2020届二轮复习　抽样方法与总体分布的估计课件（全国通用）

2020届二轮复习　抽样方法与总体分布的估计课件（全国通用）

§11.5 抽样方法与总体分布的估计 高考理数 考点一　随机抽样 1.简单随机抽样 (1)定义:一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个①     不放回     地抽 取 n 个个体作为样本( n ≤ N ),如果每次抽取时各个个体被抽到的机会都 相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样方法有两种:随机数法和抽签法. 2.系统抽样 将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽 取②     一个     个体,得到所需要的样本,这种抽样方法叫做系统抽样. 知识清单 3.分层抽样 (1)定义:一般地,在抽样时,将总体③     分成互不交叉     的层,然后按照一 定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在 一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样. (2)应用范围:总体是由④     差异明显     的几个部分组成的. 考点二　用样本估计总体 1.频率分布表:把反映总体频率分布的表格称为频率分布表. 2.频率分布直方图:能够反映样本的频率分布规律的直方图. 3.频率分布折线图:将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点 顺次连接起来,就得到频率分布折线图. 4.总体密度曲线:如果将样本容量取得足够大,分组的组距足够小,则相 应的频率折线图将趋于一条光滑曲线,即总体密度曲线. 5.茎叶图的画法步骤:第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部 分;第二步:将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列;第三步:将 各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧. 6.样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 (2)方差和标准差 方差和标准差反映了数据波动程度的大小. 方差: s 2 =   [( x 1 -   ) 2 +( x 2 -   ) 2 + … +( x n -   ) 2 ]; 标准差: s =   . 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现⑤     次数最多     的数据 取最高的小矩形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列,处在最中间位置的一 个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分,分界线与 x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和 注意:方差和标准差描述了一组数据与平均数的离散程度,反映了一组 数据相对于平均数的波动情况,标准差和方差越大,说明这组数据的波 动性越大. 1.三种抽样方法的区别与联系 　　2.系统抽样的最基本特征是“等距性”,一般地,每组内所抽取的号 码依据第一组抽取的号码和组距唯一确定,每组抽取的号码依次构成一 抽样方法 方法 1 方法技巧 个以第一组抽取的号码 m 为首项 , 组距 d 为公差的等差数列 { a n }, 第 k 组抽 取的号码 a k = m +( k -1) d . 3. 分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层 , 实质是等比例抽样 , 抽样比 =   =   . 例 1 　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 (1)(2017 河北石家庄二中三模 ,3) 某校为了解 1 000 名高一新生的身体状 况 , 用系统抽样法 ( 按等距的规则 ) 抽取 40 名同学进行检查 , 将学生从 1~ 1 000 进行编号 , 现已知第 18 组抽取的号码为 443, 则第一组用简单随机抽 样抽取的号码为   ( 　 C 　 ) A.16 　     B.17 　     C.18 　     D.19 (2)(2017山东淄博二模,6)为了调研雄安新区的空气质量状况,某课题组 对雄县、容城、安新3县的空气质量进行了调查,按地域特点在三县内 设置空气质量观测点,已知三县内观测点的个数分别为6, y , z ,依次构成 等差数列,且6, y , z +6成等比数列,若用分层抽样的方法抽取12个观测点 的数据,则容城应抽取的数据个数为   (　 C 　) A.8　    B.6　    C.4　    D.2 解析　 (1)∵ 从 1 000 名学生中抽取一个容量为 40 的样本 , ∴ 系统抽样的分段间隔为   =25, 设第一组随机抽取的号码为 x , 则抽取的第 18 组的号码为 x +17 × 25=443,∴ x =18. 