点且斜率为的直线方程为______________. 【解析】利用点斜式可得直线方程为y=x. 【知识清单】 考点1 直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角 ①定义.当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. ②范围:倾斜角的范围为. 2.直线的斜率 ①定义.一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即,倾斜角是90°的直线没有斜率.当直线与x轴平行或重合时, , . ②过两点的直线的斜率公式.经过两点的直线的斜率公式为. 3.每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率.倾斜角为90°的直线斜率不存在. 4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系: (1)当时,越大,斜率越大; (2)当时,越大,斜率越大. 考点2 直线的方程 1.直线的点斜式方程:直线经过点,且斜率为,则直线的方程为: .这个方程就叫做直线点斜式方程. 特别地,直线过点,则直线的方程为:.这个方程叫做直线 的斜截式方程. 2.直线的两点式方程 直线过两点其中,则直线的方程为: .这个方程叫做直线的两点式方程. 当时,直线与轴垂直,所以直线方程为:;当时,直线与轴垂直,直线方程为:. 特别地,若直线过两点,则直线的方程为: ,这个方程叫做直线的截距式方程. 3.直线的一般式方程 关于的二元一次方程(A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程. 由一般式方程可得,B不为0时,斜率,截距 【考点深度剖析】 直线是解析几何中最基本的内容,对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识,二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查. 【重点难点突破】 考点1 直线的倾斜角与斜率 【1-1】经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为,则y= . 【答案】-3 【解析】由=,得. 【1-2】经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线l的斜 率k和倾斜角的取值范围分别为________,________. 【答案】 ,∪. 【思想方法】 1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y=tan x的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制; 2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y=tan x的单调性求k的范围. 【温馨提醒】若斜率k是含参数的一个式子,则利用函数或不等式的方法求其范围;若是给出图形求斜率与倾斜角的范围,则采用数开结合的方法求其范围. 考点2 直线的方程 【2-1】三角形的顶点是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2),求这个三角形三边所在直线的方程. 【答案】,, 整理得:.这就是直线的方程. 【2-2】已知点A(-3,-1),B(1,5),直线过线段AB的中点,且在轴上的截距是它在轴上的截距的2倍.求直线的方程. 【答案】 【2-3】(1) 直线恒过一定点,则此定点为 . (2) 直线过点,且分别交轴,轴的正半轴于A ,B两点.求三角形OAB的面积最小值及此时直线的方程. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)法一、直线可变形为:.这是直线的点斜式方程,由这个方程可知.直线恒过点 . 法二、直线可变形为:.若该方程对任意都成立,则,即,所以直线恒过点 . 法三、在方程中,令得:即;令得:,将代入得.将代入得恒成立,所以直线恒过点. (2)由题设知,直线不可能与轴垂直,即直线的斜率必存在.设直线的斜率为,则其点斜式的方程为 【思想方法】 求直线方程的常用方法有 1.直接法:根据已知条件灵活选用直线方程的形式,写出方程. 2.待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数,最后代入求出直线方程. 3. 直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标,所以截距是一个实数,可正、可负,也可为0,而不是距离. 【温馨提醒】涉及直线在两坐标轴上截距相等问题,要特别注意截距均为的情况;另外,某些涉及直线问题中,往往要讨论直线的斜率是否存在的情况,也应特别注意. 【易错试题常警惕】 求直线方程忽视零截距致误 典例 (12分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0 (a∈R). (1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 易错分析 本题易错点求直线方程时,漏掉直线过原点的情况. 规范解答 解 (1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,∴a=2,方程即为3x+y=0.[2分] 当直线不经过原点时,截距存在且均不为0. ∴=a-2,即a+1=1.[4分] ∴a=0,方程即为x+y+2=0. 综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.[6分] [失误与防范] 与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点: (1)明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线;两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线;截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线. (2)截距不是距离,距离是非负值,而截距可正可负,可为零,在与截距有关的问题中,要注意讨论截距是否为零. (3)求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应注意分类讨论,即应对斜率是否存在加以讨论. 查看更多