2018-2019学年海南省儋州一中高二上学期期中考试数学试题 Word版

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2018-2019学年海南省儋州一中高二上学期期中考试数学试题 Word版

‎2018-2019学年海南省儋州一中高二上学期期中考试试题 ‎ 数 学 ‎ 注意事项:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),试卷满分150分,考试时间120分钟;‎ ‎2.答题前,考生务必将自己的班级、姓名、考号用黑色的钢笔或签字笔填写在答题卷密封线内相应的位置;‎ ‎3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效,考试结束后,只交答题卷,务必用黑色的钢笔或签字笔填写在各题指定答题处。‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、 选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是(  )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎3.已知命题p:∀x>0,总有(x+1)ex>1,则命题p的否定为(  )‎ A.∃x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1 B.∃x0>0,使得(x0+1)ex0≤1‎ C.∀x>0,总有(x+1)ex≤1 D.∀x≤0,使得(x+1)ex≤1‎ ‎4.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,都有,则的值是( )‎ A. 1 B. 0 C. 3 D. ‎ ‎5.与向量平行的一个向量的坐标是(  )‎ A. B. (-1,-3,2) C. D. ‎ ‎6.已知双曲线C: (‎ ‎)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C的方程为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,λ),若,则λ等于(  )‎ A. 28 B. -28 C. 14 D. -14‎ ‎8.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(  )‎ A. B. - C. D. -‎ ‎9、双曲线的左右焦点分别为,为右支上一点,且,,则双曲线的渐近线方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若平面α的一个法向量为,平面β的一个法向量是,则平面α与β所成的角等于(  )‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎11. 如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥底面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD的中点,则AE的长为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k的值为(  )‎ A. B. C. D. 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题卡上)‎ ‎13.已知A(1,2,0),B(0,1,-1),P是x轴上的动点,当取最小值时,点P的坐标为__________.‎ ‎14.在正四面体O-ABC中,,D为BC的中点,E为AD的中点,则=______________(用表示).‎ ‎15.已知点及抛物线上一动点,则的最小值是________.‎ ‎16.已知斜率为-的直线L交椭圆C:+=1(a>b>0)于A,B两点,若点P(2,1)是AB的中点,则C的离心率等于___________ .‎ 三、解答题(本大题共6小题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 如图,直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠ACB=90°,棱AA1=2,如图,以C为原点,分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴建立空间直角坐标系.‎ ‎(1)求平面A1B1C的法向量;‎ ‎(2)求直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,点A到抛物线准线的距离等于5,过点A作AB垂直于y轴,垂足为点B,OB的中点为M. ‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎ (2)过点M作MN⊥ FA,垂足为N,求点N的坐标. ‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,AA1=5,‎ E、F分别为D1D、B1B上的点,且DE=B1F=1.‎ ‎(1)求证:BE⊥平面ACF;‎ ‎(2)求点E到平面ACF的距离.‎ ‎20.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.‎ ‎(1)求二面角F-BE-D的余弦值;‎ ‎(2)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)已知P(2,3)、Q(2,﹣3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值; ‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论.‎ 儋州一中2020届高二年级第一学期期中数学试题参考答案 一、选择题(每题5分,共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A B D C A D A B D B C 二、填空题(每题5分,共20分)‎ ‎13、(,0,0) 14、 15、2 16、 三、解答题(共70分)‎ ‎17、【详解】(1)由题意可知C(0,0,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2),故=(1,0,2),=(0,1,2),‎ 设v=(x0,y0,z0)为平面A1B1C的法向量,则 v·=(x0,y0,z0)(1,0,2)=x0+2z0=0,‎ v·=(x0,y0,z0)(0,1,2)=y0+2z0=0,‎ 即令z0=1,则v=(-2,-2,1).‎ ‎(2)设直线AC与平面A1B1C夹角为θ,而=(1,0,0),‎ 所以直线AC与平面A1B1C夹角的正弦值sinθ ‎=.‎ ‎18、[解] (1)抛物线y2=2px的准线方程为x=-,‎ 于是4+=5,p=2,‎ 所以抛物线的方程为y2=4x.‎ ‎(2)由题意得A(4,4),B(0,4),M(0,2).‎ 又F(1,0),所以kAF=,则FA的方程为y=(x-1).‎ 因为MN⊥FA,所以kMN=-,‎ 则MN的方程为y=-x+2.‎ 解方程组,得,‎ 所以N.‎ ‎19、(1)证明:以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系,则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4).‎ ‎∴=(-2,2,0)、=(0,2,4)、=(-2,-2,1)、=(-2,0,1).‎ ‎∵·=0,·=0,‎ ‎∴BE⊥AC,BE⊥AF,且AC∩AF=A.‎ ‎∴BE⊥平面ACF.‎ ‎(2)由(1)知,为平面ACF的一个法向量,‎ ‎∴点E到平面ACF的距离d==.‎ 故点E到平面ACF的距离为.‎ ‎20、(1)因为DA,DC,DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.‎ 因为DE⊥平面ABCD,‎ 所以BE与平面ABCD所成角为∠DBE,故∠DBE =60°,‎ 所以.‎ 由AD=3可知DE=3,AF=.‎ 则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),‎ 所以=(0,-3,),=(3,0,-2),‎ 设平面BEF的法向量为,‎ 则 令z=,则.‎ 同理得平面BDE的法向量为,(也可证AC⊥平面BDE,得即为法向量).‎ 所以cos<,>=.‎ 由图形得二面角F-BE-D为锐角,‎ 所以二面角F-BE-D的余弦值为.‎ ‎(2)点M是线段BD上一个动点,设M(t,t,0).‎ 则=(t-3,t,0),‎ 因为AM∥平面BEF,‎ 所以,‎ 解得t=2.‎ 此时,点M坐标为(2,2,0),BM=BD,符合题意.‎ 所以当BM=BD 时,满足AM∥平面BEF.‎ ‎21、解:(1)设C方程为,则.由,得a=4 ∴椭圆C的方程为.……4分 ‎(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为,代入,得x2+tx+t2﹣12=0 由△>0,解得﹣4<t<4‎ 由韦达定理得x1+x2=﹣t,x1x2=t2﹣12. ……………………6分 ‎ ‎∴==.‎ 由此可得:四边形APBQ的面积 ‎∴当t=0时,. ………………8分 ‎22、解:(1)由题设,得+=1, ①‎ 且=, ②‎ 由①、②解得a2=6,b2=3, 椭圆C的方程为+=1. ‎ ‎(2)记P(x1,y1)、Q(x2,y2).由题意知,直线MP、MQ的斜率存在.‎ 设直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得 ‎(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0,‎ ‎-2,x1是该方程的两根,则-2x1=,x1=.‎ 设直线MQ的方程为y+1=-k(x+2),‎ 同理得x2=. ‎ 因y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),‎ 故kPQ=====1,‎ 因此直线PQ的斜率为定值.‎
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