数学理卷·2017届山东省德州市高三第二次模拟考试（2017

数学理卷·2017届山东省德州市高三第二次模拟考试（2017

山东省德州市2017届高三下学期4月二模考试 高三数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.若复数（是虚数单位，）是纯虚数，则复数的模等于（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎3.已知平面向量和的夹角为，，，则（ ）‎ A．20 B．12 C． D． ‎ ‎4.已知，，且，那么（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如表：‎ 广告费用 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售额 ‎26‎ ‎39‎ ‎49‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程，据此模型预测，广告费用为6万元时的销售额为（ ）万元 A．65.5 B．66.6 C．67.7 D．72 ‎ ‎6.下列说法正确的是（ ）‎ A．命题“，使得”的否定是：“，”‎ B．命题“若，则或”的否命题是：“若，则或”‎ C．直线：，：，的充要条件是 D．命题“若，则”的逆否命题是真命题 ‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.已知双曲线（，）的两条渐进线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知函数设方程（）的四个实根从小到大依次为，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共100分）‎ 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11.关于的不等式在上恒成立，则的最大值为 ．‎ ‎12.已知，是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率为 ．‎ ‎13.设，满足约束条件则目标函数（，）的最大值为10，则的最小值为 ．‎ ‎14.现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能时同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 ．‎ ‎15.若对任意的，均有成立，则称函数为函数到函数在区间上的“任性函数”．已知函数，，，且是到在区间上的“任性函数”，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎16.已知函数，. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）已知锐角的两边长，分别为函数的最小值与最大值，且的外接圆半径为，求的面积．‎ ‎17.已知等比数列的前项和为，且（）．‎ ‎（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求的前项和．‎ ‎18.如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面所截后得到的，其中，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎19.来自某校一班和二班的共计9名学生志愿服务者被随机平均分配到运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名一班志愿者的概率是．‎ ‎（Ⅰ）求清扫卫生岗位恰好一班1人、二班2人的概率；‎ ‎（Ⅱ）设随机变量为在维持秩序岗位服务的一班的志愿者的人数，求分布列及期望．‎ ‎20.已知函数，．　‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论函数单调性；‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数，对任意的，，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．　‎ ‎21.已知椭圆：经过点，左右焦点分别为、，圆与直线相交所得弦长为2．　‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设是椭圆上不在轴上的一个动点，为坐标原点，过点作的平行线交椭圆于、两个不同的点．‎ ‎（1）试探究的值是否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．‎ ‎（2）记的面积为，的面积为，令，求的最大值．‎ 高三数学（理科）试题答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: ‎ 二、填空题 ‎11.6 12. 13. 14.189 15. ‎ 三、解答题 ‎16.解：（Ⅰ）‎ ‎，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数的值域为．‎ ‎（Ⅱ）依题意，，的外接圆半径，，，，，‎ ‎，‎ ‎∴ ．‎ ‎17. 解：（Ⅰ）∵等比数列满足（），‎ 时，；‎ 时，.‎ ‎∴，时也成立，∴，解得，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）.‎ 当为奇数时，；‎ 当为偶数时，.‎ 综上，．‎ ‎18.（Ⅰ）证明：在中，∵，．‎ 由余弦定理，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 在直平行六面体中，平面，平面，∴，‎ 又，‎ ‎∴平面．‎ ‎（Ⅱ）解：如图以为原点建立空间直角坐标系，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量，‎ 令，得，，‎ ‎∴，‎ 设直线和平面的夹角为，‎ ‎∴，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．　‎ ‎19.解：（Ⅰ）记“至少一名一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件，则的对立事件为“没有一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”，‎ 设有一班志愿者个，，那么，解得，即来自一班的志愿者有5人，来自二班志愿者4人；‎ 记“清扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人”为事件，‎ 那么，‎ 所有清扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人的概率是．‎ ‎（Ⅱ）的所有可能值为0,1，2,3．‎ ‎，，，‎ 所以的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．‎ ‎20.解：（Ⅰ）当时，‎ ‎，．‎ 当或时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 所以时，；‎ 时，．‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ ‎①当，即时，由可得或，此时单调递增；由可得，此时单调递减；‎ ‎②当，即时，在上恒成立，此时单调递增；‎ ‎③当，即时，由可得或，此时单调递增；由可得，此时单调递减．‎ 综上：当时，增区间为，，减区间为；‎ 当时，增区间为，无减区间；‎ 当时，增区间为，，减区间为．‎ ‎（Ⅲ）假设存在实数，对任意的，，且，有恒成立，‎ 不妨设，则由恒成立可得：恒成立，‎ 令，则在上单调递增，所以恒成立，‎ 即恒成立，‎ ‎∴，即恒成立，又，‎ ‎∴在时恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，对任意的，，且，有恒成立.‎ ‎21. 解：（Ⅰ）由已知可得：圆心到直线的距离为1，即，所以，‎ 又椭圆经过点，所以，得到，‎ 所以椭圆的标准方程为．　‎ ‎（Ⅱ）（1）设，，，的方程为，‎ 则的方程为.‎ 由得即 所以，‎ 由，得，‎ 所以，，‎ ‎，‎ 所以．‎ ‎（2）∵，∴的面积的面积，∴，‎ ‎∵到直线：的距离，‎ ‎∴，令，则（），‎ ‎，‎ 令，，‎ ‎∴在上为增函数，，．‎