甘肃省天水市第一中学等八校联考2020届高三12月联考数学（文）试题

甘肃省天水市第一中学等八校联考2020届高三12月联考数学（文）试题

甘肃省天水市八校联考2020届高三级第三次联考试题 文科数学 一、选择题 ‎1.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 上下同时乘以再化简即可.‎ ‎【详解】‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查复数的四则运算,属于基础题型.‎ ‎2.已知全集为,集合，，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求得集合再求即可.‎ ‎【详解】‎ 或 故,故 故选C ‎【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型.‎ ‎3.在等差数列中,已知,则该数列前11项和=（ ）‎ A. 44 B. ‎55 ‎C. 143 D. 176‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质计算即可.‎ ‎【详解】由等差数列中,则,故 故选A ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的基本性质,包括等和性与当为奇数时,前项和 .‎ 属于基础题型.‎ ‎4.函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析奇偶性,再分析当时函数值的正负即可.‎ ‎【详解】,故为奇函数.排除C,D 又当时, ,此时,排除B 故选A ‎【点睛】本题主要考查了函数图像的判断,一般先分析奇偶性,再分析特殊位置的正负即可.属于基础题型.‎ ‎5.动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设连线的中点为,再表示出动点的坐标,代入圆化简即可.‎ ‎【详解】设连线的中点为,则因为动点与定点连线的中点为,故 ‎ ,又在圆上,故,‎ 即即 故选B ‎【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.‎ ‎6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若且则 B. 若且则 C. 若 D. 若且则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：对于A中，若且则与可能是平行的，所以不正确；对于C中，则可能，所以不正确；对于D中，若且 则与可能是相交的，所以不正确，故选B．‎ 考点：直线与平面位置关系的判定．‎ ‎7.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是(　　)‎ A. 2，－ B. 2，－‎ C. 4，－ D. 4，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象，求得T、ω和φ的值．‎ ‎【详解】由函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象知，‎ ‎（），‎ ‎∴Tπ，解得ω＝2；‎ 又由函数f（x）的图象经过（，2），‎ ‎∴2＝2sin（2φ），‎ ‎∴φ＝2kπ，k∈Z，‎ 即φ＝2kπ，‎ 又由φ，则φ；‎ 综上所述，ω＝2、φ．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．‎ ‎8.与直线关于x轴对称的直线的方程是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用所求直线的点的坐标，关于轴的对称点的坐标在已知的直线上求解即可.‎ ‎【详解】设所求直线上点的坐标，‎ 则关于轴的对称点的坐标在已知的直线上，‎ 所以所求对称直线方程为：,故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查对称直线的方程，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.‎ ‎9.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：‎ 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；‎ 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；‎ 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；‎ 事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）‎ A. 甲走桃花峪登山线路 B. 乙走红门盘道徒步线路 C. 丙走桃花峪登山线路 D. 甲走天烛峰登山线路 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,‎ 再分情况讨论即可.‎ ‎【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.‎ 故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.‎ 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选D ‎【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.‎ ‎10.如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，则多面体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题易得为正六边形,故连接对角线取中心,再求得高与底面面积即可.‎ ‎【详解】取为正六边形中心,则易得共线,再建立如图空间直角坐标系,则 ‎,,故,‎ 故面,故体积 ‎ ‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查立体几何中的垂直平行关系,同时注意正六边形的面积可以用六个小正三角形进行计算,属于中等题型.‎ ‎11.四面体的四个顶点都在球的表面上，，是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为( 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积求解即可.‎ ‎【详解】外接圆直径 ,‎ 故球的直径平方,故外接球表面积 故选A ‎【点睛】本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径,再利用锥体高,根据球直径求解即可.属于中等题型.‎ ‎12.设,若方程恰有四个不相等的实数根，则实数 ‎ 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图像,再根据直线与有四个交点分析即可.‎ ‎【详解】画出图像,由过定点,故将直线绕着旋转进行分析,得出临界条件如图,直线过和与相切时为临界条件.‎ 当过时,易得.‎ 当与相切时,设切点,,故在处切线斜率,故,故,故,故 故的取值范围是 故选C ‎【点睛】本题主要考查了数形结合解决分段函数零点的问题,重点是画出图像,分析满足条件时的情况,再求得临界条件,最后得出斜率的取值范围,属于难题.‎ 二、填空题 ‎13.若向量和向量垂直，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用垂直求得,再求出的向量坐标,进而求得模长即可.‎ ‎【详解】因为向量和向量垂直,所以, ‎ 故,故,故 故 故答案为5‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,包括垂直的性质以及模长的运算等,属于基础题型.‎ ‎14.函数的图象在处的切线方程为______________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导函数,再代入于内求得斜率, 代入于内求得切点坐标,再用点斜式求直线方程即可.‎ ‎【详解】由题,又,故在处的斜率为,故在处的切线方程为 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了导数几何意义,求在某点处切线的方程,属于基础题型.‎ ‎15.