安徽省淮北市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

安徽省淮北市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 淮北一中2019-2020学年度高一年级第一学期期中考试 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1.若，则集合的真子集共有（ ）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据n元集合有2n﹣1个真子集，结合集合{6，7，8}共有3个元素，代入可得答案．‎ ‎【详解】因A＝{6，7，8}共3个元素 故集合A＝{6，7，8}共有23﹣1＝7个真子集 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是子集与真子集，熟练掌握n元集合有2n个子集，有2n﹣1个真子集，是解答的关键．‎ ‎2.的定义域是(　　)‎ A. (－2，0)∪(1，2) B. (－2，0]∪(1，2)‎ C. (－2，0)∪[1，2) D. [－2，0]∪[1，2]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式即得函数的定义域.‎ ‎【详解】要使函数有意义，则,解得x∈(－2，0)∪[1，2)，‎ 即函数的定义域是(－2，0)∪[1，2)．‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查分式不等式和二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎3.函数的零点所在区间为（ ）‎ A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, 3) D. (3, 4)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数在区间端点处的函数值的符号，利用零点的存在定理，即可求解.‎ ‎【详解】由题意知，函数，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 又根据基本初等函数的单调性，可得函数函数为定义域上的单调递增函数，所以函数在区间上存在零点，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用函数的零点存在定理，以及基本初等函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.设,,则   ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小.‎ ‎【详解】因为，，，‎ 所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用指、对数函数单调性比较数值大小，难度一般.‎ 利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：.‎ ‎5.已知集合，若，则的取值集合是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．‎ ‎【详解】∵集合 ‎∴‎ 若，即时，满足条件；‎ 若，则.‎ ‎∵‎ ‎∴或 ‎∴或 综上，或或.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．‎ ‎6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排除选项；当时，可知，排除选项，从而得到结果.‎ ‎【详解】当时，，可排除选项；‎ 当时，， 时，，可排除选项 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的判断，常用方法是采用特殊值排除的方式，根据特殊位置函数值的符号来排除错误选项.‎ ‎7.函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到函数的定义域，然后根据复合函数单调性，求出内层函数的单调递增区间，从而得到答案.‎ 详解】函数，‎ 所以，解得或，‎ 所以定义域为 又因函数是复合函数，‎ 其外层函数为增函数，‎ 所以要使为增函数，则内层是增函数，‎ 则 所以可得单调增区间为 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查求复合函数的单调区间，属于简单题.‎ ‎8.已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知函数为增函数，根据复合函数的单调性法则可知在上单调递减，且，即可求解.‎ ‎【详解】因为，所以在上是增函数，‎ 令，而是减函数，所以在上单调递减，且在上恒成立，‎ 所以，解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复合函数的增减性，对数函数的性质，属于中档题.‎ ‎9.已知，若正实数满足，则的取值范围为（ ）‎ A. B. 或 C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断是上的增函数，原不等式等价于，分类讨论，利用对数函数的单调性求解即可.‎ ‎【详解】因为与都是上的增函数，‎ 所以是上的增函数，‎ 又因为 所以等价于，‎ 由，知,‎ 当时，在上单调递减，故，从而；‎ 当时，在上单调递增，故，从而，‎ 综上所述， 的取值范围是或，故选C.‎ ‎【点睛】解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则．‎ ‎10.已知函数，若定义在上的奇函数，有，则（ ）‎ A. 2 B. 0 C. -1 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先构造函数并得出是奇函数，则，则，.‎ ‎【详解】设，‎ 则，∴是奇函数，‎ ‎，‎ 又是奇函数，∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断和应用，尤其是构造函数并判断其奇偶性是本题的关键，属中等难度题.‎ ‎11.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间月)的关系有以下叙述:‎ ‎①这个指数函数的底数是2;‎ ‎②第5个月时,浮萍的面积就会超过 ‎③浮萍从蔓延到需要经过1.5个月;‎ ‎④浮萍每个月增加的面积都相等;‎ ‎⑤若浮萍蔓延到所经过的时间分别为则.其中正确的是 A. ①② B. ①②③④ C. ②③④⑤ D. ①②⑤‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由函数图象可知,该函数过点(1,2),所以a=2,则,故①正确;当t=5时,y=32>30,故②正确;当t=2时,y=4,当时,t=log212,因为log212-2-1.5>0,所以浮萍从蔓延到需要经过的时间超过1.5个月,故③错误;第一个月增加1,第二个月增加2,第三个月增加4,因此④错误;浮萍蔓延到所经过的时间分别为,则,即,所以,故⑤正确.