江苏省启东中学2018高考数学附加题专练习3

江苏省启东中学2018高考数学附加题专练习3

附加题3‎ ‎1．已知矩阵，其中，若点P（1,1）在矩阵A的变换下得到点P’(0,-3)， ‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求矩阵的特征值及特征向量.‎ ‎【解析】（1）由 =得 ‎（2）由（1）知 ‎ 则矩阵A的特征多项式为 令，得矩阵A的特征值为-1或3‎ 当时 二元一次方程 ‎∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为 ‎ 当时，二元一次方程 ‎∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为．‎ ‎2．已知曲线：.‎ ‎（1）将曲线绕坐标原点逆时针旋转后，求得到的曲线的方程；‎ ‎（2）求曲线的焦点坐标和渐近线方程.‎ 解析：直线的参数方程为， ‎ 曲线可以化为． ‎ 将直线的参数方程代入上式，得．‎ 设A、B对应的参数分别为，∴． ‎ AB＝．‎ ‎3．用数学归纳法证明不等式，.‎ ‎【解析】（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立.‎ ‎（2）假设当n=k时不等式成立，即 则 当n=k+1时， 不等式也成立.‎ 综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立.‎ ‎4．用个相同的元件（例如整流二极管）组成一个系统，有两种不同的联结方式，第Ⅰ种是先串联后并联，如图一；全*品*高*考*网， 用后离不了！第Ⅱ种是先并联后串联，如图二．‎ 如果每个元件能否正常工作是相互独立的，且每个元件能正常工作的概率为（0＜＜1），元件或系统能正常工作的概率通常称为可靠度．‎ ‎1‎ ‎2‎ n ‎1‎ ‎2‎ n n ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ n 图二 图一 ‎⑴分别求出图一和图二系统能正常工作的概率和；‎ ‎⑵请你比较一下两个系统哪一个更可靠一些（即可靠度更大一些）？并加以证明．‎ 解析：（1），，‎ ‎（2）猜得结论：当时，，当≥2时，，‎ ‎（方法1）证明：①当时，不等式成立.‎ ‎②假设时，＞成立，则当时，‎ ‎∵0＜＜1，∴＞＞0，从而，‎ 这就是说，当时，不等式也成立.‎ 由①、②知，当时，有．‎ ‎（方法2）令，‎ 从而，所以数列是递增数列，所以当时，.‎ ‎（方法3）因为，所以设，‎ 由知，从而 当且仅当时取“=”.‎ 故，即.‎