【数学】2018届一轮复习人教A版（理）9-7抛物线学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）9-7抛物线学案

‎§9.7　抛物线 考纲展示►　‎ 考点1　抛物线的定义及应用 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．‎ 答案：距离相等　焦点　准线 ‎[教材习题改编]动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．‎ 答案：y2＝4x 解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.‎ 抛物线的定义：关注应用．‎ 过抛物线y2＝8x的焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于点A，B，则|AB|＝________.‎ 答案：16‎ 解析：解法一：依题意，过抛物线焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－2，‎ 将y＝x－2代入y2＝8x，得x2－12x＋4＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝12，x1x2＝4，‎ 所以|AB|＝· ‎＝×＝16.‎ 解法二：过抛物线焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－2，将y＝x－2代入y2＝8x，得x2－12x＋4＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12.‎ 由抛物线定义知，|AB|＝x1＋x2＋4＝16.‎ ‎[考情聚焦]　与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 到焦点与定点距离之和最小问题 ‎[典题1]　[2017·江西赣州模拟]若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的点M的坐标为(　　)‎ A．(0,0) B. C．(1，)　 D．(2,2)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　过点M作左准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M的坐标为(2,2)．‎ 角度二 到点与准线的距离之和最小问题 ‎[典题2]　[2017·河北邢台摸底]已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，则|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.‎ 角度三 到定直线的距离最小问题 ‎[典题3]　已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)‎ A. B．‎2 C. D．3‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F ‎(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.‎ 角度四 焦点弦中距离之和最小问题 ‎[典题4]　已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．‎ 依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.‎ ‎[点石成金]　与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决．‎ 转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．‎ 考点2　抛物线的标准方程与性质 ‎1.抛物线的标准方程 ‎(1)顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为：________；‎ ‎(2)顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为：________；‎ ‎(3)顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为：________；‎ ‎(4)顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为：________.‎ 答案：(1)y2＝2px(p>0)　(2)y2＝－2px(p>0)‎ ‎(3)x2＝2py(p>0)　(4)x2＝－2py(p>0)‎ ‎2．抛物线的几何性质 答案：O(0,0)　y＝0　x＝0　1‎ ‎(1)[教材习题改编]若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________．‎ 答案：－ 解析：抛物线y＝ax2的标准方程为x2＝y，‎ ‎∴－＝2，∴a＝－.‎ ‎(2)[教材习题改编]将抛物线C1：x2＝y绕原点逆时针旋转90°，得到抛物线C2，则C2的焦点坐标是________．‎ 答案： 解析：易知抛物线C2的方程为y2＝－x，其焦点坐标为.‎ 抛物线的标准方程：注意一次项系数的符号．‎ 抛物线x2＋2py＝0的焦点到准线的距离为4，则p＝________.‎ 答案：±4‎ 解析：抛物线x2＋2py＝0的标准方程为x2＝－2py，依题意知|p|＝4，所以p＝±4.‎ 求抛物线的标准方程：待定系数法．‎ 抛物线的开口向左，过抛物线的焦点且与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段AB的长为4，则该抛物线的标准方程为________．‎ 答案：y2＝－4x 解析：依题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则其焦点坐标为，‎ 易得|AB|＝2p＝4，所以p＝2，‎ 所以所求抛物线方程为y2＝－4x.‎ ‎[典题5]　(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)‎ A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.‎ 所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．‎ ‎(2)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)‎ A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y ‎[答案]　D ‎[解析]　∵－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.‎ 则－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.‎ x2＝2py(p＞0)的焦点坐标为，‎ 由题意得＝2，解得p＝8.‎ 故C2的方程为x2＝16y.‎ ‎[点石成金]　1.求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p的值即可．‎ ‎2．利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．‎ ‎3．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.‎ 若抛物线y2＝x的准线经过椭圆＋＝1的左焦点，则实数m的值为________．‎ 答案： 解析：抛物线y2＝x的准线方程为x＝－，椭圆＋＝1的左焦点坐标为(－2,0)，‎ 由题意知－＝－2，所以实数m＝.‎ 考点3　焦点弦问题 ‎[典题6]　已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．求证：直线AC经过原点O.‎ 证明：设直线AB的方程为x＝my＋，‎ 代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.‎ 由根与系数的关系，得yAyB＝－p2，‎ 即yB＝－.‎ ‎∵BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，‎ ‎∴C，则kOC＝＝＝＝kOA.‎ ‎∴直线AC经过原点O.