2021届高考数学一轮复习第四章平面向量第3讲平面向量的数量积课件

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2021届高考数学一轮复习第四章平面向量第3讲平面向量的数量积课件

第 3 讲 平面向量的数量积 课标要求 考情风向标 1. 通过物理中 “ 功 ” 等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义 . 2. 体会平面向量的数量积与向量投影的关系 . 3. 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算 . 4. 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 从近几年的高考试题来看,向量的数量积运算、向量的垂直等问题是高考的热点,既有选择题、填空题,又有解答题,属中低档题目,常与平面几何、三角、解析几何等知识交汇命题,主要考查运算能力及数形结合思想 . 预计 2021 年高考仍将以向量的数量积运算、向量的垂直为主要考点,以与三角、解析几何等知识交汇命题为考向 1. 两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 θ ,则数量 | a || b |cos θ 叫做 a 与 b 的数量积 ( 或内积 ) ,记作 a · b ,即 a · b = | a || b |cos θ . 规 定零向量与任一向量的数量积为 0 ,即 0· a = 0. 2. 平面向量数量积的几何意义 数量积 a · b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cos θ 的乘积 . 3. 平面向量数量积的性质 设 a , b 都是非零向量, e 是单位向量, θ 为 a 与 b ( 或 e ) 的 夹角,则 (1) e · a = a · e = | a |cos θ . (2) a ⊥ b ⇔ a · b = 0. (3) 当 a 与 b 同向时, a · b = | a || b | ; 当 a 与 b ______ 向时, a · b =- | a || b |. 反 ≤ 4. 平面向量数量积的坐标运算 ⊥ 1.(2019 年北京 ) 已知向量 a = ( - 4,3) , b = (6 , m ) ,且 a ⊥ b , 则 m = ______. 8 解析: ∵ a = ( - 4,3) , b = (6 , m ) , a ⊥ b ,∴ a · b = 0 ,即- 4× 6 + 3 m = 0 , m = 8. 2.(2018 年吉林调研 ) 如果向量 a = (2,0) , b = (1,1) ,那么下 列结论正确的是 ( ) A.| a | = | b | C.( a - b )⊥ b B. a · b = 2 D. a ∥ b C 解析: | a | = 2 , | b | = , A 错; a · b = 2 , B 错; ( a - b )· b = (1 ,- 1)·(1,1) = 0 ,∴ ( a - b )⊥ b , C 正确 . 故选 C. 3.(2018 年北京 ) 设向量 a = ( 1,0) , b = ( - 1 , m ) ,若 a ⊥( m a - b ) ,则 m = ________. - 1 4.(2016 年新课标 Ⅰ ) 设向量 a = ( x , x + 1) , b = (1,2) ,且 a ⊥ b ,则 x = __________. 考点 1 平面向量的数量积 例 1 : (1) 已知 a , b 为单位向量,其夹角为 60° ,则 (2 a - b )· b = ( ) A. - 1 B.0 C.1 D.2 解析: (2 a - b )· b = 2 a · b - b 2 = 2 × | a | × | b |cos 〈 a , b 〉 - | b | 2 = 2×1×1×cos 60° - 1 = 0. 故选 B. 答案: B (2)(2018 年新课标 Ⅱ ) 已知向量 a , b 满足 | a | = 1 , a · b =- 1 , 则 a ·(2 a - b ) = ( ) A.4 B.3 C.2 D.0 解析: a ·(2 a - b ) = 2 a 2 - a · b = 2 - ( - 1) = 3. 答案: B 答案: D 考点 2 平面向量的夹角 例 2 : (1) (2017 年新课标 Ⅰ ) 已知向量 a = ( - 1,2 ) , b = ( m, 1). 若向量 a + b 与 a 垂直,则 m = __________. 解析: a + b = ( m - 1,3) ,∵ ( a + b ) ·a = 0 ,∴- ( m - 1) + 2×3 = 0 ,解得 m = 7. 答案: 7 (2)(2019 年新课标 Ⅰ ) 已知非零向量 a , b 满足 | a | = 2| b | ,且 ( a - b )⊥ b ,则 a 与 b 的夹角为 ( ) 答案: B (3)(2019 年新课标 Ⅲ ) 已知向量 a = ( 2,2) , b = ( - 8,6) ,则 cos〈 a , b 〉 = __________. 考点 3 平面向量的模 例 3 : (1) (2019 年新课标 Ⅱ ) 已知向量 a = (2,3) , b = (3,2) , ) 则 | a - b | = ( 答案: A (2)(2017 年新课标 Ⅰ ) 已知向量 a , b 的夹角为 60° , | a | = 2 , | b | = 1 ,则 | a + 2 b | = ________ ; 图 D22 (3)(2017 年浙江 ) 已知向量 a , b 满足 | a | = 1 , | b | = 2 ,则 | a + b | + | a - b | 的最小值是 ________ ,最大值是 ________ ; (4)( 多选 ) 已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ ,下 列命题 为真命题的是 ( ) 答案: AD 答案: D 【 规律方法 】 (1) 求向量的模的方法:①公式法,利用 | a | = 运算;②几何法,利用向 量的几何意义,即利用向量加减法的 平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方 法求解 . (2) 求向量模的最值 ( 范围 ) 的方法:①代数法,把所求的 模 表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;②几何法 ( 数 形结合法 ) ,弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图 形求解 . 难点突破 ⊙ 三角函数与平面向量的综合应用 (1) 若 | a | = | b | ,求 x 的值; (2) 设函数 f ( x ) = a · b ,求 f ( x ) 的最大值 . 【 跟踪训练 】 1.(1) 0 与实数 0 的区别: 0 a = 0 ≠0 , a + ( - a ) = 0 ≠0 , a · 0 = 0≠ 0 ; (2) 0 的方向是任意的,并非没有方向, 0 与任何向量 平行,我们只定义了非零向量的垂直关系 . 2. a · b = 0 不能推出 a = 0 或 b = 0 ,因为 a · b = 0 时,有可能 a ⊥ b . 3. 在运用向量夹角时,注意其取值范围是 [0 , π]. 5. 向量数量积不满足消去律:如 a · b = a · c 不能得到 b = c .
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