因此正确的是①②⑤.‎ 点晴：本题考查的是函数模型的应用。解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：①读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆要准确．③在求解的过程中计算要正确.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．‎ ‎12.设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，进而研究其单调性和奇偶性，‎ 将变形为，再利用的单调性解不等式即可.‎ ‎【详解】令，‎ ‎，有，。‎ 所以为R上的偶函数，又在上有，‎ 所以，即在上单调递增，在上单调递减.‎ 又，所以，‎ 即，，解之得，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查构造函数并研究其单调性和奇偶性、利用函数的性质解不等式，体现数学运算、逻辑推理等核心素养，属难题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令真数为1,可得定点的坐标,用待定系数法设出幂函数解析式,代入的坐标,可得幂函数解析式,从而可得.‎ ‎【详解】令,得此时,故,‎ 设幂函数解析式,‎ 依题意有,即,解得,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为:9‎ ‎【点睛】本题考查了对数型函数过定点问题,幂函数概念,待定系数法,属于基础题.‎ ‎14.设，则______．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ 由题意，得；故填.‎ ‎15.若函数对于任意实数x恒有，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将等式变为，两式联立解方程组即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 两式联立解之得：．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用消元法求函数的解析式，属中等难度题.‎ ‎16.某中学为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究的学习能力，他们以函数为基本素材研究该函数的相关性质，某研究小组6位同学取得部分研究成果如下：‎ ‎①同学甲发现：函数的零点为；‎ ‎②同学乙发现：函数是奇函数；‎ ‎③同学丙发现：对于任意的都有；‎ ‎④同学丁发现：对于任意的，都有；‎ ‎⑤同学戊发现：对于函数定义域中任意的两个不同实数，，总满足 ‎；‎ ‎⑥同学己发现：求使的x的取值范围是．‎ 其中正确结论的序号为________．‎ ‎【答案】② ③ ④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①与②按零点的概念和奇函数的定义直接判断，③与④代入等式推理论证，⑤判断函数的单调性即可，⑥解不等式即可.‎ ‎【详解】①不正确；在②中，，所以函数为奇函数，②正确；在③中，对于任意，有 又，所以③是正确的；在④中，对于任意的，有，‎ 又，所以④是正确的；在⑤中，对于函数的定义域中任意的两个不同实数，，总满足，即说明是单调递增函数，但是减函数，所以⑤不正确；在⑥中，函数的定义域为，结合得x的取值范围是，所以⑥不正确.‎ 综上可知，其中正确结论的序号为② ③ ④．‎ 故答案为：② ③ ④．‎ ‎【点睛】本题主要考查与对数型复合函数有关的零点、奇偶性、单调性、不等式及恒等式的证明问题，知识面广、综合性强，属较难题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎17.（1）计算：（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）（2）21‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数和对数的运算性质直接计算即可.‎ ‎【详解】解：‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】本题主要考查指数和对数的运算性质，属基础题.‎ ‎18.已知全集为，函数的定义域为集合，集合.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求集合,再求其补集，再求即可；‎ ‎（2）由，根据空集的定义，即空集是任意集合的子集，则需讨论 ‎，两种情况，再列不等式组求解即可.‎ ‎【详解】【解】（1）由得，函数的定义域.‎ ‎，，得.‎ ‎，∴.‎ ‎（2），‎ ‎①当时，满足要求，此时，得；‎ ‎②当时，要，则，‎ 解得；由①②得，.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交、并、补运算及集合间的包含关系，并利用集合间的关系求解参数的范围，重点考查了集合思想及分类讨论的数学思想方法，属中档题.‎ ‎19.m为何值时，函数 ‎（1）在上有两个相异零点；‎ ‎（2）有两个相异零点且均比-1大．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意得：，解此不等式组即可；‎ ‎（2）易知函数满足：，解之即可.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）由题意：‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，主要有以下常见的结论：‎ 设，方程 ‎（1）两根都大于，‎ ‎（2）两根都小于，‎ ‎（3）一根大于m，一根小于，‎ ‎（4）两根都在区间上.‎ ‎20.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年.‎ ‎（1）当时，求关于的函数表达式.‎ ‎（2）当养殖密度为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意：当时，．当时，设，利用函数单调性及最值列方程组可求出，进而能求出函数； （2）依题意并由（1），得，当时，利用的单调性，求出，当时，利用的二次函数的性质，可求出，比较大小即可求出最大值．‎ ‎【详解】（1）由题意得当时，.‎ 当时，设，‎ 由已知得解得所以.‎ 故函数 ‎（2）设鱼的年生长量为千克/立方米，依题意，由（1）可得，‎ 当时，，；‎ 当时，，.‎ 所以当时，的最大值为12.5，‎ 即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.‎ ‎【点睛】本题考查函数表达式的求法，考查函数最大值的求法及其应用，解题时要认真审题，注意函数在生产生活中的实际应用．‎ ‎21.若定义在D上的函数f（x）满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有-M

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