故选 C. (2)∵ 三县内观测点的个数分别为 6, y , z , 且依次构成等差数列 , 且 6, y , z +6 成等比数列 ,∴   ∴ y =12, z =18, 若用分层抽样的方法抽取 12 个观测点的数据 , 则容城应抽取的数据个数为 12 ×   =4, 故选 C. 用频率分布直方图解决相关问题时,应正确理解图中各个量的意义,识 图掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方图有以下几个特点: (1)纵轴表示频率/组距;(2)频率分布直方图中各小长方形高的比就是相 应各组的频率之比;(3)直方图中各小长方形的面积是相应各组的频率, 所有的小长方形的面积之和等于1,即频率之和为1. 频率分布直方图的应用 方法 2 例2    (2017四川遂宁射洪中学三诊,18)射洪县教育局从去年参加了计 算机职称考试,并且年龄在[25,55]岁的教师中随机抽取 n 人的成绩进行 了调查,得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图: (1)补全频率分布直方图,并求 a 、 p 、 q 的值; (2)若用以上数据来估计今年参考老师的过关情况,并将每组的频率视 作对应年龄阶段老师的过关概率,考试是否过关互不影响.现有三名教 师参加该次考试,年龄分别为41岁、47岁、53岁.记 ξ 为过关的人数,请利 用相关数据求 ξ 的分布列和数学期望. 解析　 (1) 根据频率和为 1, 得年龄在 [30,35) 内的频率为 1-(0.04+0.04+0.03 +0.02+0.01) × 5=0.3,∴   =0.06, ∴ 补全的频率分布直方图如图所示 :   第一组的人数为   =200, 频率为 0.04 × 5=0.2,∴ n =   =1 000. 第二组的频率为 0.3,∴ 第二组的人数为 1 000 × 0.3=300, ∴ p =   =0.65, 第四组共有 1 000 × 0.15=150 人 ,∴ a =150 × 0.4=60, 第五组共有 1 000 × 0.1=100 人 ,∴ q =30 ÷ 100=0.3. 综上 , a =60, p =0.65, q =0.3. (2) 根据题意 , 年龄分别为 41 岁 ,47 岁 ,53 岁的教师过关的概率分别为   ,   ,   , 则 P ( ξ =0)=   ×   ×   =   , P ( ξ =1)=   ×   ×   +2 ×   ×   ×   =   =   , P ( ξ =2)=2 ×   ×   ×   +   ×   ×   =   , P ( ξ =3)=   ×   ×   =   =   , ∴ ξ 的分布列为 　　数学期望 Eξ =0 ×   +1 ×   +2 ×   +3 ×   =1. 1.平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的数字特征,可对总 体进行一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均 数、中位数、众数可描述总体的集中趋势,方差和标准差可描述波动大 小. 2.有关平均数、方差的一些结论: (1)若数据 x 1 , x 2 , … , x n 的平均数为   ,那么 mx 1 + a , mx 2 + a , mx 3 + a , … , mx n + a 的平 均数是 m   + a . (2)设数据 x 1 , x 2 , … , x n 的方差为 s 2 ,则 a. s 2 =   [(   +   + … +   )- n   ]; b.数据 x 1 + a , x 2 + a , … , x n + a 的方差也为 s 2 ; 求样本的数字特征及用其估计总体的数字特征 方法 3 c.数据 ax 1 , ax 2 , … , ax n 的方差为 a 2 s 2 . 例3    (2015广东,17,12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表. 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的均值   和方差 s 2 ; (3)36名工人中年龄在   - s 与   + s 之间有多少人?所占的百分比是多少(精 确到0.01%)? (1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段 解析　 (1) 由系统抽样 , 将 36 名工人分为 9 组 (4 人一组 ), 每组抽取一名工 人 . 因为在第一分段里抽到的是年龄为 44 的工人 , 即编号为 2 的工人 , 故所抽 样本的年龄数据为 44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2) 均值   =   =40; 方差 s 2 =   × [(44-40) 2 +(40-40) 2 +(36-40) 2 +(43-40) 2 +(36-40) 2 +(37-40) 2 +(44- 40) 2 +(43-40) 2 +(37-40) 2 ]=   . (3) 由 (2) 可知 s =   . 由题意 , 年龄在   内的工人共有 23 人 , 所 占的百分比为   × 100% ≈ 63.89%.