【数学】2019届文科一轮复习人教A版选修4-5绝对值不等式教案

【数学】2019届文科一轮复习人教A版选修4-5绝对值不等式教案

选修4－5　不等式选讲 第一节　绝对值不等式 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥C．‎ ‎(对应学生用书第163页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．绝对值三角不等式 ‎ 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式的解法 ‎ (1)含绝对值的不等式|x|a的解法：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x＞a或x＜－a}‎ ‎{x∈R|x≠0}‎ R ‎ (2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：‎ ‎ ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎ ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－C．‎ ‎ (3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ‎ ①利用绝对值不等式的几何意义求解；‎ ‎ ②利用零点分段法求解；‎ ‎ ③构造函数，利用函数的图象求解．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．(　　)‎ ‎ (2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0.(　　)‎ ‎ (3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.(　　)‎ ‎ (4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则实数a＝________.‎ ‎ －3　[依题意，知a≠0.‎ ‎ 又|ax－2|＜3⇔－3＜ax－2＜3，‎ ‎ ∴－1＜ax＜5.‎ ‎ 由于|ax－2|＜3的解集为，‎ ‎ ∴a＜0，＝－且－＝，则a＝－3.]‎ ‎3．(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．‎ ‎ (－∞，－3]∪[3，＋∞)　[由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，‎ ‎ ∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，‎ ‎ 要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，‎ ‎ 只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.]‎ ‎4．解不等式x＋|2x＋3|≥2.‎ ‎ [解]　当x≥－时，原不等式化为3x＋3≥2， 3分 ‎ 解得x≥－. 6分 ‎ 当x＜－时，原不等式化为－x－3≥2，‎ ‎ 解得x≤－5. 8分 ‎ 综上，原不等式的解集是. 10分 ‎5．(2016·江苏高考)设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|1的解集．‎ ‎ 【导学号：79170377】‎ 图1‎ ‎ [解]　(1)由题意得f(x)＝ 3分 ‎ 故y＝f(x)的图象如图所示．‎ ‎ 6分 ‎ (2)由f(x)的函数表达式及图象可知，‎ ‎ 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ ‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5. 8分 ‎ 故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，‎ ‎ f(x)＜－1的解集为.‎ ‎ 所以|f(x)|＞1的解集为. 10分 ‎ [规律方法]　　1.本题用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．‎ ‎ 2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．此外还常利用绝对值的几何意义求解．‎ ‎[变式训练1]　(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.‎ ‎ (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；‎ ‎ (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．‎ ‎ [解]　(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于 ‎ x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①‎ ‎ 当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；‎ ‎ 当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；‎ ‎ 当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，‎ ‎ 从而1＜x≤.‎ ‎ 所以f(x)≥g(x)的解集为.‎ ‎ (2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，‎ ‎ 所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.‎ ‎ 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，‎ ‎ 所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.‎ ‎ 所以a的取值范围为[－1,1]．‎ 绝对值三角不等式性质的应用 ‎　对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m.‎ ‎ (1)求m的值；‎ ‎ (2)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.‎ ‎ [解]　(1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，‎ ‎ 即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值. 2分 ‎ 因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，‎ ‎ 当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，‎ ‎ |a|≥|b|时，≥2成立，‎ ‎ 也就是的最小值是2，‎ ‎ 即m＝2. 5分 ‎ (2)|x－1|＋|x－2|≤2.‎ ‎ 法一：利用绝对值的意义得：≤x≤. 10分 ‎ 法二：①当x＜1时，不等式为－(x－1)－(x－2)≤2，‎ ‎ 解得x≥，所以x的取值范围是≤x＜1.‎ ‎ ②当1≤x≤2时，不等式为(x－1)－(x－2)≤2，‎ ‎ 得x的取值范围是1≤x≤2. 8分 ‎ ③当x＞2时，原不等式为(x－1)＋(x－2)≤2,2＜x≤.‎ ‎ 综上可知，不等式的解集是. 10分 ‎ [规律方法]　　1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；当(a－b)(b－c)≥0时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.‎ ‎ (2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．‎ ‎ 2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．‎ ‎[变式训练2]　对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|‎2a－1|≤1，且恒有|‎4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．‎ ‎ [解]　因为|a－b|≤1，|‎2a－1|≤1，‎ ‎ 所以|‎3a－3b|≤3，≤， 4分 ‎ 所以|‎4a－3b＋2|＝ ‎ ≤|‎3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6， 8分 ‎ 则|‎4a－3b＋2|的最大值为6，‎ ‎ 所以m≥|‎4a－3b＋2|max＝6，m的取值范围是[6，＋∞)． 10分 绝对值不等式的综合应用 ‎　(2018·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.‎ ‎ (1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；‎ ‎ (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. ‎ ‎【导学号：79170378】‎ ‎ [解]　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ ‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ ‎ 当－10，解得0，解得1≤x＜2.‎ ‎ 所以f(x)>1的解集为. 4分 ‎ (2)由题设可得f(x)＝ ‎ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(‎2a＋1,0)，C(a，a＋1)．因此△ABC的面积S＝|AB|·(a＋1)＝(a＋1)2. 8分 ‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ ‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞). 10分 ‎ [规律方法]　　1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．‎ ‎ 2．第(2)问求解要抓住三点：(1)分段讨论，去绝对值符号，化f(x ‎)为分段函数；(2)数形结合求△ABC的三个顶点坐标，进而得出△ABC的面积；(3)解不等式求a的取值范围．‎ ‎[变式训练3]　(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋A．‎ ‎ (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎ (2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．‎ ‎ [解]　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.‎ ‎ 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.‎ ‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}. 4分 ‎ (2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|(2x－a)＋(1－2x)|＋a＝|1－a|＋a， 6分 ‎ 当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.　①‎ ‎ 8分 ‎ 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．‎ ‎ 当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ ‎ 所以a的取值范围是[2，＋∞). 10分