‎ 考点4　直线与抛物线的位置关系 ‎[典题7]　已知A(8,0)，B，C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足·＝0，＝ ‎，‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(2)是否存在过点A的直线l与动点P的轨迹交于M，N两点，且满足·＝97，其中Q(－1,0)，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)设B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)，‎ 则＝(－8，b)，＝(x，y－b)，＝(c，－b)，＝(x－c，y)．‎ ‎∴·＝－8x＋b(y－b)＝0，①‎ ‎∴由＝，得 将b＝－y代入①，得y2＝－4x.‎ ‎∴动点P的轨迹方程为y2＝－4x.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时，x＝8与抛物线没有交点，不合题意．‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，‎ 则l：y＝k(x－8)．‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，‎ 由·＝97，‎ 得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝97.‎ 即x1x2＋x1＋x2＋1＋k2(x1－8)(x2－8)＝97，‎ ‎∴(1＋k2)x1x2＋(1－8k2)(x1＋x2)＋64k2＝96.②‎ 将y＝k(x－8)代入y2＝－4x，‎ 得k2x2＋(4－16k2)x＋64k2＝0.‎ ‎∵直线l与y2＝－4x交于不同的两点，‎ ‎∴Δ＝(4－16k2)2－4×k2×64k2＞0，‎ 即－＜k＜，‎ 由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝64.‎ 代入②式，得 ‎64(1＋k2)＋(1－8k2)＋64k2＝96.‎ 整理得k2＝，∴k＝±.‎ ‎∵k＝±∉，‎ ‎∴这样的直线l不存在．‎ 综上，不存在过点A的直线l与动点P的轨迹交于M，N两点，且满足·＝97.‎ ‎[点石成金]　1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；‎ ‎2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．‎ ‎[提醒]　涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.‎ 如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t,0)(t＞0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．‎ ‎(1)求点A，B的坐标；‎ ‎(2)求△PAB的面积．‎ 解：(1)由题意知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)．‎ 由消去y，整理得 x2－4kx＋4kt＝0，‎ 由于直线PA与抛物线相切，得k＝t.‎ 因此，点A的坐标为(2t，t2)．‎ 设圆C2的圆心为D(0,1)，点B的坐标为(x0，y0)．‎ 由题意知，点B，O关于直线PD对称，‎ 故解得 因此，点B的坐标为.‎ ‎(2)由(1)知，|AP|＝t·，‎ 直线PA的方程为tx－y－t2＝0.‎ 点B到直线PA的距离是d＝.‎ 设△PAB的面积为S(t)，则S(t)＝|AP|·d＝.‎ ‎[方法技巧]　1.求抛物线的标准方程时，一般要用待定系数法求出p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．‎ ‎2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．‎ ‎3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下几个结论：‎ ‎(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；‎ ‎(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；‎ ‎(3)＋＝；‎ ‎(4)以AF为直径的圆与y轴相切；‎ ‎(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．‎ ‎[易错防范]　直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2015·浙江卷]如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)‎ A. B. C. D. 答案：A 解析：由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，‎ 易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.‎ 由抛物线方程知，焦点F(1,0)，作准线l，‎ 则l的方程为x＝－1.‎ ‎∵ 点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.‎ 由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.‎ 在△CAN中，BM∥AN，‎ ‎∴ ＝＝.‎ ‎2．[2016·新课标全国卷Ⅰ]以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A．2 B．‎4 C．6 D．8‎ 答案：B 解析：由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，‎ 由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，解得p＝4，故选B.‎ ‎3．[2016·四川卷]设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案：C 解析：设P，易知F，则由|PM|＝2|MF|，得M.‎ 当t＝0时，直线OM的斜率k＝0；‎ 当t≠0时，直线OM的斜率k＝＝，‎ 所以|k|＝≤＝，‎ 当且仅当＝时等号成立，于是直线OM的斜率的最大值为，故选C.‎ ‎4．[2016·天津卷]设抛物线(t为参数，p＞0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．‎ 答案： 解析：抛物线的普通方程为y2＝2px，故F，‎ l：x＝－.由|CF|＝2|AF|，得|AF|＝p，‎ 不妨设点A(x，y)在第一象限，则x＋＝，即x＝p，所以y＝p.‎ 易知△ABE∽△FCE，＝＝，‎ 所以|EF|＝2|AE|，所以△ACF的面积等于△AEC的面积的3倍，即S△ACF＝9，‎ 所以S△ACF＝×3p×p＝9，解得p＝.‎ ‎5．[2016·浙江卷]若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y 轴的距离是________．‎ 答案：9‎ 解析：由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，设点M的坐标为(x，y)，则x＋1＝10，所以x＝9.故M到y轴的距离是9.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 对抛物线的标准方程认识不准而致误分析 ‎[典例]　抛物线C1：x2＝2py(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　抛物线C1：x2＝2py(p>0)的焦点坐标为，双曲线－y2＝1的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为y＝－(x－2)，‎ 联立 消去y，得2x2＋p2x－2p2＝0.‎ 设点M的横坐标为a，‎ 易知在点M处切线的斜率存在，则在点M处切线的斜率为y′x＝a＝′x＝a＝，‎ 又因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为±y＝0，其与切线平行，‎ 所以＝，即a＝p，‎ 代入2x2＋p2x－2p2＝0，得p＝或p＝0(舍去)．‎ ‎[答案]　D