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+‎2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求 得q，代入中即可求得答案．‎ ‎【详解】依题意可得2×（）=a1+‎2a2，‎ 即，a3=a1+‎2a2，整理得q2=1+2q，‎ 求得q=1±，‎ ‎∵各项都是正数 ‎∴q＞0，q=1+‎ ‎∴==3+2‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理 解．‎ ‎16.在直三棱柱中,若 ，则异面直线与所成的角等于_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系分别求得，，再利用即可得到所求角大小．‎ ‎【详解】三棱柱为直三棱柱,且 ‎ 以点 为坐标原点，分别以，，为 轴建立空间直角坐标系 设，则 ‎ , ,,‎ ‎，‎ 又 异面直线所成的角在 ‎ ‎ 异面直线与所成的角等于 ．‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，一般建立空间直角坐标系利用向量法来解决问题，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17.如图，在三棱柱中，⊥，⊥，，为的中点，且⊥.‎ ‎(1)求证：⊥平面；(2)求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】解：(1)见解析；(2)＝·CD ‎＝A1B1×B1B×CD＝×2×2×＝.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查线线垂直，线面垂直及多面体的体积的求法技巧，转化思想的应用，考查计算能力 ‎（1）证明CD⊥BB1，通过BB1⊥AB，AB∩CD=D，即可证明BB1⊥面ABC ‎（2）所求的体积进行等价转化可以知道几何体的体积．‎ 解：(1)∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又∵CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB‎1A1，∴CD⊥BB1，‎ 又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥平面ABC ‎(2)由(1)知CD⊥平面AA1B1B，故CD是三棱锥C－A1B1D的高，‎ 在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，CD＝，‎ 又BB1＝2，∴＝·CD ‎＝A1B1×B1B×CD＝×2×2×＝‎ ‎【详解】‎ 请在此输入详解！‎ ‎18.已知半径长为的圆截轴所得弦长为，圆心在第一象限且到直线的距离为．‎ ‎（1）求这个圆的方程；‎ ‎（2）求经过与圆相切的直线方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）和.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设圆心,半径=5,利用圆截轴所得弦长为算出.再利用到直线的距离为算得即可.‎ ‎(2)分情况当斜率不存在时判断是否满足条件,再考虑当斜率存在时,设过的点斜式方程,再利用与圆相切列出圆心到直线的距离等于半径的方程,求解即可.‎ ‎【详解】由题圆心,半径=5‎ 截轴弦长为6 ,‎ 由到直线的距离为,‎ 所以圆的方程为 ‎（2）分情况讨论：当直线存在斜率时,设切线方程为：‎ ‎ 由到直线的距离 ‎ ‎ 切线方程： ‎ ‎ 当直线过点且斜率不存在时,方程也是所求的切线方程.‎ 综上,切线方程为和 ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的方程问题.重点在于根据题目条件找到圆心半径的关系,相交一般利用垂径定理,相切一般用圆心到直线的距离等于半径列式求解.同时注意求过定点的直线时,要分斜率存在与不存在的情况,属于中等题型.‎ ‎19.如图，在中，边上的中线长为3，且，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求边的长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由同角三角函数的关系、三角形内角的范围和两角差的正弦公式即可求出.‎ ‎（2）在中，利用正弦定理得，在中利用余弦定理即可求出.‎ ‎【详解】解：因为，所以．‎ ‎ ‎ 又，所以，‎ 所以 ‎ ‎．‎ 在中，由得，‎ 解得．故，‎ 在中，由余弦定理得 ，‎ 得．‎ ‎【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题.‎ ‎20.已知数列的前n项和为，且. ‎ ‎（1）求数列的通项.‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用通项与前n项和的关系求得关于的递推公式满足等比数列,再求得首项与公比即可求得数列的通项.‎ ‎(2) 差比数列,故考虑用错位相减求和.‎ ‎【详解】解（1）‎ 两式相减得,‎ 即数列{an}是等比数列．‎ ‎(2)‎ ‎ ① ②‎ ‎①﹣②得 ‎【点睛】本题主要考查了通项与前n项和的关系,同时也考查了错误相减求和的方法,属于中等题型.‎ ‎21.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆O：相切．‎ ‎（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为，求直线l的方程；‎ ‎（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．‎ ‎【答案】（1）或；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）记圆心到直线l的距离为d，利用垂径定理求得d．当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），利用圆心到直线的距离列式求得k，则直线方程可求；‎ ‎（2）设P（x1，y1），由直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），分别求出直线PA、PB的方程，进一步得到M，N的坐标，由P在圆上，整体运算可得 为定值．‎ ‎【详解】∵直线x﹣3y﹣10=0与圆O：x2+y2=r2（r＞0）相切，‎ ‎∴圆心O到直线x﹣3y﹣10=0的距离为r=．‎ ‎（1）记圆心到直线l的距离为d，∴d=．‎ 当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；‎ 当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+（1﹣2k）=0．‎ ‎∴，解得k=﹣，此时直线l的方程为3x+4y﹣10=0．‎ 综上，直线l的方程为x=2或3x+4y﹣10=0；‎ ‎（2）点M、N的纵坐标之积为定值10．‎ 设P（x1，y1），‎ ‎∵直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），‎ ‎∴直线PA、PB的方程分别为y﹣3=，y﹣3=．‎ 令x=0，得M（0，），N（0，），‎ 则（*）．‎ ‎∵点P（x1，y1）在圆C上，∴，即，‎ 代入（*）式，得为定值．‎ ‎【点睛】求定值问题常见的方法 ‎①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎②直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎22.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，由导数确定单调性，得最值后可得，得解析式；‎ ‎（2）恒成立，作为的函数可以看作是一次函数，只要区间两个端点处函数值满足不等式即可．‎ ‎【详解】解：（1）令，‎ 解得或（舍），‎ 因为，‎ 由知，在上单调递增，‎ 在上单调递减，‎ 在上的最大值为，最小值为 ‎，‎ 解得，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 恒成立，‎ 令，‎ 则在上恒成立，‎ 等价于：，即.‎ 解得，故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，考查不等式恒成立问题．解题中注意问题的转化，不等式恒成立问题常常要进行转化．‎